FIZIKA


Balázs Nándor

Káosz és kvantummechanika

A determinizmus kanonikus formáját Newton vezette be a fizikába már több mint háromszáz éve. Ez a következôképpen mûködik. Egy rendszernek van egy állapota; ha ezen állapotot meghatározó paraméterek értékeit -- tehát azok kezdeti értékeit -- ismerjük egy idôpontban, akkor a mozgásegyenletek meghatározzák az új állapotot, megadván a változó paraméterek új értékeit. Ez a determinizmust mint kezdetiérték-problémát kodifikálja. A kezdeti állapotból egyértelmûen elôre kiszámíthatók az ebbôl késôbb kifejlôdô állapotok.

Tehát a) nem tettünk különbséget determinizmus és elôre kiszámíthatóság, a predikció között; b) a determinizmus a predikció által automatikusan beépült a fizikába, ugyanis egy elmélet minôsége annak elôreszámítási képességétôl függ.

Maga a matematikai leírás geometriai kép segítségével szemléletesen ábrázolható. Az állapotot az absztrakt állapottérben egy pont jelöli ki (a dinamikában ezt a teret fázistérnek nevezzük.) Ahogy pereg az idô, ez a pont vándorol az állapottérben, görbét -- utat -- húzva maga után. Az utak nem metszhetik egymást, mert akkor a metszéspont által ábrázolt állapot két különbözô kezdeti állapotból is keletkezhetett volna, ami ellentmond annak a feltevésnek, hogy a kezdeti állapot egyértelmûen határozza meg a végállapotot. A lehetséges kezdeti állapotokat ábrázoló pontsereg összesége folyadékot alkot az állapottérben. Ezért az állapotok fejlôdését úgy is szemlélhetjük, mint ennek az állapotfolyadéknak az áramlását. Ezáltal a mozgásegyenletek lehetséges megoldásait úgy tudjuk értelmezni, mint különbözô folyadékmozgásokat, és így már kvalitatív megértésre is mód nyílik, akár az egyenletek részletes megoldása nélkül.

Mondanom sem kell, hogy a mozgások ilyen leírásának hihetetlen sikere volt (és van) mind elvben, mind gyakorlatban. Kidolgozásához olyan géniuszok neve fûzôdik, mint Laplace, Legendre, Hamilton, Jacobi és sokan mások. Ez irányú munkásságuk a matematika legszebb lapjai közé tartozik ma is. Ennek segítségével írjuk le a bolygók mozgását a Naprendszerben, akárcsak az ûrhajókét vagy a biliárdgolyókét a biliárdasztalon.

A váratlan meglepetés

Majdnem száz éve, 1897/98-ban, váratlan villámcsapás ütött be. Jaques Hadamard, a zseniális francia matematikus meglepô eredményre jutott. Tömegpontok szabad mozgását tanulmányozta olyan zárt felületeken, melyeknek görbülete minden pontban negatív és azonos. (Így minden pontjuk nyeregpont, ezért nem is könnyû ezeket mint a háromdimenziós euklideszi térbe beágyazott felületeket elképzelni. Ha a görbület minden pontban azonos, de pozitív, csak egy ilyen felület létezik: a gömbfelület. Negatív görbület esetén azonban végtelen sok ilyen felület van.)

Hadamard a következô eredményre jutott. Képzeljünk el két pályát. Ezek úgy jönnek létre, hogy az egyik pálya kezdeti adatait parányival megváltoztatjuk, ez lesz a másik pálya. Azt találta, hogy ez a két pálya rohamosan eltávolodik egymástól, és rövid idô múltán semmi hasonlatosságot nem mutat. Minthogy egy véges felületen nem tudnak teljesen elszökni egymástól, egyre kompilkáltabb mozgásokat fognak végezni, hogy egyre növeljék egymás között a távolságot. Tehát a mozgás hihetetlenül érzékeny a kezdeti állapot megváltozására, vagy a kezdeti állapot megadásában rejlô hibára. (Ezt a hibát úgy is lehet értelmezni, mint a kezdeti hely eltolódását.) A nyeregpont azután destabilizálja a mozgást, és ezáltal felnagyítja a kezdeti állapot megadásában rejlô lehetséges hibát. Tehát egy parányi ok óriási okozatot tud létrehozni. Idézem Hadamard-t (1):

