KOMJÁTH PÉTER

Aki a halmazelmélet paradicsomába vezetett

Georg Cantor
(1845–1918)


Mit tenne az olvasó, ha szállodaigazgatóként váratlanul egy végtelen sok emberből álló turistacsoport érkezését jelentenék neki, és szállodájában már minden szoba foglalt lenne? Hány pontja van egy egyenesnek, és mennyi a síknak? A logaritmusra jellemző loga(xy)=loga(x)+loga(y) azonosság csak a (valamilyen alapú) logaritmus függvényre teljesül, vagy esetleg másra is? Ezekre a kérdésekre a halmazelmélet, a matematika egyik legfiatalabb ága ad választ. Egyetlen kiváló elme, Georg Cantor alkotta meg, s ezért őt Kronecker sarlatánnak, renegátnak, az ifjúság megrontójának nevezte. Poincaré a halmazelméletet betegségnek, patológiai elfajulásnak tartotta, amiből az emberiség idővel kigyógyul majd. Mittag-Leffler és Hilbert ugyanakkor az egyik legnagyobb matematikusnak tekintette Cantort, aki a halmazelmélet paradicsomába vezette társait.

Mindenesetre az elfogadottság és talán a népszerűség fokmérője is, hogy időről időre akadnak olyan elmék, akik megcáfolni igyekeznek Cantor híres és sokat idézett tételét a valós számok halmazának megszámlálhatatlanságáról. Egy londoni matematikus nemrég visszaemlékezett arra, milyen (többnyire kellemetlen) tapasztalatokat szerzett olyanokkal, akik ilyen tartalmú cikkeket próbáltak publikálni. Akadtak közöttük kitűnő vitakészségű filozófusok. Hazai példánk is van: az egyik magyar internetes vitafórumon nemrégiben valaki „megcáfolta” Cantort, akit illő szerénységgel magával hasonlított össze…

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845. március 3-án született Szentpétervárott, Oroszországban. Apja, Georg Waldemar Cantor, sikeres nagybani kereskedő, majd a szentpétervári tőzsde brókere, rendkívül kulturált és a művészetek iránt fogékony ember volt. Georg Cantor édesanyjának, az osztrák Maria Anna Böhmnek kitűnő zenei érzéke volt. Nem meglepő, hogy Georg Cantor zenei és általában művészi képességeket örökölt szüleitől, kimagaslóan hegedült és nagyszerűen rajzolt. Apja protestáns, anyja katolikus volt. Maga Cantor is mélyen vallásos hitben élt.

Otthon, magántanártól kezdett tanulni, ezután Szentpétervárott járt általános iskolába, majd 1856-ban, tizenegy éves korában a család Németországba költözött. Cantor egész életében nosztalgiával emlékezett vissza Oroszországra. Először Wiesbadenben, majd Frankfurtban éltek. Cantor bentlakásos diák volt a darmstadti reálgimnáziumban. 1860-ban kitűnő eredménnyel végezte, külön dicsérettel matematikából. A következő két évben, apja kívánságára (aki azt szerette volna, ha fiából híres mérnök lesz) a darmstadti Höheren Gewerbeschuléba járt. Mégis, 1862-ben kérte és megkapta atyja engedélyét, hogy matematikát tanulhasson a zürichi Polytechnicban. Zürichi tanulmányait apja halála szakította félbe, 1863 júniusában. A berlini egyetemen folytatta, ahol Weierstrass, Kummer és Kronecker előadásait látogatta. 1866 nyarán a göttingai egyetemre ment, Berlinbe visszatérve befejezte számelméletből írt De aequationibus secondi gradus indeterminatis című doktori disszertációját, amit 1867-ben védett meg. Berlini tartózkodása alatt részt vett a helyi Matematikai Társaság munkájában, ennek elnöke is volt 1864–1865 között. A fiatal matematikusokból álló baráti társasága minden héten egy borozóban találkozott. Miután 1867-ben fokozatot szerzett, először egy berlini leányiskolában tanított, majd kinevezték a hallei egyetemre. Benyújtotta habilitációját, ismét számelméletről. Figyelme az analízis felé fordult. Ennek oka az volt, hogy egyik idősebb kollégája, Heine felhívta figyelmét a Fourier-sorok egyértelműségének problémájára. Ezzel kapcsolatban Cantor jelentős eredményeket ért el 1870 áprilisában.
 


