A matematika és a költészet vonzásában
Beszélgetés SOLOMON MARCUS professzorral

 


Solomon Marcus 1925-ben született a moldvai Bacãuban (Bákó). A bukaresti egyetem matematikai tanszékén dolgozott évtizedekig, 1966-tól egyetemi tanárként. 1991-tõl nyugdíjas, emeritus professzor. A Román Tudományos Akadémia 1993-ban levelezõ tagjai sorába választotta.

Kutatásának és tanításának területei: analízis, számelmélet, topológia, nyelvészet, költészet, szemiotika, elméleti számítástudomány, kognitív tudomány, matematikai modellek a társadalomtudományban, filozófia és tudománytörténet.

Ezeken a szakterületeken szerzõje, társszerzõje vagy szerkesztõje 52 könyvnek, amelyeket Romániában, Franciaországban, az Amerikai Egyesült Államokban, Németországban, Olaszországban, Spanyolországban, Oroszországban, Görögországban, Belgiumban, Magyarországon, Csehországban és Jugoszláviában adtak ki.

Mintegy 350 tudományos cikk szerzõje és a világ számos országában csaknem 30 matematikai folyóirat szerkesztõbizottságának tagja.


Mikor választotta élettársnak a matematikát? Mi olyan vonzó, szép és jó ebben a tudományban?

– Amikor a matematika mellett döntöttem, csupán a megérzéseimre hagyatkoztam. még nemigen tudtam, mi az valójában. Az iskolában megismert matematikának ugyanis kevés köze van az igazi matematikához.

– Ön Bacãuban született, mely Iasi, vagyis Jászvásár után a legnagyobb moldvai város. Amikor középiskolás korba ért, már dúlt a háború. Hogyan emlékezik ezekre a nehéz évekre?

– Az állami iskolákból 1940–1944 között kitiltottak, 1941-ben és 1942-ben a megbélyegzõ sárga csillag viselésére köteleztek. Naponta munkaszolgálatra vittek, a tanulásra csak néhány órám maradt. Verseket olvastam, és találtam egy érdekes könyvet a nemeuklideszi geometriák történetérõl. Bár a geometria soha nem volt a kedvencem, a könyv logikája sokáig hatása alatt tartott.

Tizenkilenc évesen, 1944 õszén benéztem a bukaresti egyetemre, több tanszékre, hogy eldöntsem, melyik fakultáson tanuljak tovább. Boldog voltam és reménykedõ, hiszen túléltem a rettegés és a borzalom idõszakát. Két hónappal korábban omlott össze Antonescu diktatúrája, 1944 szeptemberében leérettségizhettem. Az egyetem természettudományi karának matematikai részlegében a hirdetményeket böngésztem, amelyek akkor oly érthetetlennek, mégis annyira izgalmasnak tûntek: „infinitézimális számítás”, „számelmélet”, „absztrakt algebra”, „matematikai logika”, „komplex analízis”...

A matematikát intellektuális kíváncsiságból választottam, de hamarosan szenvedélyemmé vált. Emlékszem, az analízisprofesszor azzal kezdte egyetemi elõadását, hogy felszólított minket, csináljunk „tabula rasát”, felejtsünk el mindent, amit a gimnáziumban matematikából tanultunk. Lassan megértettem, hogy a matematika nem az, amit nekünk korábban tanítottak. 1944-ben álmodni sem mertem, hogy a matematikai kutatás foglalkozásom is lehet. A legtöbb, amire számíthattam, hogy gimnáziumi matematikatanár leszek Románia valamelyik nagyobb városában. Abban a nagy bizonytalanságban ugyan ki gondolhatta, hogy ekkora jövõje van a matematikai kutatásnak.

