Kétszáz éves a Disquisitiones arithmeticae
A két Bolyai kézikönyve volt
KISS ELEMÉR

Éppen kétszáz évvel ezelõtt, 1801-ben jelent meg Lipcsében Carl Friedrich Gauss (1777–1855) mûve, a Disquisitiones arithmeticae. A könyv szerzõjét azonnal nagyhírû elõdei, Pierre Fermat (1601–1665), Leonhard Euler (1707–1783) és Joseph Louis Lagrange (1736–1813) sorába emelte. A Disquisitiones összegyûjtötte a már ismert számelméleti eredményeket, és oly mértékben gazdagította azokat, hogy néha megjelenésétõl számítják a modern számelmélet kezdetét.

A XVIII. és XIX. század fordulójának matematikai életében óriásként van jelen Gauss. Termékeny tudós, aki a matematikának szinte minden ágát mûvelte. Számos új felfedezésével maradandót alkotott. Olyan életmûvet hagyott maga után, amelyért halála után az utókor a „princeps mathematicorum”, a matematikusok fejedelme címmel tisztelte meg. Már gyermekkorában elárulta veleszületett tehetségét, és bámulatos felfedezéseket tett. 1795-ben például Eulertõl függetlenül megtalálta a számelmélet négyzetes reciprocitási törvényét, 1796-ban bebizonyította, hogy a 17 oldalú szabályos sokszög körzõ és egyenes vonalzó segítségével megszerkeszthetõ. Egyes korai eredményei az 1799. évi helmstädti doktori értekezésében és a huszonnégy éves korában megjelent Disquisitionesben láttak napvilágot. A könyvet Gauss már az 1795–98-as években még mint egyetemi hallgató megalkotta, ám különféle akadályok miatt kinyomtatása évekig húzódott. A Disquisitiones megjelenésével felpezsdültek a számelméleti kutatások. Kiváló matematikusok lelkesedtek érte, noha nem sokkal azelõtt, 1798-ban jelent meg Adrien Marie Legendre (1752–1833) hasonló tárgyú mûve. Olyan hírességek, mint Lagrange és Pierre Simon Laplace (1749–1827) is elismeréssel nyilatkoztak az alig húsz évesen feltûnt új tehetségrõl. Valósággal megdöbbentõ – mondotta késõbb Leopold Kronecker (1823–1891) –, hogy ez a fiatalember egy új tudomány eredményeinek ilyen gazdagságát tárja az olvasók elé.

Maga Gauss sem titkolta, hogy munkájával maradéktalanul meg volt elégedve. Így nyilatkozott róla élete alkonyán: „A Disquisitiones arithmeticae a történelemé, és én egy újabb kiadásban – melytõl ugyan nem idegenkedem – a sajtóhibákon kívül egyebet nem változtatnék; csakhogy hozzátenném a nyolcadik szakaszt, mely lényegileg már ki volt dolgozva, de akkor – hogy a könyv nyomtatási költsége ne növekedjék – nem jelent meg”.

A Disquisitiones arithmeticae elsõ két fejezetében Gauss az egész számok kongruenciájával foglalkozik. A kongruencia jelölésére bevezeti a késõbbiek során igen termékenynek bizonyuló º jelet. A könyv magvát a négyzetes kongruenciák, a kvadratikus alakok és a kvadratikus maradékok alkotják, tetõpontja a számelmélet „aranytétele”, a kvadratikus maradékok reciprocitási tétele, amelyet még Euler fogalmazott meg, de az elsõ teljes bizonyítását Gauss adta. Külön fejezetet szentel annak a kérdésnek, hogy egy N egész szám mikor írható N=ax2+2bxy+cy2 (a, b, c egész) alakban. A Disquisitiones tartalmazza a kis Fermat-tételt, Wilson tételét, az r2Du2=m2 ún. Pell-féle és az ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0 (a, b, c, … egész számok) egyenletek egész számokban való megoldását.

A könyv utolsó (hetedik) fejezete Gaussnak a körosztásra vonatkozó tanulmányaival foglalkozik, vagyis az xn–1=0 egyenlet gyökeinek problémáját tárgyalja. Ezekbõl az a fontos tétel született, hogy az n oldalú szabályos sokszög akkor, és csak akkor szerkeszthetõ meg körzõ és egyenes vonalzó segítségével, ha az n szám prímtényezõs felbontásában a páratlan prímszámok mind elsõ hatványon szerepelnek és 22k+1 alakúak. E számok közül, amint tudjuk, a 3, 5, 17, 257 és 65 537 prímszámok, vagyis Gauss tételébõl az következik, hogy a 3, 5, 17, 257 és 65 537 oldalú szabályos sokszögek körzõ és egyenes vonalzó segítségével megszerkeszthetõek. Felfedezése napján (1796. március 30-án) határozta el, hogy életét kizárólag a matematikának szenteli. Gauss azt a kis táblát, amelyen a tizenhét oldalú szabályos sokszög szerkesztésére vonatkozó számításokat végezte, Bolyai Farkasnak ajándékozta emlékül. Gauss halála után az idõs Bolyai több emléktárggyal együtt a kis táblát is elküldte a Gauss-archívumnak.

