Matematikai táboraim
Pósa Lajos elõadása

(Elhangzott a Charles Simonyi kutatói ösztöndíjak átadása alkalmából)


Aki az ösztöndíjat felajánlotta
Charles Simonyi, a Microsoft vezetõ szoftverfejlesztõje a múlt év tavaszán 25 millió forintos támogatást ajánlott fel a magyar tudománynak. A Charles Simonyi kutatói ösztöndíjakat, melyek éves összege 2,5 millió forint, elõször 2000. szeptember 26-án adták át ünnepélyes keretek között három kutatónak. A díjazottak egyike Pósa Lajos matematikus volt. A díjat odaítélõ bizottság értékelése szerint: „a Charles Simonyi kutatói ösztöndíj Pósa személyében olyan kiváló matematikus munkáját segíti ki, aki a legendásan nagyszerû pedagógus Simonyi Károly professzorhoz hasonlóan szívügyének és hivatásának érzi a magas szintû tanítást, nevelést.”

  Pósa Lajos rövid elõadás keretében mondott köszönetet a kitüntetésért. Úgy érezzük, hogy amit elmondott, sokakat érinthet, ezért azt most lapunkban is közreadjuk.
 
 

Tisztelt hallgatóság!

Annak a megtisztelõ kérésnek szeretnék eleget tenni, hogy tizenöt percben elmondjam, mivel is foglalkozom. Azt gondolom azonban, hogy inkább egy – számomra igen kedves – munkámról beszélek csak részletesebben, és ha az idõ ezt engedi, a többit ennek ürügyén említem meg, röviden.

A matematikai táboraimról szeretnék mesélni. Ez az elnevezés, matematikai tábor, kicsit félrevezetõ. Általában nincs szó valamilyen táborozásról, sátrakról, erdõrõl... Csak jó képességû gyerekekrõl, akik intenzív matematikai munkára összegyûltek valahol (lehet a hely véletlenül egy sátortábor is, bár nem ez a jellemzõ). Ezt a mûfajt nem én találtam ki. Évekig jártam mások által szervezett táborokban, és csak ez után ébredt bennem vágy arra, hogy saját táboraim is legyenek. Azok a táborok, amelyekben vendégként közremûködtem, többnyire a nyári vakációra estek, és egy hétig, néha tíz napig is tartottak. Folytatásuk általában nem volt, és a végén szomorúan kellett arra gondolnom, hogy ezeket a gyerekeket az életben többet nem fogom látni, sorsuk alakulására nem lehetek hatással. Ez adta az ötletet, hogy a táborban megismert legérdeklõdõbb gyerekeknek magam is szervezzek tábort, ezzel a megkezdett munkát és a személyes kapcsolatot is folytatni tudjam.

Táboraim általában hétvégi táborok. Tanév közben, egy közönséges tanítási hét végén, a jelenleg szokásos forgatókönyv szerint pénteken délután fél ötre hívom a gyerekeket, és vasárnap délután két óráig vagyunk együtt. Kezdetben nagy gond volt a helyszín megtalálása, a szülõktõl kértem és kaptam segítséget, minden alkalommal máshová mentünk. Mindig féltem, lesz-e alkalmas hely a foglalkozásokra, nem leszünk-e kellemetlen idegenekkel összezárva. Most már tíz éve csaknem mindig ugyanoda megyünk, egy gyönyörû rózsadombi kastélyba, amely diákotthonként mûködik, de a saját diákjait a hétvégékre hazaküldi, így mi ott teljesen otthon érezhetjük magunkat.

Jó, ez mind rendben van – gondolhatják most Önök –, de mit csinálnak a szerencsétlen gyerekek egy egész hétvégén át? Egyenleteket oldogatnak?

A szülõk az elsõ meghíváskor gyakran értetlenkednek, hosszasan faggatnak a szakmai részletekrõl, amelyeket csakugyan nehéz elmagyarázni. Néha a matematikus szülõ érti meg a legnehezebben. Érdekes teszt lenne, ha a jelenlévõk mind elmesélnék, hogy miként képzelik el a tábort annak alapján, amit idáig elmondtam. Bizonyára sokan gondolnák azt, hogy én elõször valamilyen elõadást tartok a gyerekeknek egy új témáról, kimondok néhány tételt, bizonyítással vagy anélkül, ezt módszerek bemutatása követheti, végül esetleg kapnak olyan feladatokat, amelyeken az elõbbieket gyakorolhatják. Ahogy ezt megszoktuk.

