Entrópia: kulcs az univerzum megértéséhez? Mi az entrópia? A Puskin utcai nagyelőadóban szétszóródva vártunk a szemeszter első órájára. A professzor a hátunk mögött tűnt fel. Lassan lépdelve lefelé a lépcsőkön szemügyre vette a sorokat. Nyilván minden arc egyformán ismeretlen volt számára, az egyetlen támpont, amihez előadása iránti érdeklődésünk majdani alakulását viszonyítani tudta, az elfoglalt és az üresen maradt helyek aránya lehetett. Ennek a makroszkopikus állapothatározónak a csökkenése jelezhette előadása sikertelenségét, növekedése pedig annak sikerét. Pedig a 70 diák valójában
nagyon sokféleképpen tölthette fel a 100 férőhelyes termet a makroállapotot
változatlanul hagyva. Ha egy elképzelt ajtónálló egyesével engedte volna
be őket, akkor 100 × 99 × 98 × ... × 32 × 31 választási lehetőségük akadt
volna a helyfoglalásra. Persze a diákok terembe lépésének sorrendje a kialakuló
mikroállapotot
(azaz a diákok helyfoglalását mutató térképet) nem befolyásolja, tehát
az azonos makrohelyzetet megvalósító mikroállapotok számát úgy kapjuk meg,
ha a fenti számot elosztjuk a lehetséges belépési sorrendek számával, 70
× 69 × ... × 2 × 1-gyel.
Ludwig Boltzmann 1872-ben azt javasolta, hogy a hőcserével járó folyamatokra az 1858-ban Rudolf Clausius által bevezetett entrópia mennyiségét arányosnak válasszák a test energetikai makroállapotát megvalósító mikroállapotai számának logaritmusával: entrópia = (Boltzmann-állandó) × (az azonos energiával jellemzett makroállapotot megvalósító mikroállapotok számának logaritmusa). Miután a fizikusok többsége kifejezetten ártalmasnak tartja a sok-sok szinonímának tűnő szóval megzavarható értelmű kommunikációt, az entrópiát S, a mikroállapotok számát W, a Boltzmann-állandót kB jelöli, és a fenti kapcsolatot S=kB log (W ) alakban tette megtanulhatóvá a 150 éve született Max Planck. Boltzmann soha nem írta le ezt a képletet, de jelentősége ugyanakkora a természeti folyamatok leírása szempontjából, mint a Planck-Einstein-képlet a foton energiájára (E=hn). Nem véletlen, hogy a bécsi temetőben ez a felirata Boltzmann síremlékének.
Boltzmann síremléke a bécsi temetőben
Legyen az egyes mikroállapotok neve X1, X2, ..., Xi, ... . Bekövetkezésük esélyét egy 0 és 1 közé eső számmal, a P1, P2, ..., Pi, ... valószínűséggel jellemzik. Az esemény annál meglepetésszerűbb, minél negatívabb Pi logaritmusa. Az eseményrendszer átlagos meglepetésszerűségének mértékét M-mel jelölve, az M = P1log P1+ P2 log P2+ ... + Pi log Pi+ ... kifejezést kapjuk az átlagérték kiszámítási szabályát követve. Amennyiben minden valószínűség azonos, akkor úgy kapjuk vissza Boltzmann híres képletét, ha az entrópia és a meglepetésszerűség kapcsolatára az S = - kB M megfeleltetést definiáljuk. Ellenőrizhető, hogy az entrópia legnagyobb értékét akkor éri el, ha minden mikroállapot azonos eséllyel következik be, azaz a rendszer a legkevésbé differenciált. Az entrópia növekedésének Clausius által megfogalmazott elve Boltzmann és Gibbs értelmezésében tehát a homogenitásra való természetes törekvést, a hőmérsékleti vagy anyagkoncentrációbeli inhomogenitások megszűnésének tendenciáját emelte általános természeti elvvé.
