Magyar származású matematikusok hozzájárulása a matematika fejlõdéséhez

Elõzõ rész

A 20. században születettek névsorát olyan világnagysággal kezdhetjük, aki sokoldalúságával, páratlan alkotóerejével nemcsak a magyar születésûek között, hanem századunk valamennyi matematikusát beleszámítva is az elsõ helyek egyikét foglalja el. Neumann Jánosról (1903–1957) van szó, aki külföldi egyetemi tanulmányai után Fejér Lipótnál doktorált, s aztán rövid németországi és svájci mûködést nem számítva munkásságának túlnyomó részét az Amerikai Egyesült Államokban, a princetoni Institute for Advanced Study professzoraként végezte. Pályafutásának elsõ éveiben – már egyetemi hallgató korától kezdve – Neumann János figyelmét elsõsorban halmazelméleti problémák kötötték le, mégpedig nem is annyira a konkrét kérdések, mint inkább a halmazelmélet axiomatizálásának feladata. Ismeretes, hogy a Cantor-féle, ma “naiv”-nak nevezett halmazelméletben az alapfogalmak nem voltak kellõen körülhatárolva, emiatt ellentmondások léptek fel. Ezen a halmazelmélet axiomatikus felépítése segíthetett, amelyben pontosan körülírják, hogyan szabad halmazokat definiálni, ügyelve arra, hogy az antinómiákat kiváltó halmazok ne férkõzhessenek be a halmazelmélet épületébe. E munkát Zermelo és Fraenkel kezdték meg, de axiómarendszerük még nem volt kielégítõ, s Neumann elsõ cikkeiben ennek hiányait pótolta. Késõbb azonban egészen új gondolatokon alapuló új axiomatikus felépítést mutatott be; ebben az az ötlet bizonyult a legmaradandóbbnak, hogy figyelembe veszi az antinómiákat kiváltó halmazokat is, csak pontosan megkülönbözteti õket a “jó”, a “valódi” halmazoktól. Kétségtelen, hogy a Neumann-féle axiómarendszert késõbb, elsõsorban Gödel, még természetesebben felépülõ axiómarendszerrel helyettesítették, de a rendellenesen nagy halmazok – a szokásos terminológiával “osztályok” – figyelembevételének Neumanntól származó gondolata ebben is alapvetõen megjelenik, és számos azóta kialakult vizsgálati ágban, így a kategóriaelméletben, nélkülözhetetlen. Már az is meglepõ, hogy egy fiatal matematikus egy elmélet axiomatizálásával kezdi munkásságát, hiszen az ilyen munka inkább a sokat tapasztalt kutatóra jellemzõ. További meglepõ, századunkban szinte példa nélkül álló vonása Neumann kutatásainak a matematikának jóformán minden fejezetére kiterjedõ sokrétûség. Így lényeges eredményekkel gyarapította az algebrai számelmélet, a diofantikus egyenlõtlenségek, a gyûrûelmélet, a topologikus csoportok elmélete, a matematikai logika témakörét.

