A szimmetria világa – a világ szimmetriája

Fekete Soma
Széchenyi István Gimnázium, Sopron


Mi az a szimmetria?

– elmélkedett magában Alice, amikor meglátta Tükörország kapuja felett a feliratot. Csupaút erdőben találkozott a diákkal, a sportolóval és a tudóssal. Nyomban meg is kérdezte tőlük, hogy mit tudnak róla.

A diák szerint: … olyan dolgok, melyek különböző nézőpontból tekintve is ugyanúgy néznek ki… egy dologgal valamit teszel, akkor ugyanolyan marad, mint előtte volt…

A tudós véleménye:

A szimmetria – bármily tágan vagy szűken is értelmezzük – egyike azoknak a fogalmaknak, amelyek segítségével a történelem folyamán az emberek igyekeztek a rendet, szépséget és tökéletességet megérteni és megvalósítani. (H. Weyl)

A szimmetria gyönyörködteti az emberi elmét; mindenki szereti az olyan mintás tárgyakat, amelyek valamilyen módon szimmetrikusak… de ami minket a szimmetriában leginkább érdekel, az az, hogy magukban az alapvető törvényekben is létezik. (R. P. Feynman)

Mit gondolt a sportoló?

Amikor kosárra dobok, tudom, hogy a labda tökéletesen szimmetrikus parabolapályán fog szállni, amit a kosár megtör. Ez olyan jópofa, hogy a kosár mindig megszakítja a szimmetriát. (Michael Jordan)

Ezek után Alice teljesen összezavarodott, de szerencséjére szembejött vele egy igazi Tükörfigura, aki megpróbálta elmagyarázni neki ezt a fogalmat:

A szimmetria szót a mindennapi nyelvben többféle értelemben is használjuk. Az egyik szerint szimmetrikus egy alakzat, ha arányos, kiegyensúlyozott, a szimmetria pedig az a fajta összhang, mely egyes részeket egésszé egyesít. Ily módon a szépség szoros kapcsolatban áll a szimmetriával, ahogy az a harmadik idézetből is kicseng. Második jelentése a szó etimológiájából következik: a snm és metros görög szavakból tevődött össze, és szó szerinti értelmezésben a dolgok közös mértékét jelenti, azt a középutat, melyre Arisztotelész etikája szerint az erényeseknek törekedniük kell cselekedeteikben. Az eredeti jelentés tehát a legkevésbé sem korlátozódott a geometria területére.

Ezzel ellentétben napjainkban – főleg a diákok – a szimmetria fogalmához inkább matematikai értelmet rendelnek. Tehát a szimmetria egyszerre matematikai és esztétikai fogalom is, mely lehetővé teszi, hogy osztályozzunk és megkülönböztessünk különböző típusú szabályos mintákat. A világban létező „dolgok” e tulajdonságával nap mint nap találkozhatunk a természetben és az emberi alkotásokban egyaránt.

– Akarod, hogy végigvezesselek Tükörországon? – kérdezte Tükörfigura.

– Milyen hosszú az út? – érdeklődött Alice.

– Mindössze két megyénk van: Mesterséges megye és Természetes megye. De mielőtt elindulunk, vegyünk magunkhoz útravalóként egy kis matematikát.

Alice összerezzent, mert ez a szó kellemetlen emlékeket ébresztett benne. Tükörfigura azonban nem zavartatta magát, és hozzáfogott magyarázatához:

„A matematika mindennél jobban szereti a szimmetriát”

(Maxwell)
Többféle szimmetria létezik, attól függően, hogy milyen geometriai transzformációt végzünk egy alakzaton. Ha az alakzat nem változik egy tengelyes tükrözés hatására, akkor tengelyes szimmetriáról beszélünk. Ha középpontos tükrözést hajtunk végre rajta, és az alakzat képe önmaga, akkor középpontosan szimmetrikus. Ha az alakzat forgatással vihető önmagába, akkor forgási szimmetriával rendelkezik. Természetesen vannak olyan tárgyak, amelyeknek egyszerre többfajta szimmetriájuk is van. Jellegzetes példája a négyzet, ami tengelyesen szimmetrikus a két átlójára és a két oldalfelező egyenesére; középpontosan szimmetrikus az átlók metszéspontjára; és ugyanezen pont körül 90°-kal vagy ennek többszörösével elforgatva is ugyanazt a négyzetet kapjuk.

