Tavaly két igen eredeti matematikust ünnepelt a tudósvilág, s mind a kettő tiszteletére matematikusok alkottak két igen eredeti, geometriai emlékművet. A két ünnepelt matematikus Pierre de Fermat (1601-1665) és Bolyai János (1802-1860), a két geometriai emlékmű pedig a Beaumont-de-Lomagne-ban elhelyezett Szilassi-poliéder és a marosvásárhelyi, Horváth Sándor által tervezett poliéder („hiperbolikus tégla”). A Szilassi-poliédert 2002. április 27-én avatták fel Fermat szülőházának udvarán - Szilassi Lajos, a Szegedi Tudományegyetem docensének jelenlétében. A Bolyai-emlékművet - amelyet a rendező-szervezők Pszeudoszféra-emlékműnek neveznek - 2002. december 15-én, Bolyai János születésnapján leplezték le.
 

Horváth Sándor	Szilassi József

Mind a kettő geometriai konstrukció, s a geometriai alakzat szellemisége, formája, mérete, aránya és összeillesztési technikája emeli az alkotásokat szoborrá! Nagy dicsőség ez a magyar matematikának, és egy kicsit kárpótlás a magyar geometriának. Mert mind a két emlékmű tiszta geometria a platóni eszmerendszer szerint, vagyis a világ szerkezetének egy darabja, és mind a kettő a mai Magyarország területén kívül áll, mégis magyar mind a kettő!

Van-e köze a kettőnek egymáshoz? Hát persze! A Bolyaiak tisztában voltak Pierre de Fermat nagy jelentőségű számelméleti kutatásaival! A marosvásárhelyi emlékmű közel - alig húsz méterre - van a Teleki-tékához. A Teleki-tékát is 1802-ben alapították, vagyis annak is tavaly volt a 200 éves születésnapja! A Teleki-tékában sokat olvastak a Bolyaiak Fermat tételeiről és leveleiről. Fermat ugyanis - aki ügyvéd volt - egyetlen matematikai művet sem írt, csak levelezett az akkori világ legnagyobb matematikusaival. Az utóbbi időben Kiss Elemér professzor bebizonyította, milyen fontos helyet foglalt el a két Bolyai életének alkonyán a Fermat-féle számelméleti kutatás. Tehát csak a fizikai távolság nagy Beaumont-de-Lomagne és Marosvásárhely között, a szellemi nem az - mondanám, hogy a két város közötti távolság nemeuklideszi!

Fermat szülőházának udvarát egy közel másfél méteres Szilassi-poliéder - egy rozsdamentes acélból előállított, „óriás” poliédermakett - díszíti. Egy szegedi matematikus poliédere minden idők egyik legeredetibb, őstehetséggel megáldott matematikusának szülőházát díszíti!

Hogyan született a Szilassi-poliéder?

1949-ben második alkalommal rendezték meg a Kürschák József matematikai versenyt. Az egyik feladat a következő volt: igazolják, hogy egyetlen olyan poliéder létezik, amelynek nincs átlója, és ez a tetraéder. A felvigyázó tanárok közt volt az akkor fiatal Császár Ákos, az ELTE tanársegédje, aki felfigyelt a feladatra, és megsejtette, hogy a feladat csak akkor igaz, ha a poliéderről feltételezzük, hogy konvex. A verseny után, otthon, Császár Ákos megoldotta a feladatot és közölte is [1]. Erről a Természet Világa 1994. novemberi számának pótfüzetében nagyon szép és részletes beszámoló jelent meg. Tehát az igazi érdem Császár Ákosé! Lényegében arról van szó, hogy az Euler-képlet alapján bármely egyszerű poliéder L lapja, C csúcsa és E éle között fennáll az L+C-E=2 összefüggés. A tórusszerű poliéderekre az előbbi képlet így módosul: L+C-E=0. Innen kiindulva a feladatot át lehet fogalmazni arra, hogy van-e olyan (tórusszerű) 7 csúcsú, 14 lapú, 21 élű poliéder, amelynek nincs átlója, azaz bármely két csúcsát él köti össze. Ennek a poliédernek a létezését bizonyította be Császár Ákos, s a matematikai irodalomban Császár-féle poliéder néven szerepel.

