Matematikával megérteni a világot
Beszélgetés Lovász Lászlóval

2009 őszén Budapesten rendezik a tudósok világtalálkozóját, a World Science Forumot. A rendezvényre „12 tudós a 21. századról” címmel kiadvány készül, melyben neves magyar és külföldi tudósok osztják meg velünk gondolataikat a tudományterületük előtt álló kihívásokról. Az itt közreadott cikk a kötetbe szánt interjú bővített változata. Ez a beszélgetés a Természet Világa 2006. 11. számában „Fazekas, ELTE, Microsoft, IMU” címmel megjelent interjú folytatásának is tekinthető.
 

2006 óta vagy a Nemzetközi Matematikai Unió (IMU) elnöke. Megváltoztatta ez a tisztség az életviteledet, kutatómunkádat, mindennapjaidat?

– Az elnöki tisztség sokrétű, nagy feladat. Emiatt sokat kell utaznom, s ez elég sok időmet elveszi. Talán legnagyobb és legfontosabb munkánk az IMU 26. kongresszusának a megszervezése, melyet 2010 nyarán tartunk Indiában. Ez szolgálatom végét is jelenti. A napokban jöttem meg Indiából, ahol több mint egy hétig a kongresszus helyszíneit néztük végig, a rendezés részleteiről tárgyaltunk. A világ matematikusainak a négyévente összehívott kongresszus a legnagyobb rendezvénye, előtte már évekkel sok a tennivaló. Addig még néhány nehéz döntést is meg kell hoznia szervezetünknek. 

Az elmúlt években voltak olyan súlyponti kérdések, melyekre az IMU kiemelt figyelmet fordított? 

– Egyik legfontosabb feladatunknak tekintjük a harmadik világbeli, fejlődő országok támogatását. Ez szerteágazó, sokszintű munka, hiszen a fejlődő országok is sokfélék. Például az évezredes kultúrájú Indiának gazdag matematikai hagyományai vannak. Ma igen sok kiváló matematikussal büszkélkedhetnek, s olyan matematikai kutatóintézetekkel, melyek a világ bármely részén színvonalat jelentenének. Ugyanakkor ide sorolhatjuk Kambodzsát, ahol kiirtották az értelmiséget, tehát matematikusaik sincsenek.

Miért olyan fontos, hogy a világ minden részén honossá tegyétek a matematikai tudást?

– Mert ezt nemes feladatnak tartjuk. Van azonban racionális megfontolás is mögötte. Matematikai tehetség valószínűleg mindenütt azonos arányban születik. Minden azon múlik, van-e olyan környezet, melyben felnőhet, kiteljesedhet. A Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák eredménylistái mindezt statisztikailag is alátámasztják. Egy kis országban 2–3 évenként születik egy-egy gyerek, aki később aranyérmes lesz. Kínában minden évben száz ilyen születik, közülük kiválasztanak hatot, akik mindannyian aranyérmet nyernek.

A többi kínai fiatal  közül pedig néhányan más ország színeiben nyerik az aranyérmet, többek között az amerikai diákcsapatban is gyakran olvashatunk kínai neveket.

– Így van. Működik a nagy számok törvénye. Az IMU-nak tehát egyik célkitűzése, hogy amennyire csak lehet, a világ minden részén hozzájáruljon a matematikai tehetségek érvényesüléséhez. A harmadik világbeli országokban iskolákat finanszírozunk, konferenciákat szervezünk, matematikusaikat meghívjuk rendezvényeinkre. Kambodzsában a kormány ma már legalább támogatja erőfeszítéseinket. Mellette Vietnam viszont komolyan fejlődik. Igen jó matematikusaik vannak.

Úgy gondolom, az új elektronikus világunk is számos megoldandó feladatot ad.

– Sok fejtörést okoz nekünk, hogy az elektronikus publikálás új útvonalait miként illesszük be a kutatómunka már kialakult rendszerébe. Hogyan archiváljuk az elektronikus folyóiratokban megjelent cikkeket? Tekinthetjük-e teljes értékű publikációnak az interneten közreadott cikkeket? Ezek megoldásra váró kérdések, mivel a hagyományos lapokat fokozatosan kiszorítják az elektronikus folyóiratok. Az egyetemek, a kutatóintézetek elektronikus hozzáférést vásárolnak, csomagban fizetnek elő olyan elektronikus folyóiratokra, melyek őket érdeklik, kutatómunkájukat segítik. Tulajdonképpen az egyes országok fizetnek elő a főbb kiadók folyóiratainak elektronikus változataira, a költségeket pedig arányosan elosztják a szolgáltatást igénybe vevő egyetemeik, kutatóintézeteik között. 

