4.2 Eukleidész a pszeudoszférán

Kiben erõ van és Isten lakik,
Az szónokolni fog, vés vagy dalol,
Ha lelke fáj, szívrázóan zokog,
Mosolyg, ha a kéj mámorát alussza.
S bár új utat tör, bizton célra ér. –
Mûvébõl fog készítni új szabályt,
Nyûgûl talán, de szárnyakúl soha,
Egy törpefajnak absztrakció. –
Madách Imre: Az ember tragédiája
10. szín

4.2.1 Az Appendix: alap és kiindulás

Mint ahogy a bevezetõ mondatokban is említettük, a fizikának a világnézetünkhöz, a filozófiához kapcsolódó, ma is égetõ kérdése a „tér igaz tudománya”, a tér görbült vagy sík volta.

A görbült tér fogalmának õsforrása viszont a Bolyai–Lobacsevszkij-, (nemeuklideszi, hiperbolikus) geometria.
Maga a Bolyai–Lobacsevszkij-geometria Eukleidész 5. posztulátumával (más megnevezéssel a XI. axiómával) kapcsolatos probléma megoldásaként jelentkezett. Ez a posztulátum Proklosz megfogalmazásában: a síkban egy adott egyenesen kívül fekvõ ponton áthaladó egyenesek között egy és csakis egy van, amely az adott egyenest nem metszi, más szóval a ponton keresztül az adott egyenessel egy és csakis egy párhuzamos húzható.
 

1. ábra
Bolyai Farkas (1775, Bolya–1856, Marosvásárhely) elszegényedett nemesi családból származott. Nagyenyeden tanult, majd mint báró Kemény Simon házitanítója, vele együtt a kolozsvári Református Kollégiumba iratkozott be (1790). Érettségi után németországi tanulmányútra indultak. 1796-ban beiratkoztak a göttingeni egyetemre. Életre szóló és félszázados levelezésben megnyilvánuló barátságot kötött az ugyancsak ott diákoskodó Gauss-szal. Visszatérve elõször Domáldon, az anyai birtokon gazdálkodott, majd 1804-tõl kezdve 47 éven át a marosvásárhelyi Református Kollégium tanáraként mûködött mint a matematika, a fizika és a kémia tanára. 1832-ben a Magyar Tudós Társaság (a Magyar Tudományos Akadémia elõdje) tagjai közé választotta az Aritmetica eleje (1830) címû magyar nyelvû tankönyve és szépírói tevékenysége alapján. Fõ munkájának kissé hosszú a címe: Tentamen iuventutem studiosam in elementa mathesos purae, elementaris ac sublimioris methodo intuitiva, evidentiaque huic propria, introducendi, cum appendice triplici (1–2., 1832–1833). Ezt a könyvet csak mint Tentament szokás idézni. Legfõbb nevezetessége az, hogy az elsõ kötet Appendixként tartalmazza Bolyai János alapvetõ dolgozatát. Ezzel kissé háttérbe szorulnak Bolyai Farkasnak a Tentamenbe összegyûjtött matematikai eredményei. „Korának egyik legelsõ, hazájának pedig eddigelé legnagyobb matematikusa volt”. Bár mint azt fiához írt levelébõl is tudjuk, sok fölös energiát pazarolt a párhuzamossági posztulátum bizonyítására, viszont eredményeket ért el az egyenletek közelítõ megoldása terén, sorok konvergenciájára egy új kritériumot adott meg (Raabe-féle kritérium). Eredeti a sokszögek átdarabolhatóságára vonatkozó tétele is.
    Bolyai Farkas tehetségét bõkezûen pazarolta a legkülönbözõbb témákra. Drámákat is írt – Pintér Jenõ nagy irodalomtörténete is megemlíti. Úgy tûnik, hogy itt legnagyobb eredménye az, hogy Kisfaludy Károlynak ötletet adott egyik legjobb drámájának megírásához. Hat idegen nyelvet ismert, köztük a hébert is. Foglalkozott zenével, festészettel, filozófiával is. Erdélyben híresek voltak kályhakonstrukciói. Egy levele szerint camera obscura segítségével képet tudott rögzíteni (dagerrotípia).
 
