Prékopa András

Bolyai János forradalma

Harmadik rész


A Bolyai–Lobacsevszkij-geometria fogadtatása és utóélete

Lobacsevszkij közleményeit a szakmai és a nem szakmai közvélemény egyaránt érdektelenséggel fogadta. Bolyainál nem ez volt a helyzet, ő még letaglózást is kapott hozzá, Gausstól. Ám másoknak azért lehetett pozitív véleménye Bolyai művéről. Talán a leghivatottabb testület, a Magyar Tudós Társaság Mathematikai Osztálya kifejezte valamiképpen elismerését? Vállas Antal akadémikus 1836-ban összefoglaló cikket írt a hazai matematika addigi eredményeiről. Hosszasan panaszkodik, hogy nehéz sorsunk volt; tatár, török stb., ezért nem tudtunk eléggé fejlődni. Bolyaival kapcsolatban idézi a Tentamen, Az arithmetica eleje és Az arithmeticának, geometriának és physikának eleje című műveket. A szövegben csak annyit ír, hogy „Bolyai különcségével tűnik ki”. A művek felsorolásából látjuk, hogy Farkasról, nem pedig Jánosról van szó. Ámde a Tentamen címében benne van, hogy „Cum Appendice Triplici”, tehát valamiképpen mégis szerepel János műve is a felsorolásban? Sajnos, ez sem áll. Az említett három függelék a második kötethez tartozik, vagyis a teljes könyv végén van. A Tentamenhez készített magyar nyelvű prospektus tájékoztatta a vásárlókat arról, hogy a jelzett három függelék hol található. E szerint Bolyai János művét Vállas Antal összefoglaló cikke nem említi, az irodalomjegyzékben sem szerepel. Azt, hogy az összefoglaló cikk szerzője nem értette meg Bolyai János alkotásának lényegét és jelentőségét, még el lehet fogadni. Azt azonban már nem, hogy említést sem tesz róla. Pedig Bolyai Farkas a Tentament 1832-ben megküldte a Magyar Tudós Társaságnak, és az ott porosodott a könyvtár polcain.

Alexits (1977) említi, hogy a Magyar Tudós Társaság Mathematikai Osztálya 1844-ben pályadíjként kitűzte a paralelák problémáját. Ez azonban nem felel meg a valóságnak. Az 1844. évi „jutalomtétel”, melyet az 1844. december 26-ai nagygyűlésen elfogadtak, a következő: „Mik a képzetes mennyiségek tulajdonságai, s mind analyticai, mind mértani értelmök?” Jóllehet erre vonatkozólag is volt Bolyai Jánosnak, sőt Farkasnak is munkája, ezt egyikük sem publikálta, csupán megküldte a lipcsei Jablonowski Társaságnak, ugyancsak pályadíj elnyerése céljából. A Tudós Társaság matematikusai e tekintetben tehát nem hibáztathatók. Ács Tibor (1998) cikkében részletesen beszámol e pályadíj keletkezésének történetéről. Ebben az időben a hadtudomány a matematikai osztályon belül volt, és Kiss Károly százados, az osztály hadtudománnyal foglalkozó tagja szerette volna, ha 1844-ben hadtudományi pályadíjat tűznek ki. Javaslatának szövegében egy északról érkező támadás esetére vonatkozó védelmi terv kidolgozása szerepel. Ezzel akarta elérni azt, hogy a hadtudomány az akadémiai osztályon belül megbecsültebbé váljék. Törekvése azonban sikertelen maradt és végül az említett pályadíjat tűzték ki.

A hivatalosak tehát nem érdeklődtek Bolyai János műve után, de mások se nagyon. Idézzünk Bolyai Farkas 1836. október 3-án kelt, Gausshoz intézett leveléből: „Itt senkinek sem kell a Matematika; tanítványaim közül csak kevésnek van igazi érzéke hozzá, művemet makulatúrának, csomagolásra és hasonlókra használom, kiváltképp hasznomra volt az itt nemrégiben dühöngő kolera idején, amiben én is szenvedtem egy hónapig, de hányás és görcs nélkül, csak szerfelett levert voltam, undorodtam az ételtől és bortól, kínzó szomjúság gyötört friss vízre és nagy diarrhoe-m volt, most is hasmenésem van”. (Bolyai-levelek, 1975., 188. old.)

Bolyai János műve felfedezésének története külföldön kezdődött. Ebben nagy szerepet játszott Gauss 1855-ben bekövetkezett halála után hagyatékának a feldolgozása. Megtalálták Bolyai, Lobacsevszkij műveit, Gauss másokhoz, és mások Gausshoz intézett leveleit. A hagyatékot Sartorius von Waltershausen göttingeni professzor rendezte, akinek Bolyai Farkas is megküldte Gaussnak hozzá intézett leveleit, így azok is a hagyatékba kerültek. Lassan bontakozni kezdett a kép.

Az első, nyomtatásban megjelent elismerő szavak a drezdai matematikaprofesszortól, Baltzertől származtak, ezeket az 1866–67-ben megjelent Elemente der Mathematik című, jól ismert és befolyásos könyvében írta le. Ezt követően Hoüel bordeaux-i professzor kiadott egy brosúrát „Essai critique sur les principes fondamentaux de la Géometrie élémentaire” címmel, melyben kivonatokat közölt az Appendixből, „hogy biztosítsa ezeknek az új gondolatoknak az elismerését, melyet azok megérdemelnek”. Az utóbbi idézet Schmidt Ferenc budapesti építésztől származik, aki 1868-ban cikket írt a két Bolyai életéről. Az övé volt az első magyarországi reagálás, közel negyven évvel a Tentamen és az Appendix megjelenése után. Hoüel 1867-ben az Appendix teljes francia nyelvű fordítását is kiadta, mellékelve hozzá Schmidt Ferencnek a Bolyaiakról írt életrajzát. Így került Höuel könyvébe a fenti idézet.

Az 1868-as év meghozta az érdeklődést mások részéről is. Ebben az évben jelent meg az olasz Beltrami cikke, melyben modellt adott a Bolyai–Lobacsevszkij-geometria számára. A két pionír ugyanis nyitva hagyta axiómarendszere ellentmondás-mentességének kérdését. Ezt a kérdést oly módon lehet megválaszolni, hogy az axiómákban nem értelmezett fogalmakat (pont, egyenes, sík) konkrét tartalommal töltjük meg, modellt adunk az új geometria számára. Ha legalább egy modell létezik, akkor az axiómák ellentmondásmentesek, van értelme a dolognak. A modell, ahogyan a nemeuklideszi geometria történetét tárgyaló szerzők ironikusan megjegyzik, az euklideszi geometrián belül helyezkedik el.

Riemann 1854-ben fektette le geometriájának alapjait. Riemann, aki Gauss tanítványa volt Göttingenben, geometriáját a Gauss által korábban kidolgozott felületelméletre alapozta. A Riemann-geometria megértése és elismerése nem okozott gondot a német és a nemzetközi matematikai életben. Beltrami, aki a Bolyai–Lobacsevszkij-geometriát a Riemann-geometria keretei között helyezte el, ezáltal is nagyban hozzájárult a hiperbolikus geometria útjának egyengetéséhez. Innentől már fel is fokozódott az érdeklődés. A kor nagy matematikusai, Poincaré, Klein, Fuchs és mások publikáltak új modelleket, további eredményeket. Ennek kapcsán új matematikai tudományok is születtek. Sajnos azonban inkább csak Lobacsevszkijre hivatkoztak, Bolyai nemzetközi elismertetése későbbre maradt.

Ezen a ponton tesszük fel a kérdést: széles körben megértették-e a tudomány képviselői – elsősorban a matematikusok, legalább évtizedekkel a felfedezés után – Bolyai és Lobacsevszkij művének igazi jelentőségét? Cayley (1821–1895), aki egy időben a British Association elnöke volt, 1883 szeptemberében tartott elnöki beszédében így nyilatkozott: „Jól ismert, hogy Eukleidész tizenkettedik axiómáját Playfair formájában is bizonyításra szorulónak tekintették; és hogy Lobacsevszkij egy olyan tökéletesen konzisztens elméletet konstruált, nem euklideszi síkgeometriát, melyben ez az axióma érvénytelennek van feltételezve. Van egy hasonló nemeuklideszi szilárd (solid) geometriai rendszer is. Az én nézetem az, hogy Eukleidész axiómájának Playfair formája nem igényel bizonyítást, hanem az része a térfogalmunk fizikai terének – a térnek, mellyel tapasztalat útján ismerkedünk meg és mely alapvetően a külső tapasztalat reprezentációja.”

