ÉRDI BÁLINT:

A sárkány-konfigurációk


A sárkány-konfigurációk a négytestprobléma újonnan meghatározott megoldásai. A háromtestproblémára régóta ismert Lagrange-megoldásokkal együtt ezek jelentik az N-test probléma eddig felfedezett egzakt analitikus megoldásait. 

A centrális konfigurációk problémája

Az N-test probléma az égi mechanika alapkérdése: hogyan mozog N pontszerű test a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerők hatására? A Naprendszerben az égitestek mozgását jó közelítéssel, ezzel a modellel vizsgálhatjuk. Az N=2 esetre a megoldást már Newton meghatározta, ennek matematikai összefüggéseivel lehet leírni a bolygók zavartalan (más bolygók hatásától mentes) mozgását a Nap körül. A köztudatban ezek a szabályok Kepler törvényeiként ismertek. N>2 esetén  már igen nagy nehézségekbe ütközünk. Annak kiszámítása, hogy a bolygók milyen hatással vannak egymásra, komoly matematikai problémákat jelent. Ezzel az égi mechanika egy külön területe, a perturbációszámítás foglalkozik. Alapjait a legnagyobb matematikusok, Euler, Lagrange, Laplace, Gauss fektették le. Ezekkel a módszerekkel olyan összefüggések vezethetők le, melyekkel az égitestek mozgása a megfigyelésekkel összhangban írható le.  Ezek az összefüggések azonban nem egzaktak, csak közelítő jellegűek, így az egyenletekben szereplő konstansokat időnként módosítani kell, hogy a megfigyelésekkel egyező eredményeket kapjunk. A legérzékenyebb bolygó erre a Neptunusz, ennek mozgáselméletén nagyjából száz évenként kell kicsit módosítani. (Érdemes megemlíteni, hogy egy bolygó mozgáselmélete több száz tagból álló egyenleteket jelent, de ez is csak közelítés.) 


1. ábra. A Lagrange-pontok. P1 (pl. a Nap) és P2 (pl. a Föld) mellé egy harmadik P3 testet (pl. egy űrszondát) az Li pontok valamelyikébe kell elhelyezni, hogy Lagrange-megoldás jöjjön létre

