A káoszról szóló sorozatban eddig megjelent cikkek időbeli jelenségekkel foglalkoztak. A bevezető cikk [1] is kizárólag olyan jelenségeket nevez káosznak, amelyek az időbeli viselkedés bonyolultságával függnek össze. Az emberben azonban ott bujkál a kisördög: a hétköznapi szóhasználatban főként a szobánkban uralkodó rendetlenséget értjük káoszon. Ebben a cikkben éppen arra keresünk választ, hogy a káosz szigorúan vett definícióját vajon lehet-e más esetekre kiterjeszteni, előfordulhat-e olyan jelenség, amelynek az időbeli változáshoz nincs köze, és mégis valamilyen értelemben rokonítható a kaotikus viselkedéshez.
 
 

a)	b)
c)	c)

1. ábra. Bonyolult térbeli alakzatok: a) telefonzsinór (a szerző felvétele), b) locsolócső (a szerző felvétele), c) DNS-láncok (a kép oldalmérete 3 mikrométer; A.A. Baker, University of Bristol, engedéllyel letöltve a http://spm.phy.bris.ac.uk/research/dna/dna2.html honlapról), d) növényi kacs (Golgotavirág,  Ian Alexander, engedéllyel letöltve a http://easyweb.easynet.co.uk/~iany/patterns/leaf.htm honlapról)

Nézzük meg az 1. ábrát! Mindenféle bonyolult alakú tárgyakat látunk itt, az összegubancolódott locsolócsőtől a DNS-molekula térbeli képéig. Ami közös bennük, az éppen az alakjuk: mindegyik eléggé kusza. Ha egy időfüggő dinamikai rendszer fázisterében [2] látnánk hasonló ábrákat, akkor alig maradna kétségünk az illető mozgás kaotikus voltát illetően. Esetünkben azonban szó sincs időről: itt nem a mozgás, hanem az alak bonyolult. Vajon létezik-e az időbeli káosz mintájára definiálható térbeli káosz? Gyorsan előre is bocsátom, hogy olyan széles körben elfogadott, átfogó definíciója nincs a térbeli káosznak, mint a "rendes", időbeli káosznak [1]. Megjegyezzük, hogy mind az időbeli káosznál, mind a térbeli káosznál bonyolultabb kérdéskörbe tartoznak azok a jelenségek, amelyek egyszerre bonyolultak térben is és időben is. Ilyenekkel most nem foglalkozunk, az időbeli viselkedéstől ebben a cikkben eltekintünk. Időben és térben bonyolult rendszerre talán a legismertebb példa a turbulens áramlás, de ha a cikkben mutatott szerkezetek esetén az időbeli viselkedést is vizsgálnánk, valószínűleg ilyen rendszert kapnánk. Most azonban csak a térbeli viselkedésre leszünk kíváncsiak.

Végtelen hosszú rudak

Bizonyos esetekben eléggé könnyű megtalálni az analógiát a térbeli bonyolultság és az időbeli káosz között. Ezzel kapcsolatban az első észrevétel jóval megelőzi a káosztudomány kialakulását. Kirchhofftól származik az a felismerés [3], hogy egy rögzített pontja körül forgó, merev test mozgásegyenletei azonos alakúak egy hajlított és csavart, vékony rúd alakját leíró egyenletekkel. A két egyenlet első pillantásra csak abban tér el, hogy a merev test forgását leíró egyenletekben az idő szerepel, míg ennek helyét a hajlított és csavart rúd egyenleteiben az ívhossz veszi át. Azonnal adódik tehát az ötlet: ha a rúd hossza mentén az alakja bonyolult viselkedést mutat, akkor nevezzük ezt térbeli káosznak.