  Részletesebben kell szólnunk Neumann Jánosnak a funkcionálanalízis körébe vágó kutatásairól. Ezeket is egészen fiatalon kezdte el, s ismét egy új elmélet megalkotásának igényével. Ismeretes, hogy a húszas években létrejött a század elméleti fizikájának a relativitáselmélet mellett legragyogóbb alkotása, a kvantummechanika, egyidejûleg több alakban is, amelynek matematikai háttere azonban kezdetben nem volt kellõen tisztázva, felléptek bennük matematikailag ellentmondásos fogalmak is (mint pl. a Dirac-féle deltafüggvény). Neumann célja az volt, hogy a kvantummechanikának matematikailag szilárd alapokat adjon, s erre a célra a Hilbert-tér lineáris operátorainak spektrálelméletét találta alkalmasnak. Maga a Hilbert-tér az euklideszi tér vektoraiból álló konfigurációnak legegyszerûbb, igen természetesen kínálkozó általánosítása, s a lineáris operátorok közül a Hilbert vizsgálta korlátos operátorok az euklideszi tér koordinátás alakban mátrixokkal megadható lineáris transzformációinak megfelelõi. Neumann felismerése az volt, hogy a korlátos lineáris operátorok spektrálelméletét ki kell terjeszteni nem korlátos lineáris operátorokra, amit páratlan invencióval és technikai fölénnyel meg is tett (nem kis mértékben felhasználva Riesz Frigyes eredményeit), s ezzel sikerült a kvantummechanika számára matematikailag kifogástalan apparátust teremtenie. 1932-ben megjelent könyve e témának ma is aktuális klasszikus alkotása. A kvantummechanika megalapozásában elért eredmények kiválóan használhatóknak bizonyultak a funkcionálanalízis más problémáinak megoldásában is. Így pl. az ergodelmélet (amely a klasszikus mechanika problémakörébõl nõtt ki) ugyancsak alapvetõ eredményeket köszönhet Neumann Jánosnak. Teljesen az õ kezdeményezése volt az operátorokból álló gyûrûk vizsgálatának megindítása, amely azután hatalmas elméletté terebélyesedett. E vizsgálatai kapcsán teremtette meg a folytonos geometriák elméletét, a projektív geometriák fogalmának hálóelméleti eszközökkel történõ sajátos általánosításaként. Az eddig elmondottak minden vázlatosságuk ellenére is valamelyest képet adtak talán Neumann Jánosnak mint matematikusnak grandiozitásáról. Az utóbbi évtizedek technikáját, sõt mindennapi életünket is hovatovább forradalmian átalakító hatása azonban annak – a már nem szorosan a matematikához tartozó témakörnek – volt, amellyel életének utolsó évtizedében foglalkozott. Tudjuk, hogy az Amerikai Egyesült Államokban 1946-ban építettek egy hatalmas elektronikus számológépet, az ENIAC-ot, amely egy termet töltött ki 18 ezer elektroncsövével. A mûveleteket tízes számrendszerben végezte, s az elvégzendõ feladatokat lyukkártyán kellett egyenként betáplálni. A gép mûködésének megjavítására Neumann János vezetésével bizottságot küldtek ki, és Neumann alig egy év alatt megtalálta mindazokat a változtatásokat, amelyek máig megszabják a számítógépek elvi felépítését: a gép egy vezérlõegységbõl, egy aritmetikai egységbõl, egy memóriaegységbõl és egy bemenõ-kimenõ egységbõl épüljön fel; a mûveleteket kettes számrendszerben végezze; az elvégzendõ mûveletek programját kódolt formában a memóriaegységben kell tárolni. Ha napjaink számítógépei a hardver fejlettsége tekintetében csillagászati távolságban állnak is a negyvenes évek elektroncsöves gépeitõl (ami teljesítményük sokszorosára növelését és áruknak töredékére való csökkenését eredményezte), szerkezeti alapjuk ma is a Neumann-féle elvekre épül fel.

  Csak éppen megemlítve, hogy további vizsgálataiban részletesen elemezte, hogyan lehet a számítógép elemeinek szükségszerûen hibaforrást jelentõ bizonytalan mûködését alkalmas szervezéssel ellensúlyozni, joggal szögezhetjük le, hogy Neumann Jánosban briliáns matematikai teljesítményén kívül a most kibontakozó számítógépkorszak útnak indítóját is tisztelhetjük.

