125 éve született Pólya György, de munkássága ma is hatással van a matematikusok, a matematikatanárok hétköznapjai-
ra. Kiváló tudós és nagyszerű tanáregyéniség volt, aki maradandót alkotott mind a tudomány, mind a matematika tanítása területén. Neve összeforrt a modern heurisztikával, a felfedezés tudományával. Heurisztikus módszerét ma már nemcsak a matematikában és a természettudományokban, hanem minden kutatási eljárásban alkalmazzák. Matematikai heurisztikával foglalkozó könyvei több mint 60 év távlatából is aktuálisak és iránymutatóak.

A matematika különböző területeivel foglalkozott: kombinatorikával, valószínűség-számítással, valós és komplex függvényekkel, analízissel, geometriával, számelmélettel, az algebrai egyenletek elméletével, matematikai fizikával.  

250 cikke és társszerzőkkel együtt 10 könyve, illetve monográfiája jelent meg, közülük számosat több nyelvre lefordítottak. Összegyűjtött műveit négy kötetben adták ki Cambridge-ben 1974 és 1984 között.

A tanárok számára magyarra lefordított, matematikatanítással foglalkozó könyvei a legismertebbek: A gondolkodás iskolája, A problémamegoldás iskolája, A matematikai gondolkodás művészete (Indukció és analógia, A plauzíbilis következtetés), Matematikai módszerek a természettudományokban. 

Pályája
Pólya György 1887. december 13-án született Budapesten. Édesapja, Pólya (Pollák) Jakab kiváló közgazdász volt; számos könyvet írt, az MTA levelező tagjává választották. Édesanyja Deutsch Anna. 

Hatan voltak testvérek, négy fiú és két lány. Testvérei közül kiemelkedő munkásságot fejtett ki a matematikához is erősen vonzódó Pólya Jenő sebészprofesszor (1876–1944?), akiről sebészi eljárást neveztek el. 

Középiskolai tanulmányait a híres II. kerületi Markó utcai főreáliskolában folytatta. 1905-ben érettségizett. Beke Manó tanította matematikára, aki a XX. század elején a magyarországi matematikatanítási reformtörekvések „frontembere” volt, ő képviselte hazánkat nemzetközi szinten is. 

Diákkorában Pólya jó volt matematikából is, fizikából is. Bár kedvelte a matematikát, szeretete nem volt kizárólagos. A földrajz, a latin nyelv, a magyar nyelv és az irodalom is a kedvencei közé tartozott. Kétszer is indult az Eötvös (mai nevén Kürschák) Matematikai Tanulóversenyen, de nem ért el különösebb eredményt.

Széles körű érdeklődése és a szülői ház kívánsága is tükröződött pályaválasztásában. Egyetemi tanulmányait orvostanhallgatóként kezdte el, fél évig jogot hallgatott, majd magyar, latin és görög nyelvszakos volt, 1907-ben pedig filozófiát tanult. Az alapvizsga letétele után fordult újra érdeklődése a matematika felé. 

A későbbiekben úgy jellemezte magát, hogy nem volt elég jó a fizikához, de túl jó volt a filozófiához, és a matematika a kettő között helyezkedik el.

A budapesti tudományegyetemen Fejér Lipót és Eötvös Loránd tanítványa volt. Az 1910-es évek elején több félévet töltött ösztöndíjasként külföldi egyetemeken: Bécsben (1910–1911) és Göttingenben (1912–1914).

Göttingen ebben az időben is a világ egyik vezető matematikai központja volt. Itt tanított Félix Klein, D. Hilbert, O. Toeplitz. H. Weyl, C. Carathéodory, E. Hecke, C. Runge, L. Prandtl, akik hatottak későbbi munkásságára.