Nos én ennek a megszokásnak, amely a diákokat – szerte a világon – kirekeszti az érdemi alkotó munkából, megfosztja õket az önálló gondolkodás örömétõl, ellensége voltam attól a pillanattól kezdve, hogy fiatal egyetemi oktatóként elkezdtem tanítani. Szeretett egyetemi tanáromat, akinek az elõadásához gyakorlatot tartottam – ha minden igaz, most itt ül Önök között –, halálra gyötörtem, hogy minél lassabban haladjon elõre, hadd vethessek fel gyakorlataimon minél több izgalmas kérdést, az elõadásban a késõbbiekben közlésre váró gondolatokat jól elõkészíthessem, és az elõadást szolgaian kiszolgáló feladatok száma minél kisebb lehessen. „Az úgysem ér sokat, amit az elõadáson elmondasz – mondtam a kezdõ fiatalok magabiztosságával –, hiszen az csak közlés, amit a hallgatóság passzívan tudomásul vesz, a lényeg az, amit én a gyakorlaton felfedeztetek, attól változik meg valami a fejükben.” Késõbb rájöttem, hogy ilyen szélsõségesen ez sem igaz, és hogy nem véletlenül szerették annyira a hallgatók azt az elõadást, amelyrõl most beszélek. Még késõbb meg már nekem kellett elõadásokat tartanom, és jókat vitázhattam magammal, mire is való az elõadás...

Pósa Lajost a Keszthelyi Lajos köszönti

Szóval õrizkedjünk a dogmáktól! De a hagyományos matematikatanítás tagadhatatlanul a fontos ismeretek közlésén alapul, és a passzív befogadást várja el elsõdlegesen, ezzel áll szemben a formálódó, lassan megszületõ új, a felfedeztetõ tanítás, amelynek például Varga Tamás volt az egyik legnagyobb hatású képviselõje hazánkban.

A táborok ideális terepet jelentenek a felfedezésekhez. Adott sok okos gyerek, akik imádják a matematikát, van rengeteg idõnk, és elõttünk a matematika meghódításra váró varázsbirodalma... Nincs is semmi probléma, csak fel kell adni az izgalmas kérdéseket, és a mindig olyan kreatív gyerekek biztosan mindenre rájönnek. Hát, ez azért nem ilyen egyszerû.

A felfedeztetõ tanítás legfõbb nehézsége épp abban áll, hogy a diákjaink esetleg mégsem birkóznak meg azokkal a feladatsorokkal, amelyeket számukra kigondoltunk...

Az elsõ táboraimban gyakran szenvedtem attól a képtõl, ahogy egy nagyobb teremben üldögéltek a gyerekek, kínlódtak az ötletigényes, olykor igen nehéz feladatokkal, amelyekhez nem kaptak útbaigazítást; és az egésznek nem volt meg az a hangulata, az a varázsa, amelyet megálmodtam. Aztán meg az ügyesebb, gyorsabb diákok mégis csak megoldották valahogy a feladatokat, legalábbis egy részüket, ennek híre ment, még ha nem is kaptak szót, és nem mondhatták el a megoldásaikat; ezután a többiek megoldási kedve csökkenni kezdett, és a sikeres gondolkodásra már alig volt remény.

Sokat javult a helyzet, amikor bevezettem, hogy a gyerekek 2-4 fõs csoportokban dolgozhatnak. Jobb kedvvel és kitartóbban gondolkoztak, de a gyorsabbakkal való akaratlan versenyzés egy idõ után a lassabbak, kevésbé tehetségesek kedvét szegte. Ezen úgy segítettem, hogy az összes csoportot más-más helyiségben helyeztem el, és innen kezdve már semmit sem tudtak arról, hogy a többiek mit csinálnak, hol tartanak a munkában. Nagy színvonalkülönbség esetén még az is lehetõség, hogy egy-egy nehezebb feladattal csak az erõsebb csoportok találkoznak.

Hogyan reagálnak a gyerekek arra, hogy egyszer csak egy szobában találják magukat összezárva néhány társukkal és számos megoldandó problémával? Amikor elõször jönnek táborba, bizony elõfordul, hogy nagyon furcsa nekik ez az egész, hamar feladnák a gondolkozást, segítségeket kérnek a feladatokhoz. Az életükben talán még sose fordult elõ, hogy egy-két órán át önállóan kellett küzdeniük nehezebb kérdésekkel. Azt sem értik, hogy miért nem árulom el a megoldást, vagy legalábbis miért nem segítek, az iskolában a tanárok olyan segítõkészek... Azután valamikor ráéreznek a küzdelem, a saját fejünkkel gondolkozás örömére, arra, hogy mit jelent utat keresni, megtalálni, végül célba érni... Milyen az, amikor az ember szabadon gondolkozhat, az eltévedés kockázatával, de a szokatlan, egyéni, meghökkentõ új lehetõségével. Eljön a pillanat, amikor már õk nem hagyják, hogy én segítsek. Már segítenék, mert a folytatáshoz szükség van erre a megoldásra, de õk még haladékot kérnek.

