MATEMATIKA


Szerencsés számok
R. P. FEYNMAN

Egy nap Princetonban, az egyetemen, az elôcsarnokban üldögéltem, és hallottam, hogy a matematikusok ex exponenciális függvény hatványsoráról beszélgetnek, amely 1 + x + x2/2! + x3/3!... . Mindegyik tagot úgy lehet megkapni, hogy az elôzôt x-szel szorozzuk, és elosztjuk a következô egész számmal. Így az x4/4! utáni tagot úgy kapjuk meg, hogy 5-tel osztunk és x-szel szorzunk. Szóval nagyon egyszerû a dolog. Gyerekkoromban nagyon izgattak a hatványsorok, és sokat játszottam velük. Hatványsor segítségével kiszámítottam az e számot (2,718), és láttam, hogy milyen gyorsan csökkennek az egymás utáni tagok.

Tettem valami megjegyzést arról, hogy milyen könnyû a hatványsor segítségével e bármilyen hatványát kiszámítani, hiszen x-et csak be kell helyettesíteni.
"Tényleg? Na akkor mennyi az e a 3,3 hatványon?" mondta az egyik fickó, azt hiszem, a neve Tukey volt.
"Ez könnyû, 27,11 az érték" válaszoltam.
Tukey persze tudta, hogy nem olyan könnyû mindezt fejben kiszámolni. "Hogy csináltad?" kérdezte.
"Tudjátok, milyen ez a Feynman, csak hülyéskedik, nincs is igaza" mondta valaki.
Gyorsan elmentek egy függvénytáblázatért, azalatt pedig én hozzátettem néhány tizedesjegyet: "27,1126" mondtam.
Megnézték a táblázatban: "Igaza van! De hogyan csinálta?"
"Csak felösszegeztem a szorzatot." "Senki sem tud ilyen gyorsan felösszegezni. Biztosan véletlenül tudtad ezt a számot. Nos, akkor mennyi e a köbön?"
"Idehallgassatok, ez nehéz munka, legyen elég egy napra egy!"
"Aha, szóval csaltál!" kiáltják nagy örömmel.
"Rendben van, az eredmény 20,085."
Megnézik a táblázatban, közben én ismét további tizedesjegyeket teszek hozzá. Most már nagyon izgatottak, mert a második szám is egyezik.
Itt vannak az okos matematikusok, és nem képesek rájönni, hogyan számolom ki az e hatványait! Egyikük erre azt mondja: "Nem lehet egyszerûen behelyettesíteni és összegezni, az túl nehéz. Olyan hatványkitevônél, mint például az 1,4, biztosan nem lehet."
"Nehéz munka, de a kedvetekért megcsinálom. Az eredmény 4,05" mondom.
Ahogy felnéztek, további jegyeket adtam hozzá, majd kisétáltam: "Mára ez volt az utolsó, haverok!"

Ami pedig történt, az a következô volt: véletlenül emlékeztem három számra a 10 szám e alapú logaritmusa 2,3025 (erre van szükség a különbözô alapú logaritmusok átszámításához, így tudtam, hogy e a 2,3-dik hatványon közel van tízhez); a radioaktivitás miatt (felezési idô) pedig emlékeztem a 2 szám természetes logaritmusára, amely 0,69315 (tehát azt is tudtam, hogy a 0,7-dik hatvány majdnem egyenlô 2-vel). Ezenkívül emlékeztem az e szám értékére is.

Az elsô feladatban a szám a 3,3-dik hatvány volt, amely gyakorlatilag a 2,3-dik hatvány e-vel szorozva, azaz 27,18. Amíg ôk azt találgatták, hogyan csináltam, megbecsültem a korrekciót, mivel a 2,302 kicsit túl nagy. Tudtam, hogy még egy számnál már bajba kerülök, mivel ez puszta szerencse volt. De ekkor jöttek a köbbel, ami e 2,3-dik hatványa megszorozva a 0,7-dik hatvánnyal. Ismét csak tudtam, hogy az eredmény 20 körüli szám, amit már csak pontosítani kellett.

Most már biztos voltam benne, hogy tovább nem tart a szerencse, mivel már kétszer beletaláltak, de ekkor egy fickó jött az 1,4-dik hatvánnyal, ami a 0,7-dik hatványnak a négyzete! Szóval megint nem kellett mást csinálnom, mint a 4 körüli értéket egy kicsit pontosítani. Soha nem jöttek rá, hogy csináltam!