    A probléma gyökere az, hogy az N-test probléma N≥3 esetén nem integrálható. N=2 esetén minden lehetséges kezdőfeltételre (kezdeti hely- és sebességkoordinátákra) meg tudjuk mondani, mi fog történni. N>2 esetén azonban általában ez nem lehetséges, nincsenek olyan egzakt összefüggések, melyekből bármely kezdőfeltételre meg tudnánk mondani, milyen pálya fog létrejönni. A XIX. század végén H. Poincaré francia matematikus bizonyította be, hogy a háromtestprobléma nem integrálható. Arra is rámutatott, hogy a háromtestproblémában igen „vad” pályák is kialakulhatnak, megtéve ezzel a kezdőlépéseket a ma „divatos” káoszelmélet felé.
    A kaotikus jelenségek vizsgálata napjaink égi mechanikájának egyik kulcsfontosságú területe. Az égitestek mozgásának a Kepler-törvények által sugallt óraműszerű pontossága egyáltalán nem teljesül, a Naprendszerben lépten-nyomon kaotikus viselkedési formákra bukkanunk. A káoszelmélet alapjául szolgáló Kolmogorov–Arnold–Moser-tétel szerint minden nem lineáris, legalább két szabadsági fokú dinamikai rendszerben reguláris mozgások mellett kaotikus trajektóriák is lehetségesek. A káosz olyan helyeken lép fel, ahol a mozgás igen érzékeny a kezdőfeltételek kis változásaira. Ekkor az egymáshoz igen közeli pontokból kiinduló trajektóriák exponenciálisan távolodnak egymástól (a kaotikus viselkedést éppen ezzel a jelenséggel definiáljuk). Kaotikus tartományban a megoldást nem lehet pontosan kiszámítani sem analitikus, sem numerikus eszközökkel. (Előbbi esetben a megoldást jelentő végtelen sorok divergensek lesznek, míg a numerikus megoldásnál a numerikus integrálás hibája nő exponenciálisan.) Kaotikus tartományban a pályák kaotikusságának mértékét lehet csak jelezni különféle mérőszámokkal. Rövidebb-hosszabb távon a káosz minden égitest mozgását befolyásolja. Legnyilvánvalóbb példa a kaotikus viselkedésre a Szaturnusz egyik szabálytalan, kisméretű holdjának, a Hyperionnak a kaotikus rotációja, mely a pályamenti keringés és a tengelyforgás kölcsönhatásából származik, és amely már néhány hónapos időskálán jelentkezik.
    J. Laskar francia csillagász szerint a Naprendszerben a belső bolygók mozgása is kaotikus. Ez azt jelenti, hogy például ha a Föld valamelyik helykoordinátájában 10 méteres hibát vétünk, másképp fogalmazva két Földet indítunk el 10 méteres különbséggel, akkor 100 millió év múlva ezek 150 millió km-re lesznek egymástól. (A vizsgálatok azt mutatják, hogy az exponenciális hibaterjedés miatt a bolygók mozgásának numerikus integrálással való pontos nyomon követése csak mintegy 20 millió évre lehetséges.) Szintén Laskar nevéhez fűződik az a széles körben ismert eredmény, hogy a Hold szerepet játszhatott a földi élet kialakulásában azáltal, hogy jelenlétével stabilizálja a Föld tengelyforgását. A Hold nélkül felborulna a földi éghajlat, a forgástengely dőlésszögének kaotikus ingadozása miatt.
    Az említettek fényében nagy jelentőségű az N-test probléma centrális konfigurációinak vizsgálata. Egy nem integrálható probléma esetén a periodikus megoldások jelenthetik az egyedüli egzakt megoldásokat, melyek tetszőlegesen hosszú ideig érvényesek, ezek mintegy kirajzolják a probléma csontvázát. A centrális konfigurációk speciális periodikus megoldások. Centrális konfiguráció akkor jön létre, ha minden egyes testre ható eredő erő átmegy a rendszer tömegközéppontján. Ekkor a testek mindegyike a tömegközépponthoz képest Kepler-féle mozgást végez. A mozgás során a testek konfigurációja állandó, a testek által formált alakzat foroghat és méretét változtathatja, ám mindig önmagához hasonló marad. Donald G. Saari amerikai matematikus a centrális konfigurációkat a XXI. század problémájának nevezi. Szerinte ahhoz, hogy egy probléma ezt a minősítést kiérdemelje, három feltétel szükséges: legyen alapvető jelentőségű, nehéz legyen megoldani, amit az jelez, hogy sok kiváló elme kudarcot vallott vele, és a probléma lényege könnyen megérthető legyen a nem szakemberek számára is. A centrális konfigurációk problémája ilyen.


2. ábra. A sárkány-alakzatok. Balra a konvex, középen és jobbra az első, illetve második konkáv konfiguráció. E és E’ az egyenlő tömegű testeket jelölik, α és β az A , illetve B test szögkoordinátája. A C pont az E, E’, A testek tömegközéppontját jelöli



