PRÉKOPA ANDRÁS
Zéró

 

Nagy ünneplésnek voltunk tanúi és szemlélõi az egy évvel ezelõtti Szilveszter éjszakáján. Világszerte ünnepelték a 2000. év beköszöntét. A nagyvárosoktól kezdve a kisebb szigetekig mindenki kitett magáért a tûzijátékok és egyéb látványosságok produkciójában. Még a tekintetben is verseny volt, hogy kik az elsõk, melyik ország vagy sziget, félsziget lakói azok, akikhez az új év elõször köszönt be: a Csendes-óceán közepén elhelyezkedõ Pitt-szigetek, a Fidzsi-szigetek, Kiribati vagy Tonga. A nemzetközi dátumválasztó vonalhoz, vagy a 180 fokos meridiánhoz való közelségükre hivatkozva, trükköktõl sem visszariadva (nyári idõszámítás bevezetése, majd ennek az egész év folyamán változatlanul hagyása) versenyeztek az elsõségért. Szállodai szobákat foglaltak le évekkel a nagy esemény elõtt. Mindenki ünnepelt.
 
 

Mit is ünnepeltünk? Egyetértés van abban, hogy a bûvös 2000. év beköszöntére ürítettük a poharat, éljeneztünk és kívántunk egymásnak boldog új évet. Sok millióan köszöntöttük azt az évet, melyben a kereszténység 2000 éves fennállásának ünnepségei zajlottak, mi magyarok pedig államiságunk 1000 éves jubileumát is ünnepeltük. Mi történt azonban az évszázaddal, az évezreddel? Ezeket is búcsúztattuk és köszöntöttük az újakat? És most, néhány hónappal ezelõtt, szerényebb keretek között, mit ünnepeltünk?

A kérdés megvilágításához szükségünk van a zéró fogalmára és néhány történeti vonatkozására. A zéró azonban más vonatkozásban is fontos fogalom, érdemes tehát szerepét és jelentõségét eredeti célunkon túlmenve, bõvebben kifejteni.

Melyik évszázadban éltünk 2000-ben? Két táborra oszlik az emberiség. Van, aki még a régi évszázadot, évezredet taposta, és van, aki már az újban élt. Tekintélyes amerikai intézmények: a Library of Congress és a National Institute of Standards and Technology szószólói deklarálták, hogy a XXI. század elsõ éve és egyben a következõ évezred elsõ éve 2001 lesz. A másik oldalról is idézhetünk egy tekintélyt. A Csecsenföldön járt Európa Tanács delegációjának vezetõje, Lord Judd, a múlt év márciusában megdöbbenésének adott hangot, hogy a XXI. század elején egy európai várost, Groznijt ekkora rombolásnak lehet kitenni (Magyar Nemzet, 2000. március 15., 3. old.).

Az amerikai intézmények érvelése meggyõzõ. Miután Kr. u. az elsõ év az 1-es megjelölést kapta (és nem a zérót), az elsõ évszázad utolsó éve a 100. év, és így a huszadik századot és egyben a második évezredet is a 2000. év zárja. Ehhez persze az szükséges, hogy az 1582-ben megalkotott Gergely-naptár hivatalosan elfogadott legyen. Az Amerikai Egyesült Államoknak azonban nincs törvényileg elfogadott naptára. Észak-Amerikának volt, amíg az angol gyarmatbirodalomhoz tartozott, ám a forradalom utáni parlamentek egyike sem fogadott el hivatalos naptárt. Magyarországon a Gergely-naptár használatát már az 1588. évi országgyûlés törvénybe iktatta. Ámde akár van, akár nincs hivatalos naptár egy országban, a törvény azt semmiképpen sem tartalmazza, hogy mikor zárunk és mikor kezdünk évszázadokat. A vitában szerepet kap az a szempont is, hogy a természetes számok sorozatát 0-val, vagy 1-gyel kezdjük. Azok számára, akik 1-gyel kezdik, logikus a Library of Congress álláspontja, viszont azok, akik 0-val kezdik, azt mondhatják, hogy az elsõ évszázadot csonkán hagyják, a következõket azonban a 100., 200. stb. évek kezdik. A történelem során voltak olyan naptárak, melyekben a kezdõ nap a 0 megjelölést kapta, ilyen a közép-amerikai maja indiánok naptára. Keletkezési ideje nem ismeretes, ám azt tudjuk, hogy a maja kultúra Kr. u. 300 és 1000 között virágzott, feltehetõ tehát, hogy a naptár e korszak elején, vagy még korábban született. A maják szerint a világ kezdete a mi naptárunk szerinti Kr. e. 3114. év augusztus 13-ára esett. Ha napok szerint haladunk, akkor tehát ez a 0-val jelölt nap.
 