A csoportmunka után közös megbeszélés következik, elhangzanak a feladatok megoldásai (gyakran sokféle szép megoldás ugyanarra a kérdésre), és itt is gyakran tiltakoznak a csoportok, ezt még ne beszéljük meg, ezen még gondolkozni szeretnénk...

”vakodunk a szélsõségektõl, ezért idõnként komoly segítségeket adunk a csoportoknak, ha úgy ítéljük meg, hogy a teljesen önálló megoldásra már (vagy eleve) nincsen remény. Még mindig többet ér egy feladatot segítséggel megoldani, mint mások megoldását passzívan tudomásul venni.

„Segítségeket adunk” – mondtam az elõbb, ideje elárulnom, hogy a táborokat évek óta már segítõkkel, társakkal együtt csinálom. Kik ezek a segítõk? Fõként egykori tábori gyerekek, akik már felnõttek közben, értve ezen azt, hogy már egyetemre járnak vagy azt is elvégezték. Nagyjából ez a választóvonal, egy tábori csoport beindul 12-13 éves gyerekekkel, és ha minden jól alakul, összejönnek évi egy-két alkalommal középiskolás éveik végeztéig. Utána lesznek – igényeik és képességeik szerint – segítõk, nagyfiúk vagy nagylányok, ahogy hívni szoktuk õket. Egy másik lehetséges forrása a segítõimnek egy egyetemi speci hallgatósága. Ennek a kurzusnak Hogyan foglalkozzunk tehetséges gyerekekkel? a címe, és nemcsak a táborokról, hanem a tehetséggondozás más formáiról is szól. Kezdetben két féléven át, heti két órában tartottam, aztán három féléves lett, a legutolsónál az óraszám (mindhárom félévben) heti háromra emelkedett. A végén talán lesz idõm még ezeknek a tanítási módszereknek az elterjesztésérõl is beszélni, egész pontosan az elterjesztés nehézségeirõl, akár az egyetemisták, akár az aktív tanárok körérõl legyen is szó.

Akkor most térjünk vissza a táborokhoz. A csoportmunkánál tartottunk. Kezdetben nem akartam ennek a munkaformának túlzottan nagy teret engedni. Hogyan jön rá mindenki lehetõleg mindenre vagy minél többre, ha ott ül az a négy gyerek a szobában, és egyfolytában karattyolnak? Azonban történt valami. Amikor a táborok végén a gyerekek véleményét kértem arról, hogy mi tetszett, illetve nem tetszett a táborban, elsöprõ többséggel és nagy hevességgel mondták, hogy a csoportmunka mint munkamódszer tetszett nekik a legjobban. Valami nagy varázsa van a közös gondolkodásnak, ha már a csoport tagjai közel kerültek egymáshoz... Kevésbé gondolkoznak önállóan, de valamit kapnak helyette, ami nem kevésbé fontos. És az is tanulságos, ahogyan belelátnak egymás fejébe, látják a megszületõ gondolatokat... Arra azért nevelni kell a gyerekeket, hogy elég sokáig teljesen önállóan gondolkozzanak, és csak ez után kezdjenek el beszélgetni a feladatokról, és hogy ha valaki már megoldott egy feladatot, ne mondja el azonnal a megoldást a többieknek. A csoportok módszere és hangulata nagyon különbözõ, és ezt azonnal érezzük, amikor belépünk egy szobába. A nagyon okos gyerekek néha úgy ülnek, hogy páronként a lehetõ legmesszebb legyenek egymástól, más szobában pedig mintha egyetlen sokfejû lényt látnánk, olyan szimbiózisban élnek egymással.

Nem mindenki alkalmas a csoportmunkára, egy-egy gyereknek olykor megengedjük, hogy önállóan dolgozhasson. Egy 30 fõs táborban körülbelül 10 csoport megalakulása várható. A gyerekek maguk döntik el, hogy kikkel kívánnak együtt dolgozni. Ebbe csak akkor avatkozunk bele, ha nyilvánvalóan hibásan döntöttek, és maguk is szenvednek a helyzettõl.

A csoportokat rendszeresen látogatjuk (a segítõim és én), meghallgatjuk a megoldásaikat, és ilyenkor sokkal inkább van lehetõség arra, hogy türelmesen végighallgathassuk egy-egy nehezen beszélõ diák gondolatmenetét, mint egy közös megbeszélésnél, amikor a jelen lévõ 30 gyerek számára ez roppant terhes lenne.