Az elektronikus publikálás nem lazítja fel az ellenőrzés rendszerét, mely a papíralapú folyóiratoknál jól működött?

– A színvonalas elektronikus folyóiratoknál ugyanúgy van lektorálás. Ráadásul a jobbak, az olvasást megkönnyítendő, rendesen tipografizálják is a cikkeket, gondot fordítanak a megjelenítésükre. A fejlődésnek ez az útja elkerülhetetlen. Nézd meg ezt az óriási mennyiségű papírhalmot, ami az asztalomon tornyosul! Az csak vágyálom, hogy mindezt egy hónap alatt végigolvasom.

Nyilván az érdeklődési köreid szerint szűkítve válogatsz a tanulmányok között.

– Igen, a folyóiratokat így lapozom át. Lapozgatni azonban egyszerűbb a számítógép képernyőjén.

Ott azonban fárasztó hosszú ideig olvasni.

– Ez igaz. Könyvet nem szívesen olvasnék képernyőn, de cikket igen. Tegyük fel, bizonyos idő alatt megnézek 10-20 cikket. Ezeknek elolvasom a kivonatát. Háromba jól belenézek. Végül egyet közülük kinyomtatok, és azt gondosan végigolvasom.

Publikációkról lévén szó, úgy tudom, a matematikusok nemigen kedvelik az idézettségen alapuló impakt faktort. Miért?

– Az IMU erről is készített egy anyagot, mely megmagyarázza, miért nem szeretjük ezt a fajta hatástényező számítást. Az impakt faktort három év adataiból számítják ki, a hivatkozások alapján. Először is, kiderült, hogy a matematikai cikkeknél az idézettség csúcsa 10 évvel később van, vagyis akkor hivatkoznak rá legtöbben. Ezt tudva, semmi esetre sem lehet mérvadó, ha az idézettségi görbéből, melynek tíz évnél van a maximuma, az első három évet emeljük ki. 

A matematikusok lassabban olvasnak?

– Lassabban dolgoznak. Persze, vannak cikkek, melyekre gyorsan reagálunk. Ugyanakkor a komolyabb technikai eszközöket alkalmazó, hosszabb publikációk feldolgozásához sok idő kell. Meglehet, ezek idővel alapvető tanulmányoknak bizonyulnak, új utakat nyitnak, új folyamatokat indítanak el a matematikai kutatásokban. Monográfiák részeivé, fogalommá válnak, s akkor a továbbiakban már nem az eredeti cikkre hivatkozunk, hanem a könnyebben elérhető könyvre, vagy csak egyszerűen a fogalommá vált eredményre, hiszen úgyis tudja mindenki, hogy ki áll mögötte. Így, persze, nem növekszik szerzőjének idézettsége.

– Azt mondom, relativitáselmélet…

– ...és mindenki tudja, hogy Albert Einsteinről van szó, rá hivatkoztunk. Mondok egy példát. A Nemzetközi Matematikai Unió legutóbbi kongresszusán a Fields-érmes Terence Tao a nyitó előadását Szemerédi Endre tételére alapozta, a XX. század nagy hatású eredményének nevezte. Na most, Szemerédi Endre a híressé vált regularitási lemmáját 1975-ben bizonyította. Eredményét egy 100 oldalas cikkben publikálta, amit nagyon nehéz volt elolvasni. Ezért kezdetben nemigen hivatkoztak rá.

2008-ban viszont megkapta érte az Amerikai Matematikai Társulat Leroy P. Steel-díját, a „Nagyhatású hozzájárulás a matematikai kutatások” kategóriában. 

– Több mint 30 évvel a publikáció megjelenése után! Eredményét ma már minden, e témakörben megjelenő cikkben egyszerűen csak regularitási lemma néven emlegetik. Minden intelligens matematikus tudja, hogy e mögött Szemerédi Endre neve áll. Nem jelent ez sokkal többet bármiféle idézettségi mutatónál?!