 

A napok, évtizedek, évszázadok számokkal való jelölése felveti azt a problémát, hogy miként vélekedünk a természetes számok felõl. Ha találomra felütünk egy bevezetõ jellegû matematika-tankönyvet, hogy megtudjuk, melyek a természetes számok, akkor a következõ válaszok valamelyikét fogjuk kapni: a természetes számok az 1, 2,…, vagyis a pozitív egész számok, ill. a természetes számok a 0, 1, 2,…, vagyis a nemnegatív egész számok. Kb. húsz évvel ezelõtt sok vita folyt arról itthon és külföldön egyaránt, hogy melyik véleményt fogadjuk el. Ez ugyanis döntésünktõl függ, egyik vélekedésnek sincs kötelezõ ereje számunkra.

Mielõtt azonban e kérdést tovább taglalnánk, említsük meg azt, hogy az egész számoknak a matematikában két egymástól különbözõ jelentõsége van: jelölhetnek pozíciókat egy sorozatban, ekkor sorszámok, vagy rendszámok, és jelölhetnek mennyiségeket, ekkor számosságok, vagy kardinális számok.

Akárhogy is vélekedünk a természetes számok felõl, a zéró nagyon fontos szám sorszámként és számosságként egyaránt. Egy többemeletes ház emeleteit az 1, 2,… számokkal szoktuk jelölni, ám ha a földszint alatt is vannak „emeletek”, akkor ezek kaphatják a –1, –2,…, a földszint pedig a 0 megjelölést. A hõmérsékleti skálán is szerepel a 0, a pozitív és a negatív számok között, szükségünk van rá sportversenyek eredményének megjelölésekor stb.

A 0 mint számosság szintén nagy gyakorlati fontossággal bír. Ha valamely árucikk iránti keresletet és kínálatot összevetjük, a kettõ különbsége lehet pozitív, zéró vagy negatív szám. A zéró a negatív számokkal együtt lehetõvé teszi azt, hogy az összeadás és a kivonás mûvelete az egész számok körében elvégezhetõ.

Most, amikor sokat foglalkozunk az évszázadok kezdetével és végével, döbbenünk rá arra, hogy éveink sorozatában nincs olyan, mely a 0 megjelölést kapta volna. E sorozatban Krisztus születésének éve kapta az 1-es számot, a következõ a 2-t stb. Azt pedig, hogy Jézus Krisztus mikor született, egy szkíta származású szerzetes, Dionysius Exiguus (a szittya Pöttöm Dini) határozta meg 525-ben. I. János pápa felkérésére foglalkozott a húsvét napjainak meghatározásával, és vizsgálatai során ezt is kiderítette. Korábban nem volt általánosan elfogadott naptár, Dionysius Exiguus a római idõkbõl fennmaradt két naptárra támaszkodott: az egyik Róma megalapításának évét tekintette elsõnek, a másik Diocletianus császár trónra lépésének évét. Az új naptár azért sem kezdõdhetett zéróval, mert Európában akkor még a zérót nem ismerték. Dionysius azonban kb. 4 évvel elszámolta magát, a mai kutatók többsége Krisztus születését négy évvel korábbra teszi.