Cayley az Elemek olyan kiadását ismerte, melyben az V. posztulátum tizenkettedik axiómaként szerepel. Playfair axiómája, mint említettük, az V. posztulátummal egyenértékű. Cayley idézetében érezhető Kant hatása. A lényeg azonban az, hogy a nemeuklideszi geometriának szerinte semmi értelme, hiszen a világ euklideszi.

Gauss 1855-ben bekövetkezett haláláig a tudományos világ Lobacsevszkij munkáját sem méltatta figyelemre. Pedig ő 1840-ben német nyelven is közzétette eredményeit, és az ő irányába Gauss nem fukarkodott az elismeréssel, bár ezt csak levélben tette meg, nyomtatott írásban nem. Mindamellett más módon kifejezte nagyrabecsülését, Lobacsevszkijt 1842-ben megválasztatta a Göttingeni Királyi Társaság külföldi levelező tagjává. Otthon, Oroszországban azonban forradalmi elmélete miatt félreállították. Karrierje ígéretesen kezdődött, fiatalon, huszonhárom éves korában professzor lett a kazányi egyetemen, tizenegy évvel később, 1827-ben pedig ugyanott rektor is lett. Egyetemének fejlesztésén sokat fáradozott, igen eredményesen. Az 1830-ban kitört kolerajárvány idején sikerrel védte meg az egyetem tanárait, családjukat és a hallgatóságot a járványtól, közöttük csak 2,5 százalékos volt a halálesetek száma. Mindezek ellenére 1846-ban, ötvennégy éves korában, minden magyarázat nélkül felmentették a rektori megbízatása, sőt a professzori állása alól is. Talán Bolyai is hasonló sorsra jutott volna, ha sikerül hazájában tehetségéhez és tudományos eredményeihez méltó professzori állást kapnia? Lobacsevszkij életéről és munkásságáról Kárteszi Ferenc (1953) írt magyar nyelven cikket.

Cayley kantiánus szellemet tükröző idézete után lássuk, mit ír Riemann a geometriai térfogalomról. Az 1854-ben Göttingenben megtartott és 1868-ban publikált magántanári előadásában a következő áll: „Azt a feladatot tűztem magam elé, hogy megalkossam a többszörösen kiterjedt nagyságok elméletét, a nagyságok általános fogalmainak felhasználásával. Ebből következni fog, hogy egy többszörösen kiterjedt nagyság képes különböző metrikus relációk megvalósítására, következésképpen a tér csupán speciális esete a háromszorosan kiterjedt nagyságoknak. Ebből azonban szükségszerűen következik az, hogy a geometria állításai nem vezethetők le a nagyság általános fogalmaiból, és hogy azok a tulajdonságok, amelyek a teret megkülönböztetik más elképzelhető háromszorosan kiterjedt nagyságoktól, csakis tapasztalat útján igazolhatók.”

A tapasztalat szerepét a geometria és a valóság kapcsolatában még jobban hangsúlyozta Helmholz. A Berlinben, 1810-ben alapított Frigyes Vilmos Egyetem (a mai Humboldt Egyetem elődje) alapítási évfordulóján tartott beszédéből vettük az alábbi idézetet.

„Ha a geometriát a tapasztalati tényekre akarjuk alapozni, ahol annak értéke mindig a fizikai megfelelőség, csakis annak a tudománynak az állításait alkalmazhatjuk, amelyet én fizikai geometriának neveztem. Mindenki számára, aki az axiómákat a tapasztalatból következteti, mostanáig a mi geometriánk valóban fizikai geometria volt”.

Kicsit odébb, Kantot bírálva, azt írja, hogy a geometria axiómáiban lefektetett állításokat a tényleges világ viszonyaira csak azt követően alkalmazhatjuk, ha azok érvényességét experimentálisan ellenőriztük és megállapítottuk.

Lobacsevszkij próbálkozott azzal, hogy csillagászati mérések révén bizonyítékokat szerezzen az új geometria mellett, de nem járt eredménnyel. Egy geometria érvényességét persze nem lehet kísérletileg igazolni, legfeljebb cáfolni. Elterjedt nézet (pl. Born, 1965), hogy Gauss három Hannover környéki hegycsúcs, a Brocken, a Hohen Hagen és az Inselberg háromszögének szögeit megmérve meg akarta tudni, hogy ezek összege 180°, vagy kevesebb, és hogy az eredmény (a hibahatáron belül) az volt, hogy az összeg 180°. E hegycsúcsok mindössze 107, 69, illetve 85 kilométer távolságra vannak egymástól, így nem lenne meglepő az eredmény. Szénássy Barna (1977/1980) azonban fényt derít arra, hogy Gauss nem csupán egy háromszöggel kapcsolatban végzett méréseket, hanem egész méréssorozatot végzett, de nem abból a célból, hogy eldöntse, a tér euklideszi, vagy nem. Gauss 1816-ban megbízást kapott a hannoveri kormánytól az ország feltérképezésére, amit 1841-ig el is végzett. Az említett háromszögből kiindulva egymás utáni háromszögeket konstruált, melyek háromszögelési pontrendszer gyanánt szolgáltak. A méréseket a legkisebb négyzetek módszerével kiegyenlítették, és így a másodpercek ezredrésze nagyságrendű pontossággal kapták meg az eredményeket. Gauss nyilván nem gondolhatta, hogy ilyen kis háromszög esetén a mérések kimutathatnak eltérést a 180° szögösszegtől. Másfelől, a legkisebb négyzetek módszere (bár felfogható bármilyen geometriától független numerikus eljárás gyanánt) az euklideszi geometriával van igen jó összhangban, amit Gauss nyilván tudott, és nem valószínű, hogy ezt a módszert alkalmazta volna, ha célja a geometriák kísérleti ellenőrzése lett volna.

A legkisebb négyzetek módszerét Gauss egyik legjelentősebb tudományos eredményének tartotta, emiatt prioritási vitája is támadt a kor másik nagy matematikusával, Legendre-ral.

A fentiekhez még hozzátehetjük, hogy a legutóbbi, forgalomból már kivont 10 márkás bankjegyet Gauss emlékének szentelték. A bankjegy egyik oldalán Gauss képe van, mellette az ún. Gauss-görbe és Göttingen látképe, a másik oldalán pedig a szögek mérésére szolgáló szektáns, valamint a Gauss által megalkotott térkép vázlata látható.

Jóllehet Gauss célja más volt a méréseivel, azért megállapíthatta, hogy nem tapasztalt eltérést az euklideszi geometriától. Ezt ugyanis filozófusok bírálták, mondván, ha a mérés eredményeként eltérést tapasztaltak volna, ez akkor sem bizonyította volna az euklideszi geometria érvénytelenségét (mint ahogy a hibahatáron belüli egyezés sem bizonyította annak érvényességét), mert az eredmény lehet egy még ismeretlen fényelhajlás következménye.

A bírálók rátapintottak a lényegre. Einstein speciális relativitáselmélete 1905-ben, általános relativitáselmélete pedig 1916-ban látott napvilágot. Az utóbbi erősen támaszkodik a nemeuklideszi geometriára, annak Riemann által megfogalmazott változatára. Einstein elméletei azonban nem épülnek rá a tér ilyen vagy olyan geometriájára, hanem elvetik a tér és az idő különálló voltát és a „téridő” új fogalmából indulnak ki. Bár a relativitáselmélet is a tudomány forradalmát jelentette, felfedezőjének elismerést és világhírt hozott, nem pedig mellőzést. Ezt elsősorban azáltal sikerült elnyernie, hogy egy tapasztalati tény az elméletet fényesen igazolta.