Az eltolással kicsit más a helyzet, mert az alakzatot nem önmagába viszi, viszont nem is változtatja meg. Ilyen értelemben beszélünk eltolási szimmetráról.

Platón tökéletes testei is többféle szimmetriájúak. Johannes Kepler 1596-ban „Mysterium Cosmographicum” művében kifejti, hogy a világegyetem a platóni testekből épül fel. A bolygórendszerbeli távolságokat egy kisebb gömb köré, illetve egy nagy gömbbe írt platóni testek elhelyezkedésével képzelte el.

„Mesterséges” szimmetria
– szimmetria a művészetben

„A matematikus mintáinak, miként a festő és költő mintáinak szépeknek kell lenniük. A gondolatoknak, miként a színeknek vagy szavaknak, harmonikusan kell egymáshoz illeszkedniük.”

(G. H. Hardy)
Amint átlépték Mesterséges megye határát, Alice rácsodálkozott a sok-sok tökéletes szimmetriájú épületre. Tükörfigura azonban nem hagyott időt a csodálkozásra, hanem belekezdett mondókájába:

A görög művészet számára a szimmetria, vagyis a harmónia, az arányosság, a ritmus megtestesítői voltak szobraik, az aranymetszés arányait – eleinte csak ösztönösen – követő épületeik, vázáik, tálaik, épületeik díszítő elemei, képei, zenéjük, drámáik, verseik ritmusa.

A görög istenségeknek emelt templomok, sőt azok oszlopfőinek (jón, dór) kialakítása is hordozott szimmetriát. Épületeiken, edényeiken szeretettel alkalmazták az eltolási szimmetriát, sormintákat képezve. A görög szobrászatra jellemző, hogy a megformált arcot mesterségesen tették szimmetrikussá, mely esztétikai célokat szolgált.

Ezen díszítőelemek előállítására 4 alapművelet ismétlése áll rendelkezésre. A különböző transzformációkkal létrehozható frízekben, díszítőelemekben, mozaikokban, csempékben is a szimmetria és a tükörképek uralkodnak. Ezt eltolási szimmetriának nevezzük. Az első egyszerű ismétlés: ekkor ugyanaz a minta ismétlődik az egész szegély mentén. A második művelet a tükrözés függőleges vagy vízszintes tengely mentén. A harmadik az elforgatás, amely 180°-kal történik egy rögzített pont körül. A negyedik művelet a csúsztatott tükrözés, itt előrefelé ismétlődik a minta, miközben a tükörképet is előállítják az ismétlés irányával párhuzamos egyenes mentén, majd e tükörképeket enyhén elcsúsztatják, hogy végeik nem érintkeznek az eredeti mintával.

Ezek mindössze hétféleképpen elegyíthetők úgy, hogy ismétlődő mintákat hozzanak létre. E hét lehetséges szegélyminta-változat példáit láthatjuk a korai kultúrákban és végig a művészet történetében.

A középkor embere a szimmetriát, mely nyugalmat, rendet, törvényt, kiegyensúlyozottságot jelentett, előnyben részesítette az aszimmetriával szemben, mely mozgást, véletlen, kiszámíthatatlan dolgokat, tehát negatív dolgot jelentett.