Kétszáz évvel késõbb az Észak-Angliában élt Tiszteletreméltó Béda (673?–735) az angol egyház történetével való foglalkozás közben használta az új naptárt, ám a történetírásban 60 évvel visszament Dionysius referenciaévéhez képest. Ezeket Krisztus elõtti elsõ, második stb. éveknek nevezte. Ma gyakran azt mondjuk, hogy ezek a –1, –2 stb. sorszámú évek. A zéró tehát kimaradt, Bédának sem volt zérója. Itt van a probléma. A zéró hiánya többek között azt eredményezi, hogy két korszak között eltelt idõt nem mindig tudjuk egyszerû kivonással meghatározni. Ha valaki 263-ban született, és 349-ben halt meg, akkor 349–263=86 évet élt. Ha azonban –15-ben született és 56-ban halt meg, akkor nem 56–(–15)=71 évet, hanem csak 70 évet élt.
 
 

Kik, mikor és hol fedezték fel a zérót, és mi tette szükségessé használatát? Az utolsó kérdésre tudunk egyértelmû választ adni, a többire nem. A zérót a számok ábrázolása, leírása során a helyérték pontos megjelölése tette szükségessé. Magyarázatként vegyünk egy számot, pl. a 6402-t. Miután mi a 10-es számrendszert használjuk, ez a szám részletesebben leírva a következõ összeget jelenti: 6402=6·10³+4·10²+0·10+2·10°. Ha nem volna zérónk, akkor valami módon meg kellene mondani, hogy melyik számjegy 10-nek melyik hatványát szorozza, mert ha csak azt írjuk, hogy 642, akkor ez jelentheti a 6042, 6402, 600402 stb. számokat. A számok egyértelmû és elegáns felírásához tehát szükségessé vált a zéró, mely itt nem sorszámként, hanem számosságként szerepel, és azt jelzi, hogy 10 megfelelõ hatványából semmi sem szerepel az összegben.

Jelenlegi tudásunk szerint a zérót a babiloni tudósok találták fel a számjegyek helyértékének meghatározására. A babiloniak a 60-as számrendszert használták, melyet a suméroktól örököltek. Egyes tudósok feltételezik, hogy a 60-as számrendszer a 12-es és az 5-ös ötvözetébõl keletkezett (5·12=60) két civilizáció kapcsolata révén, melyek közül az egyik a sumér lehetett, és õk használhatták a 12-es rendszert. Ha a hüvelykujjunkat nem számítjuk, akkor a fennmaradó négy ujjunkon 12 ujjperecünk van, ezeken számolhatunk a hüvelykujjunk segítségével, így képzelik e számrendszer használatának magyarázatát az elmélet hívei.

A 12-es számrendszer régebbi használatáról több európai mérték (1 tucat = 12 darab, 1 láb = 12 hüvelyk stb.) is tanúskodik. A zérót a babiloniak csak érték nélküli szimbólumnak tekintették. Mezopotámiában a helyérték elve, fontossága már sokkal korábban ismert volt. A zérót a görögök Babilonból hozhatták magukkal, amikor a Kr. e. IV. században Nagy Sándor hódításai révén oda eljutottak. A régebbi görögök világképébe a zéró, akárcsak a végtelen, nem volt beilleszthetõ. Püthagorasz (Kr. e. 582–507) és követõi szerint a világot arányok, hányadosok jellemzik. Ezek jelennek meg a zenében, a matematikában és a természetben. Az arányok vizsgálata vezette Püthagoraszt az aranymetszés felfedezéséhez (két részre kell osztani egy szakaszt oly módon, hogy a kisebb résznek az aránya a nagyobbhoz megegyezzék a nagyobb résznek az egészhez vett arányával; ez kb. 1,618). A számok és a geometriai alakzatok között ekvivalenciát láttak, az utóbbiakat ugyanis hosszúságukkal, területükkel stb. lehet mérni. E világképben a zérónak nem volt helye, azt tartották, hogy nincs értelme olyan téglalapról beszélni, melynek alapja és/vagy magassága zéró. Kiterjedés nélküli geometriai alakzat számukra értelmetlen dolog volt.

A babiloni csillagászat eredményeit azonban a görögök már jóval korábban átvették. Ennek tudható be (idézzük emlékezetünkbe, hogy Babilonban 60-as számrendszert használtak), hogy az órát hatvan percre, a percet hatvan másodpercre, a teljes körhöz tartozó szöget 6·60=360 fokra, a fokot pedig 60 percre osztották. Ezekben az általunk is használt rendszerekben tehát a babiloni 60-as számrendszer él tovább.