Ahhoz, hogy válaszoljak korábbi kérdésére: „Mi olyan vonzó, szép és jó ebben a tudományban?”, hosszas magyarázatra lenne szükség. Attól tartok, soha nem érnék a végére. Minduntalan azt érezném, kihagyok valami fontosat. A válaszom kezdetében azonban biztos vagyok: a matematika olyan terület, ahol az ember szigorúan megszabott léptekkel halad elõre, és minden lépését az elõzõre alapozza. Lehet, hogy erre most azt mondja: hiszen ez általános eljárás, nem csak a matematikára jellemzõ. Akkor megkérem, vegyen kezébe egy matematika- és egy földrajzkönyvet. Tépje ki az elsõ húsz oldalukat...

– Könyvvel ezt soha sem tenném!

– Én sem, nyugodjon meg, ez csak gondolatkísérlet. Egyszóval, a hiányzó húsz oldal ellenére a földrajzkönyv fennmaradó oldalait nagy valószínûséggel ugyanúgy megértené, mintha a teljes könyvet olvasta volna. A matematikánál azonban óriási a kockázata annak, hogy az elõzmények ismerete nélkül a további részek érthetetlenné válnak.

A matematikát, akárcsak a költészetet és a filozófiát, nem lehet pontosan definiálni. E tény ellentmond annak, hogy a matematikai szöveget bizonyos szimbólumok jelenléte felismerhetõvé teszi. Ezek a szimbólumok azonban sem nem szükségesek, sem nem elegendõek ahhoz, hogy a matematikai gondolkodást felismerjük.

– Milyen emlékeket õriz gyermekkorából? Mit adott önnek a családi ház?

– Apám szabó volt, édesanyám négy elemit végzett. Nyolc gyermeket neveltek fel, én voltam a legkisebb. Szüleimtõl nem kaptam semmiféle intellektuális késztetést vagy nevelést. Apám szeretett volna belõlem is szabót képezni, de hamarosan csalódott reményeiben. Többszöri hasztalan próbálkozás után belátta, képtelen vagyok az ollóval tisztességesen bánni.

Tizenkét éves voltam, amikor rabul ejtett a költészet, a versek olvasásának élvezete. A versek serdülõkorom, fiatalságom fõ szellemi táplálékai lettek. Abban, hogy e világ kinyílt elõttem, fontos szerepe volt az egyik bátyámnak. Eminescu, Arghezi, Rilke, Baudelaire,Edgar Allan Poe voltak a kedvenceim. Tizenöt éves koromtól a színház is nagyon vonzott, tankönyveim matematikája kevésbé. A legtöbb tankönyv „szakácskönyv-matematikára” tanított – a franciák ezt úgy mondják: mathématiques, recettes de cuisine. Ma már nagyon sok jó matematikakönyvet olvashat az érdeklõdõ fiatal. Az 1943–1944 közötti idõszakban azonban, az én moldvai városomban, nehezen találtam volna az iskolai matematikakönyvön kívül mást.

Akkor, mégis, mi vezette a matematikához?

– Paradox módon a költészet és a színház iránt korán feltámadó érdeklõdésem. Viszonyomat a matematikához a líra és az elmélkedés határozta meg. Eltartott egy ideig, amíg felismertem, hogy a matematika igazi természete nagyon különbözik a látszattól.

– Mi a látszat és mi az igazság?

– Úgy tûnik, mintha a matematika szemlélete kvantitatív lenne, amikor túlnyomóan kvalitatív; száraznak és hidegnek hat, miközben forró érzésekkel és elképzelésekkel telített; látszólag nyugodt, de drámai, ahogyan kételyeket, találgatásokat és intuíciókat ébreszt bennünk. Végül a matematika híd a költészethez, ebben holografikus képessége segíti. Remekül illusztrálja mindezt az analitikus függvény fogalma, melynél a lokális viselkedés megszabja a globálisat. A költészetben is valami hasonló van, a költõ arra törekszik, hogy „meglássa a világot a hang egy morzsájában / és az örökkévalóságot egyetlen órában”.