Még mindig semmi sem derült ki arról, hogy végül is mivel foglalkozunk ezekben a táborokban. Errõl a legnehezebb képet adnom ilyen rövid idõ alatt. Egy-két pillanatképet azonban szeretnék bemutatni. Talán mondok most három feladatot, ezeket az elsõ egy-két táborban, tehát 12-14 éves gyerekeknek szoktam feladni.

1. Egy derékszögû szegletben (lehet egy szoba alsó sarkára gondolni) csúszik egy pálca lefelé. Kezdetben függõlegesen áll, a végére vízszintes lesz. Mit ír le csúszás közben a pálca felezõpontja?

2. Hány részhalmaza van egy 12 elemû halmaznak?

3. Történetünk 4273-ban játszódik. A világûr értelmes lényei már felismerték egymást, és elhatározták, hogy megrendezik az ûrlények elsõ kozmikus pingpongbajnokságát. Bárki benevezhet, akinek van keze... ”riási az érdeklõdés, eddig 27 351 428-an jelentkeztek, és óráról órára futnak be az újabb jelentkezések... Ezt látva a szervezõk elálltak eredeti elképzelésüktõl, körmérkõzés helyett már a kieséses versennyel is beérik. Kieséses versenynél a játékosokat párokba sorsolják, a párok megmérkõznek egymással, aki gyõz, továbbjut, aki veszt, kiesik. Akinek nem jut pár, az játék nélkül jut tovább.

Abban kérnek tõlünk a szervezõk segítséget, hogy állapítsuk meg gyorsan, hány játszma lesz összesen a verseny során. Ha majd tudni fogjuk a résztvevõk számát.

Ebbõl a feladatból csapatjáték lesz. A csoportmunka után, amikor ismét összegyûlnek a gyerekek, közölni fogom a résztvevõk számát, és abban versenyeznek a csapatok, hogy milyen gyorsan képesek megállapítani a játszmák számát.

Mi a kapcsolat ezek között a feladatok között? Az, hogy mindegyiknél lehet kísérletezni. Az elsõ feladatnál azt a pálcát egy papíron csúsztatva, meg lehet nézni, mit ír le a felezõpont. Ez persze csak egy sejtés lesz, a bizonyítás még hátravan...

A második feladatnál miben áll a kísérletezés? Nézzük meg, hogy egy 1 elemû, egy 2 elemû, egy 3 elemû halmaznak hány részhalmaza van, azt találjuk, hogy a részhalmazok száma 2, 4, illetve 8, ebbõl már megszületik a jó sejtés.

Ugyanez a teendõ a harmadik feladatnál. Két játékosnál egy, háromnál kettõ, négynél három, ötnél négy játszma lesz összesen..., szóval eggyel kevesebb, mint ahányan vannak.

Hagyományos stílusú tanításnál azzal kezdõdne az óra, hogy ma a kísérletezés szerepérõl lesz szó. Itt viszont ez a három feladat biztosan nem szerepel ugyanabban a félnapban, az viszont lehetséges, hogy péntek délután feladom az egyiket, szombat délelõtt a másikat, vasárnap a harmadikat. A tudatosítás pedig utólag történik, a feladat megbeszélésekor. Ebben a felépítésben tehát a tanári eligazítással nem kezdõdik, hanem általában végzõdik egy-egy szakasz, amikorra már elegendõ tapasztalat gyûlt össze a gyerekekben, és rájöttek maguktól mindarra, amire rájöhettek.

Az összetartozó dolgokat szeretem egymástól elválasztani, hogy ne legyen nyilvánvaló, mire megy ki a játék. Így is nagy segítség, hogy egymás után, ha más köntösben is, de idõnként megjelennek olyan feladatok, amelyeknél a kísérletezés jó elindulást jelent. A gyerekek felfedezõ munkáját ilyen módon lehet megkönnyíteni (így ezek a felfedezések természetesen nagyon kevéssé mondhatók teljes értékûeknek). Azt külön hangsúlyozni kívánom, hogy nemcsak, és nem is elsõsorban a matematika területeit, hanem a gondolkodás mûvészetét tanítjuk, és ebben a lehetséges gondolkodásmódok tudatosítása – a kísérletezés ezek egyike – nagyon fontos.