A görögök egyébként a 10-es számrendszert használták, akár az egyiptomiak, indiaiak, kínaiak. A 10-es szám a babiloni 60-as számrendszerben is fontos volt, közbülsõ osztóként szerepelt. A majáknál 20 volt a számrendszer alapja. A 10 és a 20 a kezünkön ill. a kezükön és a lábunkon lévõ ujjak száma. A 60-as számrendszer használatának okát nem ismerjük. A fentieken kívül még az 5-ös számrendszer használatáról is tudomásunk van: archeológusok találtak olyan kõkorszakból származó állati csontokat (30 000 éves farkasbordát), melyen ötös csoportba szedett rovátkák találhatók.

A régi görögöknek nem volt külön szavuk a zéróra. Miután ezt Babilonból átvették (elõbb a csillagászati irodalmukba, késõbb számaikba), jelölésére a kis görög o (omikron) betût használták. Lehetséges, hogy ezt azért tették, mert az omikron az ouden görög szó kezdõbetûje, melynek jelentése: semmi.

A babiloniak a zérót két ferdén álló ékkel jelölték. E szimbólum alkalmazása lehetõvé tette a számok írásmódjában a helyérték tömörebb jelölését. Korábban a görögök 10 hatványait betûkkel, az egyiptomiak képekkel ábrázolták.

Al-Khvarizmi 
(783–850)
Új erõ jelent meg a keleti világban a hetedik században: az iszlám. Mohamed halála után követõi meghódították Szíriát, Mezopotámiát, Perzsiát, eljutottak egészen az Indus folyóhoz. Egy évszázaddal késõbb meghódították Indiát, megverték a kínaiakat, nyugaton pedig egész Észak-Afrika az övék lett, Spanyolországot is elfoglalták. Elsajátították a meghódított népek tudományát, könyveiket lefordították arabra. Virágzásnak indult az arab kultúra. Elsõ nagy tudósuk Al-Khvarizmi 830 körül kiadta a „Hisab al-dzsabr wallmuqabala”, magyarra fordítva: „A rövidítés és törlés tudománya” címû könyvét. Mai algebra szavunk a címben szereplõ al-dzsabr szóból származik, mely kb. annyit jelent, hogy teljessé tenni. Az algoritmus szavunk viszont Al-Khvarizmi nevébõl származik.

Al-Khvarizmi mûveiben már megjelennek az ún. arab számjegyek, melyek azonban indiai eredetûek. Valószínû, hogy ezeket a 776-ban Al Mansur bagdadi kalifa (aki egyébként 762-ben megalapította Bagdad városát) udvarában járt indiai tudósok hozták magukkal. A számok rajzai a mai napig némi változáson mentek át, eredetükre több elmélet van: mindegyik szám annyit jelent, ahány szöget vonalai bezárnak, vagy ahány vonalból áll stb. Ehhez persze a számokat sajátosan kell megrajzolni. E tekintetben a fantázia szabadon szárnyalhat. Azt, hogy a számjegyek lényegében rajzok, az angol nyelv õrzi a figure szóban, mely ugyanazt jelenti, mint number, ti. szám.

Al-Khvarizmi idejében még nem ismerte a zérót a nyugati világ. Indiából származó neve a sunya, jelentése üres. Ezt az arabok sifr formában vették át. A nyugati világ két jelentõs mû révén kapcsolódott be a számolás mûvészetének fejlesztésébe. Az egyik a XII. század közepén keletkezett, szerzõje a spanyolországi ben Ezra rabbi, könyvének címe: „A szám könyve”. Héberül írta, ezért sokak számára nehezen volt hozzáférhetõ. A mûben szerepel a zéró, és azt a sifra vagy a galgal (héberül: kerék), vagy a kha (héberül a keréken lévõ lyuk, melyben a tengely helyezkedik el) szavak jelölik.