Van azonban egy "kis" bökkenő: a káosz pontos definíciójában az szerepel, hogy a bonyolult viselkedésnek végtelen sokáig fenn kell állnia, és bár ezt persze a gyakorlatban sohasem lehet megmérni, kivárni, az időfejlődést leíró mozgásegyenletek vizsgálata egyértelművé teheti annak eldöntését, hogy egy rendszer viselkedése kaotikus-e, vagy sem. Ez a hajlított és csavart rúd esetében még elvileg sem működik, hiszen a rúd véges hosszúságú, és ez bizony az egyenletekben is meglátszik: az időbeli viselkedést leíró mozgásegyenletekhez kezdőfeltételek tartoznak, a rúd leírásához viszont peremfeltételek, amelyek megadják például a rúd két végének helyzetét. Így tehát nem tudjuk eldönteni a káosz általános definíciójának segítségével, hogyan viselkedne a rúd végtelen hosszon; ez a vizsgálat értelmetlennek látszik.

Van azonban egy eset, amikor mégis tudunk valamit mondani: ez pedig a végtelen hosszú rúd esete. Az, hogy ilyen a valóságban nem létezik, nem lehet ok arra, hogy ne írjuk fel az egyenleteit, és mivel a rúdnak nincsen vége, ezért ilyenkor nem is kell igazi peremfeltételeket kiróni. Ekkor valóban alkalmazható a káosz definíciójának kiterjesztése: az idő helyébe ívhosszat helyettesítve eldönthető egy végtelen hosszú, hajlított és csavart rúdról, hogy térben kaotikus-e?

Véges hosszúságú rudak és láncok

Ez azonban nem túl megnyugtató eredmény, hiszen csak egy, a valóságban nem létező esetben tudunk valamit mondani. Ahhoz azonban elég, hogy az "étvágyat" meghozza: felmerül a kérdés, van-e más esetben is valamilyen analógia kaotikus időbeli jelenségek és bonyolult térbeli alakok között? Nézzük a legegyszerűbb esetet: a síkbeli, véges hosszúságú, hajlított rudak és láncok esetét.
 

2. ábra. a) Kezdetben egyenes, végén terhelt rugalmas rúd kihajlása. Az egyik végpont rögzített, a másik a terhelés egyenesén szabadon eltolódhat. EI a rúd hajlítás elleni merevsége, P a terhelőerő, s az ívhossz, L a rúd hossza. a és y a kihajlott rúd helyzetét adja meg az ívhossz függvényeként. b) A P teher növelésével elszaporodnak a lehetséges egyensúlyi helyzetek. Ezeket mutatja a diagram, kihasználva, hogy a kihajlott alakok egyértelműen jellemezhetőek a rúd rögzített végén található a₀ kezdőszöggel. Néhány rúdalak is be van rajzolva. A megoldások ún. egyensúlyi utakat alkotnak, amelyek az eredeti, egyenes alakot jelentő, a₀=0 egyensúlyi útról ágaznak le. A berajzolt megoldások közül minden teher esetén csupán egy stabil, az ún. első kihajlási alak (a triviális a₀=0 egyensúlyi útról elsőként, legkisebb teher esetén leágazó egyensúlyi úton található megoldás), az összes többi instabil
 

Egy végein terhelt, véges hosszúságú, rugalmas rúd (2/a ábra) egyensúlyi helyzeteit már Euler is ismerte több mint kétszázötven évvel ezelőtt [4]. Sőt a Kirchhoff-féle rúd és a merev test mozgása közt fennálló analógia alapján már azt is ismerték, hogy a teher hatására kihajló rúd egyenletei azonosak a matematikai inga (súlytalannak tekinthető kötélen lengő tömegpont) egyenleteivel, ha az idő helyett az ívhosszt használjuk, és a kezdeti feltételek helyett a rúd végein peremfeltételeket írunk elő (részletesebben lásd a keretes írást). Mivel a matematikai inga mozgása nem kaotikus, integrálható, ezért a megfelelő peremérték-feladat, a kihajló rúd megoldása sem túl nehéz. A kihajló rúd összes lehetséges egyensúlyi helyzetét illusztrálja a 2/b ábra a terhelőerő adott tartományában.