Az általános relativitáselmélet a gravitációt a tér görbületével azonosítja, és ennek egyik megnyilvánulása, hogy nagy tömeg közelében a fény az euklideszi egyeneshez képest elhajlik. Hogyan lehet ezt kísérletileg igazolni, vetődött fel a kérdés, lehetőleg oly módon, hogy ne csak a jelenség általában igazolódjék be, hanem egyezés mutatkozzék a relativitáselmélet által számított és a tapasztalt értékek között?

A megoldást a Merkúr bolygó mozgásának a vizsgálata szolgáltatta. Csillagászok régóta észlelték, hogy a bolygó a várt helynél kissé odébb mutatkozik. Felvetődött, hogy a jelenség oka a fény euklideszi egyeneshez képest való gravitációs elhajlása. Ezt oly módon gondolták ellenőrizni, hogy megvizsgálták, lehet-e látni a Merkúrt egy olyan pillanatban, amikor a számítások szerint tudjuk, hogy az, hozzánk képest, a Nap mögött helyezkedik el (1. ábra). Erre a vizsgálatra természetesen csak napfogyatkozáskor kerülhet sor.

1. ábra. A Merkúrról érkező fény
elhajlása a Nap közelében

Eddington angol csillagász 1919-ben két expedíciót szervezett, az egyik Afrika nyugati partjainál, a másik Brazília északi részén végzett megfigyeléseket, május 29-én. E két helyen ekkor teljesültek a fent említett feltételek. Fényképfelvételeket készítettek, és azok kiértékelése után az Einstein elméletén alapult számítások fényesen beigazolódtak. A Merkúr sajátos pályája miatt ez volt az egyetlen, ezekre a kísérletekre és számításokra alkalmas bolygó.

Az első világháború befejezése után a társadalom ki volt éhezve a kultúrára, a magasabb rendű emberi értékeket képviselő tudományos ismeretekre. Einstein sikere mindent elsöprő volt, az újságok címlapjaira került a neve, ekkor lett világhírű.

Einstein relativitáselmélete óta sok egyéb fizikai elmélet született, mely fizikai terünkkel kapcsolatos. A legújabb szenzáció az, hogy bár „lokális méretekben” a térnek görbülete van, kozmikus méretekben azonban a tér mégis, a hibahatáron belül, euklideszinek mutatkozik!? Ez Szalay Sándornak, a Johns Hopkins Egyetem professzorának személyes közlése. Szalay és Gray (2001) beszámol arról, hogy az interneten hamarosan elkészül egy „virtuális obszervatórium”, mely lehetővé teszi számítógép előtt ülve az égitestek megfigyelését. Az ennek kapcsán épülő adatbankban eddig elhelyezett adatok alapján jutottak erre a következtetésre. Erről részletes publikáció a 2002. évben várható.
 

Mikor szerzett tudomást Bolyai Jánosról és művének nagyságáról a hivatalos magyar tudomány? Kilenc évvel Bolyai János halála után, 1869-ben, báró Eötvös József, aki akkor a Magyar Tudományos Akadémia elnöke és kultuszminiszter is volt, levelet kapott Olaszországból. A levelet Baldassare Boncompagni herceg (1821–1894), tudománytörténész és annak mecénása írta. Közölte Eötvössel, hogy Bolyai János és Farkas életrajzát, valamint az Appendixet olasz nyelvre lefordították, külön postával küldik Eötvösnek, és hogy az Appendixben foglaltakat a római tudósok a XIX. század legnagyobb matematikai alkotásának tartják. Eötvös nem tudta, hogy örüljön, vagy piruljon, írta ezt követően fiának.

A levél megírásának hátterében Hoüel állt, aki ezen az úton próbálta elérni, hogy a Bolyaiakkal kapcsolatos tudakozódó leveleire Marosvásárhelyről választ kapjon. Hoüel meg volt döbbenve a magyarok nemtörődömsége miatt. Egyik levelében azt írja, hogy „fájdalommal látom, hogy Magyarország milyen kevésre értékeli saját tudományos érdemeit…”

Eötvös József átérezte a Bolyaiak ügyének fontosságát, és pártfogásába vette azt. A Bolyai-hagyatékot tartalmazó csomagot azonban az Akadémia már 1868-ban Pestre hozatta, miután Hunyady Jenő matematikus akadémikus már bejelentést tett a Bolyai János műve iránti külföldi érdeklődésről. A csomag letétetett az Akadémia Levéltárába. Negyedszázadig ott volt, egy bizottság próbálta az anyagban szunnyadó új tudományos eredményeket felfedezni, sikertelenül. Mindamellett Schmidt Ferenc ez idő alatt fedezte fel a papírok között Bolyai János 1823. november 3-i, apjához írt levelét (… semmiből egy ujj, más világot teremtettem). Később azonban, már Marosvásárhelyen, felfedezték a matematikai tartalmú kéziratok között az Appendix után írt művek egy részét. Ezek a következők: Responsio, a lipcsei Jablonowski Társasághoz benyújtott pályázat anyaga; Kiegészítések (az Appendixhez); A (hiperbolikus geometriában a) tetraéder köbösítése (köbtartalmának meghatározása); Ellentmondás-mentességi vizsgálatok; Észrevételek (Lobacsevszkij művével kapcsolatban); Raumlehre.

Benkő Samu kolozsvári történészprofesszor volt az, aki Abafáy Gusztávnak a segítségével a hátrahagyott Bolyai-kéziratokat rendszerezte. Tizenhat év munkájával sorba állította és dossziékban elhelyezte a tizennégyezer oldalnyi kéziratot. Ebben segítségére voltak Bolyai János „őrszavai”. Bolyai János több lap alján az utolsó szót a következő lap tetején megismételte, ezeket őrszavaknak nevezte. Benkő Samu a kéziratokat elolvasta és 1968-ban publikálta a nem matematikai jellegűekről szóló könyvét Bolyai János vallomásai címmel. A háromezer oldalnyi matematikai kéziratot Kiss Elemér marosvásárhelyi professzor olvasta végig az 1990-es években és beszámolóját az 1999-ben megjelent könyvében és cikkében tette közzé. A kéziratokban olyan jelentős matematikai eredményeket fedezett fel, melyek abban az időben újak voltak. Ilyen pl. az a számelméleti tétel, melyet Jeans harmincnyolc évvel Bolyai János halála után publikált és ma tankönyvanyag. Mindkét professzor hatalmas és rendkívül értékes munkát végzett. Bolyai János kéziratainak egy részét színlapokra, borítékok hátlapjára írta, így nemcsak azok értelmezése, hanem puszta elolvasása is óriási munka volt. Jelenleg folyamatban van Bolyai János teljes kéziratanyagának a publikálása, Benkő Samu gondozásában.

A marosvásárhelyi gyűjteményen kívül van egy Bolyai-gyűjtemény a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtárában. Ez jelentős részben Szabó Péter adománya révén keletkezett. Szabó Péter apja, Szabó Sámuel, marosvásárhelyi tanár volt, aki tanulmányozta a Bolyai-kéziratokat, ezek egy részét hazavitte, nála felejtődött és halála után a hagyatékából került elő. Az anyagot Szabó Péter átadta az Akadémiának, de maga is sok kéziratot, levelet gyűjtött a Bolyaiakkal kapcsolatban. A gyűjteményt Fráterné (1968) rendszerezte és katalogizálta, nemrég Vekerdi (2001) írt róla érdekes cikket. A Bolyaiak felfedezésének korábbi történetéről Szénássy Barna (1977/1980) írt összefoglaló cikket.