Nagyobb hatású volt az olasz Fibonacci (Bonacci fia, eredeti neve Leonardo da Pisa) „Liber Abaci”, 1202-ben megjelent könyve. Fibonacci volt végül is az, aki a zérót a nyugati világban meghonosította. A Liber Abaci megismerteti az olvasót az arab számokkal és a velük való számolással. E könyvben fordulnak elõ elõször az ún. Fibonacci-számok, melyeket oly módon származtatunk, hogy elõször leírjuk az egyet kétszer egymás után, majd azt követõen minden új szám a sorozatban az õt megelõzõ két szám összegeként áll elõ: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 stb. E számsorozatot szellemesen a nyulak szaporodásának a leírásával magyarázta.

Képzeljük el, hogy egy farmon van egy pár újszülött nyúl. Tegyük fel, hogy a nyúlbébik két hónap múlva lesznek ivarérettek. Ekkor és az utána következõ minden hónap elején produkálnak egy pár nyulat, melyre ugyanez érvényes és így tovább. Hány nyúl van az n-edik hónapban? Az elsõ hónapban van egy pár, és ez nem szaporodik sem ebben, sem a második hónapban. Az elsõ két Fibonacci-szám tehát 1. A harmadik hónap elején már van egy szaporulat, tehát a következõ Fibonacci-szám 2. A negyedik hónap elején van az elõzõ hónapban már létezett két pár nyúl, és ehhez hozzáadódik az elsõ pár újabb szaporulata, ez összesen 3 pár nyúl. Eszerint 3 a negyedik Fibonacci- szám. Az ötödik hónapban az elsõ és a második pár produkál egy-egy új párt, a nyúlpárok száma tehát 5. A szabály az, hogy mindig a meglévõ nyúlpárokhoz hozzáadódnak azok a párok, amelyek az éppen ivaréretté vált nyulak szaporulatai. A Fibonacci-számoknak nagyon sok matematikán belüli és kívüli alkalmazása van. Jóllehet a nyúlszaporodás folyamatát elnagyoltan írják le, számos természeti jelenségben bukkan elõ e számsorozat egy szakasza pontos formában.

Fibonacci a zérót zefirumnak nevezte, mely szó azután több változás után nyerte el mai alakját az olasz, angol, francia, magyar, stb. nyelvekben.

Fibonacci tehát megmutatta, hogyan lehet elegánsan számolni, kalkulálni az arab számjegyekkel. A latin calculus szó egyébként kövecskét jelent, a számolótáblán elhelyezett követ. Régebben a pénzkölcsönzõk számolótáblát és azon elhelyezett köveket használtak. A számolótábla német neve a Rechenbank volt, ebbõl származik a bank szó, melyet a legtöbb nyelv valamilyen formában átvett.

Az indiai eredetû sunya szóból kiindulva, és folytatva az arab sifr szóval, egy más vonalon ebbõl származnak a latin (és magyar) cifra, a német Ziffer szavak, és egy további vonalon az angol cipher és a francia chiffre szavak. A zéróra a latin nyelvben a nullus szót is megalkották, mely különbözõ alakban szintén széles körben elterjedt.

René Descartes
(1596–1650)
További pályafutása során a zéró kiemelkedõ szerepet kapott az analitikus geometriában, melyet Descartes (1596–1650) fedezett fel 1619-ben. A felfedezések korában a pontos helymeghatározás igénye hívta életre ezt a zseniális módszert, mely lehetõvé tette geometriai alakzatoknak számokra vonatkozó összefüggésekkel való megadását. A síkban elhelyezett, két egymásra merõleges egyenes, az ún. Descartes-féle derékszögû koordináta- rendszer szolgál e célra. Az egyenesek metszéspontja a viszonyítási pont, ez az (origo = eredet latin szó kezdõbetûjébõl származó) O jelet kapja, majd mindkét tengelyt számegyenesnek tekintve, ahol a zéró az O helyén van, egy pontot a tengelyekre vett vetületeihez tartozó számokkal, vagyis az (x, y) számpárral ábrázol. Ezután a könnyebben, mechanikusabban alkalmazható algebrai apparátust lehet alkalmazni a geometriai összefüggések levezetésére.