A matematikában, a matematikai kutatómunkában az elmúlt fél évszázadban milyen változások figyelhetők meg?

– A XX. század közepén a matematikai kutatások jelentős része nagyon absztrakt irányba tolódott el. Élesen elvált az alkalmazott és az elméleti, az ún. „tiszta” matematika. Akkoriban az a veszély fenyegetett, hogy a matematika ágakra szakad szét és mindenki kizárólag csak a maga problémáival küszködik. Ma ez kevésbé van így.

Ebben a komputerek megjelenésének is szerepe van?

– Igen, a komputerek megjelenése az alkalmazott matematikának is lendületet adott, átformálta a kutatómunkát. Ma már a matematikus tevékenysége egyre kevésbé a számolásra koncentrálódik, sokkal inkább a gondolkodásra összpontosul. A matematikus helyett a számításokat elvégzik a gépek. A matematikus dolga, hogy hatékony algoritmusokat találjon, kidolgozza azok elméletét. Ráadásul az algoritmusok elmélete is tisztult azáltal, hogy nagyon nagyméretű problémákra kell alkalmaznunk azokat. Ott már nem mondhatjuk, hogy majd kipróbálom, melyik algoritmus működik a legjobban.

Mert nincs rá idő.

– Nincs, ezért nagyon meg kell gondolnunk, hogy milyen algoritmust alkalmazunk. Mert nagyon nem mindegy, hogy  2n vagy n2 lépésben vezet el  a feladat megoldásához.

Szembetűnő változás még a XX. század közepéhez képest, hogy mára a matematikusok száma a sokszorosára nőtt.

Annyira jól megfizetik a matematikusokat?

– Nem erről van szó. Maga a tevékenység teszi vonzóvá a szakmánkat. Nemrégen olvastam egy amerikai cég által készített felmérését arról, hogy mely foglalkozásokat űzők a legelégedettebbek a munkájukkal. Az első három foglalkozás: 1. matematikus, 2. biztosítási matematikus, 3. statisztikus.  Tény, hogy nagyon megnőtt a matematikusok száma, ezzel együtt valamelyest a befolyásunk is. Azért még mindig eltörpül a vegyészekéhez vagy az orvosokéhoz képest.

A kutatói szám növekedésének sokféle következménye van. Az elmúlt évtizedekben exponenciálisan nőtt a matematikai publikációk száma. Ennek a világnak egyre kisebb részét ismeri egy-egy ember, egyre kevésbé lehet értékelni, szervezni a rendszert. A matematika egységét csak úgy őrizhetjük meg, ha ezt a hihetetlen mennyiségű új eredményt valamilyen módon áttekinthetővé, összefüggővé tesszük. Erre jelenthetnek megoldást az összegző, áttekintő tanulmányok. Ma már a konferenciáink egyre nagyobb része nem a technikai részeredmények ismertetését tekinti céljának, hanem felkérnek előadókat, akik egy-egy témakörről tartanak bevezető, összefoglaló előadásokat. Gyakoriak az olyan konferenciáink, melyek előtt például a doktoranduszoknak egyhetes iskolát tartanak adott témakörből, hogy később jobban megértsék a nagy összefoglaló előadásokat, melyek a fontosabb eredményeket ismertetik. Ilyen előkészítés nélkül az ember elvész a problémák tengerében. 

Változás még, hogy a matematikában is előtérbe kerül és folyamatosan növekszik a csoportmunka. Magyarok számára, akik jól ismertük Erdős Pált, ez nem szokatlan. Erdős a világjárása során a közös gondolkozásra alkalmas problémák sokaságát hozta-vitte és terjesztette. Zsenialitása abban rejlett, hogy meglátta és megfogalmazta a megoldásra váró nyitott kérdéseket. Nagyon sok cikket publikált társszerzővel, már évtizedekkel ezelőtt. Ma sokkal többet utaznak a kutatók, több konferenciát szerveznek, könnyebben találkozhatnak egymással. Az internetes kapcsolat lehetősége is a közös munkát segíti. Szükség is van erre, mert egyre nehezebb, egyre technikásabb lett a tudományterületünk.