 

A vita, hogy ez a posztulátum felesleges-e, mert a többibõl levezethetõ, vagy szükséges, és akkor valóban posztulátumként kell elfogadnunk, már az arab tudósok körében felvetõdött, a végleges megoldás elõtt már többen foglalkoztak a kérdéssel intenzíven. Ezek között olyan neveket találunk, mint Saccheri (1735), Lambert (1766), Schweikart (1818), Taurinus (1825). Az axióma szükségességét legtöbben úgy kísérelték meg igazolni, hogy azt a tagadásával helyettesítették, és ezáltal ellentmondáshoz igyekeztek jutni, amit hibás bizonyítással sok esetben el is értek. Lényegében ezt az utat követte Bolyai Farkas (1. ábra) is. Ebbeli sikertelensége annyira letörte, hogy fiának tartott leckéi alkalmával igyekezett kikerülni ezt a problémát. Meg akarta kímélni a gyötrelmes és eredménytelen munkától. Bolyai János (2. ábra) azonban apjának elejtett néhány kijelentésébõl tudomást szerzett e két évezrede vajúdó kérdésrõl. Amikor késõbb János értesítette, hogy õ is foglalkozik a párhuzamosok problémájával, Farkas nagyon megijedt. Ezt írja 1820. április 4-én kelt levelében.
 

2.a ábra
Bolyai Jánosról nem maradt arckép. Az egyetlent a hagyomány szerint õ maga semmisítette meg. Így egy emléktábla részletét mutatjuk, amelyen román, magyar, német, szerb és angol nyelven szerepel az itt kézírásban ábrázolt mondat. A képlet az új geometria egy lényeges állítását mutatja (Temesvár, Toró Tibor).
Bolyai János (1802, Kolozsvár–1860, Marosvásárhely) Bolyai Farkas fia. Matematikai adottságai korán megmutatkoztak és atyja vezetésével igen gyorsan haladt. Már négyesztendõs korában több geometriai testet ismer, csak úgy játékból; tud egyet-mást a körrõl, az ellipszisrõl, sõt a szinuszról is. Apja mindent szemléltet: a síkbeli alakokat papirosból, a geometriai testeket burgonyából vágja ki maga a gyermek. A síkbeli összefüggéseket követi a térbeli is: Hi Táti! Mit kaptam – kiált föl örömében, még ötéves kora elõtt, burgonyát aprítva –, pityóka arcusnak pityóka sinussát! És helyes volt a megállapítás, teszi hozzá büszkén a professzor apa (Dávid Lajos [6]).
    Tizenkét éves korában felvették a marosvásárhelyi Református Kollégiumba, mindjárt a negyedik osztályba. Érettségi után 1817-ben atyja barátja, Gauss mellett szeretett volna továbbtanulni. Ez a terv kútba esett, így 1818-ban, tizenhat évesen a bécsi Császári és Királyi Hadmérnök Akadémiára jelentkezett, ahol szintén rögtön a negyedik évfolyamra vették fel. 1822-ben végzett, majd alhadnagyként 1823-tól Temesváron teljesített szolgálatot. A Temesvártól Lembergen át Olmützig terjedõ szolgálati helyek, az alhadnagyból a másodosztályú kapitányig terjedõ rendfokozatok után 1833-ban kérte rokkant-nyugdíjaztatását. Közben 1823-ban Temesvárról küldte a ma már szállóigévé nemesedett mondatot. 1825-ben atyjának, 1826-ban parancsnokának átadta eszméi kidolgozását (ezek a kéziratok mindmáig nem kerültek elõ). 1830-ban átadta atyjának az Appendix latin nyelvû kéziratát, amely végül 1832-ben mint a Tentamen elsõ kötetének függeléke meg is jelent. Hazatérve 1846-ig Domáldon gazdálkodott, 1834-tõl élettársával, kibédi Orbán Rozáliával, akit minthogy a katonatisztek számára elõírt kauciót nem tudta elõteremteni, csak 1849-ben tudott feleségül venni. (1852-ben elvált tõle.) Bolyai János magányosan, mindenkitõl elhagyatva halt meg, jeltelen sírját késõbb nagy nehézségek árán sikerült azonosítani.
    Bolyai János legismertebb, természetesen legjelentõsebb munkája az Appendix, de igen sok értékes, korát meghaladó gondolatok rejtõzhetnek a még teljesen fel nem dolgozott kézirathagyatékában. Az elmúlt évek tudománytörténeti szenzációja volt Bolyai János kutatási eredményeinek felmutatása az algebrában és a számelméletben (Matematikai kincsek Bolyai János hagyatékából). A Responsio 1848-ban egy pályázatra beküldött kidolgozott munka: ebben (Hamiltonnal egy idõben, tõle függetlenül) megalapozza a komplex számok fogalmát. Kézirataiból az is kiolvasható, hogy megsejtette a gravitációs erõtér és a geometriai tér szerkezetének szükségszerû kapcsolatát. Élete végén egy mindent átfogó filozófiai rendszer kiépítésén fáradozott. Ebbõl az „Üdvtanból” csak gondolattöredékek maradtak fenn.
    Bolyai János eredményei csak lassan jutottak az általános ismertség, elismertség, majd a világhír fokára. Ebben a tevékenységben a magyar tudóstársadalom – szégyenszemre – nem jeleskedett (3. levél).
    A Gauss-hagyaték feldolgozásánál (1856) gyakran találkoztak a Bolyai névvel. Richard Baltzer 1867-ben megjelent tankönyvében már részletesen tárgyalta a Bolyai–Lobacsevszkij-geometriát. 1867-ben az Appendix megjelent franciául, 1868-ban olaszul is.