Gauss legjobb diákkori barátja Bolyai Farkas (1775–1856) volt, akivel Felix Karl Seyffer (1762–1822), a göttingai csillagászattan tanárának házában ismerkedett meg 1796-ban. A személyes kapcsolat 1799-ig tartott, amikor a két ifjú útjai végleg elváltak egymástól, ám a mintegy 55 éves idõtartam alatt folytatott levelezésük során számos tudományos kérdésrõl folytattak eszmecserét, megosztották egymással magánéletük örömeit és gondjait is. A Bolyai–Gauss-féle levelezés a matematika történetének értékes dokumentumai közé tartozik, a leveleket gyakran idézik a nemzetközi irodalomban is.

A két fiatalkori jó barát levelezésében a Disquisitiones arithmeticae-re vonatkozó számos utalás található. Gauss már a szülõvárosában, Braunschweigben keltezett elsõ leveleiben (1798. november 29. és 1799. április 22. között) beszámol a Göttingában tartózkodó Farkasnak a Disquisitiones kiadásának elõkészületeirõl. Rendre megírja, amikor a könyvbõl sikerül már 7, 8, és 11 ívet kinyomtatni. Több alkalommal panaszkodik arról, hogy lassan halad a nyomtatás. Bántja Gausst a nyomdász közönyössége, aki keveset segít abban, hogy a munka jól haladjon.

Végre 1802. december 3-án jó hírt közölhet Bolyai Farkassal, aki ekkor Kolozsváron várja gyermeke születését. Beszámol arról, hogy egészen 1801 nyaráig könyvének kiadása foglalkoztatta, ami végül Szt. Mihály napjára jelent meg. Megírja munkájának pontos címét, és hogy szívesen küld belõle barátjának egy példányt, ha arra megbízható lehetõség kínálkozik. Farkas 1803. február 27-én válaszol Gauss levelére. Örömmel ír a nagy családi eseményrõl, fia, János születésérõl („Ezenközben én is egy új plánétát indítottam el a Világra …”). Levelének végén tudatja, hogy egy magyar diák, Vadas Pál éppen most készülõdik Jénából hazafelé s kéri Gausst, hogy a Disquisitionest a Demonstratio novával együtt késedelem nélkül küldje Jénába. Így jutott el a Disquisitiones arithmeticae megjelenése után alig két évvel Marosvásárhelyre. A munka jó kezekbe került. Hatása Bolyai Farkas számelméleti írásaiban és a fiával megbeszélt ötleteiben meggyõzõen lemérhetõ. Farkas a következõ évben, 1804. március 1-jén Domáldról köszöni meg ifjúkori barátjának a küldeményét „… halhatatlan munkáid már elég régen kezemben vannak … de miért nem küldted el a Disszertációdat?” (A Demonstratio novát – amelyet Farkas 1831-ben postán is megrendelt, de nem kapott meg – végül elég késõn, 1835-ben küldötte meg Gauss.)

Gauss egyéb elfoglaltságai mellett, figyelemmel kísérte könyve fogadtatását. Tisztában volt azzal, hogy mûve nem könnyû olvasmány. Errõl 1808. szeptember 2-án hoszszasan írt Bolyai Farkasnak. Reménykedik abban, hogy idõvel sikerül annyi anyagot összegyûjtenie, amelyek a mû második kötetét képezhetnék. Sajnálja, hogy eddig csak kevés olyan személyt ismert, aki sikerrel tanulmányozta munkáját. Ezekrõl részletesen beszámol. Mindenki fölött áll – írja – Sophie Germain kisasszony Párizsból. Elmondja, hogy a könyvet egy bizonyos Poulet de l’Isle fordította franciára Orleans-ban, Lagrange pedig a Traité de la résolution numérique des équations címû mûvében a Disquisitiones egyik fejezetét magyarázza, amelyekkel Gauss nem mindenben értett egyet. Érti a könyvet egy fiatal matematikus is Ostfrieslandból. De szorgalmasan olvasta a Disquisitionest Gauss elsõ matematikaoktatója, Bartels, sõt amint ez Kazanból írta, ott is van két olyan hallgatója, akik buzgalommal forgatták a könyvet. Ez minden, amit mostanáig megtudtam a könyvem fogadtatásáról – fejezi be Gauss – s a számelméletrõl szólva még hozzáteszi: „Figyelemre méltó, hogy bárkit, aki komolyan foglalkozik ezzel a tudománnyal, igaz szenvedély kerít hatalmába”. (Bolyai János a Lembergben 1832. május 3-án János fõhercegnek írt folyamodványában ezt a levelet idézi, amikor így ír: „Hisz maga (Gauss) is úgy vélekedett egyik munkájáról, hogy ezt annak idején egész Európában csak hat matematikus értette meg.”)