Mintegy másfél évezreden keresztül, amíg a reneszánsz újra fel nem fedezte Vitruvius 10 könyvét az építészetről, a szimmetria elsősorban nem geometriai tartalmat hordozott, hanem a görögök által már használt arányosságot, harmóniát, ritmust. A görög kultúra aranykora mellett a reneszánsz idején virágzott fel egyidejűleg a művészet és a tudomány. A szimmetria harmónia, arányosság jelentései a művészet kategóriájává, míg az egzaktabb, geometriai jelentések a tudomány sajátjaivá váltak. A reneszánsz művészet szimmetriaallegóriái korántsem korlátozódtak a geometriai idomok ábrázolására. Gondoljunk csak Leonardo rajzaira vagy Dürer tanulmánykönyveire, amelyek a reneszánsz sokoldalúság ragyogó bizonyítékai. Másrészt a reneszánszban érdekes változásokat hozott Dante Isteni színjátékának szimmetrikus, 3-ra épülő felépítése, ami éppoly érdekes, mint az olasz csillag alaprajzú városok kitalálása és létrehozása.
 
 

A chartes-i székes-
egyház aszimmetriája
A kölni dóm
 szimmetriája

A középületek és templomok legtöbbje, legyen akár görög templom, akár keresztény bazilika vagy katedrális, a szimmetriát követi. Bár nem egy példa van a gótikus templomok között, melyeknek tornyaik nem egyformák. De ennek okai a történelemben keresendők.

Az újkor racionalitása megpróbálta kiszorítani a harmónia, arányosság fogalmait a tudományból, másrészt az egzakt geometriai szimmetria ábrázolása idegenné vált e kor művészetétől. Bár a barokk építészet a szimmetria új elemeit, mint például ovális alaprajzokat, csavart oszlopokat kezdi alkalmazni, ezeket mégis háttérbe szorítja az aszimmetrikus ornamentika túlsúlya.

„Ügyelj az értelemre,* a hangok majd vigyáznak saját magukra.”

(Lewis Carroll)
Az egyik épületből csilingelő hangok szűrődtek ki, melyek teljesen elbűvölték Alice-t. Nagy örömére Tükörfigura is arra vette útját. Sajnos közben megint nem állt be a szája:

A zenében megtalálható szimmetria szerepe az, hogy szétoszt, így világos tagoltságot tesz lehetővé, melynek jelenléte a mű áttekinthetőségét eredményezi. A szimmetria sorokra, rímekre, versszakokra tagolja az anyagot. A szimmetriának, mégpedig a hangnemi tükörszimmetriának szép példájával találkozunk Bartók Cantata profanajában. A mű kezdetének, valamint befejezésének hangsora – a d központú hanghoz képest – pontos tükörképe egymásnak.

Különösen érvényre jut a szimmetria, ha zongorán játsszuk el a fenti példát: így még a fekete és fehér billentyűk is pontosan megfelelnek egymásnak. A szimmetria keretébe tartozik a zeneszerzés-technika egyik jellegzetes sajátsága: a témák többfele megfordítási lehetősége. Erre példa J. S. Bachtól, a Goldberg-variációk első 8 basszus hangjára írt kánon.

alaphelyzetben
tükörfordításban (a felfelé-lefelé irányok felcserélésével)
rákfordításban (visszafelé olvasva)
tükörrák-fordításban

Hangjegyírásunk vagy billentyűs hangszereink egyaránt arra utalnak, hogy a centrumot a két fekete billentyű középső hangja alkotja, amelytől felfelé és lefelé minden hangnak szimmetrikus tükörképe van. A szimmetriatengely lehet vízszintes a tengelyre, de lehet függőleges is. De az is előfordulhat, hogy a tükrözés mind a vízszintes, mind a függőleges tengelyen egyszerre megfigyelhető. A dallam tükrözésénél nem fontos, hogy a ritmus is tükörkép legyen. Ezekre Bartók Béla Mikrokozmosza és Johann Sebastian Bach Contrapunctusa a legjobb példa.