2.b ábra
Iskoláskönyvekben, lexikonokban, intézmények falán – még a Tudományos Akadémia falán is – gyakran szerepel, mint Bolyai János arcmása az a kép, amely 11. ábránkon látható, jóllehet sokan határozottan tagadják hitelességét.
    Ugyanakkor viszont érthetô, hogy mások nem akarnak belenyugodni abba, hogy a legnagyobb magyarnak, a világ egyik legnagyobb matematikusának vonásai teljesen ismeretlenek legyenek számunkra és az utókor számára. Ezért többen megkíséreltek különbözô információk alapján rekonstruálni egyebek között a csodálatos intellektust tükrözô, de mégis bizonyos hihetô vonásokat is felmutató arcot. Zsigmond Attila marosvásárhelyi festômûvész azt a "legendát" használta ki, hogy Bolyai János hasonlított Klapka György honvéd tábornokhoz, de a képbe igyekezett beledolgozni egyebek között Bolyai János fiának, Bolyai Dénesnek arcvonásait is. Egy ilyen festmény éppúgy meg tudja mozgatni képzeletünket, mintha hiteles lenne. (Weszely Tibor közlése)
 

A parallelákat azon az útan ne próbáld: tudom én azt az utat is mind végig – megmértem azt a feneketlen éjszakát én, és az életemnek minden világossága, minden öröme kialudt benne – az Istenért kérlek! hagyj békét a parelléláknak – úgy irtózz tölle, mint akármicsoda feslett társalkodástól, éppen úgy megfoszthat minden idõdtõl, egésségedtõl, csendességedtõl s egész életed boldogságától… Tanulj te az én példámon; én a parallélákat akarva megtudni, tudatlan maradtam, életem s idõm virágját mind az vette el.

János azonban elindult ezen az úton és már 1823-ban jogos büszkeséggel írhatta „ a semmibõl egy ujj más világot teremtettem” (3. ábra).