A Bolyaiak, különösen János és műve tisztelete egyre növekedett. 1897-ben az Appendix magyar fordításban is megjelent (Rados Ignác), ugyanebben az évben megjelent Bedőházy (Bolyai Farkas utódja a Marosvásárhelyi Kollégiumban) könyve „A két Bolyai” címmel, 1897-ben Kőnig Gyula és Réthy Mór szerkesztésében újból kiadták a Tentamen első kötetét, 1904-ben Kürschák József, Réthy Mór és Tőttösy Béla szerkesztésében a második kötetét. Bolyai János Appendixe a második kötet végére került. Bolyai János születésének 100. évfordulója alkalmából emlékülést rendeztek Kolozsvárott. A Mathematikai és Physikai Lapokban 1903-ban több cikk jelent meg Bolyai Jánossal és geometriájával kapcsolatban (Beke Manó, Réthy Mór, Szabó Péter, Schlesinger Lajos tollából, az utóbbi a kolozsvári ünnepség vezérszónoka volt). Az Akadémia 1902-ben Bolyai-díjat alapított, amit 1905-ben Poincaré, 1910-ben pedig Hilbert kapott meg. Mindketten fontos eredményeket értek el a geometria alapjaival és közelebbről, a hiperbolikus geometriával kapcsolatban is. (Poincaré ekkor szerzett tudomást arról, hogy Bolyai János magyar volt és nem bolgár, ahogyan azt az 1905-ben megjelent La valeur de la science című könyvében írta.)

Bolyai János születésének 150. évfordulója alkalmából Budapesten, a Magyar Tudományos Akadémián rendeztek emlékülést. Anyagát a Matematikai és Fizikai Tudományok Osztályának Közleményeiben közölték (szerzők: Kárteszi, Varga, Szász, Alexits, Kalmár, Hadamard). A 175. éves évforduló alkalmából újból az Akadémián volt szerényebb emlékülés, az előadások (Császár, Bretter, Sarlóska, Gazda, Lambrecht, Molnár) anyaga a Természet Világában jelent meg. Az eddigi utolsó emlékülést a 190. évfordulóra szintén az Akadémia szervezte. A 200. évfordulót nagy nemzetközi konferenciával Budapesten ünnepeljük, az Akadémia, a Bolyai János Matematikai Társulat, az Eötvös Loránd Fizikai Társaság, az ELTE, a Debreceni Egyetem, a Szegedi Egyetem, a kolozsvári Babeş-Bolyai Egyetem, az erdélyi Sapientia Egyetem, az MTA Matematikai Kutatóintézete és az MTA SZTAKI szervezésében.

Bolyai és Lobacsevszkij kidolgozta, és szisztematikusan felépítette a hiperbolikus geometriát, mely egyben az első nemeuklideszi geometria volt (ha eltekintünk korábbi, befejezetlen kísérletektől). E két nagy tudós azonban még nem bizonyította be az új geometria ellentmondás-mentességét.

Az ellentmondás-mentességet oly módon bizonyítjuk, hogy megadunk egy modellt, vagyis a matematikai objektumok egy összességét, egymáshoz való kapcsolatukkal, oly módon, hogy ezek az axiómákat, adott esetben a hiperbolikus geometria axiómáit teljesítik. Ha ugyanis van legalább egy realizációja az axiómarendszernek, akkor az nem lehet ellentmondásos.

Elsőként az olasz Beltrami (1868) adott modellt a hiperbolikus geometriára. Ebben felhasználta Minding (1838) munkáját és a Riemann-geometria apparátusát. A modell az ún. pszeudoszféra, mely a traktrix forgásfelülete. A traktrix görbét az jellemzi, hogy bármely pontjához húzott érintőnek az érintési pont és a függőleges tengely közötti szakasza állandó hosszúságú (2. ábra).


2. ábra. A traktrix és forgásfelülete


A traktrixot Huygens kutyagörbének nevezte, mert ha a vonakodó kutyát pórázon húzzuk az y tengely mentén, akkor a kutya a traktrix mentén mozog. A pszeudoszféra felületén az „egyenest” az jellemzi, hogy bármely két pontja között a legrövidebb utat valósítja meg.

Poincaré modelljei ennél is egyszerűbbek. Az egyikben a pontok a perem nélküli (nyílt) körlap pontjai, az egyenesek pedig azok a (nyílt) körlapon belüli körívek, amelyek a peremmel merőlegesen találkoznak, továbbá a kör középpontján áthaladó euklideszi egyenesek. Poincaré másik modellje a nyílt félsík, az x tengely fölötti rész. Ebben a modellben az egyenes vagy olyan félkör, mely az x tengelylyel két pontban, merőlegesen találkozik, vagy olyan euklideszi egyenes, mely az x tengelyre merőleges (3. ábra).

3. ábra. Poincaré körlap és félsík modellje „egyenesekkel”


A hiperbolikus geometriának sok alkalmazása van a matematikában és más tudományokban egyaránt. A matematikán belül a komplex függvénytanban nélkülözhetetlen eszköz az ún. Riemann-féle felületek tárgyalásában. Továbbfejlesztett változatai megjelennek a diszkrét geometriában, a topológiában, a csoportelméletben stb. Ami a fizikai alkalmazásokat illeti, legfontosabb a közvetett alkalmazása, megalkotása utat nyitott a Riemann-féle és más geometriák felé, melyek az általános relativitáselmélet matematikai alapjait szolgáltatják. Ám közvetlenül is alkalmazzák a hiperbolikus geometriát a relativitáselméletben (l. pl. Ungar cikkét, 1997). További alkalmazást találunk a statisztikus fizikában. Újabban az interneten az elágazó fák képernyőn való elrendezését a hiperbolikus geometria körlapmodelljére támaszkodva alkotják meg (pl. Gunn, 1993).

A hiperbolikus geometria világa nemcsak a tudósokra volt és van nagy hatással, hanem a művészekre is. Közöttük elsőként Eschert kell említenünk. Escher több grafikája, metszete foglalkozik olyan alakzatokkal, melyek egy körön belül helyezkednek el, és egyre kisebb példányaik a kör pereméhez közelednek. A perem közvetlen közelébe Escher kis köröcskéket helyezett el, melyek természetüknél fogva nem töltötték ki a körlapot. Miután azonban a művész tanulmányozta a híres kanadai geométer, H. S. MacDonald Coxeter hiperbolikus geometriai ábráit, és a tudóssal személyesen is megismerkedve annak képeivel kapcsolatos tanácsait elfogadta, megalkotta a csodálatos „circle limit” metszeteit. Ezeken a hiperbolikus geometria Poincaré-féle körlap modelljének „egyenesei” (euklideszi értelemben körívei) egyre kisebbé válva konvergálnak a peremhez (l. Escher 1989, 1992, 1995). A 4. ábrán reprodukáljuk Coxeter (1998) ábráját, az 5. ábrán pedig Escher Circle Limit III. című metszetét. Coxeter (1979) egy cikkben visszatért erre a metszetre és feltárta annak kapcsolatát a nemeuklideszi geometriával.

4. ábra. Coxeter hiperbolikus
geometriai mozaikábrája
5 ábra. Escher Circle Limit III. 
című metszete
Egy másik, hiperbolikus geometriával kapcsolatos műalkotás a berlini Conrad Pelthier munkája. Ennek alapjául Reynolds (1993) cikke szolgált, melyben a szerző a hiperbolikus geometria egy hiperboloidon megvalósított modelljét írja le. A kép Stillwell (1996) könyvének borítólapján is látható.

Végül megemlítjük, hogy az Amerikai Egyesült Államok Berkeley (Kalifornia) egyetemén működő Mathematical Research Institute (MSRI) intézete nemrég egy matematikai szobrot készíttetett, melyet annak udvarán állítottak fel. A szobor Felix Klein ún. kvartikus görbéjét ábrázolja és címe: „The eightfold way”. A szobor talapzatán a hiperbolikus geometria körlap modelljét idéző színes cserépmozaikot rakattak, mégpedig a magyar Biczó Lajossal, arra emlékezve, hogy a hiperbolikus geometria egyik felfedezője magyar ember volt. A szoborról egész könyvet írtak, Lévy (2001) szerkesztésében.

Az axiomatikus gondolkodásról

A matematika történetében a nemeuklideszi geometria lett az első olyan ellentmondásmentes, zárt, logikai rendszer, mely nincs közvetlen kapcsolatban a valósággal. Megalkotása a fizikai valóságból indult ki, ám önálló matematikai elméletté vált. Ezzel nem az következett be, hogy alkalmazhatatlanná vált volna, hanem éppen ellenkezőleg, lehetővé vált, hogy matematikusok, fizikusok, számítástechnikusok és mások felhasználják, alkalmazzák a problémák nagy sokaságára.