    Ugyanakkor a probléma nem új. N=3 esetére a centrális konfigurációkat már régóta ismerjük. 1767-ben L. Euler felfedezte, hogy három test mozoghat úgy, hogy közben mindig egy egyenes fektethető rajtuk keresztül, ezek az egyenes vonalú Euler-megoldások. 1772-ben Lagrange általánosabban megmutatta, hogy a három Euler-féle eset mellett három test úgy is centrális konfigurációt alkothat, hogy közben egyenlő oldalú háromszögek csúcsaiban helyezkednek el. Ez két további esetet jelent. A háromtestproblémában tehát öt centrális konfiguráció létezik, ezeket Lagrange általánosabb tárgyalásmódja miatt Lagrange-megoldásoknak nevezik. Az 1. ábrán ezeket az Li pontok jelölik. A P1, P2 testek mellé P3-at az Li pontok valamelyikébe kell tenni, hogy Lagrange-megoldás jöjjön létre. A tömegek tetszőlegesek lehetnek. P1 és P2 helyzetének ismeretében az L4 és L5 pontok helyzete egyértelmű, azonban a probléma nehézségére jellemző, hogy az L1, L2, L3 pontok helyzetét egy-egy ötödfokú algebrai egyenletből kell kiszámítani. A megoldás a helykoordinátákra tehát egyedül a Lagrange-féle háromszög-megoldások esetén explicit.  A testeket a megfelelő pozícióba helyezve, és ezeknek olyan kezdősebességet adva, melynek nagysága a tömegközépponttól számított távolsággal arányos, iránya pedig minden test esetén a helyvektor irányával azonos szöget zár be, a három test centrális konfigurációnak megfelelő mozgást fog végezni.
   N≥4 esetén az egyenlő tömegeket tartalmazó szimmetrikus elrendezéseken kívül keveset tudunk a centrális konfigurációkról.  N=4 esetén egy térbeli megoldás létezik, négy egyenlő tömeg egy szabályos tetraéder csúcsaiban elhelyezkedve alkothat centrális konfigurációt. Az N-test problémában a centrális konfigurációk fontos szerepet játszanak. Kimutatták, hogy tömegpontok ütközésekor a rendszer centrális konfiguráció felé tart (ez lehet úgy, hogy minden tömegpont ugyanazon időpontban egy pontba esik össze, vagy ugyanazon időpontban több különböző pontba). Másfelől a végső mozgások is (egyre növekvő időtartamokra) centrális konfigurációk felé tartanak. Ha minden testnek azonos lenne a szögsebessége, és így a rendszer merev testként forogna, akkor is centrális konfiguráció valósulna meg. Maxwell (aki ekkor már elektromágneses kutatásain dolgozott) 1855-ben így magyarázta a Szaturnusz gyűrűinek stabilitását (a gyűrűk azonos tömegű sziklákból vagy holdakból állnak, melyek egyenletesen oszlanak el a gyűrűk mentén), és ezzel elnyerte az Adams-díjat (amit J. C. Adams tiszteletére alapítottak, aki U. J. Leverrier mellett szintén előre jelezte az új bolygót, a Neptunuszt). A centrális konfigurációknak tehát alapvető szerepük van az N-test rendszerek viselkedésének megértésében, és a részeredmények is fontosak lehetnek. S. Smale amerikai matematikus a XXI. század legfontosabb matematikai problémainak listáján szerepelteti annak a kérdésnek a vizsgálatát, hogy minden N-re véges-e a centrális konfigurációk száma (tetszőleges tömegek mellett)?
    Az utóbbi évtizedben, nem utolsósorban Saari és Smale inspiráló cikkeinek hatására, megújult lendülettel folyt a centrális konfigurációk kutatása, azonban csak részeredmények születtek, igazi áttörés nem következett be.

3. ábra. A konvex esetben az A test szögkoordinátája 30-60 fok, a B testé 15-60 fok között változhat. Az A test helyzetét rögzítve a B test egy széles tartományban változtathatja helyét, ezt az ábrán a szaggatott kék vonalak jelzik