3. ábra
Bolyai János atyjának címezett, Temesváron 1823. november 3-án kelt levelének részlete. Ebben tudatja atyjával, hogy meglelte a helyes utat.
A feltételem már áll, hogy mihelyt rendbe szedem, elkészítem, s mód lesz, a parallelákról egy munkát adok ki; ebbe a pillanatba nincs kitalálva, de az az út, melyen mentem, csaknem bizonyosan ígérte a cél elérésit, ha az egyébiránt lehetséges; nincs meg, de olyan felséges dolgokat hoztam ki, hogy magam elbámultam, s örökös kár volna elveszni; ha meglátja Édes Apám, megesmeri; most többet nem szóllhatok, csak annyit: hogy semmibõl egy ujj más világot teremtettem; mindaz, valamit eddig küldöttem, csak kártyaház a toronyhoz képest. Meg vagyok gyõzõdve, hogy nem sokkal fog kevesebb becsületemre szolgálni, mintha feltaláltam volna. Választ várva vagyok örökös háládatossággal tisztelõ fia.
 
 

Nyomtatásban munkája 1832-ben édesapja Tentamen c. mûvének függelékeként jelent meg, melynek címe: Appendix. A tér abszolút igaz tudománya. A XI. Eukleidész-féle axióma (a priori soha el nem dönthetõ) helyes vagy téves voltától független tárgyalásban: annak téves volta esetére a kör geometriai négyszögesítésével.

Az Appendix különlenyomatként már 1831 tavaszán megjelent, melybõl egy példányt még azon év júniusában Farkas Gaussnak is elküldött (4. ábra).
 
 
 

4.a ábra
Az Appendix címoldala		 4.b ábra
Az Appendix elsõ oldala


4.c ábra
Az Appendix ábralapja


 


5. ábra
Az ábralap elsõ ábrájának
(Fig. 1) kinagyított alakja

Bolyai Jánossal egy idõben Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij (1792–1856) is hasonló eredményekhez jutott. Az orosz szerzõk a nemeuklideszi geometria születésének dátumát 1826. február 11(23)-re(a) teszik, amikor Lobacsevszkij a kazanyi egyetem fizikai–matematikai részlegének ülésén ismertette gondolatait. „Magának az elõadásnak a szövege nincs meg, csak a címe ismert. A francia nyelvû szövegcím (Exposition succinte des principes de la géométrie avec une demonstration rigoureuse du théoréme des parallèles) azonban kétértelmûséget sugall, mivel úgy is érthetõ, hogy Lobacsevszkij ekkor még csak az euklideszi posztulátum bizonyításán fáradozott” (Weszely Tibor közlése). Részletesen kifejtve az érett gondolatok 1829-ben láttak napvilágot. Lobacsevszkij ekkor a kazanyi egyetem rektora volt. A tudóstársadalom ennek ellenére az õ eszméit is csak nehezen fogadta be, élete végéig harcolt mûve elismertetéséért.

Gausst szintén izgatta a kérdés. Bolyai Farkasnak küldött (1. levél), Bolyai Jánost mélyen elkeserítõ levelében azt írja, hogy lényegében mindahhoz eljutott, amihez Bolyai János. Gauss hagyatékában talált feljegyzések némileg alátámasztják ezt a – majdhogynem prioritási igényt. „Gauss azonban élete végéig egyetlen sort sem közölt nyomtatásban ilyen irányú gondolatairól.” Mindezek alapján az új geometriát tárgyilagosan Bolyai–Lobacsevszkij-geometriának nevezhetjük. Használatos a hiperbolikus geometria kifejezés is, mert a sík, vagy szférikus geometria trigonometrikus függvényei helyett a hiperbolikus függvények szerepelnek az egyes képletekben.

Lobacsevszkij mûve 1840-ben megjelent Berlinben Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien címen. A két Bolyai – bár ennek létezésérõl 1844-ben tudomást szerzett – csak 1848-ban kapta kézhez. Bolyai János érthetõ fenntartással, sõt gyanakvással kezdte el olvasni, de megismerve azt, szinte a csodálat hangján beszélt róla… „én örömest megosztom a találói érdemet”.

Azt természetesnek kell tartanunk, hogy az Appendixet a párhuzamosság definíciójával kezdi: az elsõ paragrafus és a hozzá tartozó ábra errõl szó. Az 5. ábrán kinagyítottuk az ábralap Fig.1. rajzát (önkényesen az olvashatatlan m és n betûket az ábralapból kivágott betûkkel pótolva).

Íme a definíció.