A matematika és a költészet kapcsolatát már régen felismerték. Goethe és Polti mutatott rá a 36 szám fontosságára bizonyos drámai helyzetekben. Souriau és Ginestier továbbment, bemutatták a dráma geometriáját. Részletesen írtam errõl „A nyelvi szépség matematikája” címû könyvem „Színház és matematika” fejezetében. Scott Buchanan pedig a már csaknem hetven évvel ezelõtt megjelent „Költészet és matematika” címû könyvében teljes fejezetet szentelt a matematika, a tragédia és a komédia közötti kapcsolatnak a görög antikvitásban.

Elárulom, kezdetben drámaíró akartam lenni, lenyûgözött a lehetõség, hogy egy képzelt világban élhetek. A matematika is ilyen világ, miként azt olyan csodálatosan megmutatta Rényi Alfréd szókratészi dialógusaiban. Amikor rájöttem, hogy nem lesz belõlem színpadi szerzõ, más területek után néztem, ahol szerzõ lehetek. A tanítás az egyik ilyen terep, errõl Pólya György írt nagyon meggyõzõen a „Tanulás, tanítás és tanulni tanítás” címû cikkében. Már nagyon régen megjelent az American Mathematical Monthly folyóiratban.

Szülõvárosának nagy költõje George Bacovia. Volt-e ennek a ténynek jelentõsége Solomon Marcus szemléletének formálódásában?

–Bacovia nagyon közel állt hozzám. Az õ Bacãujában felismertem az enyémet. Nagyon megragadott költõi eszközeinek mélységes egyszerûsége. Az arányok megtartásában, azt hiszem, Bacovia követõje voltam, mind a matematika, mind a költészet megközelítésében. Újból fel akartam fedezni a világot, egyszerû és friss érzésekkel. Néhány alapvetõ fogalom, mint a határérték, a folytonosság, a derivált, számomra a csodák kiapadhatatlan forrását jelentette. A valós számok univerzuma adott keretet analízisbeli kutatásaimnak. Vonzott a „normális–patologikus” megkülönböztetés. A normális itt azt jelenti, hogy „szokásos”, „gyakori”, „könnyen kezelhetõ”. Normálisak a sima függvények (görbéjüknek mindenütt van érintõje), a mindennapi életben elõforduló legtöbb függvény ilyen. A normalitásnak ez a fogalma elvárásainkhoz idomuló: a sima függvények (kivéve legfeljebb véges számú pontot) olyanok, amelyek grafikonját megjelenítjük, lerajzolhatjuk egy darab papírra. Amikor a függvény fogalmát a szemléletességen túllépve általánosítjuk, szakadék keletkezik, amelyben sok intuícióval ellentétes jelenség található. Ilyenek például a sehol nem differenciálható folytonos függvények.

Weierstrass, Riemann, Peano, von Koch csupán néhány matematikus, akikkel e patologikus egyedek kapcsolatba hozhatók. Ezek voltak az elsõ objektumok, amelyeket azután a hetvenes években Benoit Mandelbrot alkalmazott a fraktálgeometriájában. A fraktálokhoz vezetõ út azonban lépésrõl lépésre tárult fel a valós függvények patologikus viselkedésének vizsgálatakor, amelyben az ötvenes-hatvanas években inspirációm fõ forrását megtaláltam. A fraktálokat kezdetben valamiféle betegséggel, morbid állapottal azonosították. Hermite is így tekintett a sehol sem differenciálható folytonos függvényekre.

Ahogyan visszaemlékszem, Bacovia költészete is ezt az állapotot tükrözte, amelyben az univerzum súlyosan beteg. A második világháború elõtt Bacovia költészetét lebecsülték, miként a valós függvények patologikus aspektusait is sok matematikus jelentés nélkülinek tartotta a fizikai, biológiai és társadalmi valóság vonatkozásában. A hatvanas és a hetvenes években azonban rehabilitálták Bacoviát, visszahelyezték a román költészet nagyjai közé, Blaga és Ion Barbu mellé. Egyesek Bacovia és a posztmodern közötti kapcsolatot hangsúlyozzák, ahogyan például J. F. Lyotard a posztmodern matematika tipikus megtestesítõjének tartja Benoit Mandelbrotot és a természet fraktálgeometriáját.

