Matematikai problémák a 21. századnak

A bostoni mágnás, Landon T. Clay által alapított Clay Matematikai Intézet (CMI) küldetése: hirdetni a matematikai gondolat szépségét, hatalmát és univerzalitását. E célból a privát, non-profit intézet egyszerre számos programot mûködtet: konferenciákat, nyári iskolákat, elõadás-sorozatot, mûhelyeket szervez. Négy kategóriában, pályájuk különbözõ szakaszán levõ matematikusok rövidebb-hosszabb kutatószabadságát támogatja. Évente egy vagy több matematikust „Clay Mathematics Award”-dal díjaz (az eddigi díjazott A. Wiles, 1999).

Legérdekesebb lépésként a Clay Intézet (egy bizottság választása alapján) kijelölte a mai matematika hét „millenniumi”-nak nevezett problémáját, s mindegyik megoldására 1-1 millió dollárt tûzött ki. Eltérõen Hilberttõl, nem a széles ismertségre méltó kérdések centrumba állítása volt a cél, hanem a legfontosabb, legmakacsabb sejtések kiemelése. Ezek mindegyikén kutatók serege dolgozik, velük az adott terület kutatói naponta szembesülnek. Érdekes és jellemzõ az alkalmazott matematika nagy súlya a problémákban. Az egymillió dolláros problémák kihirdetése ünnepélyesen, 2000. május 24-én Párizsban egy, a matematikai gondolat univerzalitásának szentelt konferencián történt.

1. P=NP. Az elméleti számítógép-tudomány legtöbbet emlegetett, S.Cooktól eredõ problémája azt kérdezi, hogy ha egy probléma (ami minden input esetén igen/nem választ igényel) pozitív megoldása az input hosszának függvényében gyorsan megválaszolható egy alkalmas kiegészítõ input segítségével, akkor ez kiegészítõ input nélkül is megtehetõ. A sejtés szerint ez nem igaz, erre sok tapasztalat mutat és ezen alapszik számos titkosítási módszer. Az elsõ kategóriába esik az a kérdés, hogy adott szám összetett-e, hiszen, ha ismerjük egy osztóját, ez valóban könnyen igazolható, de annak eldöntése többletinformáció nélkül, hogy egy szám összetett, nem tûnik valós idõben megoldhatónak.

2. A Hodge-sejtés. Ahhoz hasonlóan, hogy bonyolult geometriai testek egyszerûbbekbõl építhetõk fel, e sejtés szerint a projektív algebrai varietások az egyszerûbb algebrai ciklusok kombinációi.

3. A Poincaré-sejtés. A topológia e nevezetes problémája szerint, ha egy n dimenziós sokaság úgy néz ki (algebrailag), mint az n dimenziós gömb, akkor az is (topológiailag). Itt a homológia- és homotópiacsoportoknak kell leírniuk a teret. Az 1 és a 2 dimenziós eset már a 19. században ismert volt, a hatvanas években elintézték az 5 és magasabb dimenziós esetet, 1982-ben M. H. Freedman igazolta a 4 dimenziós esetet. Keményen ellenáll a megmaradó eset, amikor tehát a dimenziószám 3.

4. A Riemann-sejtés. Riemann (1826–1866) egyetlen számelméleti cikkében megalapozta a modern prímszámelméletet és kimondta azt a komplex függvénytani hipotézist, amely a mai napig a prímszámokkal kapcsolatos (tehát szinte minden) számelméleti kutatások legfontosabb és legtermékenyebb, a prímszámok lehetõ legegyenletesebb eloszlását állító sejtés. A matematikában sokszor „a legnagyobb”-nak nevezett csúcs ostromlása számtalan, kiváló géniusz teljes életpályáját felemésztette.

5. Yang–Mills-elmélet. A Maxwell-egyenletek általánosításaként kidolgozott Yang–Mills-egyenletek megfelelõek az elemi részecskék kvantumelmélete számára. Ugyanakkor nem ismeretes a tömeggel rendelkezõ, matematikailag kifogástalan megoldás. Speciálisan matematikailag nincs megmagyarázva a „mass gap”-sejtés, amit a fizikusok általánosan elfogadnak és például a kvarkbezárás magyarázatául felhasználnak.

6. Navier–Stokes-egyenletek. E differenciálegyenlet-rendszerek a folyadékok mozgását írják le. Az alkalmazások szempontjából alapvetõ lenne annak megértése, hogyan lehet sima és szabályos egyenletek megoldása szabálytalan, szingularitásokkal rendelkezõ.

7. Birch és Swinnerton-Dyer sejtése. Az algebrai számelmélet, a diofantoszi egyenletek elmélete legfontosabb eszközei az elliptikus görbék. Ezek vizsgálatában centrális eszköz lenne a sejtés, amely a racionális megoldások csoportját kapcsolja össze egy speciális komplex változós függvény analitikus tulajdonságaival.
 
 

KOMJÁTH PÉTER
 
(Ezekrõl és más kérdésekrõl bõvebben tájékozódhat az érdeklõdõ olvasó a Természet Világa Matematika (1998) és Informatika (2000) különszámaiból.)
 
A Hilbert-problémák

Éppen 100 éve, 1900. augusztus -án tartotta David Hilhert "Matematikai problémák" címû elôadását a párizsi matematikai kongresszuson. Az utoLsó "legnagyobb" matematikus, aki a rnatematika minden ágában nagyot alkotott, összefoglalt és programot adott: 23 problémájában megragadta, amit a matematikában legfontosabbnak tartott. Ezek küzül néhány fogalommá vált (az ötödik, a tizedik, a tizenhetedik), volt, ami a 20. század nagy eredményévé lett (a kontinuumhipotézis megoldása, az algoritmikus megoldhatatlan problémaseregek felfedezése, az algebrai számelmélet kialakulása), mások a matematika bizonyos ágainak fejlesztésére hívták fel a figyelmet, ezek azóta megtörténtek (matematikai fizika, logika, valószínûségszámítás), néhány feladat szép, de mégis kevéssé centrális jellegû megoldást kapott (poliéderek átdarabolása), és a számelméleti problémák nagy része továbbra is megoldatlan. A hatalrnas hatás ellenére azt nem mondhatjuk, hogy a 20. század matematikáját egészben vagy akárcsak jelentôs részben ez a problémasereg meghatározta volna és érdekes módon az sem igaz, hogy minden jelentôs sejtés benne lenne: kimaradt például a négyszínsejtés és a Kepler-sejtés.


Természet Világa, 131. évf. 8. sz. 2000. augusztus
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/ 
http://www.ch.bme.hu/chemonet/TermVil/ 


Vissza a tartalomjegyzékhez