"... ha ez így van, akkor érdemes megjegyezni, hogy az égi mechanika egyik alapproblémája -- a Naprendszer stabilitása -- elveszti értelmét, még absztrakt megfogalmazásában is, amikor pont mozgását vizsgáljuk a newtoni gravitációs vonzás következményeként.

Természetesen, ha a rendszer meghatározott erôk hatása alatt fejlôdik, és ha a kezdeti állapot matematikai precizitással van megadva, akkor a késôbbi mozgás és annak tulajdonságai is meghatározottak, még ha az idô a végtelenhez tart is. Az asztronómiában azonban nem ez a helyzet! Ott az adatok, amelyek a mozgást meghatározzák, nincsenek matematikai precizitással megadva, hanem csak fizikai precizitással, tehát hibával, amely csökkenthetô, de meg nem szüntethetô.

Amennyiben mi a mozgást csak egy véges idôn át követjük, legyen az bármily hosszú is, elképzelhetô, hogy a kezdeti adatokban rejlô hiba annyira csökkenthetô, hogy az már nem befolyásolja jelentôsen a pályát. A fenti eredmény azonban azt mutatja, hogy nem juthatunk erre a következtetésre a pálya végsô elrendezésénél. Ez függhet, mint jelen esetben, az integrációs állandók nem folytonos aritmetikai tulajdonságaitól."

Hadamard tehát egy új és váratlan lehetôséget fedezett fel. Léteznek olyan mozgások, melyek determinisztikusak, de elôre meg nem mondhatók. Megszületett az, amit ma kaotikus mozgásnak nevezünk!

A klasszikus káosz

Hogan tudjuk átlátni, mi történhetett? Poincaré vetette fel az ötletet, hogy a mozgások kvalitatív analízisét az állapotfolyadék mozgásának kvalitatív analízise révén tanulmányozhatjuk. A következô kép alakul ki.

Sok esetben, mint például a bolygók mozgásánál, az állapotfolyadék simán áramlik, mint lassú folyam a medrében. Ezek az úgynevezett integrálható mozgások. A kaotikus mozgásoknál azonban nem ez a helyzet. Ott az állapotfolyadék úgy viselkedik, mint mint gyúrás közben a tészta. Az idealizált háziasszony kigyúrja a tésztát vékonyra, majd darabokra vágja, a darabokat egymásra rakja és újra kigyúrja. A káoszt létrehozó mechanizmus ugyanezt utánozza. A gyúrás során az állapottészta egy irányban vékonyodik, a másik irányban kiterjed; a felvágás és egymásra rakás pedig újra és újra megkeveri az állapottészát. (Ezt az irodalom "pék-transzformációnak" nevezi - szerk.) A masszában az egymáshoz közel fekvô pontok (állapotok!) a gyúrás miatt távolodnak, míg a felvágás és egymásra rakás következtében összekeverednek. Így sorsuk egymástól teljesen függetlenné válik, ellentétben a simán áramló folyóval.

Poincaré programjának folytatása a matematika egy új területét, a dinamikus rendszerek elméletét hozta létre. Nagy sikerei közé tartozik -- többek között -- a különbözô lehetséges mozgások részletes matematikai osztályozása és tanulmányozása. Itt olyan nevekkel találkozunk, mint Birkhoff, Hopf, Smale, Milnor és sokan mások.

E megfigyelések és munkák többel is szolgáltak, mint csupán matematikai meglepetéssel, szépséggel és eleganciával. Egyben választ adtak egy hosszan zaklató kérdésre, és az e a válasz létrehozta annak a statisztikus mechanikának a megalapozását, amely a mindennapos, makroszkopikus világgal foglalkozó fizika nagy részét tartalmazza.

