A mozgások új arca: káosz és valószínűség 

E szokatlan szerkezetű ábra egy egyszerű rendszer mozgását jellemzi. Egy nemlineáris rugóhoz rögzített testre időben periodikus külső erő hat (mint pl. a gödrös lejtőn haladó autó kerekére). A rugó keményedő, vagyis a benne ébredő erő nem a kitéréssel arányosan nő (ekkor lenne lineáris), hanem annál nagyobb mértékben. A testet súrlódás fékezi. Az ilyen rendszer általában kaotikus mozgást végez, melyet úgy célszerű vizsgálni, hogy a külső hatás periódusának n egész számú többszöröseiben (mondjuk minden másodpercben) meghatározzuk a test pillanatnyi xn helyét és vn sebességét. Így egy ugráló (xn,vn) pontsorozatot kapunk. A mozgást hosszú ideig követve kiderül, hogy a pontok nem jelenhetnek meg akárhol, hanem csak egy nagyon bonyolult geometriai alakzaton, az ún. kaotikus attraktoron (lásd ábránkat).

A kaotikus attraktor bármekkora nagyításnál szálas fraktál szerkezetűnek mutatkozik. Egy adott kitéréshez tehát végtelen különböző (de nem tetszőleges!) nagyságú sebességgel érkezhet meg a test. (Nem kaotikus, ismétlődő mozgások, mint pl. az egzaktul lineáris rugó eseten egy adott helyzethez csak egyetlen ilyen sebesség tartozhat!) Az ábrán látható kaotikus attraktor a mozgás „ujjlenyomata”. A mozgás teljes jellemzéséhez azonban ennek ismerete nem elegendő. A kaotikus viselkedés hosszú tavon előrejelezhetetlen, ezért a leírásához annak megadása is hozzátartozik, hogy a kaotikus attraktor egyes részeit milyen gyakorisággal látogatja a rendszer. Ez az attraktorhoz rendelt valószínűség-eloszlás látható a címlapon. A kép elkészítéséhez számítógépes szimulációval hosszú ideig nyomon követtük az (xn,vn) hely-, és sebességadatokat, s az így kapott milliós nagyságrendű pont lokális „beütésszámaiból” megrajzoltuk a valószínűség-eloszlást. Ahol sok pont tömörül kis helyen, ott értelemszerűen nagy a valószínűség, ahol kevés, ott kicsi. A valószínűség-értékeket a függőleges tengely mentén oszlopdiagram formájában mértük föl. A képen tehát a hely és a sebesség a vízszintes koordináták, a valószínűség pedig a függőleges. A függőleges kis pálcikák talpa mind egy-egy attraktorponthoz illeszkedik, vagyis a valószínűség-eloszlás tartója maga a kaotikus attraktor. (Az attraktoron kívül nincs pálcika, minden ilyen helyen nulla a valószínűség.) Az eltérő valószínűség-értékeket színezéssel is megkülönböztettük: az eloszlás maximális értékének 10 százalékáig kékeszöld, onnan 50 százalékáig fehérbe hajló, afölött pedig teljesen fefér színt használtunk. A pálcikák magassága rendkívül bonyolultan változik, semmilyen nagyításnál sem tűnik el a tagoltság: nemcsak az eloszlás tartója fraktálszerkezetű, hanem az eloszlás is. A kaotikus mozgáshoz tartozó eloszlások tehát a valószínűség-eloszlások új, szokatlan osztályába tartoznak, melyek még esztétikus megjelenésűek is.

T. T. – G. M.


Természet Világa, 133. évfolyam, 9. szám, 2002. szeptember
http://www.chemonet.hu/TermVil/ 
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/


Vissza a tartalomjegyzékhez