Gondolom, a matematika valószínűleg soha nem jut el a részecskefizika „szintjére”, ahol egy-egy eredmény publikációjában a szerzők száma néha a százat is meghaladja.

– Nem, nem, a tényleges együttműködés a matematikában maximum 3–4 ember gondolatcseréjét jelenti. Ugyanakkor a kiscsoportos munkán belül is szükség van arra, hogy az ember napokra elvonuljon és a többiektől kapott információkat, ötleteket feldolgozza, összevesse saját gondolatvilágával.

Azért, ugye, maradtak a matematikában is nagy magányosok, akik egyedül igyekeznek legyőzni a sokszor reménytelenül nehéz problémákat.

– Persze, hogy maradtak. Elég csak két nagyon nagy eredményt említenem, a Fermat-sejtést megoldó Wiles és a Poincaré-problémát tisztázó Perelman sikerét. Ezek egyéni munka eredményei voltak, de inkább kivételeknek számítanak. A legtöbb kutató rákényszerül, hogy időről időre kutatási pályázatokat adjon be. Ott bizony többek részvételét várják el. A pályázati rendszer csoportmunkára ösztönöz. Megvallom, én szeretem a csoportmunkát, amikor a tudásunkat összeadva jutunk előbbre.

Az IMU végrehajtó bizottságának tagjai és a kínai kísérők (2009)
(Genghua Fan felvétele)

Mit tartasz az elmúlt évtizedek legnagyobb hatású felismerésének a matematikában?

– Egyik ilyen felismerés, hogy az algoritmusok a matematika eszközeivel vizsgálható, nagyon izgalmas problémákhoz vezetnek. 

A másik fontos fejlemény, hogy a véletlen módszerek a matematika legkülönbözőbb ágaiban sorra meghonosodnak. Kiindulásnak Erdős Pál cikkét szokták említeni, az 1950-es évekből. Kiderült, hogy a véletlen olyan algoritmusokat is ad, melyeket más eszközökkel nem érhetünk el. Például a számítógépeinkben fut az RSA-rendszer, ami a biztonságot adja. Amikor beírjuk, hogy https:, akkor egy számelméleti módszerekkel működő biztonsági kódolást nyitunk meg. Ez a biztonsági kódolás egy nyilvános kulcsú titkosítást megvalósító algoritmus. Ennek egyik lépéseként bizonyos számról el kell dönteni, hogy az prímszám-e. Ez is a véletlen módszerek segítségül hívásával történik. 

Ebbe a sorba illeszkedik az 1976-ban megfogalmazott Szemerédi-lemma, mely tulajdonképpen azt mondta ki, hogy ha egy gráf nagyon nagy, akkor annak bizonyos részei szükségképpen véletlenszerűek. Ez pedig nem hátrány, ellenkezőleg, a véletlenszerű nagyon sok jót hordoz magában. A nagy számok törvénye alapján az ilyen struktúráknak sok tulajdonságát megjósolhatjuk abból következően, hogy tudjuk róluk: véletlenszerűek. 

Ez az újabb elv nagyhatású segédeszközünk lett. Amikor például egy rettentően nagy struktúrát vizsgálunk, annak tulajdonságairól képet kaphatunk, ha bizonyos részeit, melyek véletlenszerűek, elkülönítjük, ezáltal a maradék struktúrát leírhatóvá tesszük. Azóta sok mindenre kiterjesztették ezt a módszert, mellyel a vizsgált struktúrát egy véletlenszerű és egy egyszerű rész keverékeként állítják elő.

A klasszikus matematikának régóta nyitott kérdése volt, hogy a prímszámok között vannak-e akármilyen hosszú számtani sorozatok. A 3, 5, 7 a prímszámoknak egy háromtagú számtani sorozata. Ha kicsit gondolkozik, rajzolgat az ember, akkor talál négytagú sorozatot, ha még türelmesebb, akkor öttagút is. Nagy teljesítményű számítógépek segítségével a prímszámoknak talán harminctagú számtani sorozatának felleléséig jutottak el. Pár évvel ezelőtt, a már említett Terence Tao és Ben Green bebizonyították, hogy a prímszámok között akármilyen hosszú számtani sorozatok vannak. Bizonyításukban felhasználták Szemerédi 1976-ban megjelent cikkének gondolatait, a véletlenszerű és a leírható részre történő felbontás módszerével jutottak célba. Szemerédi publikációja tehát harminc év múlva érte el a csúcshatását. Elmondhatjuk tehát, hogy a véletlenség mint jelenség fontos elemévé vált korunk matematikájának. Olyan helyeken is, ahol nyoma sincs a véletlennek. Hiszen a prímszámok említett sorozata is teljesen determinisztikus, meghatározott.