A statisztikus mechanika valószínûségi számításokon alapul. Már annak megalapítóiban -- mint Maxwell, Boltzmann, Gibbs, Poincaré, Einstein és Smoluchowski -- felmerült annak a kérdése, hogy miképpen lehet valószínûségi számításoknak bármi helye egy determinisztikus fizikában?

A dinamikai rendszerek modern elmélete megadja erre a választ, és bebizonyítja, hogy az a megsejtés, amelyre Maxwell és Boltzmann alapította magyarázatát (az ergodikus hipotézis), valóban érvényes a kaotikus mozgásokra. Sôt, nemcsak a sok szabadságfokkal rendelkezô dinamikai rendszereknél -- amelyekkel a statisztikus mechanika foglalkozik -- érvényes, hanem már olyan egyszerû modellnél is, mint például Hadamard két szabadságfokú példája. Ilyen esetekben a mozgás nagy érzékenysége, az állapotfolyadék gyúráshoz hasonló mozgásában fellépô keveredés és az állapottér felhasználható részének véges nagysága olyan mozgásokat hoz létre, amelyek megkülönböztethetetlenek egy valószínûségszámítással modellezett mozgástól. Ezen tulajdonságok együttes jelenléte hozza létre a mozgás kaotikusságát.

A második meglepetés

Majdnem harminc évvel Hadamard nagy felfedezése után, 1925-26-ban megszületett az új mechanika -- a kvantummechanika -- Heisenberg, Dirac és Schrödinger munkássága nyomán.

A klasszikus mechanika képtelen volt leírni azokat a jelenségeket, amelyek az atomban játszódnak le. Még azt sem tudta megmagyarázni, hogy miért nem képes a klasszikus elmélet ezt megtenni. Voltak erôfeszítések, hogy megpróbálják a régi klasszikus állapotképet használni, ad hoc szabályokkal fûszerezve. Ilyen pédául az állapottérnek a Planck által felvetett cellabeosztása (aminek eredményeként a Planck-állandó megszületett), vagy ilyenek Bohr szabályai, amelyek integrálható mozgásoknál csak bizonyos pályákat engedtek meg. Ezek a javítgatások azonban elégtelennek bizonyultak. Teljesen új szempont kellett.

Az új mechanika állapotleírása és állapottere teljesen megváltozott. Ez egy végtelen dimenziós tér lett, egy Hilbert-tér. Ebben az állapotot egy pont ábrázolja egy egységnyi sugarú gömb felületén. A magára hagyott rendszer mozgása ismét leírható ennek a pontnak a vándorlásával, és az összes lehetséges pontok mozgása megint egy állapotfolyadék áramlásának felel meg. Ez azonban teljesen más tulajdonságokkal bír, mint a klasszikus esetben. Egy pont mozgását most úgy is elképzelhetjük, hogy a kezdeti állapotot odaszögeljük a gömbfelületre, és a gömböt forgatjuk megfelelô módon ide-oda, a középpontja körül.

Következésképpen, a kezdeti állapotok relatív elhelyezkedése a gömbön nem változik az idôvel! A klasszikus kaotikus mozgás alapmechanizmusa nem mûködik.

Ez önmagában nem okozna szükségképpen megdöbbenést. Végeredményben könnyen elôfordulhat az, hogy egy korlátozottabban érvényes elmélet -- klasszikus mechanika -- olyan tulajdonságokkal bír, amelyek elvesznek egy helyesebb elméletben -- a kvantummechanikában. A helyzet azonban nem ilyen egyszerû.

A kvantum-statisztikus mechanika kitûnôen funkcionál. Ám mi ennek az alapja? Mi a klasszikus statisztikus mechanika sikerét okozó érzékenységi és keverési mechanizmus analogonja? Ez az alapprobléma új kérdéseket vet fel.

