Matematikai séták Kőszegen

Kopházi Gergely
Jurisich Miklós Gimnázium, Kőszeg


„A matematika tárgya annyira komoly,
hogy hasznos minden alkalmat felhasználni arra,
hogy szórakoztatóbb formában foglalkozzunk vele.”
(Pascal)
 Minden ősszel diákok serege népesíti be a nyáron ürességtől kongó iskolákat. A viszontlátás öröme határtalan. A boldog időszakot azonban hamarosan sötét felhők árnyékolják be. Jön az első matekdolgozat. Pedig a matematika tanulása nem csak tételek sokaságából vagy megoldhatatlannak látszó egyenletrendszerekből állhat. Érdekessé, izgalmassá, életszerűvé tehető néhány jó ötlettel. Ezt szolgálja egy kétnyelvű (magyar–angol) számítógépes program, mely egyedülálló módon ötvözi a történelmet, a kultúrát, a helytörténetet és a zenét a matematika tanulásával. Ugye, így már nem is olyan nehéz a matematika?

A számítógépes program

Matematikaóráinkat színesebbé, érdekesebbé tehetjük, ha a tanórát városnéző barangolással kötjük össze, s egy-egy helyszínen mutatunk rá a matematikai összefüggésekre, melyeket az utcák, a terek és épületek szinte tálcán kínálnak. Így kapcsolatot teremthetünk a különböző tudományterületek között, és a számítógép segítségével szinte játszva tanulhatunk.

Középiskolás barátaimmal (Varga Zoltánnal és Szárnyas Gáborral) olyan CD-t készítettünk, amely Kőszeg városát, annak történelmét mutatja be, körséta segítségével, harmincegy látnivalóval. (Írásunkban ezekből tízet mutatunk be.) A CD-n minden helyszínhez részletes történelmi és művészettörténeti összefoglaló tartozik, számos, a nevezetességet ábrázoló fotóval. A város történelmének megismerése mellett matematikai ismereteinket is felfrissíthetjük, hiszen minden helyszínhez készíthető egy-egy érdekes matematikai feladvány is, melynek megoldása szintén megtalálható a CD-n. A matematikai feladatok az általános és középiskolai tananyaghoz kapcsolódnak, melyeket a város építészeti és művészeti értékeinek adatait felhasználva készítettünk. Többségük sík- vagy térgeometriai, de találkozhatunk egyenletekkel, kombinatorikai feladatokkal, sorozatokkal, halmazokkal is. Bolyongásunkat zenei aláfestés teheti hangulatossá. A zene, akárcsak a város, középkori hangulatot idéz. Választhatunk reneszánsz zenék és zongorajáték közül.

Virtuális túránk során, hogy el ne tévedjünk, térkép segít bennünket. Ezen többféle nagyításban láthatjuk Kőszeg belvárosát, a város festői szépségű alpokaljai környezetét. A megismerni kívánt helyszín a térképről egy kattintással elérhető, megkönnyítve a tájékozódást. Ha kellőképpen elfáradtunk, a galériában száznál is több fotón pihentethetjük szemünket. Amennyiben játszani támad kedvünk, kvízzel ellenőrizhetjük tudásunkat addig megszerzett kőszegi ismereteinkről.

A program HTML-nyelven íródott, ezért bárki megtekintheti egy webböngésző segítségével. A CD kétnyelvű, hogy az angolul beszélők is játszva tanulhassanak, könnyen megismerhessék környezetünket, kultúránkat, városunkat, és bepillanthassanak matematikai tanulmányainkba.

A kőszegi építészet és a matematika

A program bemutatása után nézzünk meg tíz kőszegi helyszínhez kapcsolódó feladatot.

1. feladat. A Jézus Szíve-templom (1. ábra) belső díszítésein a következő mintát fedeztük fel:
 

1. ábra. A Jézus
Szíve-templom

Bizonyítsd be, hogy a két holdacska területe egyenlő a háromszög területével! (Ez a tétel egyébként Hippokratész holdacskái néven ismert.)

Megoldás. Mint láthatjuk, egy derékszögű háromszögről, a köré írt félkörről, és a befogók fölé írt félkörökről van szó. Legyen a háromszög két befogója a és b, átfogója c.