A nemeuklideszi geometria nem az egyetlen önálló matematikai elmélet, mely Bolyai idejében keletkezett. A XIX. század közepén Angliában és Írországban megszületett az absztrakt algebra, vagy ahogyan abban az időben nevezték, szimbolikus algebra. Már a század elején a matematikusok szabadon végeztek műveleteket valós és komplex számokkal, anélkül hogy akármelyik, kiváltképpen pedig a komplex számok, rendelkezett volna mai értelemben vett egzakt matematikai megalapozással. Ez szükségessé tette, hogy a műveleti szabályok (asszociativitás, kommutativitás stb.) világos, áttekinthető rendszerbe legyenek foglalva. Egyidejűleg az is felvetődött, hogy a műveleteket kiterjesszék, pl. lehetséges legyen egy pozitív valós számnak valós hatványra emelése. Szimbólumokkal számoltak, a játékszabályok betartásával. Az is felvetődött, hogy ezeket a szabályokat elvontan tekintsék, ne csupán számokra vonatkoztassák.

A szimbólumok szerepét a matematikai gondolkodásban már Kant is tárgyalta műveiben. Lambert az euklideszi XI. axiómát a többitől tisztán szimbolikusan akarta levezetni (1786, § 11).

George Peacock (1791–1858) Cambridge matematikusa, később az Ely katedrális dékánja volt az első Angliában, aki a matematikai manipulációk megalapozásának a szükségességét felvetette. Nem szorítkozott az algebrára, a problémát kiterjesztette a differenciálszámításra is. Az algebránál maradva Duncan Gregory (1813–1844) a következő jelentős személyiség a szimbolikus algebra létrehozásában. Álláspontját egy 1840-ből származó művében az alábbi módon jellemzi: „A szimbolikus algebrát annak fényében tekintem, hogy az a műveletek kombinációinak a tudománya, nem annak természete által, hogy azok mik és mit eredményeznek, hanem azok által a törvények által, amiknek engedelmeskednek”. Az algebrát tehát eltávolították attól, amire korábban használták, a pozitív valós számokkal való műveletektől, pontosabban szólva, kiterjesztették a hatókörét.

A következő fontos lépést De Morgan (1806–1871) tette meg. Ő volt az első, aki az új algebrának a logikában való alkalmazását felvetette. Tőle származnak azok a szimbolikus logikai operációk, amelyeket De Morgan-törvényeknek nevezünk.

Az ír származású Hamilton (1805–1865) algebrai vonatkozású eredményei körül a komplex számok egzakt megalapozását és a kvaterniók fogalmának a megalkotását, elméletének a kiépítését kell megemlítenünk. (A kvaterniókról szóló művét megküldte Gaussnak és hasonló választ kapott, mint Bolyai János az Appendixre.)

George Boole (1815–1864) munkássága és elsősorban 1854-ben közreadott The Laws of Thought című könyve a következő, melyet a felsorolásban megemlítünk. A nevéhez fűződő algebrát szinte mindenki ismeri, alkalmazása a matematikában, a logikában, az áramkörök elméletében stb. igen jól ismert.

Arthur Cayley (1821–1895) és James Joseph Sylvester (1814–1897) elsősorban a mátrixelmélet és a csoportelmélet megalkotásával vett részt a brit algebrai iskola tevékenységében.

Absztrakt geometria, absztrakt algebra stb., a matematika tehát most már nem szól semmi konkrétumról, csak elvont struktúrákról? Ezzé vált volna a matematika súlyos problémák megoldása után? Csak absztrakt matematika van és a valósághoz nincs már semmi köze? Nem erről van szó. A matematika módszere azonban abban áll, hogy a valóságos objektumokat matematikai objektumokkal helyettesítjük, modellt alkotunk, és azon belül oldjuk meg a matematikai problémákat. A valósághoz azonban vissza kell térnünk. Eredményeinket alkalmaznunk kell, annál inkább, mert az új gondolatok, modellek, struktúrák keletkezésének ez a legfőbb forrása. Persze vannak félresiklások, ezek körül nagy vita folyik. Érdekes vitacikk például Thom (1971) munkája, melyben a valóságtól elszakadt matematikai alkotásokat és a túlságosan absztrakt oktatási módot bírálja.

A XIX. század közepén nem csak a matematikában erősödött fel az axiomatikus módszer alkalmazása. Az axiomatizálási láz más tudományokra is átterjedt. Az axiomatizálás a fizikában persze nem számított új dolognak, most azonban, meglepő módon, a mérnökök is egzakt alapokra akartak helyezni egy-egy műszaki tudományt azok axiomatizálása révén. Ennek az irányzatnak két jeles képviselője a német Ferdinand Redtenbacher (1809–1863) és a svájci Franz Reuleaux (1829–1905). A változókat és a lehetséges mozgásokat rendszerezték, meghatározták egymáshoz való viszonyukat és a mechanizmusokkal kapcsolatban tételeket is bizonyítottak. Ennek az elméletnek a gyakorlati hasznát abban az időben ugyan megkérdőjelezték, ám alkotóikat segítette új mechanizmusok konstrukciójában (l. S. Brentjes, 1882).

Az axiomatikus gondolkodásnak vannak korlátai is. Az egyiket ezek közül Gödel (1931) fogalmazta meg híres tételében. Gödel bebizonyította, hogy minden, elég általános feltételeknek eleget tevő axiómarendszeren belül megfogalmazható olyan probléma, mely sem igenlően, sem tagadólag nem válaszolható meg. Erre Eukleidész V. posztulátumának problémája a legklasszikusabb példa.

Más természetű korlátot jelent az, hogy a matematikusok hajlamosak lettek arra, hogy csak axiómarendszerek kínálta problémákkal foglalkozzanak és megfeledkezzenek az elméleteknek a valósággal való kapcsolatáról. Igen érdekes gondolatokat olvashatunk erről Von Mises (1957) könyvében. E kérdéskör kifejtésére egy másik cikkben térünk majd vissza.

Az axiomatikus gondolkodás és feladatmegoldás a tudományt alkalmazók mindennapi kenyerévé vált. Amikor egy probléma megoldásához hozzáfogunk, összegyűjtjük változóinkat, állandóinkat, meghatározzuk ezek kapcsolatát, és ha matematikai jellegű problémáról van szó, akkor egy eljárást, algoritmust is megalkotunk, vagy egyszerűen csak felhasználunk. A feladatok megoldása azonban egy ember-gép rendszerrel történik, a gép ma elektronikus, digitális számítógépet jelent. A legegyszerűbb gép, melyet ősidők óta felhasználnak, a körző és a vonalzó. Ezek tulajdonképpen analóg gépek. Amikor egy geométer valamilyen geometriai objektumot megszerkeszt, akkor azt az ember-gép rendszert használja fel, amelyben a gép a körző és a vonalzó. Az abakusz, majd később Pascal, Leibniz, Babbage, Zuse számítógépei (l. Korte, 1981) egyre bonyolultabb feladatok megoldását tették lehetővé egyre hatékonyabban. Ma már az 1946-ban megszületett ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer) első elektronikus számítógép nagy teljesítményű utódait használjuk feladataink megoldására.

A modern feladatmegoldásnak ez a technikája ma nagyon hatékonyan működik. Ebben, mint említettük, alapvetően fontos momentum az axiomatikus gondolkodás, ugyanis minden egyes feladatot egy-egy axiómarendszerrel írunk le. Az axiomatikus gondolkodás széles körű elterjedése egyike azoknak, amiket Bolyai János forradalma eredményezett.

Bolyai János munkássága tehát nem csupán a geometriában, a matematika egészében, a filozófiában és a kultúrtörténetben hozott újat, hanem utat nyitott a feladatmegoldás új szemléletmódja számára is.

Irodalom

[1] Alexits Gy. (1952). Bolyai János. Matematikai Lapok 3, 107–110.

[2] Alexits Gy. (1953). Bolyai János élete és munkássága. MTA Mat. Fiz. Tud. Oszt. Közl. 3, 131–150.

[3] Alexits Gy. (1977). Bolyai János világa. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1977.

[4] Alexits Gy. (1977/1980). Bolyai János világa. Matematikai Lapok 28, 1–9

[5] Anderson, J. W. (1999). Hyperbolic geometry. Springer Verlag, London.