Az új kérdések

1. A klasszikus mechanika megközelíthetô a kvantummechanikából határátmenettel -- a szemiklasszikus közelítéssel --, amelyben a Planck-állandóval zérushoz tartunk. Mi történik akkor, ha ezt a határátmenetet egy olyan rendszeren visszük végbe, amelynek klasszikus mozgása kaotikus; milyen módon adódik vissza a kaotikus mozgás, midôn az eltelt idô a végetelenhez tart?

Azonnal látni lehet, hogy itt kettôs határátmenettel állunk szemben: az idô a végtelenhez tart, míg a Planck-állandó zérushoz. Az eredmény általában attól függ, hogy milyen sorrendben végezzük a két határátmenetet. Jelenleg a helyes sorrendet csak megsejtéssel tudjuk kiválasztani. Én a következô feltevésben hiszek. A kvantummechanikai mozgásokban új karakterisztikus idôskálák lépnek fel, amelyek függnek a Planck-állandótól. Olyan mozgási idôtartamok alatt, amelyek ennél kisebbek, a klasszikus és kvantummechanikai mozgás teljesen különbözô lehet. Minthogy ezek az új karakterisztikus idôskálák a végtelenbe tartanak -- ahogy a Planck-állandó zérushoz tart --, a klasszikus határesetben már nem látjuk meg ezt az eltérést. Így érthetô, hogy a klasszikus határeset miért lehet kaotikus annak ellenére, hogy a klasszikus káoszt létrehozó mechanizmus nem mûködik a kvantummechanikában.

2. Meg kell azonban tudnunk, hogy hol rejtôznek a véges idôben létrejövô kvantummozgásokban a klasszikus kaotikus mozgások ujjlenyomatai. A kvantummechanikai mozgás egyszerûsége (a gömbforgatás) annak a következménye, hogy az általános megoldást stacionárius megoldások összegével lehet kifejezni. Tehát ezeknek az információknak már valahol a stacionárius megoldásokban jelen kell lenniük.

Hogy hol és miként, annak óriási irodalma van. Ebbôl csak két érdekes megfigyelést említek meg. a) A stacionárius megoldásokhoz tartozó energianívók eloszlásában fellépô fluktuációk különböznek aszerint, hogy a klasszikus rendszer kaotikus vagy nem.

b) A stacionárius megoldások helytôl való függésében úgynevezett "sebek" lépnek fel, amelyeket a szemiklasszikus állapotfüggvényekben a klasszikus pályák tudnak okozni.

3.Az idôtôl való függés említett egyszerûsége -- ami tönkreteszi a klasszikus káosz mechanizmusát -- az alapegyenletek linearitásának a következménye. Vajon nem okozhat-e ez a linearitás máshol olyan jelenségeket, amelyek helyettesíthetnék a kezdeti értéktôl való függés elveszett érzékenységét?

A linearitás legpregnánsabb következménye az interferenciajelenségek léte, és azoknak a fázisoktól való rendkívüli érzékenysége. Vannak-e különbségek a kvantummechanikában fellépô interferenciajelenségekben attól függôen, hogy a klasszikus rendszer kaotikus vagy nem? A válasz nem ismeretes.

4. Eddig az állapotoknak csak azzal az idôbeli változásával foglalkoztunk, amely a klasszikus, determinisztikus idôváltozásnak a megfelelôje. A kvantummechanikában azonban nem lehet de facto figyelemmel kísérni az állapotváltozást mérés nékül. Ugyanakkor a mérômûszer hozzákapcsolása és a mérés eredményének megfigyelése irreverzibilis módon megváltoztatja a rendszer állapotát. Ennek részletes leírása a kvantummechanikán belül ma még mindig vitatott. Az új állapot már csak a mérômûszer tulajdonságát tükrözi. A rendszer eredeti állapota csak a mért eredmény értékének valószínûségét befolyásolja, de nem az új állapotát. Felmerül tehát a kérdés, hogy vajon a mérés által létrehozott kvantummechanikai következmények milyen módon függnek attól, hogy a rendszer klasszikusan leírt mozgása kaotikus-e vagy sem?