Már egyetemi hallgatóként is publikált külföldi tudományos folyóiratokban, és közvetlenül az egyetemi tanulmányainak befejezése után, 1912-ben benyújtotta A valószínűség-számítás néhány kérdéséről és bizonyos velük összefüggő határozott integrálokról című doktori disszertációját. A disszertáció érdekessége, hogy benne olyan elméleti kérdésekkel is foglalkozott például, hogy milyen eseményeknek tulajdoníthatunk valószínűséget, mi legyen a valószínűség fogalmának intuitív megfelelője. 

Az 1914-es évet Pólya Párizsban töltötte. Itt H. Poincaré, J. Hadamard, É. Picard, É. Borel, É. Cartan, H. Lebesgues a tanítómesterei. Hadamard volt rá döntő hatással. 

Az első világháború kitörése után nem tért vissza Magyarországra, mert kilátástalannak tartotta a magyarországi állásviszonyokat és bizonytalannak a politikai helyzetet. Önkéntesként bevonult katonának a hadseregbe, onnan lábsérülése miatt elbocsátották.

1914-től 1940-ig a zürichi műegyetemen (ETH) tanított és kutatott. 1928-ban nevezték ki egyetemi tanárnak. Tanított erdészeket, mérnököket, vegyészeket, építészeket. Zürichben együtt dolgozott A. Hurwitzcal és H. Weyllel. 1919-től tartott tanár-továbbképzéseket. 1921-ben Németországban tett tanulmányutat.

1918-ban megnősült, feleségül vette Weber fizikaprofesszor lányát, Stella Vera Webert. 1924-ben jelent meg a Szegő Gáborral közösen írt Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis című könyvük két kötetben. Ez a könyv a XX. század egyik klasszikus analízis tankönyve, de a feldolgozásban már megjelentek a heurisztika elvei. 

1935-ben jelent meg Hardy–Littlewood–Pólya Egyenlőtlenségek (Inequalities) című könyve, amelyben a szerzők az analízisben szereplő fontos egyenlőtlenségeket tárgyalták. 

1940-ben barátja, Szegő Gábor meghívására a fasizmus elől kivándorolt az Egyesült Államokba. Négy nyelven folyékonyan adott elő. Eredetiben olvasta – a magyaron kívül – a német, angol, latin, görög, francia és olasz nyelven írt műveket. 

Először a Rhode Island-i Brown Egyetemen tanított, utána a Smith College vendégprofesszora volt. 1942-től a Stanfordi Egyetemen professzor. 1953-ban vonult nyugdíjba, de egyetemi előadásait és kutatómunkáját ezután is folytatta.

Egyre növekvő energiával fordult a matematikatanítás kérdései felé. Beteljesedett egykori matematikatanárának, későbbi professzorának, Beke Manónak a jóslata: „Úgy, úgy, maga a filozófiától jön a matematikához. Vissza fog térni a filozófiához. De ne térjen vissza túl korán.”

A középiskolai tanárok számára feladatmegoldó szemináriumokat vezetett és elkészítette a Tanítsunk meg sejteni című díjnyertes oktatófilmet. Türelmes, jó pedagógiai érzékű, színészi képességekkel megáldott tanáregyéniség volt. Idős korában egyre többet foglalkozott a középiskolai tanárképzés reformjával. Szerinte azért nem szeretik az emberek a matematikát, mert általában rosszul tanítják. Ha viszont jól tanítják a matematikát, akkor szeretni fogják. Az iskola célja az legyen, hogy a gyerek belső erőforrásait fejlessze és ne csak tényeket vagy kész dolgokat adjon elő. 

Legutolsó egyetemi előadás-sorozatát 91 éves korában tartotta kollégái számára. 

A Stanfordi Egyetem professzor emeritusa 1985. július 7-én, 97 éves korában halt meg Palo Altóban.

Több akadémia választotta tagjává. Magyarországi látogatásakor az MTA tiszteletbeli tagjává választotta. Az ICME–6 (1989) kongresszusra emlékérem készült a tiszteletére.

