KÖZÖTT
SCHILLER RÓBERT ROVATA



...tévednek azok, akik szerint a matematikai tudományok
semmit sem mondanak a széprôl vagy a jóról.
Arisztotelész


Esti Kornél entrópiája*


Beszélgetés Tóth Jánossal

A történet tulajdonképpen kedélyes és tréfás, Kosztolányi nyelve derüsen ironikus, mégis döbbenten tesszük le, még sokadik olvasás után is, a novelláskötetet. A bolgár kalauz, az Esti Kornél történetek egyik legismertebb része, bizony hogy horror a javából. Információelméleti horror.

Arról van szó, hogy az elbeszélô, Esti Kornél, átutazóban Bulgárián, egész éjjel beszélget a vasúti kalauzzal, pedig csak annyit tud bolgárul, hogy igen meg nem. A történet nem arról szól, hogy ennyi is elég. Arról szól, hogy ez is túl sok. Mert a kalauz Esti kérdô tekintetére elôbb néhány mondatot mond; majd az elsô "igen" elhangzása után mintha egy hosszabb történetbe kezdene, amelybe aztán egy újabb "igen" hatására úgy belemelegszik, hogy egy negyedórán át, majd kisebb megszakításokkal vagy másfél órán keresztül beszél és beszél. Vidáman megvannak, jó cimboraságban.

Aztán egyszerre elhallgat a kalauz, egy kutya fényképét mutatja Estinek, meg egy levelet meg két csontgombot (elég meglepô kollekció), aztán hirtelen zokogásba tör ki – és Esti ekkor azt mondja: "Nem, nem nem." Ez a szó hirtelen ellenségessé, gyanakvóvá teszi a kalauzt, láthatóan nem bízik már Estiben; az nem tehet mást, szótlanul a fülkéjébe vonul.

Amíg csak a bucsuzónál, ahogy leszáll a vonatról, oda nem kiáltja a kalauznak: "Igen". Amitôl az "megenyhült, földerült, a régi lett." Vagyis hát boldogan végzôdik a történet. A kalauznak-e, Estinek, vagy nekünk, olvasóknak?

Balassa Péter egy mostanában megjelent tanulmányában[1] azt írja, hogy ez a novella a diszkurzív logika kritikája. És az emberi érintkezés egy alapvetô hipotézisének diadala, amely szerint a metakommunikáció eszközei egyformák a szabadkai gimnáziumban, a pesti kávéházban és egy bolgár vonaton. Ez bizony nyaktörô játszma – ismeri el Balassa is. Dehát a metakommunikáció leginkább csak az "igent" és a "nemet" helyettesíti ô szerinte is – nem követünk el ezért talán nagy hibát, ha csak az "igenre" meg a "nemre" gondolunk a továbbiakban.

Számítástechnika és információelmélet nagy divatja idején lehetetlen, hogy eszünkbe ne jusson: Esti 1 bit információ leadására képes, és ezt az 1 bitet a kalauz fel tudja dolgozni. Esti azonban képtelen arra, hogy a kalauztól származó információt dekódolja. Mit jelent ez a szituáció az információelmélet nyelvén?

Matematikus barátomat, Tóth Jánost kérdeztem meg, hogyan lehetne ezt az aszimmetrikus diskurzust az információelmélet fogalmaival kifejezni.

– Gondoljunk el elôször egy még szélsôségesebb szituációt – javasolta János.

– Nem kell elgondolni, más már elgondolta – és Jókait ajánlottam.

Sátory ôrnagy, süket mint az ágyú, a nádor elôszobájában várakozik kihallgatásra. Közben beszédbe elegyedik egy ott várakozó francia úrral, akinek jó magvas franciasággal elmennydörgi a maga baját. "A szegény megfogott idegen hiába szabadkozik, hogy ô egy szót sem ért franciául, mert ô olasz; mindegy! Meg kell ôneki mind azt hallgatni, ami neki van szánva." Jókainak ezen a kis történetén az És mégis mozog a Föld minden olvasója derülni szokott. A nádor elôszobájában azonban csak egyetlen embernek kellett a nevethetnékjét féken tartania, a kalocsai prelátusnak, ô lévén a társaságban az egyetlen, aki franciául is, olaszul is értett.

No lám, ez egyszerûbb eset, itt egyik fél se tudta a másik üzenetét dekódolni, nem cseréltek semmi információt. Ami azonban a harmadik jelenlévôt illeti, a prelátus információja szépen növekedett közben. Ez azonban a beszélgetôkön semmit nem segített.

Jellemezzük a párbeszédeket az egymást követô megszólalások kölcsönös információjával – javasolta János. A kölcsönös információ, I(X,Y), jól ismert fogalom az információelméletben; átlagosan ennyi információt szerzünk Y-ról X ismeretében . Ez a mennyiség szimmetrikus X-re és Y-ra: I(Y,X) = I(X,Y). Ha S(X) az X-re vonatkozó információelméleti entrópia, más szóval a hiányzó információ átlagos mennyisége (ha úgy tetszik, a váratlanság várható értéke); S(Y|X) annak az információnak az átlagos mennyisége, amely Y értékének a megadáshoz szükséges, ha X értéke ismert; S(X,Y) pedig az együttes eloszlásból származó entrópia; úgy a kölcsönös információ:

I(X,Y) = S(X) – S(Y|X) = S(X) + S(Y) – S(X,Y)

Az entrópiákat a megfelelô valószínûségekkel fejezhetjük ki:

S(X) = –Si p(i) lnp(i)

S(Y|X) = –Si p(i) Sj p(j|i) lnp(j|i)

ahol p(i) annak a valószínûsége, hogy X = x(i), és p(j|i) annak a valószínûsége, hogy Y = y(j), feltéve, hogy X = x(i).