„Természetes” szimmetria
– szimmetriák a természetben

Alice a megyék közötti titkos átjáróhoz érkezve riadtan hőkölt vissza, mert egy sárga szempár nézett vele farkasszemet. Tükörfigura azonban a bűvös versikét elszavalva, szelíddé varázsolta a tigrist. Erre a tigris kezes báránnyá változva mesélni kezdett:

A természetben a szimmetriát és az aszimmetriát egyaránt fellelhetjük. Hogy melyik hol fordul elő, azt mindig az adott körülmények figyelembevételével tudjuk megmagyarázni. Az élőlények az élettelen dolgokkal szemben szembeszökően szimmetrikusak. Külső megjelenésükben a szimmetriafajták (kétoldali, henger, gömb, forgási) közül a kétoldali szimmetria a leggyakoribb, melynek előnyei legjobban a mozgásnál mutatkoznak meg. Függőleges irányban azonban hiányzik a szimmetria, mivel az élő szervezetek alkalmazkodtak a függőleges irányú gravitációs erőhöz, így tudják ugyanis megőrizni egyensúlyukat a kisebb zavaró hatásokkal szemben.

A növényvilágban szinte az összes virágnak van szimmetriája, mely csodálatos szépségükért felelős. Sok virágnak egyetlen szimmetriasíkja van, és tükörképi párok módjára jobb és bal félre osztható. Sok növény kúpszimmetrikus, vagyis sugaras szimmetriájú. Ez a szimmetria a virágoknál is megmarad, feltéve, hogy azok függőlegesen nőnek. A bonyolultabb felépítésű virágoknál szimmetriatengely „értékről” beszélhetünk, mely azt jelenti, hogy egy adott tengely körül körbeforgatva a testet, az egy teljes körülforgás alatt hányszor hozható fedésbe önmagával. Az alma virágjának szimmetriáját nagyon szépen követi a magház is. A termések, gyümölcsök gyakran gömbszimmetrikusak.

Tükörfigura átvette a szót: Külsőleg a mi testünk is kifejezetten kétoldali szimmetriájú. Az emberi testtel először Leonardo da Vinci foglalkozott behatóan, ismert rajza is a szimmetriára hívja fel a figyelmet. Albrecht Dürer „De symmetria partium” és „Della Simmetria dei Corpi Humani” című tanulmánykönyvei, melyek 1528-ban jelentek meg. Utóbbi könyvének rajzai az emberi test egyes részeinek egymáshoz, az egész emberi test egészéhez, a különböző testek egymáshoz kapcsolódó arányosságait, arányos kapcsolódásait, összefüggéseit és szimmetriáját vizsgálta.

Ha jobban szemügyre veszed magadat, igen sok apró különbséget vehetsz észre jobb és bal feled között, mintha az aszimmetrikus valahogyan „beépült” volna a szimmetrikusba. Arcod két fele a valóságban sohasem tökéletesen szimmetrikus.

„Ciklus”, „ritmus”, „periódus” és „évszakok” – csupa olyan fogalmak, amelyek éppoly ismertek, mint a „bal” és „jobb”, de arra már nemigen szoktunk gondolni, hogy esetükben szintén szimmetriával van dolgunk, csakhogy ez alkalommal a jelenségek szimmetriája az időben nyilvánul meg. Az éjszakák és nappalok váltakozása, az újra és újra eljövő évszakok, testünk sejtjeiben szünet nélkül zajló szerves anyagok felépítése és lebontása, oxidáció és redukció, energiatárolás és -felhasználás, mind-mind a szimmetria élő példái.

Az élőlények testének szimmetriája az agy és az érzékszervek sajátságait is befolyásolja. Magának az agynak a felépítése aszimmetrikus, hiszen az agy mindkét féltekéje az ellenoldali testfelet irányítja, és a két agyfélteke más és más tevékenységért felelős.

A szimmetriától való eltérés mindig valamilyen sérülésre vagy genetikai károsodásra utal az élővilágban. A betegségek legborzasztóbb következménye, ha elveszítjük testünk finom szimmetriáját.
 

Amíg beszélgettek, egy pakli kártyakatona bal – jobb – bal – jobb masírozott el mellettük. Alice örömmel fedezte fel rajtuk a tengelyes szimmetriát, de Tükörfigurának más jutott az eszébe róluk:

A „bal” és „jobb oldal” különleges esete a tükörszimmetriának. Ez akkor valósul meg, ha két, önmagában nem szimmetrikus alakzat egymásnak a tükörképe. Ilyenek az egyes testrészeink: a kezek, a lábak stb.