A Disquisitiones arithmeticae-t az ifjú Bolyai János a szülõi házban olvashatta, hisz már 13 évesen tudott latinul. Késõbb õ is vásárolt – valószínûleg Bécsben – egy példányt Gauss remekmûvébõl. Az 1820-as években, miközben Bolyai János az abszolút geometria kidolgozásán fáradozik, jut ideje a Disquisitiones tanulmányozására is. Ezt Farkas egyik levele, valamint a kongruencia jelének az Appendixben való megjelenése alapján állíthatjuk. Apjának 1831. június 20-án Gausshoz írt levelében olvassuk: „Fiam szándéka volt, hogy a Te polygonteóriádat németül a kisebb kaliberû elméknek könynyebben hozzáférhetõ módon adja elõ, mert bosszantja, hogy nem ismerik annyira, ahogy õ szeretné. Ámde mondtam neki, hogy valakitõl (nem tudom, kitõl) hallottam, hogy Te megjelentetted külön; amit én is szerfelett óhajtanék látni”.

Bolyai János alkalmazta a geometriában elõször a Gauss által bevezetett º szimbólumot. Az Appendix jelmagyarázatához a következõ megjegyzést fûzi: „Legyen szabad a geometriai egybevágóságot ugyanazzal a jellel jelölni, amellyel Gauss, a legkiválóbb matematikus a számelméleti kongruenciát jelölte, hiszen félreértéstõl nem kell tartani”.

A Disquisitionest János „kolosszálisnak” nevezte (1. ábra). Õ sem tartotta könnyû olvasmánynak. Ezt írja: „Az, ki az emberi elméknek egyik legremekebb és mélyebb mívén erejét meg akarja próbálni, és magát a netaláni maga-kétség-korságából meggyógyítani, annak ajánlom például a Göttingai Kolosszus Gauss Disquisitiones arithmeticae címû munkáját”. Egy másik helyen pedig ezt olvashatjuk: „… noha másfelõl, az õ módjának sajátságos és sokkal nehezebb volta miatt mind az enyim mellett is, örök-megtartást és nagyrabecsülést, respective bámulatot érdemel”.

1. ábra. Bolyai János véleménye Gauss könyvérõl

Bolyai János kéziratos hagyatékának számelméleti és algebrai vonatkozású jegyzeteiben gyakran hivatkozik a Disquisitiones arithmeticae-re. Felhasználja a tételeit, ám szokása szerint bíráló megjegyzéseitõl sem kíméli.

A Disquisitionesbõl ismerte Fermat ún. karácsonyi tételét (minden 4k+1 alakú prímszám a tagok sorrendjétõl eltekintve egyértelmûen felírható két egész szám négyzetének összegeként), amelynek több saját, egyszerû és rövid bizonyítását is elkészítette. Bizonyításaiban a Disquisitiones egyik „nagyon fontos, szép” tételére (ha p egy 4k+1 alakú prímszám, akkor létezik olyan x egész szám, hogy (x2+1)/p is egész szám) hivatkozik, amely „Két kép is megvan a Disq. Ar-ben” (2. és 5. ábra). Ugyancsak Gauss munkáját idézi akkor is, amikor apjának írt egyik levelében bebizonyítja, hogy a 341-es szám pszeudoprímszám (magyarul álprím), vagyis ez a szám annak ellenére, hogy összetett (341=11·31), mégis kielégíti a kis Fermat-tételt, azaz 2340º1(mod341).

2. ábra. "Két kép is van a Disq. Ar-ben"

Bár a Disquisitiones arithmeticae-ben megtalálta a Wilson-tétel (ha p prímszám, akkor (p–1)!º–1(modp)) bizonyítását, Bolyai elkészíti a sajátját is, sõt foglalkozik a fordított tétellel is. Különös, hogy Bolyai Farkas szavaival élve „Gauss merõben hallgat ezen conversáról”, pedig azt már Lagrange és Genty is elintézték. Errõl a két Bolyai nem tudott, így bennük is felmerült a fordított tétel bizonyításának szükségessége, s azt meg is oldották. János följegyzi, hogy az „oly szép és fontos Wilson-tétel fordítottját apám és én is bebizonyítottuk”.