Ha az am egyenest nem metszi ugyanezen sík bn egyenese, viszont metszi bármely bp (az abn [szögtartományban]), akkor ezt így jelöljük: bn III am. Világos, hogy az am egyenesen kívüli bármely b pontból húzható ilyen bn egyenes, de csak egyetlen, továbbá bam + abn nem > 2R.

Amikor az Appendix olvasásakor eddig jutott az 1830-as években egy jóindulatú érdeklõdõ matematikus, de akár mi magunk is, az euklideszi geometrián nevelkedett elménk és mindennapi szemléletünk azonnal tiltakozni kezd: ha a bp egyenes metszi az am egyenest, miért ne metszené a szintén felé hajló bn egyenes?!

Mint látjuk, Bolyai János nem egyenesekre, hanem irányított félsugarakra értelmezi a párhuzamosságot. Kissé másként fogalmazva: a bn irányított félegyenesrõl akkor mondjuk, hogy párhuzamos az am irányított félegyenessel, ha bn a félsugaraknak b körüli forgása közben elõálló elsõ olyan félegyenes, amely már nem metszi am-et.

Az euklideszi geometriában azért bízunk, sõt szeretjük, mert logikailag ellentmondásmentesen felépíthetõ apriori ismeret, ugyanakkor a valóságra is vonatkozik. Az apriori szintetikus ítéletek létezésének szemléletes bizonyítéka. Ha akarom, tételeit kísérletileg igazolom, megmérhetem a derékszögû háromszög oldalait és úgy találom, hogy azok engedelmeskednek Pitagorasz tételének. Körzõvel, vonalzóval 17 oldalú sokszöget is szerkeszthetek, szabályos testeket fabrikálhatok.

Utólag, a mából visszatekintve inkább azon csodálkozhatunk, hogy miért nem tûnt fel már az ókori gondolkodóknak az euklideszi geometria ennyire szoros kötõdése a való világunkhoz, és annak idején is tudván, hogy a való világ bonyolult, annak csak kis szegmensét ismerjük, és így talán az euklideszi geometria is ezen világ kis szegmenséhez simul és a bonyolultabb világkép bonyolultabb geometriát igényel. Egy primitív, majdhogynem mindennapi példa. Húzzunk egy (kellõ hosszúságú) egyenest, emeljünk mindkét végpontjában egy-egy merõleges egyenest. Rögtön rávágjuk: ezek párhuzamosak. Csak a végtelenben találkoznak.
A valóságban nem ez a helyzet: kiinduló egyenesünk legyen ugyanis a jelen példánkban egy szélességi kör egy kis darabkája, és a merõlegesek egy-egy meridián kör részei – az Északi-sarkon találkoznak. A gömbfelület kis tartományában (mihez képest kicsi?) az euklideszi síkgeometria érvényesül, de az egész gömbfelületre már a tételek nem érvényesek. Mégsem idegenek ezek a törvények, mert szemléletes modellen bemutathatók, szemléltethetõk és még a valósággal való kapcsolatát is látjuk. A nemeuklideszi geometriát is igazán csak akkor értette meg és fogadta el a tudóstársadalom, amikor törvényszerûségeit szemléletes modelleken lehetett bemutatni.


6. ábra
Két állandó Gauss-görbülettel bíró felület: a gömb és az érthetôen pszeudoszférának nevezett felület. Ez utóbbinak görbülete ugyanis negatív K = –1/d2. Ez a felület úgy áll elô, hogy a traktrixot (vontatási, vagy üldözési görbe) az y tengely körül forgatjuk. A görbe elnevezésérôl: vontassuk az M pontból induló hajót az y tengelyen haladva egy állandó hosszúságú d kötéllel, akkor a hajó ezt a görbét írja le. Vagy: meneküljön egy nyúl az y tengely mentén az ôt üldözô, M-bôl induló kutya elôl, miközben kettejük között a távolság állandó. A minden idôpillanatban a nyúl irányában futó kutya pályája az adott görbe.
Az ábrán feltüntettük az ívelem négyzetének kifejezését (a felület Riemann-metrikáját). Látjuk, hogy a pszeudoszféra kifejezésben lényegében a sin —> jsh helyettesítést kell elvégezni (j=). Ha ez a kifejezés ismeretes, minden felvetett kérdésre válasz adható.
 
