Magyar származású matematikusok hozzájárulása a matematika fejlõdéséhez

Elõzõ rész

Századunkba lépve térünk át azokra a matematikusokra, akik a múlt század nyolcvanas-kilencvenes éveiben születtek, s így tudományos munkásságuk a századforduló után indult meg. Nehéz volna megítélni, hogy véletlen folytán-e, de mindenesetre figyelemre méltó, hogy e tudósok csoportja milyen népes, s hogy milyen magas színvonalat képvisel.

  A sort Riesz Frigyes (1880–1956) nyitja meg, s egyben a magyar matematika történetének egyik fénypontját is képviseli. ’ nem meghonosít tudományágakat, hanem megteremti õket. Elsõ világsikert jelentõ felfedezése 1907-bõl származik, az osztrák E. Fischerrel csaknem egy idõben közölt Riesz–Fischer-tétel. Ennek magva az a felismerés, hogy a függvények között alkalmas módon definiálva az összeadás, a számmal szorzás és a skaláris szorzás mûveletét, a függvények (pontosabban szólva egy meghatározott, de igen bõséges osztályuk) ugyanúgy viselkednek, mint a vektorok. E gondolat jelentõségét Riesz Frigyes rögtön felismerte, sokoldalúan továbbfejlesztette, s ezzel – M. Fréchet-vel és S. Banachhal együtt – megalapítójává vált a ma funkcióanalízisnek nevezett, az algebra, az analízis és a geometria módszereit magában egyesítõ hatalmas elméletnek. Alig néhány év múlva az elmélet egy ágának elsõ monográfiáját is megírta, ebben többek között bemutatva módszerének hatékonyságát az integrálegyenletek elméletében. Ekkor, a század tízes éveiben, már a kolozsvári egyetem professzora, majd munkásságát 1920-tól Szegeden folytatja, míg 1946-ban a budapesti tudományegyetemre kap meghívást. Nem kis része van abban, hogy a két háború között Szegeden újabb virágzó matematikai centrum alakul ki. Szegedi évei alatt újabb és újabb eredményekkel gazdagítja a funkcionálanalízist, a nézõpontot egyre általánosabb síkra emelve, s eljutva ahhoz az absztrakt térfogalomhoz, amelyet ma Riesz-térnek neveznek. De nemcsak az egyre növekvõ általánosság irányában fejleszti az elméletet, hanem gondja van a legfontosabb konkrét esetekre is, s eközben páratlanul elegáns módszereket dolgoz ki a funkcionálanalízis vizsgálta függvényterekben felhasznált mérték- és integrálfogalom felépítésére. Egy élet legfontosabb eredményeit foglalja össze Szõkefalvi-Nagy Bélával közösen írt “Leçons d'analyse fonctionnelle” címû, 1953-ban megjelent monográfiájában, amelyet rövidesen számos más nyelvre is lefordítanak. E fõ terület mellett mélyreható eredményekkel gazdagította az analitikus függvények elméletét, megalkotta a szubharmonikus függvények elméletét mint a potenciálelméletnek egy sajátságos általánosítását, és jelentõsen hozzájárult az ergodelmélet alapjainak lerakásához; munkamódszerére jellemzõ, hogy mély ergodelméleti eredményei voltaképpen annak az igen elemi és szemléletes segédtételnek alkalmazásai, amelyet a monoton függvények nullamértékû halmaz kivételével való differenciálhatóságát kimondó Lebesgue-féle tétel bizonyításának egyszerûsítése végett alkotott meg. Az analízis említett fejezetein kívül néhány dolgozatot a topológiának is szentelt; egy ilyen irányú fiatalkori fogalomalkotása csaknem fél évszázad múlva talált elsõsorban szovjet matematikusok között követõkre. Az egész világ matematikusainak véleményét foglalták össze a Szovjetunió Tudományos Akadémiájának Riesz Frigyes hetvenedik születésnapjára küldött üdvözlõ sorai: “Kétségtelen, hogy Ön egyike a matematikai gondolkodás legnagyobb élõ mestereinek”.
 