Egy lap Cantor leveléből
Dedekindnek, 1877. június
27-i dátummal
Cantor feleségével, Vallyval
(1880 körül)

1872-ben kinevezték magántanárrá, ekkor kezdődött barátsága Dedekinddel, akivel svájci nyaralása alatt ismerkedett meg. Trigonometrikus sorokról 1872-ben publikált egyik cikkében Cantor olyan definíciót adott az irracionális számokra, amely a konvergens sorozatok fogalmára épített. 1872-ben Dedekind is publikált egy definíciót a valós számokra, a Dedekind-szeletek segítségével. 1873-ban Cantor megmutatta, hogy a racionális számok halmaza megszámlálható, tehát a természetes számokkal mindkét irányban egyértelmű megfeleltetésbe hozható. Ezt ugyancsak belátta az algebrai számokra, tehát azokra, amelyek az egész együtthatós egyenletek gyökei. Képtelen volt azonban ezt az összes valós számra igazolni. 1873 decemberében aztán bebizonyította és 1874-ben publikálta híres tételét arról, hogy a valós számok halmaza nem megszámlálható. Ebben a cikkében kezdte tanulmányozni az egymással mindkét irányban egyértelmű leképezéssel fedésbe hozható, vagyis az egyenlő számosságú halmazok tulajdonságait. Liouville 1851-ben konstrukció segítségével belátta, hogy léteznek transzcendens számok, amelyek tehát nem gyökei egész együtthatós polinomoknak. 1874-es munkájában Cantor megmutatta, hogy bizonyos értelemben a valós számok többsége transzcendens, hiszen az algebrai számok mindössze megszámlálható sokan vannak. A következő probléma, amit 1874 januárjában vetett fel, lehet-e kölcsönösen egyértelmű leképezést találni egy egyenes és az egységnégyzet pontjai között. Dedekindnek 1874. január 5-én írott levelében jelezte, hogy ilyen leképezés nemlétezésének bizonyítása nehéz lesz, noha az állítás annyira nyilvánvaló, hogy szinte nem is tűnik szükségesnek az igazolása. 1874 más szempontból is jelentős volt Cantor életében. Tavasszal eljegyezte Vally Guttmannt, nővére barátnőjét. 1874. augusztus 9-én házasodtak össze.