A félév folyamán a tudásszerzésre különbözőképpen nyitott hallgatók ülésrendszerén professzorunk viszont entrópiacsökkenést idézett elő. Persze nem egyedül az ő hatásának volt mindez köszönhető. Kisszámú lánykollégánk kezdeti egyenletesen véletlenszerű elhelyezkedésében is jól reprodukálódó változásokat fedezhetett fel, ám a félév végére kialakuló ülésmintázat alapján ezt - legnagyobb sajnálatára - nem tulajdoníthatta saját ellenállhatatlan előadói hatásának. Mindenesetre feljegyezte magának azt az érdekes tendenciát, miszerint adott körülmények (a kitűzött tanulmányi feladatnak való legjobb megfelelés célfüggvénye, a kialakulható lány-fiú párkapcsolatok száma stb.) között az emberi közösségben az óvodától a kisiskolán át az egyetemig mindig újra és újra differenciálódás (entrópiacsökkenés) következik be. Egy pillanatra felötlött benne, hogy minden egyenlősítő utópia ezen egyszerű okból torkollik önkényuralomba, majd elkerülhetetlenül megbukik, de aztán elhessegette magától a csillogó, de mások számára a szokásos fizikusi túlegyszerűsítő hajlamot példázó ötletet és inkább folytatta az előadást (a cikkírást). Fekete lyukak entrópiája
A választ Jacob Bekenstein adta meg doktori értekezésében, amelyet 26 éves korában, 1973-ban védett meg. Egy másik Wheeler-diák eredményére támaszkodott, akinek munkáját Stephen Hawking fejlesztette teljes általánosságú tétellé. 1970-ben Demetrios Christodoulou bebizonyította, hogy a visszafordítható (azaz időben fordított irányban is lejátszódó) folyamatokban részt vevő fekete lyukak eseményhorizontja által kifeszített felület csak nőhet. Ezt Hawking tetszőleges (irreverzibilis) folyamatokra is bebizonyította. Szemléletes példaként vegyünk két Schwarzschild-féle fekete lyukat m1 és m2 tömegekkel. Ha összeolvadnak, tömegük m1 + m2 lesz. Miután eseményhorizontjuk sugara tömegükkel arányos, az átmeneti változások megnyugvása után kialakuló gömbszimmetrikus fekete lyuk eseményhorizontjának felülete valóban nagyobb a kezdeti objektumok összfelületénél, hiszen (m1 + m2 )2 > m12 + m22.
Kip Thorn (balra) és John Preskill (közép) szerint nem vész el visszafordíthatatlanul információ a fekete lyukak részvételével lezajló folyamatokban, míg Stephen Hawking (jobbra) két évvel ezelőttig másképp gondolta A fenti időszakban végzett elemzések vezették el Hawkingot az entrópia és a hőcsere klasszikus kapcsolatának alkalmazásával ahhoz a felismeréshez, hogy a fekete lyukakkal hőmérséklet és a hőmérséklethez termikus sugárzás társítható. Ez a hőmérséklet fordítva arányos a fekete lyuk tömegével. Minél kisebb tömegű a fekete lyuk, annál gyorsabban sugározza szét energiáját. Ezért aztán megnyugodhatnak az izgulósak: hiába keletkeznek esetleg mini fekete lyukak a genfi óriásgyorsító bekapcsolása utáni kísérleti programban, tömegük a másodperc ezermilliárdod része alatt elpárolog. Még azelőtt eltűnnek, mielőtt megkezdődhetne környezetük makroszkopikus anyagának "beszippantása". Természetesen igen izgalmas kérdés, hogy milyen módon lehet mini fekete lyukakat létrehozni, de ezekkel az univerzum entrópiatartalmát kutatva nem kell időt töltenünk. Az entrópianövekedésnek a
fekete lyukak fizikáját is magában foglaló általánosítása ma már széleskörűen
elfogadott. Ezek után érdekes kérdés, hogy az univerzum entrópiájának mekkora
részét hordozzák a fekete lyukak.
1. táblázat. Nevezetes kozmikus objektumok becsült entrópiatartalma A holografikus elv Gerard 't Hooft Nobel-díjas részecskefizikus vetette fel, hogy a fekete lyukaknak az a tulajdonsága, hogy entrópiájukat nem térfogatukból, hanem felületükből lehet számolni, esetleg általánosítható, hiszen az univerzum entrópiáját alapvetően ez az osztály adja. A 't Hooft által megfogalmazott holografikus elv kimondja, hogy a valamely térfogatban végbemenő alapvető kölcsönhatásokat meghatározó dinamikai mennyiségek (az ún. szabadsági fokok) számosságát a tartomány felületével és nem térfogatával arányosnak kell tekinteni. Ezt az elvet a csillagászok által belátható kozmikus eseményhorzont mai méretével határolt tartományra alkalmazva, kB10123 adódik a tartomány entrópiatartalmának nagyságrendjére. A hiányzó 20 nagyságrend izgalmas kihívás a csillagászoknak: hol lehetnek azok az objektumok, amelyek elrejtik az entrópiát?