A Pólya-emlékérem

Emlékét viseli a SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) kombinatorikai Pólya-díja, az Amerikai Matematikai Társulat Pólya-díja, amellyel a College Mathematics Journal ismeretterjesztő cikkeit díjazzák, a London Mathematical Society Pólya-díja, a veszprémi Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kara Pólya György-díja a matematikatanárok tehetséggondozás területén elért eredményeiért és a 29646 Polya kisbolygó, amelyet 1998. november 16-án fedezett fel P. G. Comba, és a kisbolygó övben kering.

Munkássága

Kutatási területei: valószínűségszámítás, valós és komplex függvénytan, kombinatorika, számelmélet, geometria, modern heurisztika.

Kutatásai közül például a Pólya-féle elosztás, a bolyongási problémák, a Pólya-féle heurisztika ma már az egyetemi tananyag részét képezik.

Foglalkozott a komplex számsíkon definiált hatványsorok, a hatványsor együtthatói és a hatványsor által meghatározott függvények bizonyos tulajdonságai közti összefüggések, illetve a függvények és deriváltjaik gyökhelyei közti összefüggések vizsgálatával. 

Tudományos munkásságának egyik jelentős eredménye a valószínűség-számítással kapcsolatos. Valószínűség-számítási vizsgálataiban nemcsak elmélettel, hanem gyakorlati kérdésekkel is foglalkozott, például az állócsillagok és egyes növények térbeli eloszlásával, a járványterjedés kérdéseivel, az arányos választási rendszerrel és a kereskedelmi reklámok valószínűség-számítási vonatkozásaival. 

Kutatási stílusának jellegzetességei hamar jelentkeztek, legtöbbször olyan ismert konkrét esetekből indult ki, amelyek elvezettek az általános módszerhez, majd újabb speciális problémákhoz. Sokszor visszatért egy-egy témához. Kutatási elveit a későbbiekben beillesztette heurisztikai rendszerébe. 

A modern heurisztikai módszer alapjait saját tapasztalataiból szűrte le. Saját gyakorlata alapján kristályosította ki a felfedezés és feltalálás alapelveinek a szabályait, a jó tanácsokat, a problémamegoldás általános stratégiáját.

„Egyetemi hallgató voltam és egy gimnazistát vizsgára készítettem elő. Éppen valami térmértani feladatot magyaráztam, amikor elvesztettem a fonalat, megakadtam. Falba tudtam volna verni a fejemet, hogy ilyen egyszerű példánál csődöt mondtam. Másnap aztán nekifeküdtem és olyan alaposan dolgoztam ki a megoldást, hogy többé el ne felejthessem. Megpróbáltam intuitív módon elképzelni a megoldás természetes fejlődésmenetét, a benne rejlő gondolatok láncolatát. Végül is a problémamegoldási folyamat mértani ábrázolásához jutottam. Ez volt az első felfedezésem a problémamegoldásban és innen ered egész életemre szóló érdeklődésem iránta.” 

Nagyon nagy sikert aratott a Szegő Gáborral (1895–1985) közösen írt első könyve: a Feladatok és tételek az analízis köréből (Zürich, Berlin, 1924), ami a heurisztikus szemléletmód szellemében íródott. A Bevezetésben a szerzők is kiemelték, hogy „Ez a könyv nem csupán egyszerű feladatgyűjtemény. Legfontosabb vonása az anyag módszeres elrendezése, melynek célja az, hogy az olvasót önálló munkára ösztönözze és hasznos gondolatokat sugalljon neki. Több időt, gondot és aprólékos munkát szenteltünk annak, hogy megtaláljuk az anyag leghatékonyabb bemutatását, mint amennyit a beavatatlan az első pillantásra feltételezne. A tényszerű ismeretek közlése számunkra másodlagos szempont. Célunk mindenekelőtt, hogy kialakítsuk az olvasó helyes szemléletét, a gondolkodás egy bizonyos rendszerezettségét, amely a matematikában talán még lényegesebb, mint más tudományokban.