A Császár-féle poliédert nem könnyű előállítani. A tetraédernek van egy másik, egyedi tulajdonsága is: bármely két lapja szomszédos. Felmerült a kérdés, lehet-e a tetraédernek ezt a tulajdonságát megtartó, tórusszerű poliédert konstruálni. Ez 1977-ben Szilassi Lajosnak, a szegedi Juhász Gyula Főiskola tanárának sikerült: megalkotta a Császár-poliéder duálisát. Ez azt jelenti, hogy a csúcsoknak oldallapok felelnek meg, az oldallapoknak csúcsok, az éleknek pedig élek. Míg a Császár-poliédernek bármely két csúcsa, ennek bármely két lapja szomszédos. Mivel ez a poliéder „szellősebb” és könnyebben „megfogható”, mint a Császár-féle - noha annak ikertestvére (duálisa) -, nagyobb karriert futott be: Fermat-emlékmű lett belőle. A Szilassi-poliédernek 7 lapja, 14 csúcsa, 21 éle van, és természetesen lyuk van benne, hiszen tórusszerű, akárcsak a Császár-poliéder. 1986-ban két német matematikusnak, Jürgen Bokowskinak és Anselm Eggertnek sikerült bebizonyítania, hogy a Császár-poliédernek négy alapvetően különböző változata létezik, több nem.

A Szilassi-poliéder történetéről és sok érdekes tulajdonságáról részletesen olvashatunk Szilassi tanár úr honlapján (http://www.jgytf.u-szeged.hu/~szilassi/polyhedron.htm). Fontosnak tartom megjegyezni, hogy Szilassi Lajos a konstruktív geometria igazi prófétája és ismert művelője, szebbnél szebb és didaktikailag nagyon értékes programokat készített például a Bolyai-geometria körmodelljének szemléltetésére és megértésére, a poliéderekre, különböző szerkesztési feladatokra. Egy belga egyetemi honlap (http://www.ulb.ac.be/soco/matsch/academique/siecle.htm) a Szilassi-poliédert a XX. század nagy geometriai felfedezései közé sorolja. (A honlap a következő magyar neveket említi még: Erdős, Riesz, Pólya, Radó, Neumann, Rubik.)

Bolyai János születésének 200. évfordulójára Bolyai-bizottság alakult (Csegzi Sándor alpolgármester, dr. Kiss Elemér professzor, dr. Weszely Tibor docens és dr. Jung János orvosprofesszor részvételével). A fizikus végzettségű Csegzi Sándor kezdeményezésére pályázatot írtak pszeudoszféra-emlékmű felállítására.

Miért éppen a pszeudoszférát választották? Kultúrtörténeti csemege, hogy a Marosvásárhelyi sorok bibliarészlete Absolon pártütéséről szól, Absolon oszlopa pedig olyan, mint a pszeudoszféra. A pszeudoszféra azon nagyon kevés felületek egyike (konstans negatív görbületű), amelyen lokálisan megvalósul a Bolyai-Lobacsevszkij-féle síkgeometria.

A Marosvásárhelyi sorok és glosszák felfedezője, dr. Farczádi Elek volt a Bolyai Könyvtár utolsó „őre”. A könyv ma a Koncz-kódex nevet viseli Koncz József tiszteletére. Ő vásárolta meg Erdőszentgyörgyön egy könyvkereskedőnél azt a szép kódexet, melyben ott pihent egypár magyar mondat, üzenet a mának.

A marosvásárhelyi Bolyai Múzeum kistermének közepén van egy pszeudoszféra-modell. Mintha Absolon oszlopa volna - ha nem is Absolon, hanem a Bolyaiak, Koncz József, Farczádi Elek emlékezetére, minden ember emlékezetére, aki tett valamit azért, hogy a bús, erdélyi, sziklás föld örök érvényű műveket is teremjen. Lehet, hogy sokan nem tudnak a pszeudoszféráról, Absolon oszlopáról, és sokan nem tudnak Koncz Józsefről, a Marosvásárhelyi sorokról, de nekünk meg kell emlékeznünk elődeink nagy tetteiről. Ne teljesedjen be Absolon mondása: „Nincsen nékem oly fiam, a kin az én nevemnek emlékezete maradhatna” (2 Sám. 18,18). (A Bolyai Múzeum pszeudoszféráján van egy hiba. Ugyanis rosszul vannak rá felrajzolva a geodetikus vonalak, vagyis a Bolyai-geometria egyenesei!)

A 200. évfordulóra tervezett mű jeligéje „Hiperbolikus tér” volt; ez jobban kifejezi a lényegét, mint a pszeudoszféra megnevezés. Az alkotó, dr. Horváth Sándor harangként helyezte el a pszeudoszférát a szerkezetben, ugyanakkor megfosztotta attól a kitüntetett szerepétől, amelyet - sajnos tévesen - tulajdonítanak neki. A pszeudoszféra valóban csak egy a sok állandó negatív görbületű felület közül, ahol a belső geometria nagyon-nagyon kis környezetében érvényesül a Bolyai-Lobacsevszkij-féle síkgeometria. Konstans negatív görbületű felületünk nagyon sok van: Dini felülete, Kuen felülete, katenoidhoz hasonló felületek, csavar- és forgásfelületek. Nos, a konstans negatív görbületű csavarfelületek matematikailag (topológiailag) még jobbak is, mondhatjuk, mert azok teljes felszíne végtelen, tehát egy végtelen sávot (csíkot) ágyaznak be a hiperbolikus síkból.