[6] Ács T. (1997). Bolyai János a bécsi császári és királyi mérnökakadémián 1818–1823. Bolyai János Katonai Műszaki Főiskola, Budapest.

[7] Ács T. (1998). Egy ismeretlen akadémiai pályázat sorsa. Hadtörténeti Közlemények 111, 284–291.

[8] Barndorff-Nielsen, O. (1978). Hyperbolic distributions and distributions on hyperbolae. Scand. J. Statist, 5, 151–157.

[9] Beke M. (1903). A Bolyai-féle trigonometria. Mathematikai és Physikai Lapok 12, 30–49.

[10] Bell, E. T. (1972). The Development of Mathematics. Dover Publications Inc., New York.

[11] Bell, E. T. (1986). Men of Mathematics. Simon and Schuster, New York.

[12] Beltrami, E. (1868). Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea. Giornate di Matematiche VI., 284–312.

[13] Beltrami, E. (1868). Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante. Ann. Mat. pura appl. Ser. II, 232–255.

[14] Benkő S. (1968). Bolyai János vallomásai. Irodalmi Könyvkiadó, Bukarest. Második kiadás: Kritérion Könyvkiadó, Bukarest, 1972.

[15] Benkő S. (1971). Sorsformáló értelem. Művelődéstörténeti dolgozatok. Kritérion Könyvkiadó, Bukarest.

[16] Benkő S. (1978). Apa és fiú (Bolyai tanulmányok). Magvető Könyvkiadó, Budapest.

[17] Benkő S. (1979). Haladás és megmaradás. Művelődéstörténeti tanulmányok. Szépirodalmi Könyvkiadó, Budapest.

[18] Bolyai F. (1830). Az arithmetica eleje. Marosvásárhely.

[19] Bolyai Farkas (1832–1833). Tentamen juventutem studiosam matheseos purae, elementaris ac sublimioris, methodo intuitiva evidenciaque huic propria, introducendi. Cum appendici triplici. I., II. Marosvásárhely.

[20] Bolyai Farkas (1897, 1904). Tentamen (második kiadás, szerkesztők: Kőnig Gy. és Réthy M. első kötet, Kürschák J., Réthy M. és Tőttössy B., második kötet). Magyar Tudományos Akadémia.

[21] A Bolyai–Gauss-levelezés (2001). Válogatta és szerkesztette Nagy F. Better, Püski, Budapest.

[22] Bolyai Joannes (1831). Appendix prima scientia spatii, a veritate aut falsitate axiomatis XI-mi Euclidei (a priori haud unquam decidenda) independens: atque ad casum falsitatis quadratura circuli geometrica. Marosvásárhely.

[23] Bolyai Joannes (1832). Appendix Stientiam Spatii absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI. Euclidei (a priori haud unquam decidenda) independentem; adjecta ad casum falsitatis, quadratura circuli geometrica. In: Bolyai F., Tentamen, Tom. I. Marosvásárhely.

[24] Bolyai János (1868). La science absolue de l’espace… (latinból fordította Hoüel. Bordeaux Mem. 5, 207–248.

[25] Bolyai János (1868). Sulla scienza della spazio assolutamente vera… (latinból fordította Battaglini). Giorn. Mat. 6, 97–116.

[26] Bolyai János (1891). The science of absolute space… (fordította G. B. Halsted). Austin, Texas. További kiadások 1892, 1894, 1896.

[27] Bolyai János kéziratos hagyatéka. Bolyai–Teleki Könyvtár. Marosvásárhely,

[28] Bolyai-levelek (1975). Válogatta, a bevezető tanulmányt írta és a jegyzeteket összeállította Benkő Samu. Kritérion Könyvkiadó, Bukarest.

[29] Bolyai János (1977). Appendix, a tér tudománya (szerk. Kárteszi Ferenc). Akadémiai Kiadó, Budapest.

[30] Bolyai Jánosra emlékezünk! Születésének 175. évfordulóján (szerk. Staar Gyula). Tudományos Ismeretterjesztő Társulat budapesti szervezete, Budapest, 1978.

[31] Bolyai (2001). Biográfia, bibliotéka, bibliográfia (szerk. Nagy F.). Better, Püski, Budapest.

[32] Bonola, R. (1911). Non-Euclidean Geometry. Dover, New York.

[33] Boole, G. (1854). An Investigation of the Laws of Thought on which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities. Macmillan, Cambridge.

[34] Born, M. (1965). Einstein’s Theory of Relativity. Dover, New York.

[35] Bos, H. J. M. (2001). Redifining geometrical exactness. Descartes transformation of the early modern concept of construction. Springer, New York.

[36] Boyer, C. B. (1991). A History of Mathematics, (második kiadás). Wiley, New York.

[37] Brentjes, S. (1982). Relations between mathematics and engineering in the 19th century in Germany (kézirat).

[38] Bretter Gy. (1978). A felőrlődés logikája. Természet Világa 109, 92–93.

[39] Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Christian Ludwig Gerling (1927). Clemens Schaeffer, Berlin.

[40] Briefwechsel zwischen C. F. Gauss-Friedrich Wilhelm Bessel (1975). Georg Olms Verlag, Hildesheim, New York.

[41] Briefwechsel zwischen C. F. Gauss und H. C. Schumacher, 1–3 (1975). Georg Olms Verlag, Hildesheim, New York.

[42] Burton, D. M. (1985). The History of Mathematics. An Introduction. Allyn and Bacon Inc. Boston, London.

[43] Cajori, F. (1991). A History of Mathematics. Chelsea Publ. Co., New York.

[44] Caygill, H. (2000). A Kant Dictionary. Blackwell.

[45] Cayley, A. (1854). On the Theory of Groups. Philosophical Magazine 7, 40–47.

[46] Coxeter, H. S. M. (1977). Gauss as a Geometer. Historia Mathematica 4, 379–396.

[47] Coxeter, H. S. M. (1979). The non-Euclidean symmetry of Escher’s picture „Circle Limit III.” Leonardo 12 (1979), 19–25.

[48] Coxeter, H. S. M. (1998). Non-Euclidean geometry, 6th ed., Mathematical Association of America, Washington, DC.

[49] Császár Á. (1978). Bolyai János és Gauss. Természet Világa 109, 89–92.

[50] Dávid L. (1959). In memoriam Wolfgang Bolyai. MTA Mat. Fiz. Tud. Oszt. Közl. 9, 215–236.

[51] Dávid L. (1979). A két Bolyai élete és munkássága. Második, bővített kiadás. Gondolat, Budapest.

[52] Deé Nagy Anikó (2000). A két Bolyai könyvtára. Erdélyi Múzeum 1–2. szám, 19–45.

[53] Dunnington, G. W. (1955). Gauss: titan of science. Hafner, New York.

[54] Escher, M. C. (1989). Escher on Escher: exploring the infinite. Harry N. Abrams, New York. With contribution by J. W. Vermeulen; hollandból fordította Karin Ford.

[55] Escher, M. C. (1992). The graphic work: introduced and explained by the artist, Benedikt Taschen Verlag.

[56] Escher, M. C. (1995). The M. C. Escher sticker book. Harry N. Abrams, New York.

[56a] Eukleidész (1983). Elemek. Gondolat, Budapest.

[57] Ewald, W. (1999). From Kant to Hilbert. A Source Book in the Foundations of Mathematics Vols. I, II. Clarendon Press, Oxford.

[58] Fowler, D. (1999). The Mathematics of Plato’s Academy. A new reconstruction. (második kiadás). Clarendon Press, Oxford.

[59] Fráter Jánosné (1968). A Bolyai-gyűjtemény. Magyar Tudományos Akadémia Könyvtára (K22–K30).

[60] Frege, G. (1884). Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl. Koebner, Breslau. (Angol fordítása: The Foundations of Arithmetic, A Logico-Mathemathical Enquiry into the Concept of Number. Basil Blackwell, Oxford, 1950, átdolg. 2. kiadás 1953; fordító: John Langshaw).

[61] Gauss, C. F. (1870–1929). Werke, 1–12. kötetek, második nyomás. Göttingen, Gotha, Leipzig, Berlin.