 

Fejér Lipót, Tangl Károly, Riesz Frigyes... Mátra- házán (Radnai Gyula  gyûjteményébõl)

  Riesz Frigyes születését alig néhány héttel követte Fejér Lipóté (1880–1959). Elõször õ is a kolozsvári egyetemen lett professzor, de rövid idõ múlva Budapestre kapott meghívást, s ezzel a budapesti tudományegyetem elsõ valóban világhírû matematikatanára lett, aki csaknem fél évszázadon át kiválóbbnál kiválóbb tanítványok tucatjait nevelte fel. A világhírt már egyetemi hallgató korában kiérdemelte. Budapesti tanulmányait egy Berlinben töltött évvel megszakítva, ott H. A. Schwarz szemináriumán hallott a matematikai fizikában oly nagy szerepet játszó Dirichlet-féle problémának a Fourier-sorok segítségével való megoldási lehetõségérõl. A probléma olyan, a körlemezen és kerületén folytonos függvény keresését jelenti, amely a kör belsejében harmonikus (tehát eleget tesz a Laplace-féle parciális differenciálegyenletnek), és értékei a kerületen elõ vannak írva. A megoldás módszere abban állna, hogy a kerületen elõírt folytonos függvényt mint a középponti szög függvényét Fourier-sorba fejtjük; ha ez a sor konvergens volna, akkor egy Abel-féle tételbõl következnék, hogy a Poisson-féle integrálképlet megadja a keresett harmonikus függvényt. Csakhogy, mondta Schwarz, ez az út nem járható, mert akkoriban találtak olyan folytonos függvényt, amelynek Fourier-sora nem mindenütt konvergál. Berlinbõl hazatérve Fejér rövid idõ alatt rájött, hogy a módszert meg lehetne menteni, ha Abel tétele helyett az erõsebb Frobenius-féle tételt lehetne felhasználni. Ehhez azt kellene tudni, hogy egy folytonos függvény Fourier-sorának, ha a részletösszegei nem is, de legalább a részletösszegek számtani középértékei konvergálnak a függvényhez; ezt pedig egészen kevés (és igen ügyes) számolással sikerült is megmutatnia.

  Ebben a klasszikus Fejér-féle tételben tehát nem a felhasznált módszerek bonyolultsága, hanem a régi probléma újszerû megoldása – s tegyük hozzá, a sokoldalú alkalmazhatóság – jelentette a lényeget. Fejér további munkáiban maga is továbbfejlesztette eredményét, de figyelmét kiterjesztette az analízis más fontos fejezeteire is. Így eredményei az interpoláció elméletében alapvetõk, ahol leglényegesebb az a felismerése volt, hogy a legegyszerûbb Lagrange-féle eljárás rossz viselkedése jelentõsen jobbá válik, ha az Hermite-féle eljárásra térünk át. Hasonló tehát a helyzet a Fourier-sorokéhoz, ahol a részletösszegek helyébe kellett számtani középértékeiket tennünk, hogy jobban viselkedõ sorozatot nyerjünk. Kiemelkedõk Fejér eredményei a komplex függvénytanban is; közülük legismertebb a konform leképezések alaptételének Riesz Frigyessel együtt kidolgozott klasszikussá vált bizonyítási módszere. Fejér Lipót páratlanul szuggesztív egyénisége, a problémákat minden oldalról alaposan elemzõ munkamódszere olyan mély hatást gyakorolt környezetére, hogy a két világháború közötti idõszakban a budapesti tudományegyetemen a matematika jóformán egyet jelentett Fejér kutatási területével. Hatása alól azok sem tudták magukat kivonni, akik végül más irányban haladtak tovább.

  A nyolcvanas években született a harmadik szellemóriás, aki Riesz Frigyessel együtt Kolozsvárról került Szegedre, s vele együttmûködve alapította meg a szegedi matematikai iskolát. Haar Alfréd (1885–1933) is az analízis területét mûvelte, mégpedig fõként három kérdéskörben. Korai munkái az ortogonális függvényrendszerek elméletéhez kapcsolódnak; e rendszerek történetileg legrégebben fellépett klasszikus példái (a trigonometrikus rendszer, az ortogonális polinomrendszerek) az alkalmazásokban mutatott jelentékeny szerepük ellenére sok szempontból elõnytelenül viselkednek (amire a Fourier-sorok kapcsán az elõbb céloztunk is). Haar ismerte fel, hogy a függvények folytonosságát feláldozva, szakaszonként állandó függvényekbõl lényegesen elõnyösebb tulajdonságú ortogonális rendszerek alakíthatók ki, olyanok, mint pl. az éppen róla elnevezett Haar-rendszer. Figyelme késõbb a variációszámítás felé fordult, s ebben klasszikussá vált segédeszközöket fedezett fel. Korai halála elõtti utolsó, s valamennyi között talán legnagyobb eredménye annak a felfedezése volt, hogy a trigonometrikus ortogonális rendszer felépítésében alapvetõ az a tény, hogy a körív hosszúsága a körvonal forgásaival szemben invariáns mértéket ad; ehhez hasonlóan bármely lokálisan kompakt topologikus csoportban értelmezhetõ a csoportmûvelettel szemben invariáns mérték. A klasszikus harmonikus analízisnek az a mélyreható általánosítása, amelyben a körív hosszúságának a szerepét ez a Haar-féle mérték veszi át, az ún. absztrakt harmonikus analízis, már Haar halála után fejlõdött ki s vált a mai analízis egyik legszebb ágává.
 