Érdekes módon, ha "kicsit" megváltoztatjuk a feladatot, akkor jelentősen eltérő megoldásokat kapunk. Legyen a kis megváltoztatás az, hogy a rúd hajlékonyságát a rúd néhány pontjába koncentráljuk, és a rúd többi részét merevnek tekintjük. Ekkor a 3/a ábrán látható rúdláncot kapjuk. Ha itt a merev szakaszok hosszát csökkentjük, azaz a rugós csuklók számát növeljük, akkor a megoldások a folytonos rúd megoldásaihoz közelítenek. Ha azonban rögzítjük az elemek számát, és növeljük a láncot terhelő erőt, akkor a megoldások elszaporodnak (l. 3/b ábra), és olyan megoldások (ún. paraziták) is felbukkannak, amelyek az eredeti feladatnak egyik megoldására sem hasonlítanak [5]. Az egyensúlyi rúdláncalakok nem határozhatók meg analitikusan, csak numerikusan. Ez és a sok bonyolult alak felbukkanása azzal függ össze, hogy a rúdlánc egyenletei formailag megegyeznek egy ismert kaotikus leképezés, a standard leképezés egyenleteivel (részletesen lásd a keretes írásban).

3. ábra. a) Végein terhelt rúdlánc, amely merev elemeket összekapcsoló torziós rugókkal modellezi a folytonos rudat (ilyet mutat a 2/a ábra). A torziós rugók úgy vannak megválasztva, hogy ha a számukat növeljük, egyre jobb közelítését kapjuk az eredeti feladatnak. EI/l az egyes rugók merevsége, l a rúdelemek hossza. P a terhelőerő, N=L/l a rúdelemek száma, az i-edik rúdelem helyzetét pedig az a_i szög és y_i eltolódás jellemzi. b) Fix elemszám (az ábrán N=12) esetén növelve a terhet a megoldások elszaporodnak, és számuk sokkal nagyobb, mint a folytonos esetben. A diagramon most is azt használtuk ki, hogy a lánc első elemének a₀  szöge egyértelműen jellemzi a lánc alakját. A feltüntetett megoldások között a l teherparaméter növelésével egyre több stabil megoldást találunk. c) A négyelemű (N=4) lánc néhány lehetséges egyensúlyi alakja lť6,17 teher esetén

Összehasonlítva a 2/b és 3/b ábrákat azt látjuk, hogy a folytonos és a diszkrét feladat között jelentős különbség van: az utóbbi sokkal bonyolultabbnak tűnik. A folytonos feladatnak mintha kevesebb megoldása lenne, és azok egyszerűbb hierarchiába lennének sorolva, mint a diszkrét feladat megoldásai. Az is érezhető, hogy ennek oka a megfelelő kezdetiérték-feladat kaotikus volta lehet. Kérdés azonban, hogyan lehetne a viselkedés kaotikus voltát kimutatni a peremérték-feladatban anélkül, hogy meg kellene keresni a megfelelő kezdetiérték-feladatot és annak kaotikus voltát vizsgálni. Tehát az a kérdés, hogy a bonyolult térbeli viselkedés vizsgálata alapján megadható-e egy olyan mérőszám, amely a bonyolultság fokát jól jellemzi, meg lehet mérni, és kapcsolata is van a szokásos káoszelméleti jellemzőkkel. Megjegyezzük, hogy a 3/b ábrán látható bonyolult diagram szerkezetének meglehetősen jó leírását sikerült adni éppen a káoszelmélet eszköztárának használatával: az ábrán látható egyensúlyi utak sorrendjéről kiderült, hogy kapcsolatban van a megoldások alakjával [6, 7].

Térbeli káosz?