Mintegy másfél évszázaddal késõbb Newton (1642–1727) és Leibniz (1646–1716) munkássága révén megszületett az újkor monumentális matematikai módszertana a differenciál- és integrálszámítás, mellyel egyben kezdetét vette a matematikai analízis. Ez sem elõzmények nélkül született, mint általában a nagy felfedezések. Az elõfutárok között vannak Cavalieri, Fermat, Wallis, Barrow és mások. Tudjuk, hogy Newton 1669-ben készítette el a felfedezését tartalmazó kéziratát, melyet azonban csak késõbb, Leibniz 1684-ben megjelent munkája után publikált. Emiatt ádáz prioritási harc robbant ki a két nagy tudós között, melynek nyomait még ma is fellelhetjük a matematikatörténeti irodalomban. Bennünket most elsõsorban az érdekel, hogy milyen szerepet játszik a zéró ebben a zseniális elméletben és módszertanban.
 
 

Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646–1716)
Isaac Newton
(1642–1727)

Képzeljünk el egy fizikai értelemben vett tömegpontot, mely (egyszerûség kedvéért egy egyenes mentén) mozog, nem feltétlenül állandó sebességgel. Ha meg akarjuk határozni adott idõpontbeli sebességét, akkor az idõ egy nagyon kis növekménye alatt megtett út hosszát, vagyis az úthossz növekményét el kell osztanunk az idõnövekmény hosszával. Ideálisan végtelen kicsiny idõintervallumot kellene tekintenünk, ám végtelen kicsiny számok nincsenek, minden szám pozitív, negatív, vagy zéró. A zéróval való osztás viszont nincs értelmezve, ezért csakis valamilyen pozitív (vagy, ha visszafelé megyünk, akkor negatív) számmal fogunk osztani, miáltal viszont a sebesség meghatározása pontatlan lehet. A probléma megoldását az ún. határérték fogalmának a bevezetése szolgáltatta. A fenti értelemben vett növekmények hányadosának, az ún. különbségi hányadosnak a határértéke adja meg az ún. differenciálhányadost. Az integrál fogalmához fordított eljárással jutunk: felhasználva azt, hogy a változások kicsiben lineárisak (arányosak), egy függõ változónak a független változó adott növekményéhez tartozó változását „végtelen sok infinitézimális mennyiség összegeként”, pontosabban, véges sok kis változás összege határértékeként kapjuk meg. A zéró tehát itt nem egy szám, hanem egy számsorozat, melynek határértéke zéró.

A módszertan tipikus alkalmazása abban áll, hogy kapcsolatot találunk változóink kis növekményei között, és innen továbbmenve, kapcsolatot létesítünk a változók differenciálhányadosai között. Az így nyert differenciálegyenlet megoldása azután a keresett összefüggést szolgáltatja.

A differenciál- és integrálszámítás olyannyira elterjedt és széles körben alkalmazott módszer, hogy a modern élet nélküle elképzelhetetlen. Nélküle nincs pl. repüléstechnika és ûrhajózás, mert égimechanika sincsen. Ám nincs modern pénzügytan sem, mert a tõzsdei pénzügyi instrumentumok árazását bonyolult differenciálegyenletek segítségével végzik, hogy csak néhány példát említsünk. Igen sok a matematikán belüli alkalmazása is: egyszerûbben tudunk segítségével területet, köbtartalmat számítani, érintõt szerkeszteni stb. Sok olyan formulát tudunk a differenciál- és integrálszámítással nyerni, melyek szerény speciális eseteinek a felfedezése évtizedek, vagy évszázadok munkásságának eredménye volt a kor matematikusai részérõl.

Bár a differenciál- és integrálszámítást a matematikusok biztos kézzel alkalmazták megalkotásuktól kezdve, egzakt matematikai megalapozását csak a XIX. században adta meg elsõsorban a német Weierstrass (1815–1897).

Newton és Leibniz mûve a modern tudományos gondolkodás egyik legfontosabb eszköze. Illenék, hogy része legyen az általános mûveltségnek is. Sajnálatos, hogy Magyarországon ma csak a matematika tagozatos középiskolai osztályokban tanítják, ez visszalépés a háború elõtti állapotokhoz képest, amikor minden gimnazista számára kötelezõ tananyag volt. Arnold Toynbee (1889–1975), híres angol történész panaszkodik így önéletrajzában: Visszatekintve, biztos vagyok abban, hogy nem kellett volna megadni nekem az önkéntes választási lehetõséget, a differenciál- és integrálszámítást számomra kötelezõvé kellett volna tenni. A nyugati világban akartam élni, és ez a tudomány az egyik legjellegzetesebb megnyilvánulása a nyugati géniusznak.