  Kolozsvár és Szeged volt a mûködési területe Szõkefalvi-Nagy Gyulának (1887–1953) is, aki elsõsorban a geometria különbözõ ágaiban ért el jelentõs eredményeket. A Budapesti Mûszaki Egyetemen tanított Szûcs Adolf (1884–1945), a variációszámítás eredményes mûvelõje, valamint Kõnig Dénes (1883–1944), Kõnig Gyula fia, aki a látszólag rendkívül elemi kérdéseket vizsgáló, de megoldásukhoz annál több mély matematikai ötletet igénylõ gráfelméletnek volt az elsõ hazai mûvelõje; e tudományág világviszonylatban elsõ monográfiájának õ a szerzõje.

Szegõ Gábor és Pólya György (Berlin, 1925)

E matematikusokat olyan nagy számban produkáló évtized szülöttei között nem kevés volt, aki századunk elsõ felének hazai kultúrpolitikai viszonyai között nem talált itthon munkaterületet, és vagy tanulmányai után közvetlenül, vagy rövidebb-hosszabb itthoni mûködés után külföldre távozott. Csak röviden említjük meg közülük elsõ helyen Kármán Tódort (1881–1963), akinek a fõ munkaterülete, amelyben világhírt ért el, a hidro- és aerodinamika, de e vizsgálataival kapcsolatban határozottan matematikai jellegû eredményei is vannak a parciális differenciálegyenletek numerikus integrálása területén. Dienes Pál (1882–1952) középiskolai munkássága után 1919-ben nyert volna debreceni egyetemi tanári kinevezést, de a Tanácsköztársaság bukása után baloldali magatartása miatt el kellett hagynia az országot, s Angliában telepedett le. Az analitikus függvények s mindenekelõtt a hatványsorok elméletének volt kiváló mûvelõje s monográfiaírója. Pólya György (1887–1985) korán külföldre távozott és Svájcban, majd az Amerikai Egyesült Államokban mûködött. Az analízis több területén, fõként a komplex függvénytanban, valamint a valószínûségszámításban elért számottevõ eredményei, az egyenlõtlenségekrõl Hardyval és Littlewooddal közösen írt monográfiája mellett a legnagyobb hatást a matematika tanulását és oktatását elõsegítõ könyvei gyakorolták. Az analízis sok fejezetét teljesen egyedülálló módon, feladatkitûzés formájában feldolgozó, Szegõ Gáborral közös könyve fogalommá vált, s ugyancsak lenyûgöznek invenciógazdagságukkal a matematikai gondolkodás pszichológiájáról, a matematikai heurisztikáról írott végtelenül szellemes könyvei. Ezeket mindenkinek ismernie kell, aki matematikát oktat, akár az általános iskolában, akár az egyetemen. Fekete Mihály (1886–1957) itthon töltött nehéz évek, többszöri mellõztetés után 1928-tól a jeruzsálemi egyetem tanára lett. Fõként a hatványsorok elméletét mûvelte eredményesen; legismertebbek a síkbeli ponthalmaz transzfinit átmérõjének bevezetésével és tulajdonságainak vizsgálatával kapcsolatos munkái, de nevezetes sok további sorelméleti eredménye is.

  Az e generációból külföldre szakadt magyar matematikusok között (Kármán Tódort most nem számítva ide) kétségtelenül Riesz Marcell (1886–1969) futotta be a legfényesebb pályát. Bátyjával, Riesz Frigyessel együtt még egyetemi hallgató korában részt vett az 1908-ban tartott nemzetközi matematikai kongresszuson, s itt megismerkedett Mittag-Leffler svéd professzorral. Ismeretségükbõl 1911-ben svédországbeli meghívás jött létre, amelynek eredményeképpen Riesz Marcell végleg Svédországban maradt, néhány év múlva a lundi egyetem professzora lett, és ott kiváló tanítványok sorát nevelte fel. Túlzás nélkül elmondható, hogy századunk második felének legkiválóbb svéd matematikusai valamennyien az õ tanítványai. Munkásságát néhány fizikai tárgyú dolgozaton kívül teljesen az analízis különbözõ fejezeteinek szentelte. Foglalkozott a trigonometrikus sorok elméletével, de mindenekelõtt a komplex függvénytant ajándékozta meg rendkívül mély és nagy hatású eredményekkel. A hatványsorokkal sok tekintetben analóg, de jóval bonyolultabb szerkezetû Dirichlet-sorokról G. H. Hardyval együtt monográfiát is írt, és társszerzõje a század elején megindított (de soha be nem fejezett) nagy matematikai enciklopédia trigonometrikus sorokról írt fejezetének is. Legnagyobb hatású talán, a bátyjával közösen írt egyetlen cikke, amelyben sajátosan ötvözõdnek az analitikus függvények elméletének és a valós függvénytannak a módszerei. A cikk fõ témája annak a Fatou-tól származó nevezetes tételnek messzemenõ általánosítása, amely szerint egy körlemez belsejében korlátos analitikus függvénynek a kör kerületének pontjaiban, egy nulla mértékû halmazt kivéve, létezik a sugár mentén vett határértéke. A Riesz testvérek e cikke napjainkig szinte megszámlálhatatlan további eredmény forrása és alapja.