Gondoljuk el, hogy ismerjük a vizsgált peremérték-feladatnak megfelelő kezdetiérték-feladatot (a folytonos rúd esetén ez a matematikai inga, a rúdlánc esetén a standard leképezés). Ezt rendszerint a fázistérben ábrázoljuk, olyan koordináta-rendszerben, ahol az egyes pontok a vizsgált rendszer egy-egy állapotát adják meg egyértelműen. Ha a rendszert időben követjük, ez a pont mozogni fog, és kirajzol egy pályát: a rendszer életútját, azaz, hogy milyen állapotokat vesz fel sorra a rendszer. Ha most ugyanebben a fázistérben a peremérték-feladatot akarjuk ábrázolni, akkor a megoldások csak olyan pályák lehetnek, amelyek egyrészt csak véges hosszúak, azaz az ívhosszuk a rúd, illetve rúdlánc L hosszának felel meg, másrészt a kezdetiérték-feladatnak csak azok a megoldásai, pályái jöhetnek szóba, amelyek a véges hosszú pályaszakasz elején és végén is megfelelnek az előírt peremfeltételnek. Például a rugalmas rúd esetén a fázistér az inga fázistere: a koordinátatengelyekre az inga pillanatnyi f szögét és w szögsebességét mérjük fel. Ezek feleltethetők meg a rúd egyes pontjaiban a rúd és a terhelési egyenes közötti a szögnek, illetve a rúd és a terhelési egyenes y távolságának (l. a keretes írásban). Egy pont ebben a fázistérben tehát megfelelhet a rúd egy adott pontja helyzetének, egy teljes rúdalakot pedig egy rúdhosszal azonos hosszúságú vonal ad meg. Ebben a fázistérben kell olyan pályákat keresni, amelyek hossza azonos a rúd hosszával, és a rúd elejének és végének megfelelő pontok elmozdulása a terhelési egyenestől zérus. Hogyan lehet ilyen pályákat megtalálni? Úgy, hogy válasszuk ki az összes olyan pontot a fázisterünkben, amelyek teljesítik az y=0 peremfeltételt a rúd elején, aztán tekintsük ezeket a pontokat az inga kezdőfeltételének, és nézzük meg, hova jutnak ezek a fázistérbeli pontok L "idő" alatt, azaz mire a rúd végéhez érünk. Azok a kezdőfeltételek, amelyekből a rúd végén előírt y=0 peremfeltételeket teljesítő véghelyzetbe jutunk, egy-egy megoldását adják a peremérték-feladatnak. Ezt láthatjuk a 4/a ábrán: a koordináta-rendszer két tengelye az a elfordulás és az y eltolódás. Az y=0 vonalról (vastag fekete vonalról) indítunk adott rúdhosszúságnak megfelelő pályákat, és azok a kanyargós, fekete vonallal jelzett helyzetbe érkeznek. Ahol a kanyargós fekete vonal metszi az y=0 vonalat, ott kapunk megoldásokat. Ugyanezt látjuk a 4/b ábrán is a rúdlánc esetére. Vegyük észre, hogy a rúdlánc esetén a fekete vonal hossza jelentősen nagyobb a rúd esetében kapottnál. Következésképpen a megoldások száma is sokkal nagyobb: a 4/b ábra esetében 52 megoldást kaptunk, a fekete vonal ennyiszer metszi az y=0 vonalat. Figyeljük meg a 4/c ábrán látható nagyításon az önhasonló viselkedést, ami a sokszoros nyújtás és hajtogatás következménye!

a)

b)

c)