 

A 8. és 9. ábra két, az euklideszi síkjában ábrázolható modellt mutat, amelyekkel egyúttal a Bolyai–Lobacsevszkij-geometria ellentmondás-mentességét is igazolni lehet.

Elõbb azonban meg kell említenünk a Beltrami-féle modellt. Beltrami 1868-ban azt vizsgálta, hogy létezik-e a háromdimenziós euklideszi térben olyan felület, amelynek belsõ geometriája, tehát a felületen magán, a háromdimenziós beágyazástól függetlenül ûzhetõ geometria, konkrétabban, hogy a kétdimenziós „tér” ds2 íveleme, amely éppen meghatározza ezt a geometriát, azonos felépítésû-e, mint a hiperbolikus geometria ds2 kifejezése. Úgy találta, hogy a vontatási görbe (traktrix) tengely körüli forgatásával nyert felület éppen ilyen felület (6. ábra). Az egyeneseknek a geodétikus vonalak, a szögnek ezen vonalak alkotta szög, a távolságnak a geodétikus ívhossz felel meg. Minthogy azonban a hiperbolikus sík egy része (nem a teljes) a pszeudoszféra egy részén ábrázolható, ezzel az új geometria ellentmondás-mentességének bizonyítása kívánnivalót hagy maga után (7. ábra).
 
 
 

7. ábra
A Bolyai–Lobacsevszkij-geometria konkrét eredményeihez, trigonometriai összefüggésekhez, kerület-, területszámítások képleteihez legegyszerûbben úgy jutunk, ha tudomásul vesszük, hogy ezen geometria – kétdimenziós esetben – azonos a pszeudoszférán ûzhetõ geometriával. Így adódnak ki az itt felírt eredmények, vagy a „kör” kerületének meghatározása a sugár ismeretében:

                      ,

vagy a kör terület (S) fent leírt képletei.
A kör kerületének képlete, ha kr<1 (vagy a görbület, vagy r kicsi) így alakul:


8. ábra
a) A Bolyai-Lobacsevszkij-geometria Klein-(Cayley–Klein-) modellje.
A kör pontjai nem tartoznak a nemeuklideszi síkhoz (balra).
b) A Poincaré-modell-származtatás a Klein-modellbõl (jobbra).


A Klein-modellben (8. ábra) az euklideszi sík egy körének belsõ pontjait tekintjük a hiperbolikus geometriai sík pontjainak (maga a kör tehát nem tartozik a Bolyai–Lobacsevszkij-síkhoz). Ezen kör végpontjuktól megfosztott húrjait nevezzük az új geometria egyeneseinek, az egyenes M és N pontjainak távolsága pedig legyen

d(MN) = ln (MV/MU · NU/NV).

 
Ahol MV, MU, NU, NV a megfelelõ szakaszok közönséges hosszát jelentik. (Az itt szereplõ kettõsviszony jelentõsége abban áll, hogy az elsõfokú projektív transzformációnál ennek értéke nem változik.) Ez a távolságdefiníció minden, a távolságfogalomtól elvárható tulajdonsággal rendelkezik:
d(MM)=0; d(MN)>0;
d(MN)+d(NP)=d(MP), ha MNP egy egyenes (vagyis a kör húrjának) három pontja és
d(MN)+d(NP)>d(MP), ha a három pont nem fekszik egy egyenesen (háromszögtétel);
könnyen belátható, ha az M pontot rögzítjük az UV húron, N pedig közeledik a V ponthoz, a távolság végtelenhez tart, tehát a kör kerületének pontjai végtelen távoliak (d(MN)—>¥).

Az ábrából leolvashatjuk, hogy az e egyenesen kívül fekvõ P ponton keresztülmenõ a egyenesnek nincs közös pontja az e egyenessel (a körön fekvõ pontok nem tartoznak a Bolyai–Lobacsevszkij-síkhoz!). De nincs közös pontja a b egyenesnek sem, sõt a p és q egyeneseknek sem, így az e egyenessel végtelen sok párhuzamos húzható.

