MARTIN GARDNER

Penrose-csempézés

Elôzô rész


Az ász a harmadik példa egy csúcs körülrakására. Ez nem határozza meg a köré rakható darabokat. A 10. ábrán fehérben látható a kettes, a bubi és a dáma; körülvéve a kikényszerített darabokkal. Mint Penrose felfedezte (késõbb tôle függetlenül Clive Bach is rájött), a hétféle csúcsponti alakzat közül bizonyosan olyan csempék lerakását kényszerítik ki, melyek nem csatlakoznak közvetlenül az alakzathoz. Színes képünkön a király "birodalmának" egy része látható. (A király a középen levõ sötétszürke alakzat.) Az összes sötét árnyalatú csempe Ierakását a király kényszeríti ki. (A bal, ill. jobb szélrôl éppen lemaradó két ászt is, csak azok már nem látszanak.)

10. ábra. A kettes, a bubi és a dáma "birodalma"

A király birodalmának képét számítógép rajzolta, melynek programját Eric Regener írta a montreali Concordia Egyetemen. A program bármelyik Penrose-mintázat leeresztését meg tudja rajzolni, akárhány lépésen át. A vastag fekete vonal azt a területet határolja, melyet a király közvetlenül kikényszerít. A vékony fekete vonalak a harmadik generációs leeresztést mutatják, ahol a király és majdnem a teljes birodalma megismétlôdik.

11. ábra. A Batmant körülvevô végtelen kocsikerékminta

Az összes Penrose-világ közül a legrendkívülibb és a legfontosabb ahhoz, hogy megértsük a csempék természetét, a végtelen kocsikerék-mintázat, melynek egy része a 11. ábrán látható. Az ábra közepén látható vastag fekete vonallal határolt szabályos tízszöget nevezi Conway "kocsikerék"-nek. Bármelyik mintázat bármelyik pontja egy pontosan ugyanilyen kocsikerék belsejében van. Egyszeri felfújás után azt láthatjuk, hogy minden pont egy nagyobb kocsikerék belsejében lesz. Hasonlóképpen, minden generáció minden pontja egy kocsikerékben lesz, bár a kerekek nem feltétlenül lesznek koncentrikusak.

Figyeljük meg a 10 világosszürke küllôt, melyek sugárirányban haladnak a végtelenségig. Conway ezeket "hernyók"-nak hívja. Hosszú és rövid csokornyakkendõkbôl épülnek fel, ahol a hosszúak száma aranymetszéssel aránylik a rövidekéhez. Minden Penrose-világban végtelen sok tetszôlegesen hosszú hernyó van. Ha felfújunk vagy leeresztünk egy hernyót, akkor egy másik hernyót kapunk, ugyanannak a tengelynek a mentén. Vegyük észre, hogy a végtelen kocsikerék-mintázatban két teljes hernyó halad keresztül a középsõ kocsikeréken (a kocsikeréken belül nem szürkék). A többi küllô félig végtelen hernyó. A küllôktôl és a középsô kocsikerék belsejétôl eltekintve a mintázat tökéletes tízszögû szimmetriával rendelkezik. Két küllô közôtt a nap- és a csillagmintázat egyre nagyobb darabjai váltakoznak:

A végtelen kocsikerék-mintázát bármelyik küllôjét megfordíthatjuk (vagy ami ugyanezt jelenti, az összes csokornyakkendôjét megfordítjuk), és ekkor a küllô a középsõ kocsikerék belsejétõl eltekintve még mindig illeszkedni fog az összes vele szomszédos csempéhez. Mivel 10 küllô van, ez 210 = 1024 lehetséges állapotot jelent. Ha azonban kihagyjuk azokat, melyek forgatással vagy tükrözéssel megkaphatók egy másikból, akkor csak 62 különbözõ esetet kapunk. Minden eset meghatároz a kocsikerék belsejében egy alakzatot, aminek Conway a "tízlábú" nevet adta.

12. ábra. Három tízlábú

Minden tíziábú felépíthetô 10 egybevágó egyenlô szárú háromszögbôl, melynek alakja olyan, mint egy felnagyított dárda fele. A tízlábúak közül a 12. ábrán látható körfûrész és tengeri csillag rendelkezik a legtöbb szimmetriával. A hernyókhoz hasonlóan, minden háromszög megfordítható. Most sem számolva az elforgatottakat és tükörképeket, 62-féle tízlábút kapunk. Képzeljük el, hogy minden tízlábún megjelöltük a konvex csúcsokat T-vel, a konkáv csúcsokat pedig H-val. Ha folytatni akarjuk a csempézést, akkor ezeknek a H-knak és T-knek a szokásos módon kell illeszkedniük a csempék betûihez.