Ha egy-egy témából csak ilyen keveset lépünk elõre egyszerre, akkor mivel lehet eltölteni egy teljes délutánt? Egyszerre több téma fut párhuzamosan, olyan ez, mint egy polifon zene... A témák gyakran több táboron keresztül is átívelnek, a gondolkodási módszerekre is újra és újra visszatérünk, mind magasabb szinteken. Amikor egy-egy kis gondolati építõkockát lerakok, már valamilyen elképzelésem van arról, hogy ez mire lesz jó egy-két tábor múlva, mit építek majd erre. Építkezni nem a táblán kell, hanem a gyerekek fejében.

Õrizkedjünk a dogmáktól..., idõnként minden lehet másképpen is. Néha mégis elõadással kezdõdik el valami. Az is lehet, hogy egy délutánt mégis csak egyetlen témával töltünk el, az összetartozó dolgok kivételesen egymás mellé is kerülhetnek. Általában jó, ha a gyerekek szinte korlátlanul gondolkodhatnak a feladatokon, olykor meg attól lesz izgalmas az élet, ha villámkérdéseket kapnak; a csoportmunkát egyéni munkával kell kiegészíteni. Pezsgõ, eleven, sokszínû életet éljenek a táborban a gyerekek, ez is cél. Elõre nem lehet jól megtervezni egy tábort, ott helyben derül ki, sokszor számomra is, hogy most ez a tábor éppen mirõl szól.

Valami nagyon lényegesrõl még nem beszéltem. Nemcsak azt várjuk el a gyerekektõl, hogy mások kérdésein tudjanak önállóan gondolkodni, hanem azt is, hogy legyenek saját kérdéseik is. Nyitott szemmel, kíváncsian nézzenek a világra, és merjenek izgalmas, jó kérdéseket feltenni. Ezt mindig várjuk, de néha kifejezetten ez a feladatuk: itt és itt tartunk, ezt és ezt már tudjuk, most mit kérdeznél, mi a következõ probléma, amit felvethetnénk? Kezdetben úgy néznek rám ilyenkor, mintha megbolondultam volna, nem értik, mit akarok, ilyen furát az iskolában még sose kértek tõlük... Annál nagyobb az öröm, ha egy-egy érdekes kérdésük felkerül az étlapra, és új irányba tereli a munkánkat.

Végül pár szóval érintenék két nagyon fontos, további témát. A felfedeztetõ tanítás vajon csak a tehetséges gyerekek privilégiuma? A többiek érjék be mások utasításainak végrehajtásával? Meggyõzõdésem szerint valamilyen szinten mindenki tud értelmesen, önállóan gondolkodni, és ez a szint fejleszthetõ. Az alkotó munka örömébõl senkit sem szabad kirekeszteni. Munkatársaimmal együtt kidolgoztunk egy, a gimnázium négy évére szóló tankönyvsorozatot, amely ezt a szemléletet követi. Az egyes részek átdolgozása most történik, megjelenésük a következõ két évben várható.

Egyetemisták képzése, tanártovábbképzés, új eszmék terjesztése... A hagyományos tanítási módszerektõl nagyon nehéz megszabadulni, abban nõttünk fel, azt láttuk mindig magunk elõtt. Azzal kísérleteztem egyetemistáknál is, végzett tanároknál is, hogy ugyanúgy bánok velük, mintha gyerekek lennének. Õk is megkapják az építkezõs feladatsorokat, kis csoportokban dolgozhatnak stb. Ezt aztán meg-megszakítom, és elmondom, hogy ha majd gyerekekkel csinálnak valami ilyesmit, akkor mire számíthatnak, mire kell ügyelniük. És azokat az ötleteket is, amelyeket velük már nem lehet eljátszani, de a gyerekekkel még igen.

Amikor a hetvenes években Varga Tamással és lelkes, számomra végtelenül szimpatikus munkatársaival megismerkedtem, a hatásuk alá kerültem, és azt hittem, hogy néhány éven belül a matematika lesz a magyar diákok legkedvesebb tárgya, boldogan és izgatottan fogják várni a matekórákat szerte az országban, mindenütt. Ez lesz az elsõ tárgy, amelyben a fiatalok rendszeresen a saját fejükkel gondolkodhatnak, ezek lesznek azok az órák, amelyeken egyenrangú munkatársak, szellemi partnerek, alkotó emberek lehetnek. Ma már tudom, hogy az ide vezetõ út hosszú és nagyon göröngyös. A vége pedig a beláthatatlan távolba vész.

Ezzel megköszönöm kedves figyelmüket. Köszönöm azt a megtiszteltetést, amelyben az ösztöndíjbizottság és a kuratórium részesített.
 


Természet Világa, 132. évfolyam, 3. szám, 2001. március
http://www.chemonet.hu/TermVil/
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/


Vissza a tartalomjegyzékhez