Amikor Los Alamosban voltam, megtudtam, hogy Hans Bethe a fejszámolásban egyszerûen verhetetlen. Például egyszer számokat kellett egy formulába helyettesíteni, és közben 48 négyzetét kellett kiszámítani. Nyúlok a Marchant számológépemhez, közben Bethe megjegyzi: "Az eredmény 2300". Miközben kurblizok, hozzáteszi: "Ha a pontos eredményt akarod, az 2304". Pontosan ezt adja a gép is! "Hát ez aztán igen!" mondom.

"Hát nem tudod, hogy kell az 50 körüli számokat négyzetre emelni? 50 négyzete 2500, ebbôl meg ki kell vonni a kérdéses szám és az 50 közötti különbség (ebben az esetben ez a 2) százszorosát." Tehát az annyi, mint 2300. Ha pedig a korrekciót akarod, emeld négyzetre a különbséget. Így lesz 2304" mondta.

Néhány perc múlva 2,5 köbgyökére van szükség. A számológép mellett itt az elsô közelítéshez egy táblázatra van szükség, tehát nyúlok a fiókba. Ezúttal egy kicsit tovább tart, de nemsokára mondja: "1,35 körül van az eredmény".

Utánaszámolok a gépen, tényleg annyi. "Hogy csináltad, van a köbgyökökre is egy titkos módszered?"
"Oh, az egyszerû, 2,5 logaritmusa az ennyi meg ennyi. Na már most ennek a logaritmusnak a harmada az 1,3 logaritmusa és 1,4 logaritmusa között van. Ezek értéke ennyi meg ennyi, tehát csak interpolálni kellett" mondta.

Szóval megtudtam egy pár dolgot: elôször is ô (Bethe) tudja fejbôl a logaritmustáblát, másodszor olyan gyorsan számol fejben, hogy nekem a gépen tovább tartott volna kiszámítani az egészet.

Nagyon élveztem, hogy Hansszal különbözô trükköket csináltunk a fejszámolásban. Nagyon ritkán fordult elô, hogy valami új trükkre bukkantam, vagy én kaptam meg elôbb az eredményt. Ilyenkor jót nevetett örömében. Bármilyen probléma megoldását pillanatok alatt megkapta egy százalék pontossággal. Na persze könnyû volt neki minden szám közel volt egy olyan számhoz, amit ô fejbôl tudott!

Amikor elôször voltam Brazíliában, egyszer éppen ebédeltem nem tudom, hány óra köról lehetett, ott mindig rossz idôben mentem étterembe , én voltam az egyetlen vendég. Rizses szeletet ettem (nagyon szerettem), és négy pincér ôdöngött a helyiségben.

Bejött egy japán az étterembe. Korábban már láttam ôt többször is, sokat mászkált arrafelé, abakuszokat (golyós számológépeket) próbált eladni. Versenyre hívta a pincéreket, azt mondta, gyorsabban tud összeadni, mint bármelyikük.
A pincérek nem akartak veszteni, ezért azt tanácsolták, hogy menjen oda a vendéghez. Az ember oda is jött. Én tiltakozni kezdtem, hogy nem tudok elég jól portugálul. A pincérek nevettek: "A számok könnyûek!", majd papírt és ceruzát hoztak.

Az ember megkérte a pincéreket, hogy soroljanak fel számokat, amiket össze kellett adni. Persze laposra vert, mert amíg én a számokat írtam, ô már összeadogatta ôket.
Azt javasoltam, hogy a pincérek írjanak le két azonos számsort, és azt egyszerre adják át nekünk. Sokat nem változtatott a dolgon, még mindig alaposan megvert.
Az ember kezdett izgatott lenni, és még inkább bizonyítani akarta rettenetes fölényét. "Multiplicaçao" (szorzás) kiáltott diadalmasan.

Valaki leírt egy feladatot. Megint ô gyôzött, de már korántsem akkora fölénnyel, mivel a szorzásban elég gyors vagyok.
Az ember ekkor elkövetett egy hibát: tovább akart menni az osztásra. Nem vette észre, hogy minél nehezebb a feladat, annál inkább csökken az elônye.
Mindketten hosszú osztási feladatot kaptunk, az eredmény döntetlen volt. Ez nagyon felizgatta a japánt, aki nyilvánvalóan jól begyakorolta az abakusszal való számítást, és akkor egy ember az étteremben majdnem megveri!