Cantor intenzív levelezést folytatott Dedekinddel, sűrűn cserélték ki ideáikat. 1877-ben beszámolt arról, hogy belátta, van egyértelmű megfeleltetés a [0,1] intervallum és az n-dimenziós tér pontjai között. Saját eredménye rendkívül meglepte, így írt erről: „Látom, de nem tudom elhinni!” Felfedezésének fontos következménye lett a dimenziófogalomra: jelezte, hogy a különböző dimenziós terek között nem a nagyság tesz különbséget. Egy hosszabb, a dimenzióról szóló cikkét, amit 1877-ben nyújtott be a Crelle’s Journalba, Kronecker meglehetős gyanakvással fogadta, és csak Dedekind nyomatékos közbenjárása után közölte. Cantor rendkívül nehezen viselte az eseményeket. Többé nem publikált a Crelle’s Journalban. Említett cikkében precízzé tette a kölcsönösen egyértelmű leképezés addig impliciten használt fogalmát. Tanulmányozta az egyenlő számosságú és a megszámlálható halmazokat. Vizsgálta a dimenziót és kiemelte, hogy az általa megadott mindkét irányba egyértelmű leképezés az egységintervallum és az egységnégyzet között nem folytonos. 1879 és 1884 között Cantor hat részből álló cikksorozatot publikált a Mathematische Annalenben, amiben bevezetést adott az általa kiépített halmazelméletbe. Ezek az évek számos okból nehezek is voltak Cantor számára. Noha Heine javaslatára már 1879-ben professzorrá nevezték ki, mindig reménykedett abban, hogy tanszéket kap egy híresebb egyetemen. Megszakadt hosszan tartó kapcsolata Schwarzcal, aki nem értett egyet a Cantor-féle halmazelmélet gondolataival. 1881 októberében meghalt Heine és új tanszékvezetőt kellett találni. Cantor három matematikusból álló listát állított össze. Meglehetősen megrázta, hogy egymás után Dedekind, Heinrich Weberand és Mertens is visszautasította a posztot. Egy újabb lista kiválasztása után végül Wangerin elfogadta a pozíciót, de ő sosem került közeli kapcsolatba Cantorral. Ekkor lezárult az intenzív matematikai levelezés Dedekinddel. Kialakult viszont Mittag-Lefflerrel. Hamarosan publikálni kezdett a Mittag-Leffler által szerkesztett Acta Mathematicában, ugyanakkor továbbra is megjelentek fontos cikkei a Mathematische Annalenben. Ezek közül az egyiket, a Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre címűt külön könyv formában is publikálta, abban a reményben, hogy halmazelméletének szisztematikus kifejtésével hozzásegíti azt a jobb elfogadáshoz.

1884 májusának végén Cantor depressziós rohamot kapott. Néhány hét alatt meggyógyult, de régi önbizalma eltűnt. Így írt 1884 júniusában Mittag-Lefflernek: „Nem tudom, mikor térhetek vissza tudományos munkámhoz. Nem tudok ezen segíteni, csak oktatási kötelességemnek tudok minimális szinten eleget tenni. Boldog lennék, ha szellemi állapotom lehetővé tenné a kutatómunka végzését.” Elutazott szeretett kirándulóhelyeire a Harz-hegységbe, és elhatározta, kibékül Kroneckerrel. Kronecker elfogadta a gesztust, de mindkettőjük számára nehéz lehetett e lépés megtétele. Matematikai filozófiai különbségeik megmaradtak. Matematikai nehézségei is támadtak: ekkor kezdődött viaskodása a kontinuumhipotézissel, tehát azzal az állítással, hogy valós számok minden halmaza, ami nem véges vagy megszámlálható, olyan nagy, mint a valós számok egész halmaza. Számtalan esetben hitte, hogy (valamelyik irányban) eldöntötte a kérdést, ám előbb-utóbb mindig kiderült a hiba. További gondok jöttek: 1885-ben Mittag-Leffler rábeszélte Cantort, hogy vonja vissza egyik cikkét az Acta Mathematicából, ugyanis „száz évvel megelőzte korát”. Cantor tréfálkozott ezen, valójában mélyen megbántódott. Elhatározta, hogy az Acta Mathematicával is szakít. Pedig Mittag-Leffler ezt bóknak szánta, de szavai arra mutattak, hogy ő sem ismerte fel Cantor munkájának jelentőségét. Kapcsolatuk meggyengült, s a halmazelmélet kifejlesztése, ami 12 évig gyorsan haladt előre, lelassult.

1886-ban Cantor új házat vett, nemsokára ezután megszületett hatodik, utolsó gyereke, egy fiú.

Számos filozófussal diszkutálva elkezdte vizsgálni elméletének filozófiai következményeit. Emellett, Clebsch halála után, átvette a Deutsche Mathematiker-Vereinigung szervezését. A szövetség 1890-es alakuló ülését Cantor elnökölte. A feszült viszony ellenére Kroneckert kérte meg az első előadás megtartására. Kronecker azonban – felesége váratlan halála miatt – nem tudta az előadást megtartani. Az alakuló ülésen Cantort elnöknek választották, posztját 1893-ig megtartotta.