A lábnyomok a szegélymintákhoz hasonló módon képezhetők. Ez esetben egy eltolás után egy tengelyes tükrözés következik. Tehát a lábnyomok szimmetriáját csúsztatott tükrözés hozza létre.

A jól látható bal-jobb szimmetriák mellett vannak kevésbé feltűnőek is. A sztereoizomer molekulákra az jellemző, hogy összegképletük megegyezik, de térszerkezetükben eltérnek, méghozzá úgy, hogy egymás tükörképei. Mivel tulajdonságaik is megegyeznek, nehéz őket megkülönböztetni egymástól. Pasteur fedezte fel a kapcsolatot az optikai aktivitás és a sztereoizomer szerkezet között: ezek az anyagok a poláros fény polarizációs síkját elforgatják, mégpedig az egyik változat jobbra, a másik balra.

A fehérjéket felépítő aminosavakat gyártó enzimek csak balra forgató aminosavakat állítanak elő, s a fehérjeszintetizáló enzim is csak balra forgató aminosavakat használ fel. Ez vonatkozik a legfontosabb energiaforrásunkra, a cukorra is, melyek közül csak jobbra forgatót gyárt és használ fel az élő szervezet.

Fontos molekuláris szimmetria számos enzim teljes szimmetriája. Itt az egyes polipeptid láncok magukban rendszerint nem szimmetrikusak, de a sok enzim szerkezete mégis igen tökéletes szimmetriát mutat: ugyanis több polipeptidláncból áll, és ezek között páros számú egyforma van, amelyek különféle tükörképi komplexumokat alkotnak.
 

A művészetben is előfordul a jobb és a bal megkülönböztetése: a képek megváltoztatják hatásukat, és elvesztik a jelentésüket, ha átfordítják őket a saját tükörképükbe. Ennek magyarázata, hogy a képeket balról jobbra „olvassuk”. Ha azt akarjuk, hogy két tárgy egyenlő nagyságúnak tűnjön, akkor a bal oldalit meg kell nagyobbítani. A néző szubjektíve balra helyezi magát, úgy látja a képet, mintha a kép bal oldala előtt állna. Ami a kép bal oldalán van, az súlyosabbként érvényesül. Ez kapcsolatba hozható a beszéd, az írás és az olvasás magasabb agyi központjait magába foglaló bal agykéreg domináns szerepével. A képen a balról jobbra való mozgásokat könnyebbnek érezzük.

„Vegyítsed enyvvel vagy kőporban főzd,
Bocsásd rá sáskák falánk hadát,
Fő elv lebegjen szemed előtt
Ne bontsd meg a szimmetriát!”

(Lewis Caroll)
Most pedig megmutatom neked a Tükörbányát, s néhány szép bányavirágot – szólt Tükörfigura, vigasztalásképpen a még mindig remegő Alice-hoz. Mik azok a bányavirágok? – kérdezte meglepődötten Alice. Tükörfigura erre is kielégítő válasszal szolgált:

A kristályok – régiesen szólva bányavirágok – az emberiség kultúrtörténetében évezredekre visszamenően a szépséget, a rendet, a tisztaságot szimbolizálják. A kristálytan az első, mérhető adatokra alapozott tudományág attól kezdve, hogy 1669-ben Nicolaus Steno dán természetbúvár kimondja a lapszögek állandóságának törvényét: a kristályokon a lapok hajlásszögei a kristály alakjától és méretétől függetlenül állandók. A kristályok különlegesen gazdag szimmetriájúak, szépségük a belső szerkezet következménye. A kristályban az alkotóelem-részecskék egymáshoz való illeszkedése megfelel a sormintában és a hálódíszítésben az alapmotívum ismétlődésének. A kristály belső felépítésében, a részecskék illeszkedésében is fontos szerepet játszanak a különböző szimmetriák. Ennek megfelelően alkotnak a különböző anyagok különböző kristályokat. Ha a sormintát pontokkal, a hálódíszítést pedig pontok hálójával jelképezzük, a kristályok felépítésének alapjául a tér mindhárom irányában kiterjedő pontrácsot képzelhetünk el (a pontok molekulák vagy atomok lehetnek). Nap mint nap találkozhatunk kristályokkal, sőt olyan is van, amelyet megeszünk. Gondolj a kristálycukorra, amely apróra tördelt cukorkristály, vagy a legdrágább kristályra, a gyémántra! Ez azt jelenti, hogy kiválaszthatunk olyan kis szerkezeti egységet – az elemi cellát – a kristályon belül, amelynek végtelen ismétlődése adja az egész kristályt.
 