"Raios cubicos" mondta szinte vérben forgó szemekkel. Köbgyököt vonunk! A szerencsétlen aritmetikával akar köbgyököt vonni! Nehéz ennél bonyolultabb feladatot találni az aritmetikában. Nyilván otthon nagymestere az abakusznak!
Leír egy számot egy darab papírra még ma is emlékszem rá: 1729,03. Elkezd dolgozni, miközben magában motyog. Dühödten, nagy energiával dolgozik, csak úgy csattognak az abakusz golyói. Vonja a köbgyököt! Ezalatt én pedig csak ott ülök!

Az egyik pincér odaszól: "Hát maga mit csinál?"
A fejemre mutatok: "Gondolkodom". Majd leírom a papírra: 12. Némi gondolkodás után kiegészítem: 12,002.
A számítógépes fickó megtörli izzadt homlokát, és azt mondja: 12!
"Na nem, több számjegyet, ez kevés" mondom. Ugyanis jól tudom, hogy aritmetikával végzett köbgyökvonásnál minden további számjegy egyre több számítást igényel.

Versenytársam beletemetkezik a munkába, majd egy idô után felemeli a fejét, és azt mondja: 12,0. Ezalatt persze én további két tizedesjegyet írtam le.
A pincérek egyre izgatottabbak és vidámabbak lesznek. Boldogan kiáltják a japánnak: "Odanézzen, ez itt fejben csinálja, maga meg géppel, mégis neki van több számjegye!"
Az ember porrá zúzva, megszégyenülten távozott. A pincérek boldogan rázták egymás kezét, gratuláltak egymásnak a sikerhez!

Hogyan lehetett legyôzni az abakuszt? A szám 1729,03 volt. Véletlenül emlékeztem arra, hogy egy köblábban 1728 (12 x 12 x 12) köbhüvelyk van, tehát az eredmény egy kicsivel több, mint 12. Az 1,03 többlet a 2000-nek kevesebb, mint egy ezreléke, én pedig az analízisben az tanultam, hogy a köbgyök többlete egyharmada a szám többletének. Tehát az 1/1728-at néggyel meg kellett szoroznom (hárommal osztani, majd tizenkettôvel szorozni). Ily módon egy csomó értékes jegyet lehetett megkapni.

Néhány héttel késôbb összetalálkoztam a japánnal egy koktélbárban. Felismert és odajött hozzám. "Mondja, hogyan tudta azt a köbgyök feladatot olyan gyorsan megoldani?" kérdezte.
Elkezdtem magyarázni neki, hogy a módszer közelítô, és a hibaszázalékkal kapcsolatos. "Tegyük fel, hogy 28 lett volna a szám. Na már most 27 köbgyöke 3..."
Az ember felkapja a számológépet, kattog rajta, majd kijelenti: "Úgy van!"

Ekkor értettem meg, hogy ez az ember nem ismeri a számokat! Az abakusz használatához nem kell a szorzótábla memorizálása, csak azt kell megtanulni, hogy a kis golyókat hogyan kell fel és le tologatni. Nem kell emlékezni arra, hogy 9 + 7 = 16; az embernek csak azt kell tudni, hogy 9 hozzáadásakor a tízes értékû golyót fel kell tolni, az egyes értékût pedig le kell húzni. Mi tehát ugyan lassabbak vagyunk az alapmûveletek elvégzésekor, ezzel szemben ismerjük a számokat.

Szegény ember számára a közelítô módszer alapgondolata is teljesen felfoghatatlan volt, mégha a köbgyököt sem lehet pontosan kiszámítani semmiféle módszerrel. Ezért nem is voltam képes elmagyarázni neki, hogyan számítottam ki a köbgyököt, arról nem is beszélve, hogy milyen szerencse volt, hogy ô éppen az 1729,03 számot választotta!

Fordította:
B. GY.


További Web-irodalom: Feynman Online


Természet Világa, 127. évf. 12. sz. 1996. december, 565566. o.
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/
http://www.ch.bme.hu/chemonet/TermVil/


Vissza a tartalomjegyzékhez