4. ábra. a) A folytonos rúd fázisterében indított y=0 vonaldarab (vastag fekete szakasz) a rúd hosszának megfelelő idő elteltével (kanyargós, fekete vonal). A vonal két vége a helyén marad, azok az inga fixpontjainak felelnek meg, a közbenső rész feltekeredik spirálszerű alakban. Néhány megoldás alakját is feltüntettük. b) A standard leképezés (rúdlánc) fázisterében indított y=0, 0<a₀<p vonaldarab a rúdlánc elemszámának megfelelő idő elteltével, lť6,17 teher esetén (bonyolult alakú fekete vonal). A vonaldarab két vége a helyén marad, azok a standard leképezés fixpontjainak felelnek meg, a közbenső rész sokszoros nyújtás és hajtogatás után nyeri el bemutatott alakját. A négyzettel jelölt részt kinagyítva mutatja a c) ábra.
A vonalhossz nagyarányú növekedésének, és így a megoldások elburjánzásának az az oka, hogy ha egy kaotikus rendszerben választunk ki két tetszőleges, közeli kezdőfeltételt, akkor azok tipikusan exponenciálisan fognak távolodni egymástól. Ez igaz a rúdlánc esetében a választott y=0 csík minden pontpárjára, azaz a fekete vonal hossza exponenciálisan fog nőni az "időben", vagyis a rúdlánc hossza mentén előrehaladva. Közben a csík össze is hajtogatódik a kaotikus dinamika miatt, így a véges hosszú utazás végére a 4/b ábra fekete vonala tipikusan a vonal hosszával arányos számú metszéspontot képez az y=0 vonallal. Ez viszont azt jelenti, hogy ha növelem az "utazás" hosszát, akkor a megoldások exponenciálisan növekedő számban bukkannak fel
 

Ezzel szemben, ha a megfelelő kezdetiérték-feladat nem kaotikus, ilyen például a folytonos rúd esetén a matematikai inga, akkor a kezdeti y=0 vonal hossza tipikusan az exponenciálisnál sokkal lassabban nő, és így a megoldások száma is sokkal kevesebb lesz, mint a kaotikus esetben.

Mindezek alapján azt javasoljuk, hogy a térbeli káosz definíciója legyen a következő: ha a vizsgált véges hosszú tartomány hosszát változtatva a megoldások száma a hosszal exponenciálisan változik, akkor a peremérték-feladat kaotikus.

5. ábra. A megoldások S számának paraméterfüggése l^N-1 alakú: a megoldások exponenciálisan növekednek a rúdelemek számával. Az ábrán a megoldások száma látható a l teherparaméter függvényében, különféle N elemszámok esetére, log-log diagramon. Vegyük észre, hogy már viszonylag rövid rudak esetén is a megoldások száma egymillió felett lehet!
 

Vizsgáljuk meg, hogy a megoldások száma hogyan függ a vizsgált tartomány hosszától a folytonos rúd és a diszkrét rúdlánc esetén! A folytonos rúdlánc esetén az összes megoldás ismert, és a megoldások száma lineárisan függ a rúd hosszától; a 2/b ábrán a teherparaméter négyzetgyökével arányosan jelennek meg az új ágak, és a teherparaméter a rúdhossz négyzetétől függ. Más a helyzet a rúdlánc esetén: ahogy az 5. ábra mutatja, a megoldások S száma a l teherparamétertől a l^N-1 alakban, tehát az N rúdhossztól exponenciálisan függ.

Összefoglalás

Ebben a cikkben javaslatot tettünk arra, hogyan lehetne egy peremérték-feladatról eldönteni, hogy kaotikus-e, vagy sem. Megmutattuk, hogy végtelen hosszú rudak esetén ez viszonylag könnyű: ott az idő helyébe ívhosszat képzelve egy az egyben alkalmazhatók az időbeli káosz esetén használatos kritériumok. Ez azonban nem működik a véges hosszú rudak esetén: ott a megoldások számának a vizsgált tartomány (pl. rúd) hosszával való növekedése döntheti el a kérdést. A megadott definíció előnye, hogy kiterjeszthetőnek látszik olyan esetekre is, amikor a peremérték-feladat tartománya nem egydimenziós, például a fémlemezek horpadásának esetére. Ilyenkor nincs ívhossz, amit egyszerűen azonosítani lehetne az idővel, így az időbeliség analógiáján alapuló módszerek eleve csődöt mondanának, hiszen például egy lemez esetén a tartománynak két lényeges kiterjedése van, aminek két időváltozó felelne meg. A megoldások száma viszont jól definiált (persze más kérdés, hogy mennyire könnyű azokat megszámlálni, vagy meghatározni). Tehát a feladat viselkedése térbeli káoszt mutat, ha a megoldások száma S~exp(cL); míg a viselkedés nem mutat térbeli káoszt, ha a megoldások száma ennél lassabban, például lineárisan (S~cL) nő a vizsgált tartomány L méretével (c állandó, független az L hossztól).