A helyes gondolkodás törvényeinek az elméleti ismeretek helyett az embernek a húsába és vérébe kell beszívódniuk ahhoz, hogy azonnal és ösztönösen használni tudja azokat. Ezért az ember gondolkodási képességének a fejlesztésére csak a gondolkodás gyakorlása lehet hasznos.

Az ember szeretne mindent megérteni: az elszigetelt tényeket egybevetve a vele összefüggő tényekkel, az újonnan felfedezettet a már ismerttel való kapcsolatán keresztül, az ismeretlent a megszokotthoz való hasonlóság alapján, a speciális eredményeket általánosítás útján, az általános eredményeket megfelelő specializálás segítségével, az összetett helyzeteket alkotó részeikre bontva és a részleteket egy átfogó teljes kép keretébe foglalva.”

Kiemelnék még egy szempontot mint hasznos elvet a tanárok számára: 

„Gyakran keletkeznek új eredmények abból is, ha munkánk iránya egybeesik egy nevezetes speciális esettel. Párhuzamok vonása is értékes módszer, amellyel új eredményeket lehet származtatni. Az olyan ötlet, amely csak egyszer használható, csak trükk. Ha többször is fel lehet használni, akkor módszer lesz belőle.” 

Pólya György Amerikában is együtt dolgozott Szegő Gáborral. Közös kutatási eredményeiket az Izo­perimetrikus egyenlőtlenségek a matematikai fizikában (Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics,1951) című könyvükben foglalták össze. 

 

Szegő Gábor

A gondolkodás iskolája (How to solve it?) című könyvében Pólya lényegében azt elemzi, hogyan lehet eljutni bármilyen feladat vagy tudományos probléma megoldásához. A könyv belső borítóján találjuk meg feladatmegoldással kapcsolatos kristálytiszta, tömör és alapvetően fontos útmutatásait.

A gondolkodás iskolája 1945-ben jelent meg és útmutatásai ma is aktuálisak. Érdekessége egyrészt az, hogy Lakatos Imre fordította magyarra, másrészt, hogy bestsellerré vált: a repülőtereken, pályaudvarokon a legkeresettebb „know-how” könyvek közé tartozott. Azóta is rendszeresen kiadják, legalább 16 nyelvre fordították le, és több mint egymillió példányszámban jelent meg. 

Pólya György kutatómunkája során felhasználta óriási és szerteágazó tanítási tapasztalatait. Elsősorban a kézzelfogható és gyakorlati oldalt hangsúlyozta.

„Bármilyen probléma megoldása valamilyen nehéz helyzetből kivezető út megtalálását, valamilyen akadály megkerülését jelenti, olyan cél elérését, amelyhez egyébként közvetlenül nem tudtunk volna eljutni. A probléma megoldása az értelem jellegzetes teljesítménye, és az értelem az emberiség jellegzetes képessége: tulajdonképpen a problémamegoldás a legjellemzőbben emberi tevékenység.

A problémamegoldás csakúgy gyakorlat kérdése, mint az úszás, sízés vagy zongorázás. Megtanulni is csak utánzás és gyakorlat útján lehet. Nem adhatok bűvös kulcsot, amely minden ajtót megnyit, és minden problémát megold, de adhatok utánozható jó példákat és sok alkalmat a gyakorlásra. Aki úszni akar tanulni, annak vízbe kell ugrania, aki problémákat megoldani akar megtanulni, annak a problémák megoldását kell gyakorolnia.”

Egy matematikai probléma megoldásának négy lépését fejti ki részletesen a könyvben. Ezek a következők: 1. Értsd meg a problémát! 2. Készíts tervet a probléma megoldására! ( Keress összefüggést az adatok között. Ha nem találsz közvetlen összefüggést, nézz segédfeladatok után. Végül készítsd el a megoldás tervét.) 3. Hajtsd végre a tervedet! 4. Vizsgáld meg a megoldást!