A határérték fogalmában egy másik fontos fogalom is megjelenik: a végtelen. A zéró és a végtelen szoros kapcsolatban állnak egymással, mondhatnánk feltételezik egymást. Isten, a Végtelen, a világot semmibõl teremtette. Elõtte „A föld puszta volt és üres” (Gen. 1., 1.).

A végtelennel kapcsolatos matematikai elmélet megalkotására, Georg Cantor (1845–1918) halmazelméleti munkássága révén, csak a XIX. század második felében és a századforduló idején került sor. Sok szépséget és meglepetést rejt ez az elmélet is, ám taglalása messze vezetne eredeti tárgyunktól.

A modern matematikában gyakran elõfordul, hogy egy matematikai objektum valamely mérõszáma zéró, ám ugyanez, más szempontból gazdag tartalommal bír. A legegyszerûbb példa egy egyenes szakasz, melynek az egyenesen, tehát az egydimenziós térben vett „mértéke”, ami a szakasz hosszát jelenti, pozitív. Ha azonban a szakaszt a kétdimenziós térben tekintjük, és vesszük annak kétdimenziós mértékét, vagyis a területét, akkor az már zéróval egyenlõ. Ugyanúgy, egy pozitív területû téglalapnak a háromdimenziós térben vett mértéke, vagyis a köbtartalma zéróval egyenlõ.
 

Igen szép és érdekes példát említhetünk a modern valószínûségelmélet körébõl. E tudományág megalapítója Pascal (1623–1662) és Fermat (1601–1665) volt. Az akkoriban divatos szerencsejátékokkal kapcsolatos problémák megoldásáról leveleztek 1654-ben Párizs (ahol Pascal élt) és Toulouse (ahol Fermat élt) között. E levelek az elsõ valószínûségelméleti dokumentumok. A tudományág egzakt matematikai megalapozása azonban csak közel háromszáz évvel késõbb történt meg, 1933-ban, Kolmogorov (1903–1987) munkássága révén.

A véletlen jelenségek Kolmogorov-féle szemléletmódjában minden esemény egy halmazzal jellemezhetõ, mely az adott eseményre nézve kedvezõ lehetõségeket foglalja magában. Az eseményekhez 0 és 1 közötti számok vannak hozzárendelve (a 0 és az 1 is elõfordulhat), ezek az események valószínûségei. A valószínûségek egy részét tapasztalati úton, vagy bizonyos feltevésekkel élve határozzuk meg, más részét pedig ezek alapján számítjuk, matematikai összefüggéseik révén. Ilyen pl. az, hogy ha két esemény együttesen nem következhet be, akkor annak a valószínûsége, hogy legalább egy (a kettõ közül) bekövetkezzék, egyenlõ a két valószínûség összegével. Ha egy esemény nem következhet be, akkor annak 0, ha pedig biztosan bekövetkezik, akkor 1 valószínûséget tulajdonítunk.

Képzeljünk el egy olyan véletlen jelenséget, mely egy egyszerû alternatíva (két lehetõség valamelyikével végzõdik) végtelen sokszori megismétlésébõl áll. Pl. egy pénzdarab feldobása esetén két lehetõség van: fej vagy írás, és gondolatban végtelen sokszor elvégezzük ezt a kísérletet. Most azonban nem feltétlenül pénzdobásról akarunk beszélni, úgyhogy az F és az I szimbólumok helyett inkább az „a”, „b” szimbólumok valamelyikét írjuk le minden egyes kísérlet elvégzése után, aszerint, hogy melyik lehetõség következik be. Állapodjunk meg abban, hogy p jelöli az „a” lehetõség valószínûségét, mely egy 0 és 1 közötti szám, pl. p=1/2, vagy 1/3, vagy 0,673, vagy akármilyen pozitív és 1-nél kisebb valós szám. A véletlen jelenség tehát minden egyes esetben az „a”, „b” szimbólumok egy végtelen hosszú sorozatából áll. Ilyen végtelen sorozatból is végtelen sok van, ezek egy-egy halmaza egy-egy eseményt alkot. Ha pl. arról az eseményrõl beszélünk, hogy az elsõ kísérlet eredménye az „a” lehetõség, akkor tulajdonképpen vesszük mindazoknak a sorozatoknak a halmazát, amelyek „a”-val kezdõdnek. Ennek az eseménynek a valószínûsége p. Ha a kísérleteket egymástól függetlenül hajtjuk végre, akkor annak a valószínûsége, hogy az elsõ eredmény „a”, a második „b” legyen, p(1–p), vagyis a két valószínûség szorzata. Ezen az úton bonyolultabb események valószínûségei is meghatározhatók.