A kristálynak kétféle szimmetriája van: külső és belső. A külső szimmetria a kristály alakját határozza meg. A kristályok külseje azonban csak ritkán tökéletes, mert a kristály növekedését sok tényező megzavarhatja. A belső szimmetria a kristályban az elemi cellák illeszkedését határozza meg. Az utóbbi szimmetriafajta az atomok vagy molekulák tökéletesen szabályos rendjében nyilvánul meg. A röntgensugárzás felfedezése óta tudjuk biztosan, hogy valóban ilyen a kristályok szerkezete. Elsőként Max von Laue tett a sugárzás útjába kristályt. A röntgensugarak szóródása egyidejűleg szolgált bizonyítékként a kristályok rácsszerkezetére és a röntgensugárzás hullámtermészetére.

Amikor felértek a bányából, Alice csodálkozva látta, hogy mindent fehér lepel borít. Csak nem havazott, amíg mi a bányavirágokban gyönyörködtünk? Tükörfigurának persze erre is volt valami okos megjegyzése:

A hópehely nem más, mint vízkristály. Képződésük érzékenyen reagál olyan körülmények megváltozására, mint a hőmérséklet vagy a levegő páratartalma.

Először Kepler foglalkozott részletesen velük. 1611-ben „Di nive sexangula” könyvében ismerteti a hatszöges szimmetriát mutató hókristályokat. E kis fagycsodáknál a forgási és a tükrözési szimmetria együttes jelentkezése figyelhető meg. Milyen szimmetriája van a hópehelynek valójában? Először is hatos forgás, mely a hat tükörsík metszésvonalában van, aztán 3-3 tükörsík. A hókristályoknak még egy további tükörsíkja van, mely merőleges a forgástengelyre. Ez a tükörsík azt jelenti, hogy a hópehely teteje és alja nem különböztethető meg egymástól. Még sohasem sikerült két egyforma hópelyhet megfigyelni.

Tudod miért? – Alice arca felragyogott, mert úgy gondolta, végre valamire tudja a választ:

„Amikor a Teremtő elhatározta, hogy hópelyhet alkot, pályázatot hirdetett az angyalok körében a legszebb díszítésű hatszög elkészítésére. Olyan sok nagyszerű pályázat érkezett, hogy lehetetlen volt választani közöttük, és így a Teremtő mindet megvalósította”.

Következő úti céljuk egy modern épület volt, felirata szerint Részecskegyár. Itt dolgozom – közölte Tükörfigura, miközben betessékelte Alice-t az ajtón. Ajaj, gondolta Alice, akkor itt még annyit sem fogok érteni, mint eddig. Tükörfigura valóban nagyon szakszerű kiselőadást tartott:

„A mai részecskefizika felismeréseit össze akarjuk egyeztetni valami korábbi filozófiával, akkor az csak Platón filozófiája lehet; a mai fizika részecskéi ugyanis a kvantumelmélet tanítása szerint szimmetriacsoportok ábrázolásai, és ennyiben a platóni tanítás szimmetrikus testeihez hasonlítanak.”