A bukaresti egyetemen Ön 1950-ben szerzett matematikus diplomát. Egyetemi évei nem lehettek szokványosak és nyugodalmasak.

– Az 1950-es év borzalmas idõszak volt. Diplomamunkámat hónapokig elfektették, mert a kozmopolitizmus elleni harc idején olyan nyugati szerzõkre hivatkoztam, mint Lebesgue, Borel, Denjoy, Perron és Fréchet. A bukaresti egyetem akkori rektora a marxizmus professzora volt, aki elõbb igyekezett ellenõrizni, hogy a hivatkozott matematikusok nem ellenségesek-e a kommunizmussal, a marxista ideológiával szemben. Szerencsémre három professzor, Stoilow, Nicolescu és Moisil írásos nyilatkozatot tett, hogy az említett szerzõk soha, semmiféle ideológiai vitában nem vettek részt.

Ezek szerint voltak olyan tanárai, akikre jó szívvel emlékezik vissza.

– Természetesen. A bukaresti egyetem említett professzorain kívül sokan mások is utat mutattak nekem. Nemcsak a matematika ismeretanyagát adták át, hanem megismertették a gondolkodásmódot, a kutatás stratégiáját, a szellemi munka stílusát is. Hálával tartozom Stoilownak a koncepciók horizontjáért, Nicolescunak az analógia hatalmáért, Barbiliannak a kreatív matematika laboratóriumába való bevezetésért. Moisil ösztönzött az interdiszciplináris megközelítésre, Vrãnceanu pedig megtanította, hogyan kell tételeket nemcsak bizonyítani, hanem felfedezni is. Froda bevezetett a kardinális és az ordinális számok finomságaiba, Ghika megkóstoltatta velem Bourbaki matematikájának ízét. Vâlcovici pedig a tökéletes tanár mintaképe volt.

–Az egyetem elvégzése után miként alakult a sorsa? Hogyan, kinek a hatására választott kutatási témát?

–1950 júniusában Miron Nicolescu professzor a bukaresti egyetem analízis tanszékére hívott, tanársegéde lettem, és adott néhány problémát a parciális deriváltakkal kapcsolatban. Két hónappal késõbb újabbakat kértem, és megjegyzéseket fûztem Tolsztov frissen publikált cikkéhez, amely egy kétváltozós függvénynek a parciális deriváltak tulajdonságaiból történõ meghatározásával foglalkozott. Néhány hónap múlva megjelent az elsõ publikációm, miközben egy általánosabb probléma vonzáskörébe kerültem: létezik-e olyan A halmaz, hogy ha két, C osztályba tartozó függvény az A halmazon egyenlõ, akkor azonos. Az ilyen halmazt C determináns halmazának nevezik. Késõbb sikerült jellemeznem a valós függvények bizonyos osztályainak determináns halmazát. A determináns halmazok a valós függvénytan gyakori szereplõivé váltak.

Az ötvenes és a hatvanas években szoros kapcsolatban álltam a francia és a lengyel matematikával, szenvedélyes olvasója lettem a Fundamenta Mathematicae lengyel folyóiratnak, amelyben egész sor ösztönzõ problémát találtam. Nagyon megragadott az a század eleji felfedezés, amely megmutatta: a függvények sok osztályára igaz az, hogy ha bizonyos elhanyagolható halmaz pontjait kihagyjuk, akkor figyelemre méltó egyszerûség tárul elénk. Sok eredményem volt ilyen típusú, melyekben fontos szerep jutott a mérték és a topológia párhuzamának. Érdekeltek a látszólag szerkezet nélküli függvények gazdag struktúrái. Például bármilyen korlátos valós függvény, amelyet egy kompakt valós intervallumban definiálunk, két Riemann-integrálható függvény kompozíciója. Nagyon érdekelt a gyakorlat számára is fontos, egyenlõtlenségekkel definiált függvények néhány osztálya. Ezek szerkezetét egy pont környezetében való viselkedésük szabja meg. Ez a legtöbb, amit elvárhatunk egy függvény lokális és globális tulajdonságai között lehetséges kapcsolatra vonatkozóan. E tekintetben engem nagymértékben ösztönöztek Császár Ákos professzornak az intern függvényekrõl írt cikkei.