Ügyes fogás volt tehát, hogy az emlékműben benne van a pszeudoszféra, de csak hírt hozó harangként. A szerkezeti váz megértése már kemény dió. Az valóban az „igazi” hiperbolikus teret próbálja érzékeltetni olyan formában, hogy valamilyen feltételek (megszorítások) mellett a szerkezettel - mintegy téglaként használva - hézagmentesen kitölthető a hiperbolikus tér. A kérdés az, hol van a hiperbolikus tér, mert a kétdimenziós hiperbolikus sík is csak a hatdimenziós euklideszi térben valósul meg, a háromdimenziós hiperbolikus tér - amit a szerkezet szemléltet - pedig a kilencdimenziós euklideszi térben (jelenlegi tudásunk szerint!). Ha világunk földi mértékben hiperbolikus volna, akkor megvalósulna, de környező világunk mégiscsak euklideszi. Ha hiperbolikus volna, nem volna hasonlóság, nem tudnánk fényképezni, a műépítészek nem tudnának terveket rajzolni (ami a hasonlóságra és a perspektívára épül), mert csak egybevágóság volna. Egészen másként alakultak volna ki az élő sejtek, növények, állatok, emberek. Még a tudományos fantasztikus kategóriát is meghaladó fantázia kellene ahhoz, hogy elképzeljük, milyen is volna az életünk, ha az élet hiperbolikus térben fejlődött volna ki. Mi csak az euklideszibe beágyazott geometriát tudjuk pontosan szemléltetni. Ezért a hiperbolikus teret csak művészi fantáziával lehet érzékeltetni, de precízen megszerkesztett, önálló világként nem.

A ma élő, egyik legnagyobb matematikus, John Nash legfontosabb tétele, hogy minden Riemann-sokaság (ilyen a hiperbolikus tér és sík is) beágyazható valamilyen sokdimenziós euklideszi térbe. Horváth Sándor ezt a beágyazott, hiperbolikus teret próbálta bemutatni. Nagyon sikeresen, mert annak a szerkezetnek bizonyos oldalai egyenlő közű négyszöget alkotnak. Csakhogy a hiperbolikus térben a távolság már nem az euklideszi távolság. A hiperbolikus síkban azon pontok mértani helye, amely egy adott egyenestől egyenlő távolságra van, már nem egyenes, hanem hiperciklus. Ezért ott a négyzetek már másként festenek, mint az általunk megszokott képen.

Az egész művet úgy értelmezem, hogy a pszeudoszféra beharangozza az új geometriát, de véges felszínéről felszáll az az eszmerendszer, amelyből kiteljesedik a hiperbolikus tér. A hiperbolikus tér annyira sem szemléltethető, mint amennyire a pszeudoszféra véges felszínén - legalább kicsiben - a hiperbolikus sík. Az már önálló, valóban „más világ”, egy új szellemi dimenziókat magába rejtő matematikai entitás!

Sokan megkérdezhetik, mire jó ez a hiperbolikus világ? Téved, aki azt hiszi, csak arra való, hogy a matematikusok dicsőséget szerezzenek és kiüssék a szegény szobrászokat a kenyérkeresetből. A hiperbolikus világ matematikai segédeszköz: olyan szabályokhoz és törvényekhez vezet el, amelyek segítségével megvalósították a számítógépeket és amelyek nélkül nem volna például mobiltelefon. Azt, hogy ma a számítógépben CD-ket olvasunk és írunk, mobiltelefonról és internetről üzengethetünk a világ másik oldalára, a hiperbolikus térnek és a teret felfedező és megalkotó matematikusoknak is köszönhetjük! Ha nem volna hiperbolikus tér és kvantumtér, akkor bizony mobiltelefon és internet se volna!

Ilyen egyszerű és ilyen bonyolult ez az „új, más világ”!

Irodalom

1. Császár Ákos: A polyhedron without diagonals, Acta Sci. Math., 13. (1949-50), 140-142.

2. Jürgen Bokowski, Anselm Eggert: All realizations of Möbius’ torus with 7 vertices, Topologie Strucurale, N° 17 (1991) Montreal, Canada, 59-78.

3. http://www.jgytf.u-szeged.hu/~szilassi/polyhedron.htm