A könyv hasznos stratégiagyűjteményt is tartalmaz. Bemutatja a ma már sokszor alkalmazott fordított irányú (backwards) bizonyítási stratégiát. 

Pólya György problémamegoldásra, a heurisztikára vonatkozó nézeteit a későbbiekben tanítványai – például Alan Schoenfeld, Lakatos Imre, John Mason – továbbfejlesztették.

Alan Schoenfeld (1985) túl általánosnak tartotta Pólya javaslatait és ezért kiegészítette: I. A feladat elemzése és megértése, II. Megoldási terv vázlata, III. A megoldás keresése nehezebb feladatoknál,  IV. A megoldás felülvizsgálata. Ő a következő négy területet tartja fontosnak: eredetek, heurisztika, kontroll, hozzáállás.

Lakatos Imre, a Bizonyítások és cáfolatok című könyv szerzője angliai, második disszertációjának témáját Pólya Györgytől kapta. Disszertációjában továbbfejlesztette Pólya Györgynek az Indukció és analógia című könyvében kifejtett nézeteit. Levelezésükben Pólya György kifejtette, hogy a P+R ott kezdődik, ahol ő az Indukció és analógiában abbahagyta a heurisztikát.

A problémamegoldás iskolája című Pólya-könyv azoknak szól, akik saját vagy mások gondolkodási készségét szeretnék fejleszteni. A könyv előszavában a szerző újra azt hangsúlyozza, hogy „aki problémát megoldani akar tanulni, annak a problémák megoldását kell gyakorolnia”. 

Pólya a könyv 11. fejezetében foglalkozik azzal, hogy problémamegoldás során hogyan gondolkozunk.

Pólya gondolkodási sémája

Felhívja a figyelmet a problémamegoldó érzelmeire is. Megállapítja, hogy a tapasztalt feladatmegoldó meg tudja becsülni, hogy milyen messzire van a konkrét feladat megoldásától. A problémamegoldó belső szellemi aktivitásának folyamata kevéssé ismert. Azt tudjuk, hogy nagyon összetett, függ a tanuló képességeitől, emberi jellemzőitől és viselkedésétől. Munkáját érzelmek kísérik, amelyek elhatározásaival kapcsolatosak. 

A legfontosabb, magasabb fokú matematikai ismereteket is igénylő heurisztikai könyve A matematika és a plauzibilis gondolkodás (Mathematics and Plausible Reasoning). Ebben a munkában összekapcsolja a tudományos módszer és a művészi gyakorlatot. Kísérletet tesz a matematikai heurisztika leltározására, elképzeléseit gyakran illusztrálja és nem is mindig közvetlen matematikai példákkal (például nagy felfedezések története, számnevek hasonlósága különböző nyelveken, mérnöki számítások pontossága). 

A második kötetben a klasszikus arisztotelészi logika alapján felállítja a plauzíbilis gondolkodás főbb logikai szabályait és a feltételes valószínűség nyelvére átfordítva elemi úton bizonyítja. 

Pólya megkülönbözteti az okoskodások fajtáit: 

Bizonyító okoskodás: a tudás bizonyítása.

Plauzibilis okoskodás: a sejtés alátámasztása.

Módszerek: indukció, analógia, rokon esetekből való következtetés, általános esetből való következtetés.

Problémamegoldási módszereket, stratégiákat dolgoz ki a tanárok számára: találgassunk és bizonyítsunk (módszeres próbálgatás); próbakövetkeztetések (próba-szerencse); lehet, hogy rosszat sejtek? (hamis következtetések); kis lépések elve; közelség és hihetőség elve.

Nézzünk egy problémát. Egy konvex négyszöget két átlójával négy háromszögre vágunk. Két háromszöget szemköztinek nevezünk, ha van közös csúcsuk, de nincs közös oldaluk. Bizonyítsuk be az alábbi állításokat: 

a) Két szemközti háromszög területének a szorzata egyenlő a másik két szemközti háromszög területének a szorzatával.

b) A négyszög akkor és csak akkor trapéz, ha van két egyenlő területű szemközti háromszöge.

c) A négyszög akkor és csak akkor paralelogramma, ha mind a négy háromszög területe egyenlő.