1953-ban letettem a doktori fokozat megszerzéséhez szükséges vizsgát, melyet akkoriban szovjet mintára kandidátusi vizsgának neveztek. Stoilow professzor vezette a bizottságot, elfogadtak aspiránsnak. Késõbb a minisztériumból levélben értesítettek, hogy nem vettek fel aspirantúrára.

– Megindokolták a döntésüket?

– Csupán annyit írtak: „a tudománnyal nem összefüggõ okból”.

– Mit jelentett önnek ez a kirekesztés?

– Akkoriban az aspiráns hároméves ösztöndíjat kapott, ezalatt tanulhatott, kutathatott, tanítási kötelezettségek nélkül. Úgy döntöttek, nem vagyok érdemes erre a kiváltságra! Ezt követõen hetente húsz órát tanítottam, és csak 1955-ben lehettem aspiráns, amikor bevezették az ösztöndíj nélküli, önálló aspirantúrát. Hozzávéve ehhez a nyomorúságos életkörülményeket, az elfogadható otthon hiányát, a csaknem teljes nélkülözést a tudományos irodalomban (a fontos matematikai könyveknek meg kellett várnunk az orosz fordítását) és az akkori politika miatti ideológiai nyomást, elképzelheti, milyen nyomorúságos körülmények között kellett nekünk, matematikusoknak túlélnünk az akkori viszonyokat.

1956-ban rövid idõre fellélegezhettünk. A nemzetközi matematikai körökkel való kapcsolatok sokéves megszakítása után megrendezték a Román Matematikusok IV. Kongresszusát. Akkor találkoztam Erdõs Pállal is, amelynek következtében közös cikket írtunk az Acta Math. Acad. Scientiarum Hungaricae folyóiratban. Borel egy korábban felvetett problémájára adtunk választ: felbontható-e a valós számegyenes véges vagy végtelen számú homogén halmazra? A válasz: véges esetben nem, végtelen esetben igen. Így azután egyike lehetek annak a közel félezer matematikusnak, akiknek 1 az Erdõs-számuk. Természetesen azóta én is sok kutatónak teremtettem lehetõséget arra, hogy véges Erdõs-számhoz jusson.

Meghatározható-e általánosságban is azoknak a problémáknak a köre, jellege, amelyek Önt érdekelték?

– Kezdettõl felismertem, hogy a matematika, akárcsak a költészet, megmutatja a jelenségek látszat mögötti valódi arcát. Nagy ûr tátong a látható és a megérthetõ között. Gyönyörködtetett a matematika azon képessége, mely felfedi az ellentmondásokat; ezek már a halmazelmélet elsõ lépéseinél, a differenciál- és integrálszámításban is megjelentek. Olyan problémákat igyekeztem választani, melyek megoldása az intuitív várakozással ellentétes meglepetésre vezet. Elbûvölt az erõ, amellyel a matematika megvilágítja a végtelen fogalmával való birkózásunk módját. Már matematikusi pályám kezdetén megismertem román fordításban Péter Rózsa „Játék a végtelennel” és George Gamow „Egy, kettõ, három, ..., végtelen” címû csodálatos könyvét, melyek további ösztönzést adtak. A véges-végtelen közjáték egyik vezérelvemmé vált témaválasztásomban a nyelv területén.