(Heisenberg)
Emmy Noether 1918-ban fogalmazta meg azt a róla elnevezett tételt, hogy minden szimmetriatulajdonság egy-egy megmaradási tételhez vezethet. Szimmetria alatt most azt értjük, hogy a törvények matematikai alakja nem változik, ha bizonyos transzformációkat hajtunk végre rajtuk – tehát invariánsak az illető transzformációval szemben. Így például az impulzus (lendület)megmaradás törvénye egyszerűen a tér homogén voltának a következménye. Matematikailag megfogalmazva: a klasszikus mechanika egyenletei invariánsak a koordináta-rendszer párhuzamos eltolásával szemben. Megmutatható, hogy az impulzusnyomaték (perdület) megmaradásának törvénye a tér izotróp voltával kapcsolatos, azaz a természettörvényeknek invariánsaknak kell lenniük a koordináta-rendszer elforgatásával szemben. Az energiamegmaradás viszont az idő homogenitásából következik: a törvényeknek invariánsaknak kell lenniük az idő eltolásával szemben. Albert Einsteint is a természet szimmetriájába vetett hite juttatta el a speciális relativitás elvéhez, amelynek egyik alapposztulátuma, hogy a fizika minden törvényének ugyanaz a matematikai alakja minden inerciarendszerben. A két, egymáshoz képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző koordináta-rendszer koordinátáit a Lorentz-transzformáció kapcsolja össze, és a törvényeknek ezzel szemben kell invariánsaknak lenniük.

Egy kísérlet kimenetele tehát nem függ sem a kísérlet helyétől, sem annak időpontjától, sem a berendezés térbeli orientációjától. De még a sebesség (például a Föld keringése a Nap körül) sem befolyásolja azt, hogy miként működik a természet. Wigner Jenő – aki Nobel-díját 1963-ban „az atommagok és elemi részecskék elméletéhez való hozzájárulásáért” kapta, „különösképpen az alapvető szimmetriaelvek felfedezése és alkalmazása által” – még egy lépéssel továbbment, és azt hangsúlyozta, hogy a jobb és a bal is egyenrangú; a Természet működése tükörszimmetrikus. Ahogy mondta: a szimmetriákban a „törvények törvényeit” találjuk meg, azokat az alapelveket, amelyek megmagyarázzák, hogy a fizika törvényei miért éppen olyanok, amilyenek. Főművével – Csoportelmélet és annak alkalmazása az atomszínképek kvantummechanikájára – új matematikai eszközt adott a fizikusok kezébe. Szinte ugyanabban az évben (1927) állította fel Dirac híres egyenletét, amelynek nemcsak olyan részecske a megoldása, amelynek adatai az elektronra illenek, hanem egy másik, pozitív töltésű részecske is. A pozitront (=pozitív elektron) hamarosan fel is fedezték a kozmikus sugárzásban. Ma már részecske-antirészecske párokról beszélhetünk, amelyek töltésük előjelében különböznek csak. Ez az elképzelés kedvez a szimmetriaérzékünknek, hiszen így minden részecskének van egy „tükörképe”.

A szimmetria diadalai

Na de mire jó ez az egész? – gondolta magában Alice. A kimondatlan kérdésre is megkapta a választ:

Bár a tükrözési szimmetria (bal-jobb felcserélhetősége) nem érvényesül minden körülmények között, ez nem jelenti azt, hogy a szimmetriák elveszítették volna jelentőségüket a részecskefizikában. A szemléletességtől már messze eső és így csak matematikailag, a csoportelmélet segítségével leírható absztrakt szimmetriák olyan eredményes rendszerező elvnek bizonyultak, hogy segítségükkel új jelenségeket is sikerült megjósolni. Így született meg a kvarkelmélet. Sőt, a XX. század végének egyik elmélete már nevével utal arra, hogy egy szimmetriacsoporton alapszik. A Susyra (=SuperSymmetry) keresztelt elv nem tesz különbséget az elemi részecskék (elektron, kvark, neutrínó) és a kölcsönhatások közvetítői (foton, bozon, gluon) között; ezek mind egyetlen szupercsalád tagjai.