Tengely­szimmetrikus centrális konfigurációk a négytest­problémában

Ennek a problémakörnek a vizsgálatához járultunk hozzá a Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy folyóiratban megjelent cikkünkkel (Érdi és Czirják 2016). Ebben teljes megoldást adtunk a síkbeli négytestprobléma centrális konfigurációinak problémájára egy olyan  szimmetrikus esetben, amikor két test tömege egyenlő, a másik két test pedig az első kettőt összekötő szakasz felező merőleges egyenesén, mint szimmetriatengelyen foglal helyet. A négy test tehát egy deltoid csúcsait alkotja, innen ered a sárkány-konfiguráció elnevezés. A két egyenlő tömeg szimmetrikusan helyezkedik el a szimmetriatengelyhez viszonyítva. (Léteznek más szimmetrikus konfigurációk is, amikor két-két egyenlő tömeg egy szimmetrikus trapéz csúcsait alkotja, ezeket azonban nem vizsgáltuk.) A megoldás lényege az, hogy a szimmetriatengelyen elhelyezkedő testek pozícióját a külső testekhez képest szögkoordináták adják, és ezek egyszerű analitikus kifejezései szolgáltatják azokat a tömegeket, melyekkel az adott konfiguráció centrális lesz.  A derékszögű helykoordinátákra és a tömegekre levezetett egyszerű egyenletek explicit, egzakt analitikus megoldásokat jelentenek a négytestproblémára. Érdemes ezt azzal összevetni, hogy a háromtestprobléma Lagrange-megoldásai közül csak a háromszög-megoldások explicitek, ekkor tudjuk pontosan a testek koordinátáit, már az egyenesvonalú megoldások esetében is, mint korábban említettük, egy-egy ötödfokú algebrai egyenletet kell megoldani a testek koordinátáinak meghatározásához.
    A centrális konfigurációk vizsgálatakor a fő nehézséget az okozza, hogy az eredő erők centralitását kifejező egyenletekben az ismeretlenek (a koordináták és a tömegek) igen bonyolultan vannak jelen, törtkifejezések nevezőinek törtkitevőjű hatványaiban. Az eddigi vizsgálatokban ezt úgy próbálták áthidalni, hogy ismeretlennek a testek közti távolságokat és a testek, mint csúcsok által meghatározott háromszögek területeit tekintették a koordináták helyett. Ez az út azonban igen bonyolult egyenletekre vezetett, melyeknek vizsgálata még numerikusan is nehéznek bizonyult. Az áttörést az az ötlet hozta meg, hogy a szögkoordináták bevezetésével a nevezők egyszerűvé, és a tömegektől függetlenné váltak, ez pedig megnyitotta az utat az inverz probléma vizsgálatához: nem azt kell nézni, hogy adott tömegeket hova kell elhelyezni, hanem azt, hogy adott helyhez milyen tömegek tartoznak. Inverz problémákat korábban is vizsgáltak, de azok éppen olyan bonyolultak voltak, mint a direkt problémák. A szögkoordináták bevezetésével azonban az inverz probléma egyszerűvé válik, a tömegekre egyszerű másodfokú egyenletek adódnak, melyekre analitikus megoldás vezethető le (mivel az együtthatók a szögek trigonometrikus függvényei, a levezetés sok ötletet igényel).  Ezekből az analitikus megoldásokból a teljes probléma feltérképezhető, minden lehetséges konfigurációt meg lehet adni. (Ez jól mutatja az analitikus megoldások előnyét a numerikusokkal szemben: a numerikus megoldás mindig csak egy részmegoldást jelent, az analitikus pedig az összeset megadja.)

4. ábra. Az első konkáv esetben az A test szögkoordinátája 45–60 fok, a B testé 0–30 fok között változhat. Itt is A minden helyzetéhez a B pozícióinak egy kiterjedt tartománya tartozik

    Alapvetően háromféle sárkány-konfiguráció létezik, egy konvex, amikor a négy test konvex deltoidot alkot (a szimmetriatengelyen lévő testek a két egyenlő tömeget összekötő szakasz két oldalán helyezkednek el), és két konkáv, amikor a testek a szimmetriatengelyen az egyenlő tömegekhez képest egy oldalon vannak. A két konkáv esetet az különbözteti meg, hogy a két egyenlő tömegű test (E és E’) és a szimmetriatengelyen lévő külső test (A) közös tömegközéppontjához (C) képest a negyedik testet (B) hova helyezzük (C-hez képest „balra” vagy „jobbra”) (2. ábra). Mindegyik esetben a szögkoordináták csak bizonyos tartományokban változhatnak (tehát a sárkány alakja nem lehet akármilyen), és a lehetséges centrális konfigurációk egyetlen paramétertől függő családokként írhatók le. A megoldás az egyes testekre az össztömeghez viszonyított tömegarányokat ad, így egy adott konfiguráció végtelen sok tömeg esetén megvalósulhat, ha ezek aránya megfelelő.
    A konvex esetben az α szög 30˚ ̶ 60˚, β 15˚ ̶ 60˚ közötti értékeket vehet fel oly módon, hogy α-t egy 30˚+κ értéknél rögzítve  β a 30˚-κ és 30˚+2κ közti tartományban változhat, ahol κ 0˚ és 15˚ közé esik. Minden α-hoz végtelen sok β rendelhető, tehát végtelen sok konvex konfiguráció létezik (3. ábra).  Egy adott κ-család esetén β növelésével a tömegek úgy változnak, hogy kezdetben az össztömeg az egyik (az ábrán A-val jelölt) testbe koncentrálódik, majd ennek tömege csökken, a másiké (B) nő, míg egyenlőkké nem válnak. (Feltehető, hogy A a nagyobb tömegű test. Ha B tömege lenne nagyobb, az a szimmetria miatt nem jelentene új konvex konfigurációt.)  A család két-két egyenlő tömegből álló, rombusz alakú konfigurációban végződik. Ha mindkét szög 45˚, a konfiguráció négyzet, ekkor mind a négy tömeg egyenlő. Ha κ értéke 0˚-hoz közeli, B tömege mindig igen kicsi, határesetben pedig (κ=0˚-ra) a konfiguráció átmegy a Lagrange-féle szabályos háromszög megoldásba (B tömege 0 lesz, a többi három test alkotja a háromszöget).
    Az első konkáv esetben α 45˚–60˚, β 0˚–30˚ közötti értékeket vehet fel úgy, hogy α-t 45˚+κ-nál rögzítve β 0˚-2κ között változhat (κ mind a konvex, mind a konkáv esetekben
    0˚–15˚ közti érték lehet) (4. ábra). Egy adott κ-család esetén a tömegek úgy változnak, hogy az A test tömege 0-ról indulva β növekedésével elér egy maximumot, majd lecsökken 0-ra. B tömege egy minimális értékről indul, mely β növekedésével 1-hez tart. B kezdeti minimális értéke κ-tól függ, 1-től indul (κ=0˚) majd κ növekedésével csökken és 0-hoz tart. Minden családnál a kiinduló konfiguráció egy Euler–Lagrange-féle egyenesvonalú megoldás, melyet a két egyenlő tömegű test és B valósít meg, hiszen A tömege 0.