Émile Borel (1871–1956) 1909-ben bebizonyította a nagy számok ún. erõs törvényét, mely azt mondja ki, hogy 1 annak a valószínûsége, hogy az „a” lehetõség relatív gyakoriságának a határértéke p-vel egyenlõ. Ez, más szavakkal, azt jelenti, hogy ha k(n) jelenti a sorozat elsõ n eleme között az „a” lehetõség elõfordulási számát, akkor a k(n)/n hányados, az ún. relatív gyakoriság, határértéke p. Ismét más szavakkal: a végtelen hosszú sorozatban az „a” szimbólum elõfordulási aránya az összes lehetõségekhez képest p. Ez nyilván nem igaz minden sorozatra, de azok a sorozatok, amelyekre ez nem áll, együttesen zéró valószínûségû eseményt alkotnak.

Borel tétele korábbi keletû, mint a valószínûségelmélet Kolmogorov-féle megalapozása. A tételt az új elméletben újra kellett fogalmazni, érvényessége tekintetében azonban nem történt változás.

Tegyük most fel, hogy a fentebb leírt módon nem egy, hanem két véletlen jelenséget vizsgálunk, ám mindkettõben az „a”, „b” szimbólumokat használjuk az egyes lehetõségek megjelölésére. Az egyik véletlen jelenség esetében azonban az „a” lehetõség valószínûsége p, a másikban pedig q, melyekrõl feltételezzük, hogy nem egyenlõk. Ugyanazokkal a sorozatokkal van dolgunk mindkét esetben, ám az elsõ esetben p, a másodikban q valószínûséggel számolunk további valószínûségeket.

A nagy számok fent említett erõs törvénye szerint a p valószínûség használata esetén az „a” lehetõség aránya p, kivéve egy olyan sorozathalmazt, melynek esetünkben zéró a valószínûsége. Ebbõl következik, hogy a q arány valószínûsége is zéró. Ez azonban megfordítva is igaz. Mivel pedig a zéró valószínûségû események elhanyagolhatók, az a következtetés adódik, hogy az egyik jelenség olyan sorozathalmazokon valósítható meg matematikailag, amelyek a másik szempontjából elhanyagolhatók. Továbbmenve, miután végtelen sok 0 és 1 közé esõ szám van, ezért adott p esetén végtelen sok egyéb jelenség valósítható meg olyan sorozathalmazon, mely zéró valószínûségû a p valószínûség alapján számítva.

A zéró tehát fontos fogalom és sokrétû az alkalmazása modern társadalmunkban. Felfedezésére azonban viszonylag késõn került sor. Ha Pöttöm Dini idején már használták volna, akkor éveink sorozata esetleg zéróval kezdõdött volna. Ám nem így történt és emiatt célszerû a 2000. évet a huszadik század utolsó évének tekinteni (bár ez végsõ soron egyéni döntés kérdése) és csak most lépni át a huszonegyedik századba és az új évezredbe.
 

Irodalom
Universal History of Numbers, Georges Ifrah, 2000. John Wiley & Sons, Inc., New York
Zero, Charles Seife, 2000. Viking, New York
Arnold Toynbee, Experiences, 1969. Oxford University Press, New York


Természet Világa, 132. évfolyam, 4. szám, 2001. április
http://www.chemonet.hu/TermVil/
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/


Vissza a tartalomjegyzékhez