Korunk matematikájának említésre méltó új fejleménye, hogy megnőtt azon területeinek száma, melyeket jelentősen alkalmaznak gyakorlati problémákra. Valaha az alkalmazott matematika kifejezés csaknem azonos volt a differenciálegyenletek elméletével, talán még a numerikus analízist és a statisztikát sorolták ide. A tudományos kutatás robbanásszerű kiteljesedése a XX. század második felében a matematika egyre mélyebb és sokoldalúbb, a klasszikus analízis eszközein túl mutató alkalmazását igényelte. Egyre nagyobb szerepet kap a diszkrét matematika, az algoritmuselmélet, a bonyolultság elmélet és a számítógép-tudomány, melyet ma már a matematika szerves részének tekintünk. Diszkrét optimalizálási problémák sora bukkan elő, például egy gráfnak az optimális szerkezetét kell meghatározunk, vagy egy hálózatban a maximális folyamot stb. 

Véleményed szerint a matematika fejlődésében a XXI. században milyen prioritások látszanak felsejleni? Például a matematikusnak készülő fiadat milyen irányban indítanád el?

– Fogalmazzunk inkább úgy, hogy milyen irányban próbálnám, ha lehetne… Természetesen, értem a kérdést. Úgy érzem, a jövő nagy kihívása az élet megértése matematikai eszközökkel. 

Az élet szerveződésének a kérdéséről van szó?

– Igen. Itt több különböző szintről beszélhetünk. Kereshetjük a matematika alkalmazásának a lehetőségét az evolúció szintjén, és az élőlény, mondjuk egy baktérium vagy az emberi szervezet működésének szintjén. A rendszer, melyet szeretnénk megérteni, egymással kölcsönhatásban lévő diszkrét elemekből áll: sejtekből, idegsejtekből, esetleg állatok, növények halmazából. Közöttük a kölcsönhatásokat bonyolult hálózat írja le, mely matematikailag egy óriási nagy gráfnak tekinthető. S akkor újra előttünk a kérdés: ez a hálózat miként működik, milyen a szerkezete?

A hagyományos alkalmazott matematika az élővilágban eddig csak a differenciálegyenletekkel leírható fizikai mozgásokat, kémiai folyamatokat vette tekintetbe. Ezzel párosulnak most azok a kölcsönhatások, melyeket a legegyszerűbb értelemben valamiféle gráf ír le.

Vagy itt van például egy szervezet teljes örökítő információját jelentő genom. Óriási erőfeszítésekkel feltérképezték a humán genetikai állományt, s annak szekvenciáit. Kérdések sora következethet ezek után. Mennyi ennek az információtartalma, mennyi benne a redundancia, mennyi benne a véletlenszerű, s ami nem az? Ezek kombinatorikus kérdések, melyek hasonlítanak a számítógép-tudományban vizsgált problémákhoz. Tehát, hogy egy adathalmazban mennyi az információ, lehet-e azt tovább tömöríteni, s vajon mennyire lehet? Ezek alapvető kérdések. Hiszen a genetikus kódban nem fér el például az összes agysejt összes kapcsolata. Az nem lehet mind belekódolva. A kapcsolatok egy része valószínűleg véletlenszerűen, a használat közben jön létre. Jó lenne mindezt megérteni és a matematika segítségével leírni.  Óriási kihívás a matematikus számára. 

A matematika segítségével megértettük a fizikai világot, 400 éve már leírtuk a bolygómozgást, később megértettük az elektromos tér tulajdonságait. A kvantumfizikán keresztül megértettük a vegyi folyamatokat… A biológiát még nem igazán értettük meg. Meggyőződésem, hogy itt is hasonlóképpen sikeres lesz a matematika, csak idő kell hozzá. 