Ha a küllôket úgy rendezzük el, ahogy a végtelen kocsikerékmintán vannak, akkor középen a Batman nevû tízlábú alakul ki. A Batman (az ábrán sötétszürke) az egyetlen tízlábú, amely szabályosan kirakható a csempékbôl. (Semmilyen véges tartomány nem rakható szabályosan ki egynél többféleképpen.) Ugyanakkor a Batman nem határozza meg a végtelen kocsikerékmintát. Pusztán lehetõvé teszi. Valójában egy szabályos csempemintát sem határozhat meg egy véges tartomány, hiszen az minden csempézésben elôfordul.

MegfigyeIhetô, hogy a végtelen kocsikerékminta tükörszimmetrikus, szimmetriatengelye függôlegesen halad át a Batmanen. Ha felfújjuk a mintázatot, akkor változatlan marad, csak éppen az elôbbi szimmetriatengelyre merõleges egyenesre lesz tükrös. Akármelyik Penrose-világban a Batman öt dárdája és két középsô sárkánya alkotja az egyetlen olyan tartományt, amely nem része egy ötszörösen szimmetrikus alakzatnak. Ennek is és bármelyik más mintázatnak is minden más csempéje végtelen sok ötszörösen szimmetrikus alakzatnak része.

A többi 61 tízlábút a küllõket alkotó hernyók megfordításainak további 61 kombinációja hozza létre. Mind a 61 "lyuk", a következõ értelemben: lyuknak nevezünk egy tetszôleges véges üres tartományt, melyet körülvesz egy végtelen csempézés, és amely szabályosan nem fedhetô le csempékkel. Azt gondolhatnánk, hogy mindegyik tízlábú köré végtelen sok csempeminta építhetõ fel, de ezzel a Penrose-világok megint megtréfálnak minket. Meglepõ módon, 60 tízlábú egyértelmû csempézést kényszerít ki, melyek csak a küllôk állásában különböznek a már látott mintától. Csak a Batman és egy másik, a francia képregényfigura után Asterixnek nevezett tízlábú nem ilyen. A Batmanhez hasonlóan az Asterix is lehetôvé tesz egy végtelen kocsikerékmintát, de másféle mintázatokat is megenged.

Most egy meghökkentô sejtés következik. Conway úgy gondolja, bár a bizonyítása még nem teljes, hogy minden lehetséges lyuk, bármilyen méretû vagy alakú, ekvivalens egy tízlábú lyukkal, a következô értelemben. A lyuk körüli csempék átrendezésével, szükség esetén véges számú csempe hozzáadásával vagy elvételével minden lyuk tízlábúvá alakítható. Ha ez igaz, akkor tetszõleges véges számú lyuk is egyetlen tízlábúvá alakítható. Mindössze elég sok csempét el kell vennünk, hogy a lyukak összeérjenek egyetlen nagy lyukat alakítva ki, aztán a nagy lyukat csökkentjük addig, míg egy csempézhetetlen tízlábút kapunk.

Gondoljunk most egy tízlábúra úgy, mint egyetlen szilárd csempére. A Batmanen és az Asterixen kívül minden tízlábú olyan kristályszennyezôdésként viselkedik, amely rögzíti a kristály szerkezetét. Egyértelmûen meghatároz egy végtelen kocsikerékmintát, küllôkkel és mindennel, a végtelenségig. Ha Conway sejtése igaz, akkor minden "idegen darab" (ez Penrose elnevezése), amely egyértelmûen meghatároz egy csempézést, nem számít, milyen nagy, olyan lyukat fed le, amely átalakítható a 60 tízlábú lyuk valamelyikévé.

A sárkányok és dárdák éppúgy eltorzíthatók más alakzatokká, ahogy korábban az egyenlõ szárú háromszögeket alakítottuk át spirális csempézést adó sokszögekké. Escher ugyanezt a módszert alkalmazta, amikor sokszög alakú csempék helyett állatok alakjára emlékeztetô csempéket használt. A 13. ábrán látható, hogy Penrose miként alakította át dárdáit és sárkányait csaknem periodikusan csempézõ csirkékké. Megjegyezném, hogy bár a csirkék nem szimmetrikusak, a sík csempézéséhez sosincs szükség arra, hogy valamelyiket felfordítsuk. Milyen kár, hogy Escher meghalt, még mielôtt megismerhette volna a Penrose-csempéket! Hogy dúskálhatott volna az általuk kínált lehetôségekben!