  

A teljes síkidom területe a háromszög területének és a két félkör területének az összege:

A holdacskák területe a teljes síkidom és a félkör területének a különbsége:

Mivel a háromszög derékszögű, alkalmazható rá Pitagorasz tétele, miszerint a2+b2=c2, ezért

Tehát a holdacskák területe egyenlő a háromszög területével.

k

2. feladat. Egy lány nyolc barátját szeretné meghívni piknikezni a Hétforráshoz (2. ábra), de csak négy számára van hely a kocsiban. Hányféle módon választhatja ki, hogy kiket visz magával, ha köztük van két testvér is, akiket nem szeretne elválasztani egymástól?

2.  ábra. Hétforrás

Megoldás. A feladatban a nehézség az, hogy a testvéreket nem lehet egymástól elválasztani. Ha sorrendbe akarnánk rakni a lányokat, azt úgy oldanánk meg, hogy a két testvért egy személyként kezeljük. Ebben az esetben azonban ez nem célszerű, mivel kiválasztjuk a lányokat. Nem mondhatjuk, hogy 7 lány közül kell hármat kiválasztanunk, mert akkor előfordul, hogy tényleg csak hármat hív meg, ha a két nővér nincs bent e háromban.

A problémát ezért célszerű úgy megoldani, hogy két részre bontjuk.

a) Ha mindkét testvért beültetik az autóba, a 6 barát közül még 2 ülhet be. A lehetőségek száma:

b) Ha nem a testvéreket ülteti be, a 4 vendéget a másik 6 barátból kell kiválasztania. A lehetőségek száma:

   

tehát ebben a sorrendben 30-féle variációban viheti magával barátait a lány.

Ha két fuvar sorrendjét felcseréljük, az összes lehetőségek száma 2·30=60.

k

3. feladat. A Lauringer-ház kovácsoltvas cégére (3. ábra) az egykori Heidenreich lakatosműhely egyik legszebb darabja. Tíz méterről az alját 26 fokos, a tetejét 30 fokos emelkedési szögben látjuk. Milyen magas a cégér?

Megoldás. Készítsünk vázlatot!

Használjuk a trigonometrikus szögfüggvényeket!

A cégér tehát 89 cm magas.

k

4. feladat. A vasútállomás és a Vasút a Gyermekekért Alapítvány (4. ábra) épületei 1 km-re vannak egymástól. A két épület között a műúton egy 1000 m-es kötelet feszítünk ki. A kötélbe egy 15 cm-es darabot toldunk. Ha a közepét megemeljük, mi fér át alatta: rovar, csiga, kutya, esetleg ember?

4. ábra. A Magyar Államvasutak Nevelő- és Diákotthona

Megoldás.

ABC egyenlő szárú háromszög, alapja dAB=1000 m, CT felezőmerőlegese AB-nek, ezért dAT=500 m.

dAC+dCB=1000,15 m, dAC=500,075 m.

Az ATC derékszögű háromszögre alkalmazva a Pitagorasz-tételt:

5002+d2TC=500,0752, ebből dTC=8,66 m.

Szinte hihetetlen, de ekkora betoldással 8,66 m-re lehet felemelni a kötél közepét, így akár egy ember is könnyedén átsétálhat alatta.

k

5. feladat. Futóversenyt rendeznek a Zwingertől (Öregtoronytól 5. ábra) az Óházig. A 10 km-es távolságot egy futó 1 óra alatt teszi meg. Ahol jó az út (egyenes, sík terepen), ott 14 km/h sebességgel halad, ahol rossz, ott 6 km/h sebességgel. Milyen hosszú a jó út?

5. ábra. Az Öregtorony

Megoldás. Tegyük fel, hogy x km a jó út hossza.

Ebből következik, hogy a dombon az út hossza (10–x) km.

A jó úton 14 km/h sebességgel halad, így az x km hosszú utat 14 km/h sebességgel x/14 óra alatt teszi meg.

A rossz úton a (10–x) km hosszú utat 6 km/h sebességgel (10–x)/6 óra alatt teszi meg.

A két időtartam összege 1 óra, ezért

Most már felállíthatjuk az egyenletünket:
3x+70–7x=42

28=4x

x=7

A jó út tehát 7 km hosszú.

k

6. feladat. A Patikamúzeum (6. ábra) legszebb bútordarabjának legfelső polcán 23 db tégely van, és minden további polcon az előzőnél 5-tel több. Hány tégely van a 8 polcon összesen?

