Az újjáéledt Bolyai-díj

SAHARON SHELAH
Szubjektív bemutatás


Meglepõ, örömteli fordulat a magyarországi matematika történetében: poraiból újjáéledt a Magyar Tudományos Akadémia majdnem száz évvel ezelõtti, a világ legkiválóbb matematikusainak adandó díja, a Bolyai-díj. Kõnig Gyula kezdeményezésére eredetileg 1902-ben hozták létre ezt a díjat, hogy minden ötödik évben „bárhol és bármely nyelven megjelent legkiválóbb” matematikai értekezés szerzõjét aranyéremmel és 10 000 korona pénzjutalommal tüntessék ki. Az elsõ két díjazott Henri Poincaré (1905) és David Hilbert (1910) volt. Az elsõ világháború és a XX. századi magyar történelem késõbbi eseményei elsöpörték a további kiosztásokat. Megjegyzem, talán éppen Poincaré és Hilbert volt az utolsó két matematikus, akiket a kortárs és késõbbi szakmai közvélemény a „legnagyobb”-nak tekintett., Tevékenységük mind mélységében, mind kiterjedésében olyan volt, amit csak egymáshoz lehetett hasonlítani.

A Magyar Tudományos Akadémia 1994-ben döntést hozott a díj felújításáról. Ez tehát független és korábbi az 1997-ben magánvállalkozók által létrehozott, 1999-ben elõször kiosztott Bolyai János Alkotói Díjtól, attól számos paraméterben különbözik. A jelenlegi Bolyai-díjat minden ötödik évben adományozzák egy, az elõzõ 10 évben megjelent, önálló matematikai eredményeket tartalmazó monográfia szerzõjének, olyan bírálóbizottság döntése alapján, melyben egyenlõ számban vesznek részt a Magyar Tudományos Akadémia tagjai és külföldi matematikusok.
Saharon Shelah
Az elsõ kiosztásra 2000. november 4-én került sor. A díjazott Cardinal Arithmetic címû mûve alapján Saharon Shelah, a jeruzsálemi Héber Egyetem professzora.

Saharon Shelah 1945. július 3-án született Jeruzsálemben. Tanulmányait a Tel Aviv-i, majd a jeruzsálemi Héber Egyetemen végezte. Témavezetõi H. Gaifman és M. O. Rabin voltak. Végzése óta a Héber Egyetem munkatársa, amit csak néhány hosszabb külföldi útja szakított meg. 29 évesen lett professzor. Néhány éve az amerikai New Jersey állam egyetemének, a Rutgers Egyetemnek részidõs munkatársa, minden évben két hónapot tölt ott. 1988 óta tagja az Izraeli Tudományos Akadémiának, 1991 óta külföldi tagja az Amerikai Tudományos és Mûvészeti Akadémiának.

Tudományos pályája, vagy helyesebben üstökösszerû emelkedése 1968-ban kezdõdött. Figyelme M. O. Rabin vezetésével a modellelmélet felé fordult, ahol éppen nemrégiben bizonyított be M. Morley – nem éppen könnyen – egy megszámlálható elméletekre vonatkozó eredményt. Ezt Shelah jelentõs nehézségeket leküzdve azonnal általánosította, tetszõleges elméletre. Ezután néhány év alatt kidolgozott egy minden matematikai elméletre vonatkozó klasszifikáció-elméletet. Ez élesen két részre osztja azokat: egyrészt olyanokra, amik dimenzióval vagy más módon egyszerûen leírhatók (mint például a vektorterek), illetve azokra, amelyeknek egy jól meghatározott módon maximális számú modelljük van és nem is jellemezhetõ paraméterekkel. Eredményeit 1978-ban 500 oldalas, ötletes ideákkal sûrûn teleírt könyvben tette közzé.

Shelah ugyancsak korán kezdett érdeklõdni a halmazelmélet iránt. Erdõs Pál és Hajnal András a hatvanas évek végén nevezetes cikkben gyûjtötte össze a kombinatorikus halmazelmélet nyitott kérdéseit, másfél évtizednyi közös kutatásaik nyomán. Shelah majdhogynem egymás után, sorozatban oldotta meg ezeket a nevezetes problémákat, a legtöbb esetben új kutatási irányokat nyitva. Ettõl datálódik Erdõs és Hajnal barátsága és együttmûködése az izraeli matematikussal. A munka Shelahra esõ része legtöbbször az volt, hogy (sokszor teljesen eredeti, új módszer alkalmazásával) megoldotta a felvetett problémát. De nemcsak a kombinatorikus halmazelméletben, majd a halmazelméleti topológiában alkotott nagyot, hanem gyakorlatilag forradalmasította a függetlenségi módszereket. Cohen nyomán ezek mindig egy struktúra („kényszerképzet”) meghatározását követelik, amelynek meghatározott logikai-kombinatorikai tulajdonságai lehetnek.
Laczkovich Miklós
a díjazott munkás-
ságát méltatja
Shelah számára a logikai tulajdonságok meghatározása, változtatása nem jelentett szokatlan feladatot, ugyanakkor rendkívüli invencióval és munkabírással határozta meg, küzdötte le a technikai feladatokat, melynek nyomán (többek között) született egy könyv: Proper forcing (1982). Ennek hatása már rendkívüli: cikkek százaiban használták fel és fejlesztették tovább a módszereket, számos esetben a halmazelmélet legfontosabb problémáinak megoldására. Már itt jelentkezett Shelah néhány jelentõs újítása, köztük a logikai módszerek erõteljes használata halmazelméleti bizonyításokban (elemi részmodell).