A kortárs nyelvészek klasszikusai, mint F. de Saussure, L. Bloomfield, L. Hjelmslev és N. Chomsky is nyomatékosították, hogy bármely természetes nyelv az elméleti megalapozás tekintetében végtelen. Késõbb a kutatók a programozási nyelvek esetében is hangsúlyozták, hogy azokat is végtelennek kell tekintenünk, legalábbis elméletben. Másrészt a szavak ábécére alapozott véges összekapcsolt struktúrák, amelyek véges, nem üres halmazok, ezért a véges matematika, fõképp a kombinatorika tárgyát képezik. A véges és a végtelen matematikai struktúrák keresztútjánál megpróbáltam valamiféle matematikai modellt kidolgozni a nyelvtani kategóriákra, amelyeket a hagyományos nyelvészet nem képes kielégítõen leírni: az esetekre, a nemre, a morfológiai homonímiára, a szintaktikus függõségre és az alárendeltségre. Rendszeres kutatási témám lett a szöveg–tartalom kettõsség, mely oly fontos a strukturális nyelvészetben. 1968-ban bevezettem a kontextuális nyelvtant, mely késõbb jelentõs hatással volt a formális nyelvek elméletére. G. Rozenberg és A. Salomaa külön fejezetet szentelt neki a Handbook of Formal Languages-ben (Springer, Berlin et al, 1997, vol. II.) valamint a G. Paun a „Marcus Contextual Grammars” címû monográfiájában (Kluwer, Dordrecht, 1997).

További lépésként megkíséreltem áthidalni a költészet és a matematika közötti szakadékot. Megvizsgáltam a matematikai és a költõi nyelv közötti különbségeket és hasonlóságokat. Feltételeztem, hogy a jelentés tekintetében mindkettõ végtelen, de míg a tudományos jelentés diszkrét, a költõi folytonos. Ezért a tudományos szemantikának az algebrai, a költõinek a topológiai modelljét kerestem. Amikor a hatvanas évek végén elkezdtem a költészet és a matematika összeházasítására irányuló kutatásaimat, sokan kételkedtek, furcsának tartották. Azóta megszokták: szabványos kutatási területté vált, ma már sok nemzetközi konferenciát szentelnek neki.

– Itt kellene beszélnünk a színdarabok matematikájával kapcsolatos kutatásairól.

– Annál is inkább, mert interdiszciplináris vizsgálataim közül ez az irány lett a legsikeresebb. A kiinduló ötlet igen egyszerû: minden színdarabhoz hozzárendelek egy bináris mátrixot, amelynél az oszlopok m száma megegyezik a színek számával, míg a sorok n száma a színdarab szereplõinek számával. Az i-edik oszlop és a j-edik sor keresztezésénél lévõ elem értéke 1, ha a j-edik szereplõ jelen van az i-edik színben, ha nem, akkor az elem értéke 0. E bináris mátrix vizsgálatával a szerepek stratégiájának és a konfliktusok kifejlõdésének sok jellemzõjét megtalálhatjuk. Tovább gazdagíthatjuk a kiinduló szerkezetet, ha figyelembe vesszük a dialógusokat és játékelméleti vagy automataelméleti szemléletmódot is alkalmazunk. Görög tragédiákat, francia klasszikusokat, valamint Shakespeare darabjait vizsgáltuk meg így. Jól emlékszem, ezeket az ötleteimet elõször 1966-ban a szegedi egyetemen adtam elõ, ahová Kalmár László professzor hívott meg. A következõ héten Kalmár professzor egy magyar folyóiratban beszámolt az elõadásomról „Matematika és színház” címmel. Hasznos élmény volt, arra buzdított, hogy folytassam a munkát, melyhez az elkövetkezõ években több fiatal kutatót sikerült megnyernem.

Talán azért volt szükségem minderre, mert így összeköthettem matematikai pályafutásomat a réges-régi álmommal, én ugyanis színész akartam lenni!

Folytatás
 


Természet Világa, 130. évf. 12. sz. 1999. december, 544–548. o.
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/ 
http://www.ch.bme.hu/chemonet/TermVil/ 


Vissza a tartalomjegyzékhez