13. ábra. Penrose nem periodikus csirkéi 14. ábra. Egy nem periodikus csempézés
Roger Penrose rombuszaival

Ha szétvágjuk a dárdákat és sárkányokat kisebb darabokra, majd ezeket másképp rakjuk össze, újabb olyan csempepárokat készíthetünk, melyek a dárdákhoz és sárkányokhoz hasonló tulajdonságokkal rendelkeznek. Penrose egy szokatlanul egyszerû ilyen párt talált: a 14. ábra mintájában szereplô kétféle rombuszt. Minden él egyforma hosszú. A nagyobb daraboknak 72, ill. 108 fokosak a szögei, a kisebbeknek 36, ill. 144 fokosak. Ugyanúgy, ahogy korábban, a területek aránya is és az egyes típusokból felhasznált darabok számának aránya is aranymetszéses. A csempeminták felfújhatók és leereszthetôk, a darabokkal megszámlálhatatlanul végtelen sokféleképpen csempézhetô nem periodikusan a sík. Azt, hogy csak nem periodikusan legyen csempézhetô a sík, vagy dudorokkal és horpadásokkal érhetjük el, vagy egy olyasfajta színezéssel, mint amit Penrose alkalmazott, és amit a rajzon a világos, ill. sötétszürke területek jeleznek.

15. ábra. A Pitagoreusok
pentagrammája

Ahhoz, hogy láthassuk, milyen szorosan összefügg egymással és az aranymetszéssel a két csempekészlet, vizsgáljuk meg a 15. ábra ötszögét. Az ókori görög Pitagoreus-szövetség misztikus szimbólumnak tekintette a pentagrammát, és ennek rajza volt az, amivel Goethe Fausztja tôrbe csalta Mefisztót. Az ábrát kifelé és befelé egyaránt akármeddig folytathatjuk, és minden szakasz aranymetszéssel aránylik a következô kisebbhez. Vegyük észre, hogy mind a négyféle Penrose-csempe megtalálható az ábrában. A sárkány az ABCD négyszög, a dárda az AECB. A rombuszok, bár egymáshoz képest nem méretarányosan, AECD és ABCF. Ahogy Conway szokta mondani, a két csempekészlet ugyanazokon az "arany izéken" alapul. Bármelyik, sárkányokról és dárdákról szóló tétel átalakítható a Penrose-rombuszokról szóló tétellé, vagy akármelyik Penrose-féle csempepárról szólóvá, és viszont. Conway a sárkányokkal és dárdákkal dolgozik szívesebben, más matematikusok jobban szeretik az egyszerûbb rombuszokat. Robert Ammann elképesztôen sokféle nem periodikus csempekészletet talált ki. Az egyik készlete, amely két konvex ötszögbôl és egy konvex hatszögbõl áll, az élek bármilyen eltorzítása vagy színezése nélkül kényszeríti ki a nem periodikus csempézést. Több olyan hatszögekbõl álló párt talált, ahol a hatszögek öt belsô szöge 90 fokos, egy pedig 270 fokos. E készletek leírása és figyelemre méltó tulajdonságaik tárgyalása megtalálható Branko Grünbaum és G. C. Shephard "Some Problems on Plane Tilings" címû könyvében.

Vajon vannak-e olyan csempepárok, melyek kikényszerítik a nem periodikus csempézést, de nincsenek kapcsolatban az aranymetszéssel? Van-e két egymáshoz hasonló csempébôl álló pár, amely nem periodikus csempézést kényszerít ki? Van-e olyan konvex csempékbôl álló pár, amely az élek megjelölése nélkül kényszerít ki nem periodikus csempézést?

A legjelentôsebb megoldatlan probléma persze az, hogy van-e egyetlen alakzat, mellyel nem periodikusan csempézhetô a sík. A legtöbb szakértô szerint nincs, de senki nem jutott még csak közel sem a bizonyításhoz. Még azt sem bizonyították, hogy ha van ilyen csempe, akkor az nem lehet konvex.

Fordította:
TÖRÖK JUDIT

(Köszönettel tartozunk Martin Gardnernek, hogy engedélyezte cikke közlését.)


Penrose-csempézés Elsõ rész/1
Elsõ rész/2
Második rész


Természet Világa, 128. évf. 8. sz. 1997. augusztus, 344-349. o.
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/
http://www.ch.bme.hu/chemonet/TermVil/


Vissza a tartalomjegyzékhez