A matematikának több súlyos megoldatlan problémája van. Melyik legyőzésének örülnél a legjobban? Úgy is feltehetném a kérdést, ha száz év múlva visszatérhetnél kis időre a matematikusok közé, mit kérdeznél meg elsőként tőlük?

– Azt hiszem, arra lennék a legkíváncsibb, hogy a P egyenlő NP-vel igaz-e?

Ez, ugye, az algoritmuselmélet egyik alapkérdése? Mondanál róla valami megvilágosítót?

– Nagyon sok matematikai feladatnak olyan a szerkezete, hogy ha rátalálunk egy megoldásra, akkor már könnyen ellenőrizhetjük, hogy az jó-e. Például egy nagyon nagy számról nehéz eldönteni, hogy az prímszám-e. Azonban, ha rálelünk egy osztójára, ennek ellenőrzése már könnyen megy. Ezeket a problémákat nevezik NP-nek, vagyis nem determinisztikusan polinomiálisnak. Kérdezhetjük: ha egy probléma ilyen szerkezetű, abból következtethetünk-e arra, hogy hatékonyan kiszámítható. Vagyis meg tudjuk-e keresni azt, amiről már könnyen ellenőrizhetjük, hogy jó-e. Ez a P. A P=NP azt jelentené, hogy erre a kereső feladatra készíthető hatékony algoritmus.

Gondolom, van elképzelésed arról, hogy száz év múlva mit válaszolnak majd erre a matematikusok.

– Azt, hogy nincs ilyen algoritmus. Vagyis P nem egyenlő NP-vel. Ennek bizonyításához sokkal mélyebben kellene értenünk, miként működik egy algoritmus.

Van erre egy analógiám. Arkhimédész a barátjával beszélget, aki azt kérdezi tőle: szerkeszthető-e szabályos hétszög? – Úgy gondolom, nem – válaszolja Arkhimédész. – Hogyan lehetne ezt bebizonyítani? – faggatja tovább a társa. – Elképzelni sem tudom – válaszolja a mester. S valóban, Kr. e. 200 körül elképzelni sem lehetett ennek a bizonyítását. Ahhoz a valós szám, a testbővítések fogalmának, a Galois-elméletnek kellett kialakulnia, úgy 2000 év múltán, hogy bebizonyíthassák: a szabályos hétszög nem szerkeszthető. A matematika tőle független fejlődése hozta létre azt a struktúrát, mely alkalmazásával már könnyen bizonyítható volt ez a probléma is. 

Nem hiszem, hogy a P=NP kérdés eldöntéséhez 2000 évet kellene várnunk. Ma sokkal gyorsabban fejlődik a matematika, könnyebben kialakulhat az a matematikai struktúra, melyben már ezt a kérdés is eldönthető. Nem adok erre száz évet sem.

Ezzel a súlyos problémával, gondolom, sok jó matematikus kínlódik. Előmenetelük szempontjából, mai világunkban nem biztos, hogy ez a legjobb stratégia. Mások, kisebb akadályok folyamatos leküzdésével, sokkal előbbre jutnak.

– Ez, sajnos, igaz.

Kifizetődő a szinte reménytelen feladatoknak nekigyürkőzni?

– Nem hiszem, hogy erre határozott választ lehetne adni, hiszen a kutatási stílus nagymértékben egyéniség kérdése. Vannak olyan matematikusok, akik vállalják annak a kockázatát, hogy esetleg öt év intenzív munka után sem jutnak el a probléma megoldásához. Vannak egészen kivételes stílusban dolgozó emberek, ilyen például az amerikai hármas: N. Robertson, P. D. Seymour és R. Thomas (egyikük kanadai, a másik angol, a harmadik cseh). Szereznek valahonnan pénzt, hogy ne kelljen tanítaniuk, s azután fél éven keresztül minden áldott nap összejönnek,  reggel 8-tól este 8-ig írják a táblára az ötleteiket, a levezetéseket, belemennek olyan bonyolult részletek, esetszétválasztások analízisébe, amitől a legtöbb ember visszaretten. Egyedül az ember talán el is vesztené a fonalat a sok részlet között, de ők ezzel a munkamódszerrel óriási sikereket értek el. Nagyon régi, nagyon nehéz problémákat oldottak így meg. 