Néhány tudományos eredménynek köszönhetően – mint pl. a szimmetriaelvek alkalmazásának sikerei a mikrofizikában, a krisztallográfiában és a kémiában – a nyolcvanas években a szimmetria az érdeklődés középpontjába került, és olyan integráló jelenséggé vált, amely a görög aranykor és a reneszánsz után újra közös színpadon léptette fel a művészeket, tudósokat. A következő két felfedezés nemcsak a szimmetriák alkalmazásának sikerességét jelzi, hanem fellendülést is hozott a tudatosabb alkalmazáskeresésben.

A kvázikristályokhoz vezető úton a kiindulási probléma az volt, hogy egy adott felszínt nem tudunk hézagmentesen lefedni egybevágó, szabályos ötszögökkel. Ennek 3-dimenziós bizonyítására akarták felhasználni a kristály szabályos, hézagmentesen kitöltő térszerkezetét. Azonban a 230 lehetséges kristálycsoport egyike sem tartalmaz ötszögű szimmetriát mutató elemet. Ellenben különböző cellaelemeket feltételezve elképzelhető a hézagmentes térkitöltés mind síkban, mind térben, bár a definíció értelmében nem kristályok. Ezek a kvázikristályok.

M. C. Escher számos rajzánál találkozhatunk azzal a módszerrel, hogy egy adott elemmel fedi le a síkot. Szerinte, aki sima felületen kíván szimmetriát ábrázolni, annak három kristálytani alapelvet kell figyelembe vennie: az eltolást, a tengelyforgást és a csúsztatott tükrözést.

A fullerének története is érdekes. Míg a síkot szabályos három-, négy- és hatszögekkel le tudjuk fedni, de ötszögekkel nem, addig a gömbfelület lefedése szabályos három-, négy-, ötszögekkel lehetséges, hatszögekkel nem. Megoldható a feladat viszont úgy, hogy a hatszögek közé ötszögeket iktatunk be. Így született meg a legkevesebb 60 csúcsból álló Fuller-féle poliéder elrendezés, mellyel egy anyagnak a nagyobb stabilitása és súlyának gömbszimmetrikusabb eloszlása érhető el. Nos, ezt a 60 csúcsból álló, 12 szabályos ötszöggel és 20 szabályos hatszöggel határolt testet, ami az újonnan felfedezett C60 molekula modelljéül is szolgál, Leonardo da Vinci már a XVI. század elején megrajzolta.

C60 szerkezeti modellje Leonardo korabeli rajza 1509-ből

Ugyancsak ő tervezte a chambordi kastély kettős spirál alakú belső lépcsőjét. Vajon sétált-e Watson és Crick ezeken a lépcsőkön, mielőtt felfedezték volna a DNS szerkezeti modelljét, amelyhez szintén szimmetriamegfontolások vezettek el?

A szimmetriaelvek alkalmazásának eredményessége mindig tovább erősíti a természet rendezettségbe vetett hitet. A természet azonban nem mindig elégedett a tökéletes szimmetriával, és olykor jobban kedveli és alkalmazza a kevésbé szimmetrikust. Az alkotó elme viszont ott is keresi a rendet, ahol azt eddig nem sikerült fellelni. Ennek eredménye az újfajta szimmetriát leíró fraktálgeometria, a fraktálok sajátos szimmetriája pedig az önhasonlóság.

De látod, Tükörország határához értünk, Fraktália már egy másik világ…

Irodalom

Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete
Magyar Tudomány 1999/3
Coxeter: A geometriák alapjai
Nyikolaj Sejkov: Élet és szimmetria
Hargittai Magdolna – Hargittai István: Fedezzük fel a szimmetriát!
Hermann Weyl: Szimmetria
Kálmán Alajos: Kristályok, katedrálisok, szimmetriák és molekuláris absztrakciók
(http://www.c3.hu/events/99/mintakep/eloadasok/kalman_alajos/index.html)

A szerző a Kultúra egysége kategória első díjasa.


Természet Világa, 133. évfolyam, 7. szám, 2002. július
http://www.chemonet.hu/TermVil/ 
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/


Vissza a tartalomjegyzékhez