A Poincaré-modellhez (1882) a Klein-modellbõl úgy jutunk (8.b ábra), hogy a h kör fölé egy félgömböt rajzolunk, a P pontot felvetítjük erre a gömbre, majd az így kapott P1 pontot visszavetítjük a síkra egy, a gömb másik pólusából húzott egyenes segítségével (sztereografikus projekció). A P ponton átmenõ q egyenesbõl a gömbön félkör lesz, amely a visszavetítésnél egy körívbe megy át. Ezek a körívek felelnek meg a Bolyai–Lobacsevszkij-sík egyeneseinek. A származtatásból az is következik, hogy ezek a körívek merõlegesek a h körre. Ezen körívek (a Bolyai–Lobacsevszkij-geometria egyenesei) metszésénél mérhetõ (euklideszi szögek a Bolyai–Lobacsevszkij geometria egyeneseinek szögét adják.
 
 

9. ábra
a) A Bolyai–Lobacsevszkij-geometria Poincaré-modelljében az egyenesek a határoló kört merõlegesen metszõ körívek alakjában jelennek meg (balra).
Az s p q egyenesek által képezett ABC háromszög belsõ szögeinek összege szemmel láthatóan kisebb 180o-nál. Az e egyenesen kívül fekvõ P ponton keresztülmenõ a, b egyenesek párhuzamosak ezzel az e egyenessel. De párhuzamos vele minden, az a, b-egyenesek által alkotott, az ábrán sötétebbre rajzolt szögtartományba esõ egyenes is.
b) Maurits Cornelis Escher (1898–1972) holland grafikus így ábrázolja a Bolyai–Lobacsevszkij-síkgeometria Poincaré-modelljét (jobbra). A sík egyenesei (a kerületre merõleges körívek) mint az „egybevágó” halacskák sorakozó vonalai láthatók.
 
 

A 9.a ábrán a háromszög viszonyaival, továbbá a párhuzamos egyenesekkel ismerkedhetünk a Poincaré-modellben.

A 9.b ábra a mûvész vízióját mutatja errõl a különös világról.

A Bolyai–Lobacsevszkij-geometriát azzal igyekeztünk az elõzõekben az euklideszi geometriához szokott szemléletünk és gondolkodásmódunk számára elfogadhatóvá, érthetõvé tenni, hogy modelleket alkalmaztunk. Ezek a modellek azonban idõben is, fogalmilag is túllépnek a Bolyai–Lobacsevszkij-geometrián. A pszeudoszféra felületén ûzhetõ geometria például egy speciális esete a Riemann-geometriáknak. Bernhard Riemann Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen (1854) c. munkájában a különbözõ ívelemhosszal (ds2=Sgikdxidxk) megadott geometriákat vizsgálja tetszés szerinti dimenziókra általánosíthatóan. A fizikai terek elmélete, a gravitációs tér elmélete ezt a geometriát használja. Ebben a felfogásban a Bolyai–Lobacsevszkij-geometria az állandó negatív görbületû felület, a ds2=du2–sh2kudv2  Riemann-metrikával meghatározott felületen ûzhetõ geometria.

Felix Klein az „Erlanger Programm”-ot meghatározó munkájában (Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen 1872) azt állítja, hogy minden geometria egy meghatározott transzformációs csoporthoz tartozó invariánsok elmélete. Ebben a felfogásban a Bolyai–Lobacsevszkij-geometria az

egyenletekkel meghatározott projektív transzformációk invariánsainak vizsgálatát jelenti. Pontosabban annak egy speciális esete: azok a transzformációk jöhetnek számításba, amelyek egy kör kerületi pontjait ugyancsak kerületi pontokba viszik át.
 

4.2.2 Levelek. Részletek az Üdvtanból

Természet Világa,
2001. I. különszám,
második, bõvített kiadás		 Simonyi Károly: A magyarországi fizika kultúrtörténete (XIX. század)
http://www.chemonet.hu/TermVil/
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/
Vissza a tartalomjegyzékhez