[62] Gödel, K. (1931). Über formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandte Systeme. Monat. Math. Phys. 38, 173–198.

[63] Grabiner, J. V. (1974). Is Mathematical Truth Time-Dependent? American Math. Monthly 81, 354–365.

[64] Grattan-Guinness, I. (1998). The Norton History of the Mathematical Sciences. Norton and Co. New York.

[65] Gray, J. (1979). Ideas of Space. Clarendon Press, Oxford.

[66] Gray, J. (1979). Non-Euclidean Geometry – A Re-Interpretation. Historia Mathematica 6, 236–258.

[67] Greenberg, M. J. (1993). Euclidean and Non-Eucliden Geometries (harmadik kiadás). Springer, New York.

[68] Gregory, D. F. (1840). On the nature of symbolical algebra. Transactions of the Royal Society of Edinburgh 14, 208–216.

[69] Gunn, C. (1993). Discrete groups and visulaization of three-dimensional manifolds. In: ACM SIGGRAPH Computer Graphics Proceedings, Annual Conference Series, 255–262.

[70] Hadamard, J. (1953). A nem-euklideszi geometria és az axiomatikus definíciók. MTA Mat. Fiz. Tud. Oszt. Közl. 3, 199–208.

[71] Hadamard, J. (1999). Non-Euclidean Geometry in the Theory of Automorphic Functions (J. J. Gray and A. Shenitzer eds.). History of Math. Vol. 17, Amer. Math. Soc., London Math. Soc.

[72] Hamilton, W. R. (1837). Theory of conjugate functions, or algebraic couples; with a preliminary and elementary essay on algebra as the science of pure time. Transactions of the Royal Irish Academy 17, 293–422.

[73] Hamilton, W. R. (1853). Lectures on Quaternious. Hodges and Smith, Dublin.

[74] Hamilton, W. R. (1931–1967). The Mathematical Papers of Sir William Hamilton (H. Halberstam and R. E. Ingram eds.). Cambridge University Press.

[75] Hankel, H. (1884). Die Entwicklung der Mathematik in den letzten Jahrhunderten (második kiadás). Verlag und Druck von Franz Vues, Tübingen

[76] Hartshorne, R. (2000). Geometry: Euclid and Beyond. Springer, New York.

[77] Helmholz, H. (1878). Die Thatsachen in der Wahrnehmung. Berlin.

[78] Helmholz, H. (1884). Vortrage und Reden I, II. Vieweg, Braunschweig.

[79] Hollingadale, S. (1994). Makers of Mathematics. Penguin Group, New York.

[80] Iversen, B. (1992). Hyperbolic geometry. Cambridge University Press, Cambridge, UK.

[81] Jelitai J. (1939). Bolyai János 1849. május 13-án kelt jelentés tervezete. Matematikai és Természettudományi Értesítő 58, 708–715.

[82] Kaestner, A. G. (1790). Was heisst in Euclids Geometrie möglich? Philosophisches Magazin herausgegeben von J. A. Eberhardt. Halle a. S.

[83] Kalmár L. (1953). A Bolyai–Lobacsevszkij-féle geometria hatása az axiomatikus módszer fejlődésére. MTA Mat. Fiz. Tud. Oszt. Közl. 3, 235–242.

[84] Kant, I. (1781, 1787). Kritik der reinen Vernunft. (Első, második kiadás.) Johann Friedrich Hartknoch, Riga.

[85] Kant, I. (1788) Kritik der praktischen Vernunft. Johann Friedrich Hartnoch, Riga.

[86] Kant, I. (1790). Erste Einleitung in die Kritik der Urteilskraft. L. Kant művei 5. kötet, kiadta E. Cassirer, 1922.

[87] Kárteszi F. (1953). Lobacsevszkij élete és munkássága. MTA Mat. Fiz. Tud. Oszt. Közl. 3, 189–197.

[88] Kárteszi F. (1976). Bolyai János életműve. Matematikai Lapok 27, 59–63.

[89] Kárteszi F. (1980/1983). Az Appendix előzményei és tudományos eredményei. Matematikai Lapok 31, 15–22.

[90] Kiss E. (1994). A „Bolyai-ládák” legújabb titkai. Természet Világa 125, 405–408.

[91] Kiss E. (1999). Matematikai kincsek Bolyai János kéziratos hagyatékából. Akadémiai Kiadó, Budapest.

[92] Kiss E. (1999). Notes on János Bolyai’s researches in number theory. Historia Mathematica 26, 68–76.

[93] Klein, F. (1872). Vergleichende Bertrachtungen über neuere geometrische Forschungen (Erlanger Programm). Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1974.

[94] Klein, F. (1873). Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. Math. Ann. 6, 112–145.

[95] Klein, F. (1928). Vorlesungen über Nichteuklidische Geometrie. Springer, Berlin.

[96] Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times I. II. III. Oxford University Press, Oxford, UK.

[97] Koncz J. (1887). A marosvásárhelyi Evangélikus–Református Kollégium Könyvnyomdájának száz éves története. Marosvásárhely.

[98] Koncz J. (1896). A marosvásárhelyi Evangélikus–Református Kollégium Története. Marosvásárhely.

[99] Kosáry D. (2001). Újjáépítés és polgárosodás 1711–1867. História/Holnap Kiadó, Budapest.

[100] Korte, B. (1981). Zur Geschichte des maschinelles Rechnens. Bouvier Verlag, Herbert Grundmann, Bonn.

[101] Lambert, J. H. (1786). Theorie der Parallellinien In: Engel und Stäckel (1895).

[102] Lambrecht M. (1973). Bolyai János mint regényhős. Természet Világa 104, 504–505.

[103] Lánczos K. (1976). A geometriai térfogalom fejlődése. Gondolat, Budapest.

[104] Legendre, A. M. (1794). Eléments de géométrie. Paris.

[105] Lévy, S. ed. (2001). The eightfold way. The beauty of Klein’s quartic curve. Cambridge University Press, Cambridge, UK.

[106] Lobacsevszkij, N. I. (1837). Géometrie imaginaire. Journal für de Reine Und Angewandte Mathematik 17, 295–320.

[107] Lobacsevszkij, N. I. (1840). Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. Berlin.

[108] Lobacsevszkij, N. I. (1951). Geometriai vizsgálatok a párhuzamosok elméletének köréből (V. F. Kagan bevezetésével, magyarázataival és függelékével). Akadémiai Kiadó, Budapest.

[109] Milnor, J. (1982). Hyperbolic geometry: The first 150 years. Bull. (New Series) Amer. Math. Soc. 6, 9–24.

[110] Minding F. (1838). Über die Biegung krummer Flächen. J. reine angew. Math. 18, 365–368.

[111] von Mises, R. (1981). Probability, statistics and truth. Dover, New York.

[112] Molnár E. (1975). Bolyai János és a „tér tudománya”. Természet Világa 106, 469–470.

[113] Nagy I. (1858). Magyarország családjai címerekkel és nemzedéki táblákkal II. kötet. Pest.

[114] Orbán B. (1868). A Székelyföld leírása történelmi, régészeti s népismei szempontból. Ráth Mór Bizománya. Pest.[115] Pálffy I. és Pálffy M. (1962). Bibliographia Bolyaiana 1831–1960. A Bolyai geometria szakirodalmának jegyzéke. Országos Széchényi Könyvtár, Budapesti Műszaki Egyetem Központi Könyvtára.

[116] Peacock, G. (1830). A Treatise on Algebra. Deighton, Cambridge.

[117] Poincaré, H. (1960). Mathematical Creation. In: The World of Mathematics, Vol. 4 (J. R. Newman ed.). George Allen and Unwin Ltd., London, 2041–2050.

[118] Poincaré, H. (1985). Papers on Fuchsian Functions. Springer-Verlag.

[119] Poincaré, H. (1905, 2001). La valeur de la Science. Angol fordítása: The value of science. The Modern Library, New York.

[120] Redtenbacher, F. (1852). Prinzipien der Mechanik und des Maschinenbaus. Mannheim.

[121] Rényi A. (1952). Bolyai János a tudomány nagy forradalmára. Matematikai Lapok 3, 174–178.