Utolsó jelentős halmazelméleti cikkei 1895-ben és 1897-ben jelentek meg a Mathematische Annalenben. Ezekben elméletének kitűnő összefoglalóját adja. Szerette volna a második cikkben elintézni a kontinuumhipotézist is, ez azonban nem sikerült, így abban csak a jólrendezett halmazokra és rendszámokra vonatkozó elméletének adta meg a kitűnő összefoglalását.

1897-ben Cantor részt vett a Zürichben tartott első nemzetközi matematikai kongresszuson. Előadásában Hurwitz kinyilvánította Cantor és munkája iránti tiszteletét. Jacques Hadamard pedig azt a véleményét fejtette ki, hogy a halmazelmélet a matematika fontos és hasznos eszköze. A kongresszuson Cantor ismét találkozott Dedekinddel és felújították barátságukat.

Ekkorra Cantor már felfedezte, hogy halmazelmélete paradoxonokra vezet. Ennek nyomára 1895-ben írt összefoglaló cikke írásakor jutott. Hilbertnek 1896-ban írt erről levelet. Burali-Forti szintén talált egy paradoxont és azt 1897-ben publikálta. Meglehetősen bosszantó módon egy egyszerű, rövid okoskodás mutatja, hogy az a feltevés, hogy korlátlanul készíthetünk halmazokat, ellentmondásra vezet. Csak évtizedekkel később tisztázódott, hogyan lehet úgy felépíteni a halmazelméletet, hogy ne legyen ilyen típusú ellentmondás, de megőrizze az alkalmazások gazdagságát.

Amikor Cantor depressziós periódusaiban nem tudott matematikával foglalkozni, a filozófia felé fordult, vagy pedig kedvenc irodalmi témájával foglalkozott, annak bizonyításával, hogy Shakespeare darabjait valójában Francis Bacon írta. Így például betegsége alatt, 1884-ben kérvényezte, hogy matematika helyett filozófiáról adhasson elő, és ekkor kezdte intenzív irodalomtörténeti kutatásait a Bacon–Shakespeare-elmélettel kapcsolatban. Erről pamfleteket is publikált 1896-ban és 1897-ben. Különösen megviselte anyja és öccse halála 1896 októberében és 1899 januárjában.

1899 októberében felmentést kért és kapott a tanítás alól az 1899/1900-as téli szemeszterre. Ekkor, 1899. december 16-án meghalt kisebbik fia. Ettől kezdve élete végéig küzdött a depresszióval. Szabadságra ment az 1902/1903-as, 1904/1905-ös és az 1907/1908-as téli szemeszterekre. Számos alkalommal különböző szanatóriumokban kezelték. Folytatta a Bacon–Shakespeare-elmélettel kapcsolatos kutatásait és a matematikával sem hagyott fel. A halmazelmélet paradoxonjairól tartott előadást a Deutsche Mathematiker-Vereinigung ülésén 1903 szeptemberében és részt vett a nemzetközi matematikai kongresszuson Heidelbergben, 1904 augusztusában.

Noha 1909-ben sokat volt betegszabadságon, 1910-ben és 1911-ben tanított. Ekkor meghívták a skóciai St. Andrews Egyetemre, mint az egyetem 500 éves évfordulójára tartott ünnepségének kitüntetett vendégét. Néhány napra Londonba utazott. Nagyon szeretett volna találkozni Bertrand Russell-lel, aki éppen ekkortájt publikálta a Principia Mathematicát, de fiának betegsége miatt kénytelen volt enélkül hazatérni. 1913-ban nyugdíjba vonult és utolsó éveit a háború okozta élelmiszerhiánytól szenvedve töltötte. A háború megakadályozta a Halléban, hetvenedik születésnapja alkalmából tervezett nagyszabású ünnepséget, de egy szerény ünneplést tartottak a házában. 1917 júniusában immár utoljára vonult szanatóriumba, ahonnan feleségéhez írt leveleiben állandóan hazamenetelét sürgette. Szívroham végzett vele 1918. január 6-án.