  Századunk elsõ évtizedének itthon mûködött szülöttei között mindenekelõtt Kalmár Lászlóról (1905–1976) kell szólnunk. Páratlanul sokoldalú matematikus volt, aki a matematikának szinte minden területén folyamatosan tájékozódott a legújabb irányzatokról. Munkásságában az ötvenes évekig a matematikai logika kérdései dominálnak; elsõsorban az ún. eldöntésprobléma foglalkoztatta, valamint azok a tételek, amelyek az axiomatikus módszer korlátaira mutatnak rá. A számítógépek megjelenése után széles körû matematikai logikai kultúráját fõként a számítógép-tudomány alapvetõ kérdéseinek szolgálatába állította (formális nyelvek vizsgálata, automataelmélet, az önreprodukáló automaták kérdései). Elsõsorban a szegedi egyetemen, amelynek professzora volt, de országszerte is mesterének vallja õt a hazai számítástudomány minden hazai mûvelõje. Kalmár érdeklõdési körével sok közös vonást mutat Péter Rózsa (1905–1977) kutatási területe. ’ is a matematikai logika mûvelõje volt, mégpedig ezen belül a rekurzív függvények elméletének megteremtõjeként tartjuk számon. Kalmárhoz hasonlít abban is, hogy utolsó éveiben õt is szakterületének számítógép-tudományi alkalmazásai foglalkoztatták; hattyúdala éppen e témáról írt monográfiája. A matematika népszerûsítésének a terén is kiemelkedõt alkotott; Játék a végtelennel c. könyvét számtalan nyelvre fordították le. Szemben viszont Kalmár viszonylag olajozott egyetemi pályafutásával, Péter Rózsa küzdelmes pályakezdés után csak a felszabadulást követõen lett fõiskolai tanár, majd az Eötvös Loránd Tudományegyetem professzora. A debreceni tudományegyetem elsõ kiemelkedõ matematikaprofesszora Varga Ottó (1909–1969) volt. Tanulmányait Prágában végezte, s elsõsorban ennek köszönhetõ, hogy egy addig hazánkban alig mûvelt tudományágat, a modern differenciálgeometriát honosította meg. Fõként a Finsler-terek elméletében végzett sok tekintetben úttörõ munkát. Neki köszönhetõ, hogy Debrecenben ma is intenzív kutatás folyik ezen a területen. A budapesti tudományegyetemen volt matematikusok generációinak nevelõje Szász Pál (1901–1978). Munkássága kisebb részben a Fejér-iskola témáihoz, zömében azonban a Bolyai–Lobacsevszkij-féle geometria megalapozásának kérdéseihez kapcsolódik.

  Az Eötvös Loránd Tudományegyetem a felszabadulást követõ negyedszázad folyamán elsõrangú matematikai centrummá vált. Ez az akkor már alkotóerejük csúcsán túljutott Fejér Lipót és Riesz Frigyes mellett elsõsorban három büszkeségünknek köszönhetõ: Turán Pálnak, Hajós Györgynek és Rényi Alfrédnak.

  Turán Pál (1910–1976) munkássága gazdagságban, sokrétûségben szintén egyedülálló; három fõ területe az analízis, a számelmélet és a gráfelmélet. Az elsõben jellegzetesen a Fejér-iskola egyik legkiválóbb képviselõjének mutatkozott; számtalan nagyszerû munkája közül talán az approximációelmélet terén alkotott a legtöbbet. Elsõsorban neki köszönhetõ, hogy a polinomokkal való approximáció mellett nagy súlyt kapott a racionális függvényekkel történõ approximáció is. A gráfelméletben fõ eredménye egy 1940-bõl származó tétel, amelybõl azután a gráfelméletnek egészen új fejezetei nõttek ki. Legnagyobbat azonban talán a számelmélet terén alkotott. Ez irányú vizsgálatai kiterjedtek a prímszámok eloszlásának kérdéseire, a számelméleti függvények vizsgálatára, a partícióelméletre, s mindezekhez a felhasznált apparátust is nagyrészt maga teremtette meg. Elsõk között használt számelméleti kérdések megoldására statisztikus módszereket (ezekbõl fejlõdött ki a statisztikus csoportelmélet), de mind között legfõbb alkotása a prímszámeloszlás vizsgálatára használt Riemann-féle zétafüggvény tulajdonságainak kutatására bevezetett hatványösszegmódszer; ennek felfedezése gyönyörû példája annak, hogyan lehet egy kézenfekvõ, de elsõ pillantásra kezelhetetlen gondolatot szívós munkával és ihletett invencióval egészen váratlan területeken ragyogó eredményeket produkáló s iskolát teremtõ módszerré fejleszteni.
 
 

I. Magyar Matematikai Kong- resszus (1950). Balról: Riesz Frigyes, E. Marczewski, Hajós György és Kalmár László (Su- rányi János gyûjteményébõl)

Hajós György (1912–1972) legnagyobb alkotása a híres Minkowski-sejtés bebizonyítása. Minkowski a század elején közölt egy geometriai indíttatású, de számelméleti alakba öltöztethetõ tételt, amely egy lineáris egyenlõtlenség-rendszer egész számokban való megoldhatóságáról szólt. Az a látszólag ártalmatlan kérdés, hogy az egyenlõtlenségekben szereplõ “kisebb vagy egyenlõ” jeleket (amelyekrõl már Minkowski tudta, hogy egy kivételével “kisebb” jellel helyettesíthetõk) lehet-e mind “kisebb” jellé változtatni, évtizedeken át számtalan kiváló kutató ostromát visszaverte. Hajós volt az, aki elõbb a problémát csoportelméleti kérdéssé fogalmazta át, majd újabb bámulatos invencióval a csoportelméleti problémát megoldotta s vele a Minkowski-sejtést elintézte. Hajós csoportelméleti tétele számos további vizsgálat forrásává vált.