Farkashoz küldött levelében nem tartja fontosnak leírni egy tétel bizonyítását, mikor az „a Disq. Ar. § 96-ja 8 elsõ rendjében indirecte ugyan, de röviden, jól és szépen van már dem.-va” (3. ábra). Egy másik levélben a kétismeretlenes másodfokú egyenletek megoldásáról ezeket olvashatjuk: „Midõn már a másodrangú számi, csak két ismeretlen egyenleteket is Lagrange után, csak egy Gauss volt képes számok által is nem kevés bajjal, készülettel föloldani (Disquisitiones arithmeticae 216, 300 §), de ott belé is fáradva (mint láthatni a 266 §-ból, mi utóbbit legalább jó és könnyû lesz megolvasni), úgy is eláll…”.

3. ábra. "... röviden, jól és szépen van dem.-va"

Bolyai János az algebrai egyenletek megoldhatóságával kapcsolatosan is többször hivatkozik a Demonstratio nova mellett a Disquisitiones arithmeticae-re is. „Hogy pedig a 4-nél fölsõbb rangú geber egyenletek föloldását – írja – még egy Gaussi Nagyság is mily lehetetlennek hiszi és tartja: elég világos fényben kitûnik a remek Demonstratio novája 9. §-ában, s a kolosszális Disquisitiones arithmeticae-je 645 lapjáni hatalmas és heves nyilatkozatjából…” (1. ábra), vagy „… nem több reménnyel nyilatkozik a Lipcsében 1801-ben Világra jött Disquisitiones arithmeticae nagyszerû remekjének 645…” (4. ábra).

4. ábra. "... a Lipcsében 1801-ben Világra jött ... nagyszerû remekjében"

Említsük meg Bolyai egyik bíráló megjegyzését, amelyet a közönséges törtek tizedes törtté való átalakításával (Disq. ar. 317 §) kapcsolatban a Gauss által bemutatott példához fûz: „Ez érdekes és figyelemreméltó tárgyban az egyébaránt Nagy, Mély és Éles Gauss számtani vizsgái 551 lapján koránt sem elég szigorral, alaposan, fénnyel és igen könnyûszerüleg s hirtelenkedve járt el…”.

A korát meghaladó Disquisitionesnek mély absztrakcióiba még a matematikusok közül is kevesen tudtak behatolni. Csak egy emberöltõvel késõbb sikerült Lejeune Dirichletnek (1805–1859) Gauss aritmetikai eszméit szélesebb körben hozzáférhetõvé tenni. A matematikatörténet nem tud arról, hogy Gauss mûvének legszorgalmasabb olvasói, legjobb ismerõi még Dirichlet elõtt éppen a Bolyaiak voltak, akik megértették a Disquisitiones fejezeteit, elmélyültek annak titkaiban. Kézikönyvük, társuk, szakmai dialógusuk hû partnere volt. Gyakran fellapozták. Az így született új ötleteik, tételeik, elszigeteltségük miatt nem váltak közkinccsé.

5. ábra. Bolyai a karácsonyi tétel bizonyításában hivatkozik a Disquisitionesre

A Disquisitiones arithmeticae-nek azok a példányai, amelyeket a két Bolyai kézikönyvként használt, megõrzõdtek az utókor számára is.

Bolyai Farkas a tulajdonában lévõ Gauss-munkát a Teleki Tékának ajándékozta, hogy megmaradjon. Ma is megtalálható a könyvtárban. Borítójának belsõ oldalán elolvashatjuk a szerzõ dedikációját (Amico suo de Bolyai per curam Pauli Vadas, auctor) és Farkas beírását. Halálom után sem kell eladni, ha fiam nem marad, legyen akkor a Vásárhelyi Thecáé. Ezt késõbb áthúzta Bolyai Farkas és a következõket írta alája: A Teleki Thecának adom, néhány egyébbel együtt: Bolyai Farkas (6. ábra).

6. ábra. Így hagyatkozott Bolyai Farkas a Gauss-könyvrõl

Gauss mûvének az a példánya, amelyik Bolyai Jánosé volt, szerencsére 1953-ban egy magángyûjtõtõl a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtárába került. Ebbe János a nevén kívül beírta, hogy azt fûzött állapotban 4 Ft 30 krajcárért vásárolta. A könyvben számos helyen megtaláljuk Bolyai latin nyelven írt széljegyzeteit. A ceruzával írt bejegyzéseket sajnos már alig lehet kiolvasni.
 
 

Köszönöm a Domus Hungarica Scientiarum et Artium ösztöndíjpályázatának támogatását, amelynek segítségével elkészülhetett ez az írás.


Természet Világa, 132. évfolyam, 8. szám, 2001. augusztus
http://www.chemonet.hu/TermVil/
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/


Vissza a tartalomjegyzékhez