Erdõs és Shelah találkozásával kapcsolatban érdemes megjegyezni, hogy míg Erdõs a problémafelvetések, -sejtések géniusza volt, Shelah mindenekelõtt varázslatos megoldó. Shelah mesélte, hogy amikor elõször hallotta az elsõrendû nyelv definícióját, azonnal tudta, hogy az az igazi. Erdõs viszont azt mondta egyszer, hogy sosem barátkozott meg ezzel a fogalommal. Míg Shelah lubickolt a függetlenségi tételek között, Erdõs sosem szerette, ha egy matematikai probléma eldönthetetlen. („A függetlenség ismét fölütötte rút fejét” – szokta volt mondogatni.)

Shelah figyelme 1987 körül fordult a számossághatványozás („számosság aritmetika”) felé. Ez a halmazelmélet centrumának nevezhetõ problémakör számos meglepõ paradigmaváltáson esett át. Cantor eredeti problémája, hogy az általánosított kontinuumhipotézis levezethetõ-e vagy cáfolható-e, eldönthetetlennek bizonyult (Gödel, Cohen). Egy ideig úgy tûnt, hogy a forszolási módszerekkel belátható lesz, hogy az általános probléma esetei függetlenek egymástól. Silver 1974-es felfedezése, majd ennek nyomán Fred Galvin és Hajnal András 1975-ös tétele azt mutatta meg, hogy egyes szinguláris számosságokra a számossághatványozás értéke nem térhet el nagyon az általánosított kontinuumhipotézis általi minimumtól.

Shelah elõször ezeket a tételeket általánosította, majd egy technikailag mély, rafinált módszer kidolgozásával olyan jó becslést sikerült adnia, hogy azt elsõ látásra minden halmazelmélet-kutató hihetetlennek (vagy hibásnak) tartott. E módszert (ami a Bolyai-díjas könyv tárgya), a pcf-elméletet továbbfejlesztve nemcsak a matematika számos ágában ért el gyönyörû eredményeket, hanem kialakított egy meglepõ új képet is, ami szerint noha lehet egy halmaznak nagyon sok részhalmaza, ez csak a rossz kérdésfeltevés következménye. Ha azt nézzük, hogy hány részhalmaz kell ahhoz, hogy bizonyos értelemben mindet megkapjuk, olyan számossághoz jutunk, ami nem lehet tetszés szerinti nagy. Shelah tétele szerint az általánosított kontinuumhipotézis (helyesebben egy ravaszan megfogalmazott változata) mégis igaz. Az új szemléletmód lényege tehát az, hogy a függetlenségi eredményekkel kikutatjuk a helyes abszolút eredményt, amit azután bebizonyítunk.

Gyõry Kálmán megnyitja az ünnepséget. Mellette Keviczky László, Révész Pál,
Rolf Jeltsch és Katona Gyula. (Hámori Erzsébet felvételei)

Nincs mód arra, hogy akár vázlatosan is ismertessem Shelah fontos tételeit az algebra, topológia stb. területén, csak annyit jegyzek meg, hogy sok modellelméleti bizonyítása véges kombinatorikai okoskodás, így nem meglepõ, hogy idõrõl idõre megoldott egy-egy nevezetes véges kombinatorikai problémát is.

E kiváló kutató speciális problémája, hogyan juttassa el bizonyításait matematikus társaihoz. Gondolatainak, ötleteinek sokaságát képtelenség mind leírnia, csiszolt, átgondolt megfogalmazásáról nem is szólva. Dolgozataiban, könyveiben tömören leírt, rendkívül általános bizonyítások sorakoznak, sokszor eredeti, mély ötletet fogalmaz meg néhány sorban. Ezért nehéz, de igen tanulságos olvasmányok az írásai, én is sokat profitáltam belõlük. Természetes, hogy sok cikkében a társszerzõk levették Shelah vállairól a fogalmazás, leírás terhét. Shelah publikációinak listája és számos cikke az interneten is megtekinthetõ.

Shelah matematikai tevékenységét elképesztõ ötletgazdagság jellemzi, ami párosul egy ugyancsak rendkívüli technikai szervezõ és kivitelezõ erõvel. Kedvvel készít bonyolult és még bonyolultabb definíciókat, hogy azután virtuóz módon igazoljon egyes nehezebb tulajdonságokat. (Nekünk, egyszerû földi halandóknak ilyenkor még ezen dilemmák leellenõrzése is nehéz feladat, hiszen a barokkosan bonyolult definíciókat nemigen tudjuk egyszerre a fejünkben tartani.) Elõfordult, hogy egyik-másik bizonyítását bonyolultnak gondoltam, egészen addig, amíg meg nem ismertem a folytatást. Sokszor, amikor megértettem egy-egy definíciót, tételt, hirtelen minden a helyére ugrott. A világ átrendezõdött, s az új rendben korábban távolinak tûnõ eredmények közötti új összefüggések váltak láthatóvá.

Shelah sok magyar matematikussal dolgozott együtt, társszerzõi voltak: Balogh Zoltán, Bíró Balázs, Erdõs Pál, Fuchs László, Hajnal András, Juhász István, Komjáth Péter, Makkai Mihály és Soukup Lajos.

A felújított Bolyai-díjjal Shelah személyében olyan kutatót érdemesítettek, kinek indíttatásában szerepet játszott a magyar matematika, s aki késõbb erõteljesen visszahatott matematikánkra.
 

KOMJÁTH PÉTER

Természet Világa, 132. évfolyam, 1. szám, 2001. január
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/


Vissza a tartalomjegyzékhez