6. ábra. A patikamúzeum

Megoldás. Az egyes polcokon sorakozó tégelyek száma számtani sorozatot alkot, amelynek első eleme a1=23, a különbsége d=5, a polcok száma n=8.

k

7. feladat. Az alábbi térképvázlat alapján kell eljutnunk a Kálvária-templomtól (7. ábra) a szállásunkig úgy, hogy közben a tanösvényt is érintsük! Milyen útvonalon haladjunk, hogy a legrövidebb utat tegyük meg, és mekkora ez az út?

7. ábra. A Kálvária-templom
 

Megoldás. Mivel két pont között a legrövidebb távolság egy egyenesre esik, gondolatban tükrözzük a tanösvény vonalára a Kálvária-templomot: (Mivel KT=K’T, a legrövidebb út a K’P szakasz lesz).
 


Keressünk derékszögű háromszögeket!

KOP derékszögű háromszögre alkalmazva Pitagorasz tételét: KO2+42=52.

Ebből KO=3 km, ezért K’O’=3 km.

KO’P’ derékszögű háromszögre alkalmazva Pitagorasz tételét: K’P2=K’O’2+O’P2, vagyis K’P2=32+62.

Így K’P»6,7 km.

A legrövidebb út 6,7 km.

k

8. feladat. Iskolánkban (8. ábra) 381 diák tanul. Valamennyien tanulnak angolt, németet, vagy mindkettőt. 311 diák tanul angolt, 223 diák németet. Hányan tanulják mindkét nyelvet?

8. ábra. A Jurisich Miklós Gimnázium Kőszegen

Megoldás. Szemléltessük a megoldást Venn-diagrammal!

Angolt tanulnak azok, akik csak angolt, vagy mindkét nyelvet tanulnak, németet pedig, akik csak németet, vagy mindkét nyelvet tanulják.

A két nyelvet tanuló diákok számának összege a csak angolt, a csak németet, és 2-szer a mindkét nyelvet tanulók számát adja.

Ha tehát ebből az összegből kivonjuk a tanulók létszámát, megkapjuk a mindkét nyelvet tanulók számát, vagyis (311+223)–381= =153. Tehát 153 diák tanulja mindkét nyelvet.
 
 

k

9. feladat. A Dunántúl legmagasabb pontján áll az Írottkő-kilátó (9. ábra). Meg akarjuk mérni a magasságát. P és Q pontból, amelyek a kilátó aljával egy egyenesben vannak, és egymástól 10 m távolságra helyezkednek el, megmérjük, mekkora emelkedési szögben látszik a kilátó teteje. E szögek 22, illetve 32 fokosak. Milyen magas a kilátó, ha az ember, aki méri, 180 cm magas?
 

9. ábra. Írottkő

Megoldás. Először egy jó ábrát kell készítenünk a feladatról, amely a további megoldásban segít.
 

Az ábrán két háromszög látható. Mindkettő derékszögű. Mire is emlékeztet minket a derékszögű háromszög?

A) Thalész-tétel B) Pitagorasz-tétel C) szögfüggvények

Jelen esetben a szögeket ismerjük, így szögfüggvényeket kell használnunk. Tudunk valamit a szögek mellett fekvő befogókról, és keressük a szöggel szemközti oldalt. Így a tangens vagy kotangens szögfüggvényeketet kell használnunk. Jelöljük a kilátó magasságát h-val, és a kilátótól az első távolságot x-szel, mindkettőt méterben értve.

A QAT derékszögű háromszögből:

tg32o=h/x

A PAT derékszögű háromszögből:

tg22o=h/(x+10)

Két egyenletünk és két ismeretlenünk van, így meg is tudjuk oldani az egyenletrendszert:

h=11,43 m.

Figyelembe véve a mérő szemmagasságát is, a kilátó 9,73 m magas.

k

10. feladat. Milyen hosszúak a Szent Imre-templom (10. ábra) óramutatói, ha végpontjaik 2 órakor 52 cm-nyire, 9 órakor 68 cm-nyire vannak egymástól?

10. ábra. Szent Imre-templom

Megoldás.


Tehát az óra mutatói 32 és 60 cm-esek.

k

Hasonló érdekes matematikai barangolásokat bárki könnyen készíthet lakóhelye környékén. Sok sikert hozzá.

Az írás szerzője Diákpályázatunkon a Martin Gardner által kiírt Matematika különdíj kategóriában II. díjat kapott.


Természet Világa, 133. évfolyam, 8. szám, 2002. augusztus
http://www.chemonet.hu/TermVil/ 
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/


Vissza a tartalomjegyzékhez