Amikor az első nagy sikerüket elérték, kitűztek maguk elé egy még nagyobb célt, a perfekt gráf sejtést. Egy év múlva beszéltem egyikükkel. Meghallgattam előadását, mely arról szólt, hogy eddig számos ötletet megpróbáltak, de egyik sem működött, csak kudarcban volt részük. Ennek ellenére kitartottak, tovább dolgoztak. Két év múlva bebizonyították a perfekt gráf sejtést. A vége felé bekapcsolódott hozzájuk egy negyedik amerikai, egy oroszországi születésű izraeli hölgy, Maria Chudnovsky, aki hozzátett még egy fontos ötletet, így jutottak célba.

Ezeket a nagyon hosszadalmas, sok számítást igénylő bizonyításokat nemigen szeretem. Amikor már a 6. vagy a 7. esetet kellene szétválasztanom, akkorra már régen elfelejtettem az elsőt.

Kicsit elkanyarodtunk a P=NP problémától. Esetleg van még olyan kérdés, ami megoldásának különösképpen örülnél?

– Van. Másik ilyen a Riemann-sejtés, ami a matematika legklasszikusabb megoldatlan problémája. Annyiféle kapcsolódási pontja van tudományunkban, hogy roppant izgalmas lenne tudnunk, megoldható-e.

Sokan dolgoznak ezen?

– Igen. Több mint száz éve annyi okos ember próbálkozott vele, annyi részeredmény született, hogy ez már kissé félelemkeltő. Ha valaki ilyenbe belefog, az kiteszi magát annak, hogy az első ötven ötlete az elmúlt 120 évben már másnak is eszébe jutott.

Megoldják ezt a problémát még a mi életünkben?

– Nem kizárt. Hiszen arra sem számított senki, hogy a szintén megingathatatlannak tűnő Fermat-sejtést hirtelen bebizonyítják. A Fermat-sejtés eredetileg önmagában álló kérdés volt. Két n-edik hatvány összege lehet-e n-edik hatvány? Vagy igen, vagy nem. Na bumm! Mit jelent, ha van egy kivétel? Azután ezt a problémát összekapcsolták a fő sodorvonalbeli matematikával. A másodfokú görbéket már a görög Apollóniusz óta megértettük, viszont a harmadfokú görbéket ma sem értjük teljesen. A Fermat-sejtést az osztrák Gerhard Frey-nek sikerült a harmadfokú, ún. elliptikus görbékre vonatkozó problémára visszavezetnie. Így jutott el azután Wiles a megoldáshoz.

Különben az elliptikus görbék elméletén alapulnak a legjobb számítógépes biztonsági kódok. Amikor a Microsoftnál kriptográfusok egymás között beszélgettek, hallgatva a diskurzusukat, nemigen lehetett azt megkülönbözetni attól (legalábbis a szavak tekintetében), amit Wiles mondott. 

Fontosnak tartod a matematika eredményeinek, a matematikai gondolkozásnak a közkinccsé tételét?

– Természetesen igen!

Miért?

– Miért lényeges ez? A mai demokratikus társadalomban fontos, hogy minél többünknek képe legyen arról, mit végeznek az egyes tudományok. Senki se tekinthesse a természettudományokat fölöslegesnek. Ennél azonban többről is szó van. Mindenkit meg kellene tanítani, hogy a fejét kissé racionálisabban használja. Minél több embert rá kellene vennünk arra, hogy matematikai módon, egzaktabban gondolkozzon. Amikor hallunk egy hírt, az újságban olvasunk egy elemzést, azt értékelni tudjuk, hogy a számértékeket a helyükön kezeljük. Amikor nekem azt mondják, ebben a szörnyű betegségben tavaly világszerte száz ember halt meg, akkor ne rettegjek attól, hogy én is elkapom. Amikor exponenciális növekedésről beszélnek, tudjam, hogy mit jelent. Amikor a politikusok a tévében beszélnek és érvelni igyekeznek, szeretem, ha a mögött kvantitatív gondolkozás, számadatok vannak. Amikor azt mondják, sok pénz, ez így semmit nem jelent. 