Ki volt Cantor? Korának jelentős és elismert matematikusa, akinek nevét a halmazelméleten kívüli, ma is idézett fontos tételek is megörökítették. Elméletét valódi támadások érték híres matematikusok részéről (Kronecker, Poincaré), de ugyancsak jelentős matematikusok szenvedélyesen kiálltak mellette, mint Dedekind, Hilbert, Hadamard, Landau. Nem meglepő ez, hiszen a halmazelmélet létrejötte a matematika paradigmaváltásához vezetett, s a tudomány történetében mindez jelentős vitákkal, szülési fájdalmakkal jár. Kronecker támadásai valóban rendkívül durvák voltak, arról nem beszélve, hogy matematikustól ízléstelen dolog egy másik matematikai diszciplínát kritizálni, annak létezését kifogásolni.

Az utókor csúnyán elbánt Cantorral. A tájékozottabbak nem felejtik el megemlíteni bipoláris (mániás depressziós) betegségét, a tájékozatlanok egyszerűen kijelentik: megőrült, és a hallei elmegyógyintézetben (mint láttuk, helyesen: idegklinikán) végezte. E kép kialakításában elsősorban E. T. Bell matematikailag jól megírt, rendkívül népszerű, sok kiadást megért könyve játszott szerepet. Jellemző rá, ami szinte mindenkire, aki e témában megszólalt: néhány valódi tényt közvetlenül követik a hipotézisek, vulgárpszichológiai feltevések. Bell például, botcsinálta freudistaként, Cantornak apjával való (egyébként nem létező) rossz viszonyára vezeti vissza lelki problémáit, illetve a Kroneckerrel való vitára. Egy, a mai olvasó számára meghökkentő bekezdésben a két résztvevő zsidó származásával magyarázza a vita elmérgesedését.

Cantor 1917-ben, néhány hónappal halála előtt

Az újabb (az idegklinika orvosi feljegyzésein alapuló) kutatások szerint Cantor betegsége feltehetőleg belső eredetű, amit a külső konfliktusok kismértékben vagy egyáltalán nem befolyásoltak. Úgy tűnik, az a tény, hogy betegségét (a kornak, az akkori tudománynak és társadalmi helyzetének megfelelően) szanatóriumokban kúrálta, levakarhatatlan bélyeggel látja el, amit az egymás utáni nemzedékek egymásnak suttognak. Eltérően számos más, hasonló állapotú híres embertől, nála ez az első és legfontosabb közlendővé vált. Azt pedig végképp semmi nem támasztja alá, hogy őrült lett volna, amit szintén sokan ismételgetnek, és például Bertrand Russell sugall visszaemlékezésének egy meglehetősen durván sikeredett kommentárjában, Margery I. Corbett Ashby Cantorról szóló leveléről: „Az itt következő levél olvastán senki se csodálkozhatik azon, hogy Cantor életének nagy részét elmegyógyintézetben töltötte.” Egyébként a kommentált levél kritikus mondata mindössze ez: „A professzor egész idő alatt szinte bömbölt, matematikáról beszélt nekem! – és a Bacon-elméletről.”

Irodalom

[1] http//www.history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/ Mathematicians/Cantor.html (J. J. O’Connor és E. F. Robertson kiváló honlapja).
[2] E. T. Bell: Men of Mathematics, Simon and Schuster, 1937.
[3] J. W. Dauben: Georg Cantor, His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton University Press, 1979.
[4] B. Russell: Önéletrajz, Európa, 1970.


Természet Világa, 133. évfolyam, 6. szám, 2002. június
http://www.chemonet.hu/TermVil/ 
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/


Vissza a tartalomjegyzékhez