Egy párbeszéd során a két beszélgetô partner, A és B, váltva szólal meg. Legyen az egymás utáni megszólalások sorszáma 1, 2, ..., (n–1), n, ... . Az A partner szövegének valószínûségi változója az n-edik megszólaláskor Xn , a B partneré az (n–1)-edik megszólaláskor Yn–1. Általában az egyik fél (n–1)-edik megszólalása befolyásolja a másik fél n-edik megszólalását.

Egy "jó beszélgetésben", ahol a résztvevôk szókincse, fogalomköre, érvrendszere egymáshoz hasonló, ott az egyikük szóhasználatát leíró p(i) és p(j|i) valószínüségek eloszlásai nagyon hasonlóak lesznek a másikukét leíróhoz. Következésképpen az egymást váltogató megszólalások kölcsönös információja átlagosan és közelítôleg egyenlô egymással:

I(Xn+1,Yn) » I(Yn,Xn–1)

Intuitive azt is várja az ember, hogy n növekedtével I zérushoz tart; az érvek kimerültével a megszólalók egyre kevésbé tudják egymást befolyásolni, ezért

S(Yn|Xn–1) —> S(Yn)

A "nádori elôszoba" szituációjában I(Xn+1,Yn) = I(Yn,Xn–1) = 0 minden n-re, vagyis a kölcsönös információk értéke azonosan zérus, mert a beszélgetôk semmi módon nem tudják egymást befolyásolni, ezért

S(X) + S(Y) = S(X,Y)

A "bolgár kalauz" szituációban legyen a kalauz valószínûségi változója X, Estié pedig Y. A kalauz ismeri és használja anyanyelvének szókincsét, ennek valószínûségi eloszlása legyen P[X = x(i)] = p(i). Esti csak igent és nemet tud mondani, véletlen eloszlásban, ezért az ô szövegére igaz, hogy Y = j Î (0,1) és p(j) = 1/ 2.

Annak a valószínûsége, hogy Esti 0-t vagy 1-et mond az n-edik megszólalásnál, miután a kalauz x(i)-t mondott az (n–1)-edik megszólalásnál, mindig 1/ 2, mivel Estit nem befolyásolja a kalauz szövege. Ezért a feltételes valószínûség:

P[Yn = j |Xn–1 = x(i)] = p(j) = 1/ 2

Ezzel szemben annak a valószínûsége, hogy a kalauz x(i)-t mond az (n+1-edik megszólalásnál, miután Esti 0-t vagy 1-et mondott az n-edik megszólalásnál, tehát a P[Xn+1 = x(i) |Yn = j] feltételes valószínûség, általában függ j-tôl, tehát attól, amit Esti találomra mondott. A kalauz szövegének S(X) teljes entrópiája mindig valamilyen nagy szám, Esti szövegének entrópiája pedig ln 2. Esti megszólalásának kölcsönös információja:

I(Yn,Xn–1) = S(Xn–1) + S(Yn) – S(Xn–1,Yn) = S(Xn) + ln 2 – [S(Xn) + ln 2] = 0

A kalauz megszólalásának kölcsönös információja pedig:

I(Xn+1,Yn) = S(Xn+1) + S(Yn) – S(Xn+1,Yn) = S(Xn+1) + ln 2 – S(Xn+1,Yn) > 0

Ezt az információt nyeri a kalauz Estitôl, mert Xn+1 függ Yn-tôl, tehát S(Xn+1,Yn) < S(Xn+1) + S(Yn ). Esti a kalauztól nem nyer információt, mert Yn nem függ Xn–1-tôl.

Ennél többet az információelmélet, amely érzéketlen az információk tartalmára, nem nagyon tud mondani. Továbbiakat ezért már csak valamilyen empírikus vizsgálattól várhatunk. Ez a vizsgálat maga a novella. Ennek eredménye pedig megdöbbentô. A fenti elemzés szerint a döntô kifejezés az S(Xn+1,Yn) entrópiafüggvény. Ennek argumentumában két mennyiség áll: X – ez a teljes bolgár nyelv, és Y – ez 0 vagy 1 . Esti Kornél kisérlete azt bizonyítja, hogy az X-hez képest jelentéktelennek tetszô Y hatalmas változásokat okozhat a kölcsönös információban.

Kosztolányi a "bábeli nyelvzavar édes rémületérôl" ír a novella alcímében. A rémületet értem: alig lehet valami ijesztôbbet elképzelni, mint ha egy elhanyagolhatóan kicsi perturbációt aránytalanul nagy válasz követ. Egy gyufaláng méretû perturbációt egy benzíntartály robbanása. A kalauz – ha szabad magamat így kifejeznem – rémítôen nemlineáris rendszer. A ritkásan elhangzó igenekre és nemekre váratlanul nagyot változik a tôle kiinduló információ.

Azon inkább lehet csodálkozni, hogy ezt a rémületet édesnek nevezi az író. No igen, a novellának végtére is derüs a befejezése. De érdemes lenne meghallgatni az esetrôl a kalauz véleményét is.


HIVATKOZÁS: [1] Balassa Péter: A bolgár kalauz, Pesti Szalon, Budapest, 1996

*MEGJEGYZÉS: A szövegben szereplô matematikai szimbólumok egy részét csak a Netscape és az Internet Explorer 3-as verziója mutatja helyesen.


Természet Világa, 127. évf. 12. sz. 1996. december, 561–562. o.
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/
http://www.ch.bme.hu/chemonet/TermVil/


Vissza a tartalomjegyzékhez