  Rényi Alfréd (1921–1970) sajnálatosan rövid életében hihetetlen munkabírással, páratlan alkotóerõvel, imponáló sokoldalúsággal gyarapította mély és nehéz eredményekkel a matematika számos fejezetét. Munkássága kiterjedt az analízis több ágára, fõként a Fejér-iskolában mûveltekre, a kombinatorikára, a gráfelméletre, de súlypontja a számelméletben és különösen a valószínûségszámításban elért eredményekben rejlik. A számelmélet terén legismertebb a kétszáz éves és máig megoldatlan Goldbach-sejtés (minden páros szám két primszám összege) egy gyengített formájának elsõ bizonyítása a leningrádi aspirantúrája során megismert Linnik-féle nagy szita módszerével. Ennek tanulmányozása során vette észre, hogy a módszer lényegében véve valószínûségszámítási jellegû, s így fordult érdeklõdése az utóbbi tudományág felé. Ennek csaknem minden részét gazdagította; foglalkozott határeloszlás-tételekkel, keverési tételekkel, valós számok számjegyeinek eloszlásával, sztochasztikus folyamatokkal, a rendezett minták elméletével, s mindezeket csodálatra méltó ötletességgel alkalmazta a matematikán kívül, s a matematika más fejezeteiben is. Különösen fontosak a valószínûségszámítási módszerek számelméleti alkalmazásai terén elért eredményei; alighanem ezek indították arra, hogy a valószínûségszámításnak olyan új axiomatikus felépítését írja le, amelyben az alapfogalom a feltételes valószínûség. Életének utolsó éveiben fõként a valószínûségszámítás módszereinek az akkor éppen születõben levõ információelmélet alapjainak szilárddá tételére való felhasználása foglalkoztatta.

  A matematikai ismeretterjesztés gyöngyszemei, és univerzális zsenijének bizonyságai, a Dialógusok a matematikáról, a Levelek a valószínûségrõl, a Napló az információelméletrõl. Mint tanár, kiváló tanítványok tucatjait indította útnak.

  A Rényinél fiatalabb matematikusok zöme, szerencsére, él és alkot. A kevés kivétel közül legyen szabad egyedül Fodor Gézát (1927–1977), a szegedi egyetem professzorát megemlíteni. A halmazelmélet mûvelõjeként nevéhez fûzõdik a regresszív függvények elméletének megalkotása.

  Az elmondottak, úgy gondolom, meggyõzõen mutatják, hogy századunkban a magyar és magyar származású matematikusok nagyszámú és lényeges eredménnyel, módszerrel, elmélettel gyarapították a matematika kincsesházát. A kép még árnyaltabbá válnék, ha, már csak terjedelmi okokból is, nem kellett volna az eltávozottak alkotásaira szorítkoznunk. S bizonyára még gazdagabb lehetett volna a felsorolás, ha a negyvenes években nem végez a kegyetlen fasiszta vérengzés olyan iszonyatos irtást a magyar matematikusok között. Ennek áldozatává váltak azokon kívül, akik már többé-kevésbé lezárt életmûvet hagyhattak hátra, mint Bauer Mihály, Csillag Pál, Kõnig Dénes, Sidon Simon, Szûcs Adolf, sokan, akiknek megindult pályája még bizonyára soká ívelt volna felfelé, mint Feldheim Ervin, Grünwald Géza, Lázár Dezsõ és még többen olyanok, akik éppen csak egy-egy biztató jellel tudták megmutatni, mivé fejlõdhettek volna. Emléküket a Magyar Tudományos Akadémia Matematikai Kutatóintézetében emléktábla örökíti meg. Gondoljunk rájuk azzal a szilárd eltökéltséggel, hogy minden erõnkkel küzdünk egy újabb ilyen tömegpusztítás megakadályozásáért.