Pólya György és M. C. Escher 
grafikusművész kapcsolata

Pólya György Über die Analogie der Krystallsymmetrie in der Ebene (1924) című cikkében a sík 17 kristálycsoportjával foglalkozott. A cikk érdekessége, hogy Pólya mind a 17 kristálycsoportot rajzzal is szemléltette. M. C. Escher testvére geográfus volt. Amikor ezt a cikket meglátta a folyóiratban, felhívta rá a grafikus figyelmét. Pólya és Escher ugyanazt a nyelvet beszélték, a geometriai alakzatok nyelvét. Escher a matematikai részt nem értette, de a rajzokból ráérzett a kristálycsoport egyes elemeinek geometriai tulajdonságaira, a periodikusságra, a szimmetriára és a maga művészi módján Pólya rajzait átformálta: például madarakat, kutyákat helyezett Pólya ábráira, majd a színezés bevezetésével tovább is fejlesztette az ábrázolást.

Pólya rajzai a kristálycsoportok elemeiről

 

Escher rajzai Pólya ábrázolásainak felhasználásával

---

PÓLYA GYÖRGY FŐ MUNKÁI
1. Collected Papers
I. Singularities of Analytic Functions (szerk. R. Boas)
 II. Location of Zeros (szerk. R. Boas)
 III. Analysis (szerk. J. Hersh – G. C. Rota)
  IV. Probability, Combinatorics, Teaching and Learning Mathematics (szerk. G. C. Rota)
2. Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis (Szegő Gáborral közösen), Springer Verlag, 1924 (magyar fordítás: Feladatok és tételek az analízis köréből I–II. Tankönyvkiadó, 1980).
3. Inequalities (közösen G. H. Hardyval és J. E. Littlewooddal), Cambridge-University Press, 1934.
4. Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics (közösen Szegő Gáborral), Princeton University Press, 1951.
5. How to solve it? Princeton University Press, 1945 (magyar fordítás: A gondolkodás iskolája, 2. kiadás, Gondolat, Budapest, 1969).
6. Mathematics and Plausible Reasoning I–II. Princeton, Princeton University Press, 1954 (magyar fordítás: A matematikai gondolkodás művészete I–II. Indukció és analógia, A plauzibilis következtetés, Gondolat , Budapest, 1988, 1989).
7. Mathematical Discovery on Understanding, Learning and Teaching Problem Solving I–II. John Wiley Sons, New York, 1962, 1965 (magyar fordítás: A problémamegoldás iskolája I–II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1967, 1968).
8. Mathematical Methods in Science, Washington, 1963 (magyar fordítás: Matematikai módszerek a természettudományokban (Gondolat Kiadó, Budapest, 1984).

TOVÁBBI IRODALOM
Alexanderson, G. L.: The Polya picture album, Basel, 1987.
Lakatos file 129, item 230* és 236*, British Library of Political and Economics Science
Lakatos Imre: Bizonyítások és cáfolatok, Budapest, Typotex, 1998.
Pólya György: Über die Analogie der Krystallsymmetrie in der Ebene, Z. Kristall 60 (1924) 278–282.
Rácz András: Pólya György, Magyar Tudós Lexikon A-tól Zs-ig, Better, MTESZ, OMIKK, 651–652.
Ribár Béla: Híres magyar tudósok, JMTT Kiskönyvtára.
Schattschneider, D.: Vision of Symmetry Nortebooks, Pweidic Drawings, and Related Works of M. C. Escher, W. H. Freeman Company, New York.

---

Természet Világa,

143. évfolyam, 8. szám, 2012. augusztus http://www.termeszetvilaga.hu/  http://www.chemonet.hu/TermVil/