[122] Réthy M. (1903). Bolyai János „ujj, más világának ismertetése”. Mathematikai és Physikai Lapok 12, 1–29.

[123] Reuleaux, F. (1875). Theoretische Kinematik. Braunschweig.

[124] Reynolds, W. F. (1993). Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid. American Mathematical Monthly 100, 442–455.

[125] Riemann, B. (1868). Über die Hypotehesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13, 133–152.

[126] Riemann, B. (1876). Gesammelte Mathematische Werke und Wissenschaftlicher Nachlass (H. Weber és R. Dedekind szerk.) Teubner, Leipzig.

[127] Riemann, B. (1921). Über die Hypothesem, welche der Geometrie zu Grunde liegen. (Új kiadásban, H. Weyl magyarázatával). Julius Springer, Berlin.

[128] Saccheri, G. (1920). Euclides vindicatus (fordította G. B. Halsted). Open Court, Chicago.

[129] Sarlóska E. (1965). Bolyai János – a katona. MTA Mat. Fiz. Tud. Oszt. Közl. 15, 341–387.

[130] Sarlóska E. (1973). A 150 éves „Bolyai”. Természet Világa 104, 482–484, 507.

[131] Sarlóska E. (1973). Gondolatok Benkő Samu könyvéről. Természet Világa 104, 504.

[132] Schlesinger L. (1903). Bolyai János. Mathematikai és Physikai Lapok 12, 57–88.

[133] Schlesinger L. (1903). Bolyai János szülőházáról. Mathematikai és Physikai Lapok 12, 53–56.

[134] Schmidt, F. (1868). Aus dem Leben zweier ungarischer Mathematiker, Johann und Wolfgang Bolyai von Bolya. Grunerts Archiv der Math. Und Phys. Greifswald 48, 217–228.

[135] Schmidt, F. (1899). Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Wolfgang Bolyai. Leipzig.

[136] Sheehan, J. J. (1994). German History 1770–1866. The Oxford History of Modern Europe. Clarendon Press, Oxford.

[137] Staar Gy. (1990). A megélt matematika c. kötetben 59–80 old.: A lámpás ember – Weszely Tibor. Gondolat, Budapest.

[138] Stäckel, P., Engel, F. (1895). Die Theorie der Parallallinien von Euklid bis auf Gauss. Teubner, Leipzig.

[139] Stäckel P. (1902). Vizsgálatok az absolut geometria köréből Bolyai János hátrahagyott irataiban. Mathematikai és Természettudományi Értesítő 20, 160–186.

[140] Stäckel P. (1902). Bolyai János észrevételei Lobacsevszkij Miklósnak a parallelákra vonatkozó vizsgálataira. Matematikai és Természettudományi Értesítő 20, 40–67.

[141] Stäckel P. és Kürschák J. (1902). Bolyai János észrevételei Lobatschefszkij Miklósnak a parallelákra vonatkozó vizsgálataira. Matematikai és Természettudományi Értesítő 20, 41–67.

[142] Stäckel P. (1903). Bolyai János térelmélete. Matematikai és Természettudományi Értesítő 21, 135–145.

[143] Stäckel, P. (1914). Bolyai Farkas és Bolyai János geometriai vizsgálatai I–II. Budapest.

[144] Stillwell, J. (1996). Sources of Hyperbolic Geometry. History of Math. Vol 10, Amer. Math. Soc., London Math. Soc.

[145] Szász P. (1973). Bevezetés a Bolyai–Lobacsevszkij-féle geometriába. Akadémiai Kiadó, Budapest.[146] Strommer Gy. (1977/1980). A Bolyai geometria szerkesztéselméletéről. Matematikai Lapok 28, 65–67.

[147] Szabó P. (1903). Az abszolút geometria egyik alaptételéről. Mathematikai és Physikai Lapok 12, 321–326.

[148] Szász P. (1953). A hiperbolikus trigonometria különböző elemi előállításai. MTA Mat. Fiz. Tud. Oszt. Közl. 3, 209–225.

[149] Szénássy B. (1960). Bolyai János. A matematika tanítása 7, 34–39.

[150] Szénássy B. (1970). A magyarországi matematika története (A legrégebbi időktől a 20. század elejéig). Akadémiai Kiadó, Budapest.

[151] Szénássy B. (1975). Bolyai Farkas. Akadémiai Kiadó, Budapest.

[152] Szénássy B. (1978). Kérdések és válaszok. In: Bolyai Jánosra emlékezünk! TIT Budapesti Szervezete Matematikai Szakosztályának kiadványa, 29–40.

[153] Szénássy B. (1978). Bolyai János. Akadémiai Kiadó, Budapest.

[154] Szénássy B. (1977/1980). Megjegyzések Gauss nemeuklideszi geometriai eredményeihez. Matematikai Lapok 28, 133–140.

[155] Szénássy B. (1977/1980). Adalékok a két Bolyai fölfedezésének történetéhez. Matematikai Lapok 29, 71–95.

[156] Szénássy B. (1980/1983). A két Bolyai életútja és a Tentamen tudományos jelentősége. Matematikai Lapok 31, 3–14.

[157] Szőkefalvi-Nagy, Gy. (1953). Bolyai János szögharmadolása. Matematikai Lapok 4, 84–86.

[158] Taurinus, F. A. (1826). Geometriae prima elementa. Köln.

[159] Thom, R. (1971). „Modern” Mathematics: An Educational and Philosophic Error? American Scientist 59, 695–699.

[160] Thurston, W. P. (1982). Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry. Bull. (New Series) Amer. Math. Soc. 6, 357–381.

[161] Thurston, W. P. (1997). Three-Dimensional Geometry and Topology, Vol. I. Princeton University Press, Princeton, N. J.

[162] Toró T. (1973). Nemeuklideszi geometriák a modern fizikában és a relativisztikus kozmológiában. Korunk Évkönyv, Kolozsvár, 245–256.

[163] Torretti, R. (1996). Relativity and Geometry. Dover, New York.

[164] Tóth Imre (1965). A nemeuklideszi geometria előtörténetéből. Matematikai Lapok 16, 300–315.

[165] Tóth Imre (2000). Isten és geometria. Osiris, Budapest.

[166] Tymoczko, T. (1998). New Directions in the Philisophy of Mathematics (revised and expanded paperback edition). Princeton University Press, Princeton N. J.

[167] Ungar, A. (1997). Thomas Precession: Its Underlying Gyrogroup Axioms and their use in Hyperbolic Geometry and Relativistic Physics. Foundations of Physics 27, 881–951.

[168] Ungar, A. (1999). The hyperbolic Pythagorean theorem in the Poincaré disk model of hyperbolic geometry. The American Mathematical Monthly 106, 759–763.

[169] Varga O. (1953). A Bolyai–Lobacsevszkij-geometria hatása a geometria fejlődésére. MTA Mat. Fiz. Tud. Oszt. Közl. 3, 151–171.

[170] Vállas A. (1836). Literatúratörténet. Tudománytár, 143–172.

[171] Vekerdi L. (1969). Kalandozás a tudományok történetében. Magvető Kiadó, Budapest

[172] Vekerdi L. (1981). A Bolyai-kutatás változásai. Természet Világa 112, 56–58.

[173] Vekerdi, L. (2001). A Bolyai-gyűjtemény a Bolyai-kutatásban. Örökségünk, élő múltunk. Gyűjtemények a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtárában. MTA Könyvtára, Budapest, 85–114.

[174] Weszely Tibor (1974). Bolyai Farkas, a matematikus. Tudományos Könyvkiadó, Bukarest.

[175] Weszely Tibor (1981). Bolyai János matematikai munkássága. Kritérion, Bukarest.

[176] Weszely Tibor (1980/1983). Bolyai János kéziratban hátrahagyott matematikai munkáiról. Matematikai Lapok 31, 29–37.

[177] Weszely T. (1985). Bolyai János emlékezete. In: Bolyai Jánosra emlékezünk! TIT Budapesti Szervezete Matematikai Szakosztályának kiadványa.

 
Természet Világa, 133. évfolyam, 9. szám, 2002. szeptember
http://www.chemonet.hu/TermVil/ 
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/


Vissza a tartalomjegyzékhez