Bár az elv teljesülése nem is bizonyítható más, a kísérleti vizsgálódással sokkal közvetlenebbül összevethető elméletekre, annál érdekesebb lehet az alkalmazásából származó következmények kidolgozása. Például nézhetjük az erős kölcsönhatások elméletét, a kvarkokat és gluonokat szerepeltető kvantumszíndinamikát. Gyorsítókban előidézett nagyenergiás kölcsönhatások esetén közvetlen megoldása nagyon pontos jóslatokat tesz lehetővé, de egy laboratóriumban álló proton tulajdonságaira szinte reménytelen nehézségű az elmélet jóslatainak kiszámítása. Itt segítségül hívható a holografikus elv, amelyet alkalmazva feltételezhetjük, hogy a négy téridő dimenzióban észlelt erős kölcsönhatás esetleg egy ötdimenziós beágyazó világ határaként elképzelt világunkban hat. Ennek az ötdimenziós világnak a térfogatában egy majdnem klasszikus gravitációs kölcsönhatással leírható elmélet állítható párba a határon érvényes erős kölcsönhatási elmélettel. A holografikus elv azt jelenti, hogy a gravitációs elmélet megoldásából ugyanúgy kiolvashatók a protonnak az erős kölcsönhatásokból származó alaptulajdonságai, mint az eredeti négydimenziós elméletből. A kérdés csak az, hogy melyiket könnyebb számolni. Az ötdimenziós elmélet előnye, hogy az álló proton a segítségével technikailag jobban áttekinthető, egyszerűbb megoldási módszerek alkalmazásával írható le, mint a kvantumszíndinamikával. Ezért az elvet (érvényességének bizonyítása nélkül) deklarálva számos, korábban reménytelen nehézségűnek tapasztalt kvantumszíndinamikai számítást annak segítségével igyekeztek elvégezni (megkerülni). Az így nyert elméleti leírás pontossága az elvárható 1%-nál kisebb bizonytalanságnál egyelőre jóval gyengébb. A részecskefizikus-közösség figyelmének középpontjában jelenleg folytatott vizsgálódás eredményessége nagy hatással lehet a holografikus elv jövőbeli, részben részecskefizikai, részben kozmológiai alkalmazására. Hangsúlyozni kell, hogy a holografikus elvre a 't Hooft által ajánlott név nem egyéb, mint egy jól megválasztott hasonlat, amely az elképzelés tudományos és tudományon kívüli körökben való jó "eladhatóságát" segíti. A hologramra utal, amely egy felületen tárolható információmennyiségből állítja elő az eredeti háromdimenziós képet. Azonban az alapvető kölcsönhatások konkrét mechanizmusához az optikai holográfiának semmi köze. Epilógus Az előadó végigjártatta a félév (a cikk) végére megmaradt tíz hallgatóján (olvasóján) a (lelki) szemét. Elégedett volt, nehéz munkával sikerült a hallgatóság entrópiáját minimálisra csökkentenie. A megmaradt csillogó szemű tízek a közös szellemi erőfeszítésben személyes ismerőseivé váltak. Nem felejtik el a fekete lyukakhoz társított általánosított entrópia fogalmának történetét. Emlékezni fognak arra az eshetőségre, amely az általunk észlelt négydimenziós világbeli folyamatokat a többdimenziós szupervilág valamely alacsonyabb dimenziós "felületén" zajlónak fogja fel és azok tulajdonságait a magasabb dimenziós világ térfogatában egyszerűbb eszközökkel elvégezhető számítások révén igyekszik megérteni. Egy spekulatív érdekességnek tűnő észrevételből az univerzum szerkezetének mélyebb kibontását ígérő elméleti, majd megfigyelésekre alapozandó vizsgálati eljárás nőhet ki a következő néhány évben. Hiába igaz, hogy az univerzum energiájának kevesebb mint egy ezreléke rejtőzik a fekete lyukakban, az általuk elrejtett információ mértéke alapján meghatározó lehet keletkezésük és fejlődéstörténetük megértése az univerzum egészének modellezésében. A XXI. századi fizika egyik alapkérdése ennek az információtartalomnak a feltárása. Érdemes hát annak, aki elegendő matematikai ismerettel is rendelkezik, kicsit elmélyedni a téma irodalmában: J. Bekenstein: Black Holes
and Entropy, Physical Review D7 (1973) 2333. o.
|
||||||||||||||||||||||