5. ábra. A második konkáv esetben az A test szögkoordinátája 60–75 fok, a B testé 30–60 fok közötti értékeket vehet fel. Az A és B testek pozíciói a korábbiakhoz hasonló módon változnak

    
    A második konkáv esetben α 60˚– 75˚ β 30˚– 60˚közötti értékeket vehet fel úgy, hogy α-t 60˚+κ-nál rögzítve β 30˚+2κ és 60˚ között változhat (5. ábra). Egy adott κ-család esetén az A test tömege hasonlóan változik, mint az első konkáv esetben. B tömegének változása azonban ellentétes, értéke 1-ről indul és β növekedésével egy minimális értékhez tart. Ez a minimum κ növekedésével 1-ről csökken 0-ra. Minden családnál a befejező konfiguráció egy Lagrange-féle háromszög-megoldás, mely a két egyenlő tömegű testből és B-ből áll.

    A konkáv konfigurációk egy speciális esete az α=60˚, β=30˚ elrendezés. Ekkor B a másik három test által alkotott háromszög súlypontjában van, és mivel ezek jelen esetben egyenlő tömegűek, a súlypont tömegközéppont is. A tömegközéppontban helyet foglalva B tömege tetszőleges lehet, így az is előfordulhat, hogy mind a négy tömeg egyenlő, vagy B tömege igen nagy, a másik háromé pedig igen kicsi (lásd Maxwell és a Szaturnusz-gyűrűk). Négy egyenlő tömeg esetén egyébként három konfiguráció lehetséges. Egyrészt a már említett, két szabályos eset (négyszög és egyenlő oldalú háromszög), míg a harmadik megoldást az α=61˚,18 β=33˚,04 (közelítő) értékeknél kapjuk.

Mit hoz a jövő?

Mint látható, a sárkány-konfigurációk igen változatosak, melyek határesetként tartalmazzák a háromtestprobléma Lagrange-féle megoldásait is. Megismerésük egy olyan területre nyújtott betekintést, mely korábban ismeretlen volt. Ez azonban csak a kezdet, a kapott megoldás széles távlatokat nyit a további kutatások számára. Jelenleg nem látható pontosan, hogy ezek milyen irányokban folytatódnak, néhány példát azonban lehet említeni. Nem tudjuk még, milyenek a stabilitási viszonyok, melyek a stabil és instabil konfigurációk. Érdekesek lehetnek az egyensúlyi pontok körüli mozgások is. A sárkány-konfigurációk kiindulópontot jelenthetnek a centrális konfigurációk további eseteinek vizsgálata számára, akár négy, akár több test esetén. Talán űrhajózási alkalmazások is lehetségesek lesznek.. A jövőt illetően érdemes a Lagrange-megoldások példáját feleleveníteni.