Gondolok itt különösen a következô problémákra. Van-e a káosznak különleges szerepe a) abban, hogy milyen mennyiségek mérhetôk; b) abban, hogy a mérés nem lokális kapcsolatokat tud létrehozni; c) az állapotoknak a mérés által létrehozott, úgynevezett összefonódásában (entanglement)?

Ezeknek a kérdéseknek az ihletôje a matematika. Azonban nem szabad elfelejtenünk, hogy a fizika végül is kísérleteken alapul. Léteznek valóban kísérletek, amelyek ilyen kérdésekkel foglalkoznak. Sajnos nem az alapkérdésekkel; minthogy nyílt rendszereket és azok szemiklasszikus állapotait tanulmányozzák, például hidrogénatomok ionizációját külsô, idôben változó terek hatására.

Nagy szükség lenne olyan zárt rendszereket vizsgálni, amelyel klasszikusan kaotikusak, azonban olyan állapotokban vannak, amelyekben erôs kvantummechanikai hatások uralkodnak, tehát távol bármi szemiklasszikus közleítés lehetôségétôl. Nem ismerek ilyen kísérleteket.

Összefoglalás

A klasszikus mechanikában sikeresen elértük a dinamikai rendszerek leírásának részletes osztályozását és megértettük azokat a mechanizmusokat, amelyek ezeket léltrehozzák és a hozzájuk tartozó diagnosztikai segédeszközöket. Tudjuk pontosan, hogy mirôl beszélünk, ha azt mondjuk, hogy egy klasszikus rendszer mozgása kaotikus. A kvantummechanikában teljesen más a helyzet! Ott két különbözô idôbeli fejlôdése lehet egy rendszer állapotának. Az a fejlôdés, amely a klasszikus fejlôdés analogonja -- és amelyet idôtôl függô Schrödinger-egyenlet ír le --, nem képes a klasszikus kaotikus mozgások megfelelôjét létrehozni. A másik idôben változó mozgás, amely a mérés által történik, részleteiben még ma is vitatott. Így tehát nem tudjuk egyáltalán tanulmányozni, hogy ott milyen különbségek léphetnek fel aszerint, hogy a mérendô rendszer vagy a mérômûszer, klasszikusan leírva, kaotikus mozgást végez-e vagy sem.

Tehát sok érdekes, új és még megoldatlan probléma merül fel. Következésképpen ez a problémakör várhatóan a fizika egyik igen aktív területévé válik. Az új lehetôségek azonban nem teljesen veszélytelenek.

a) Az itt végzett kutatás kiválóan alkalmas önreklámra, mert olyan problémákat is tartalmaz, amelyek erôs rezonanciát tudnak létrehzoni a nagyközönségben. Ez a történésnek nagyobb súlyt képes adni, mint az értékes kutatásnak.

b) A kutatási ihletek inkább származhatnak a matematikából, mint a kísérleti fizikából. A matematika azonban olyan gazdag, szép és érdekes a lehetôségekben, hogy gyakran félrevezeti a fizikust. Szívünkre kell venni Sganaralle bemondását:

"Amennyire én látom, az ön vallomása matematika. Meg kell hagyni, hogy fura bolondságokat ültet az emberek fejébe, és bár buzgón tanulmányozta azt az ember, többnyire kevésbé okos a végén, mint elôtte..."

(Molière: Don Juan, III. felvonás, I. jelenet)


IRODALOM

J. Hadamard: Selecta (Válogatott írások ) Paris, Gauthier-Villars (1935), 210. o.


Természet Világa, 128. évf. 5. sz. 1997. május, 197 -199. o.
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/
http://www.ch.bme.hu/chemonet/TermVil/


Vissza a tartalomjegyzékhez