  Az 1890-es években születettek között elsõként a Budapesti Mûszaki Egyetem két kiemelkedõ professzorát említjük meg.

  Egerváry Jenõ (1891–1958) sokrétû munkásságában megtaláljuk a Fejér-iskola szokásos témáit (trigonometrikus sorok, analitikus függvények), geometriai témákat, determinánsok kombinatorikus tulajdonságait, de vizsgálatainak gerincét a matematikai fizika és a mûszaki tudományok különféle problémáiban fellépõ differenciálegyenletek megoldási módszerei jelentették (sokszor a közvetlen alkalmazásokig terjedõen); a matematikai segédeszközök terén különösen utolsó éveiben a mátrixelmélet eredményeire támaszkodott, így mátrixelméleti munkássága is jelentõs. Kõnig Dénes egy gráfelméleti tételének mátrixszámítási módszerekkel történõ bizonyítása volt a kiindulópontja annak az eljárásnak, amely azóta számos közgazdasági probléma megoldásában vált alapvetõvé, s a nemzetközi irodalomban a “magyar módszer” nevet viseli.

  Alexits György (1899–1978) nehéz pályakezdés, polgári, majd középiskolai tanári mûködés után ötvenéves korában kapott katedrát. Utolsó három évtizedét azonban fáradhatatlan s igen intenzív alkotó munka jellemezte. Fiatalabb éveiben többféle, így pl. topológiai kérdések is foglalkoztatták, e nagy alkotó periódust azonban teljesen az ortogonális függvényrendszerek szerinti sorfejtések elméletének szentelte. E kérdéskörnek szinte minden irányzatát gazdagította új eredményekkel; különösen kiemelkedik ezek közül az az általa kezdeményezett témakör, amely a szorzat alakú függvényekbõl álló ortogonális rendszerekre vonatkozik. Kiváló tanítványok egész sorát nevelte fel.

  Kerékjártó Béla (1898–1946) Szegeden, majd a budapesti tudományegyetemen volt professzor. Munkássága teljes egészében a topológia területére esik; egészen fiatalon írta meg a felületek topológiájáról szóló elsõ monográfiáját, s ezt a gazdag invencióval megírt, a halmazelméleti, geometriai, algebrai segédeszközök fölényes tudással kombinált alkalmazását bemutató munkák hosszú sora követte. E generációban megjelentek már Fejér Lipót tanítványai (bár Fejér hatása határozottan kimutatható pl. a nála alig néhány évvel fiatalabb Riesz Marcell munkásságában is). Némelyikük élete végéig várt hiába a felsõoktatásban való elhelyezkedés lehetõségére, mint Sidon Simon (1892–1941) vagy Csillag Pál (1896–1944), mások külföldre távoztak, mint Radó Tibor (1895–1967) vagy Szász Ottó (1899–1952). Valamennyien eredményesen fejlesztették tovább a Fejér mûvelte tudományágakat (trigonometrikus sorok, hatványsorok, analitikus függvények, interpoláció). A külföldön mûködõk közül külön említést érdemel Szegõ Gábor (1895–1985), aki Németországban, majd az Amerikai Egyesült Államokban tevékenykedett. Az analízis több fejezetét gazdagította, az ortogonális polinomrendszerekrõl írt monográfiája hihetetlen mennyiségû anyagot tár az olvasó elé. Számos eredménye s egy társszerzõvel írott monográfiája a matematikai fizika területéhez vezet át.

  A 19. században született magyar matematikusok sorát Rédei László (1900–1981) zárja le. A szegedi matematikai centrum tagjai között õ képviseli az algebrai kutatásokat; vizsgálatai az algebrai struktúráknak szinte minden fajtájára kiterjednek, így a félcsoportok, csoportok, gyûrûk, testek elméletét egyaránt intenzíven mûvelte. Hatása tanítványaira rendkívül erõs volt, s nagymértékben neki köszönhetõ, hogy ma hazánk az absztrakt algebrai kutatások egyik elismert gócpontja.

Folytatás