A bonyolult viselkedés oka hasonló a kezdőfeltételekre való érzékenységhez az időbeli káosz esetében. Ott két, egymáshoz kezdetben nagyon közel levő fázistérbeli pont exponenciálisan távolodik, azaz t idő múltával Dx(t)~exp(st) lesz a távolsága két, kezdetben kis távolságra levő pontnak. Itt s a legnagyobb átlagos Ljapunov-exponens, ez méri a távolodás sebességét. A peremérték-feladatban a megoldások száma nő exponenciálisan: S~exp(cL), ahol a c állandó értéke a topologikus entrópiával van kapcsolatban (ez határozza meg a kezdőfeltételek halmazának hosszú távú szétterülését a fázistérben).

Végezetül megemlítjük, hogy nemrégiben Domokos Gábor javasolt egy másik definíciót a térbeli káosz felismerésére, amely a megoldások egyfajta címkézésén alapul [7]. Habár a két eljárás valószínűleg nem független egymástól - a címkézés éppen a kezdeti értékekre való érzékenységből fakad, és a fenti definíció is ezen alapul - az itt bemutatott definíció kicsit általánosabbnak tűnik: nincs szükség a címkézés esetenként igen nehezen megtalálható bevezetésére.

Ebben a cikkben természetesen nem azt akarjuk mondani, hogy a káosz jelensége minden térbeli bonyolultsággal összefüggésbe hozható. Éppen ellenkezőleg, arra akartunk rávilágítani, hogy milyen nehézségekkel jár a káoszelmélet kiterjesztése a térbeli bonyolultság esetére még a legegyszerűbb esetekben is.

A szobánk rendetlenségének tehát vajmi kevés köze van a térbeli káoszhoz.

Köszönetnyilvánítás

A szerző köszönetét fejezi ki Tél Tamásnak, Gáspár Zsoltnak, Scheuring Istvánnak és Domokos Gábornak a kézirathoz fűzött rendkívül értékes tanácsaiért. A Békésy György posztdoktori ösztöndíj, valamint az FKFP 0308/2000., 0177/2001. és az OTKA F 042476 pályázat anyagi támogatással segítette a munkát.

Irodalom

[1] Tél T., Gruiz, M.: Mi a káosz? (És mi nem az). Természet Világa 7. szám, 2002. július.
[2] Tél T., Gruiz, M.: Kaotikus dinamika. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002.
[3] Kirchhoff, G.: Über das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich dünnen elastischen Stabes. Crelle J. für Reine angew. Math. 56, 1859, 285-313.
[4] Euler, L.: Additamentum I de curvis elasticis, methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes. Opera Omnia I 24, Lausanne, Bousquet, 1744. pp. 231-297.
[5] Domokos, G.; Holmes, P.: Euler’s problem, Euler’s method, and the standard map; or, the discrete charm of buckling. J. of Nonlinear Science 3, 1993, 109-151.
[6] Domokos, G.: Static solitary waves as limits of discretization: a plausible argument. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 355, 1997, 2099-2116.
[7] Károlyi, G.; Domokos, G.: Symbolic dynamics of infinite depth: finding global invariants for BVPs. Physica D 134, 1999, 316-336.
[8] Domokos G.: Térbeli komplexitás és a DNS. Közgyűlési előadások. Magyar Tudományos Akadémia, Budapest, 2000. pp. 151-178.