Az elménket folyamatosan pallérozni kell. Lehetőleg minél korábban elkezdve. Egyébként a legtöbb gyerek szereti a gondolkodtató játékokat, társasjátékokat, szeret sakkozni. Erre lehet építenünk, ezt kellene jobban kihasználnunk. A legtöbb természettudománynak lényegesen jobbak a lehetőségei a matematikánál, hiszen látványosabb, kézzel foghatóbb dolgokat mutathatnak. A matematikáról nehéz figyelemfelkeltően beszélni, de nem lehetetlen, törekedni kell rá, ez nagyon fontos feladat.

Arra gondolok, ha politikusaink kicsit matematikusként is gondolkoznának, ez mindannyiunknak hasznára válhatna. 

– Remélné az ember. Persze, ilyenkor előjönnek a régi emlékek. Visszagondolok a nyolcvanas éveinkre, amikor a matematikusok is tudtak poklot teremteni maguk körül, nem kellett ahhoz politikusnak lenniük.

Matematikatanításunk színvonalát, tehetségkiválasztó 
rendszerünket (Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok, tanulmányi versenyek) világszerte jónak tartják, elismerik. Miként értékeled az iskolarendszerünkben az elmúlt években zajló változásokat?

– Matematikaoktatásunknak különböző szintjei vannak. Hazánkban még fennáll a színvonalas matematikatanítás lehetősége. Komoly hagyományaink vannak, amire építhetünk. Úgy gondolom, a jó iskoláinkban a jó diákok jó oktatást kapnak.

Ilyen középiskoláink, optimistán számolva sem lehetnek tíz százaléknál többen.

– Erről van szó, ez a nagy probléma, hogy a diákok maradék kilencven százaléka milyen oktatásban részesül. Sajnos, vannak aggasztó jelek. A felsőoktatásban bevezetett Bologna-rendszer nem illik a tanárképzéshez. Korábban, másokkal ellentétben, én elképzelhetőnek tartottam, hogy sikerülhet jól megoldanunk az összeegyeztetésüket. Ma már látom, ezt nehéz megvalósítani. Kusza, merev, áttekinthetetlen a rendszer, rosszabb az előzőnél. Ma, az adminisztratív akadályok miatt nehezebb tanárszakon végezni, mint korábban. Nem szerencsés, hogy az érettségire, az egyetemi felvételire készülő fiatal előtt nem jelenik meg a tanári pálya. A középiskolát végzett diák ma nem jelentkezhet tanárszakra. Pedig sok tehetséges fiatal választaná a tanári életpályát, hiszen példaképként előttük álltak a jó tanáraik. A Bologna-folyamat eredményeként most esetleg három év múlva beiratkozhat valamilyen tanári mesterszakra. Számára ez sokkal kevésbé vonzó, ezért azután egyetemeink tanár szakos hallgatóinak száma rohamosan csökken. Nagy baj lesz ebből néhány év múlva.

Matematikatanításunk hagyományaiból mit kellene feltétlenül megőriznünk?

– A gondolkodásra, a problémamegoldásra való nevelést. Jó, ha kis bizonyítást már az általános iskolában is megismer a gyermek. Korán meg kell mutatnunk nekik a matematika érdekességeit, szépségeit, hogy az arra fogékony gyerekekkel megszerettessük tudományunkat. 

Fiatokban, Lovász Laciban matematikai tehetséget láttatok, ezért régi iskolátokba, a „Fazekasba” írattátok be. Vagyis, feleségeddel, Katival együtt bíztatok matematikaoktatásunk még meglévő erejében?

– Természetesen bíztunk benne, és a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnáziumot is sokra tartjuk.

Fiatok a legutóbbi Nemzetközi Matematikai Diákolimpián aranyérmet szerzett. A család hogyan értékelte az abszolút sorrendben is előkelő helyezését?

– Büszkék voltunk rá.

Amikor a verseny után a diákolimpikonjainkkal beszélgettünk, fiadnál felvetődött, mondtuk is neki, már nem szárnyalhatja túl édesapját, hiszen te három aranyérmet nyertél a matematikai diákolimpiákon. Laci szerényen, de önbizalommal válaszolt: „Nem baj, talán lesz még olyan terület, ahol ez sikerülhet”. 

– Remélem, így lesz.
 

Az interjút készítette: STAAR GYULA

Természet Világa, 140. évfolyam, 6. szám, 2009. június
http://www.termeszetvilaga.hu/ 
http://www.chemonet.hu/TermVil/