A SMART–1 szonda

    Több mint 130 év telt már el a Lagrange-megoldások megtalálása után, amikor 1906-ban M. Wolf Heidelbergben felfedezett egy szokatlanul távoli kisbolygót, melyet röviddel később C. Charlier, a kor neves égi mechanikusa a Nap–Jupiter-rendszer L4 Lagrange-pontja közelében mozgó égitestként azonosított. A kisbolygó az Achilles nevet kapta, és ez lett az első természetben előforduló példa a Lagrange-megoldásokra, egyben az első ismert képviselője a trójai kisbolygók ma már több, mint 6000 tagot  számláló családjának (2016. májusi adat: 4084 L4 és 2201 L5 körüli kisbolygó kering  a Nap–Jupiter-rendszerben). A nagybolygók többségének van trójai kísérője: a Földnek egy (a 2010 TK7 jelű kisbolygó az L4 körül), a Marsnak négy, az Uránusznak egy, a Neptunusznak 12 ilyen útitársa van  (a trójai elnevezés arra utal, hogy ezen kisbolygók egy részét a trójai háború szereplőiről nevezték el). A Szaturnusz esetében trójai kisbolygót még nem találtak, ám holdjai közül a Dione-nek egy, a Tethys-nek két trójai társa van. Az exobolygók esetében is napirenden szerepel a trójai exobolygók vagy holdak utáni kutatás, s bár ilyet még nem találtak, sok cikk foglalkozik kimutatásuk lehetséges módszereivel. A Lagrange-megoldások tehát a gyakorlati csillagászati vonatkozásokban fontos szerephez jutottak.
    A Lagrange-megoldások egy másik alkalmazása az űrkutatással kapcsolatos. A Nap–Föld- rendszerben az L1 és L2 Lagrange-pontok (melyek mintegy 1,5 millió km-re vannak a Földtől a Nap irányában, illetve a Földnek a Nappal átellenes oldalán) űrobszervatóriumok helyéül szolgálhatnak.  Az L1 pontból előnyös a Nap–Föld-rendszer megfigyelése (példaként lehet említeni az ISEE–3, ACE, SOHO, LISA Pathfinder műholdakat, utóbbi gravitációs kutatással foglalkozik), az L2 pont pedig űrobszervatóriumok telepítésére alkalmas a nagy látómező miatt (innen nézve a Nap, Föld, Hold közel egy irányban látszik). Ismert példák a WMAP, a Herschel- és a Gaia űrtávcsövek, illetve a tervezett James Webb-űrteleszkóp és a PLATO. Valójában ezek az űreszközök az L1 és L2 pontok körüli kváziperiodikus pályákon keringenek, melyeket időnként korrigálni kell.
    Az L1 és L2 pontok instabilak, így végtelen sok pályán lehet e pontok felé eljutni, illetve onnan eltávozni (ezek kapcsolatban állnak a Poincaré-féle „vad” pályákkal), és igen kis energiaráfordítással lehet egyik pályáról a másikra áttérni. A Lagrange-pontok tehát a minimális energiájú pályák lehetőségét kínálják, cserébe azonban a menetidő igen hosszú. A gyakorlatban is használják már a bolygóközi szupersztrádát (ITN=Interplanetary Transport Network). A NASA Genesis szondája 2001-től 2 évig a Nap–Föld-rendszer L1 pontja körül gyűjtötte a napszél anyagát, majd átirányították az L2 pontba, végül visszatért a Földre. 2003–2006-ban az ESA ionhajtóműves SMART–1 szondája a Föld–Hold-rendszerben használta ki az L1 és L2 pontokhoz kapcsolódó minimális energiájú pályák által nyújtott előnyöket.
    A sárkány-konfigurációk lehetséges alkalmazásainak feltárása a jövő feladata.

 

 Irodalom

 
B. Érdi, Z. Czirják: Central configurations of four bodies with an axis of symmetry.Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2016, Vol.  125, 33-70.

D.P. Hamilton: Celestial mechanics: Fresh solutions to the four-body problem. Nature, 2016, Vol. 533, 187-188.

D.G. Saari: Central configurations – a problem for the twenty-first century. Exped. Math. MAA Spectrum, 2011, 283-295.

S. Smale: Mathematical problems for the next century. Math. Intell., 1998, Vol. 20, 7-15.



Természet Világa, 147. évfolyam, 7. szám, 2016. július
http//www.termeszetvilaga.hu/