Kiss Elemér: Matematikai kincsek
Bolyai János kéziratos hagyatékából

(2., bővített kiadás, Typotex, Budapest, 2005)


Bolyai János tértudománya a matematikai gondolkodásnak olyan forradalmian új és meglepő világát tárta fel a XIX. század első felében, hogy annak szerzőjét méltán őrizte meg az emlékezet a legnagyobb magyar tudósok egyikeként. Az óvó atyai figyelmeztetés ellenére az ifjú Bolyai, katonatiszthez illő bátorsággal és matematikusi szigorral, a geometriának oly területeire merészkedett, melyeknek létezéséről és szépségéről az elődöknek vajmi kevés fogalmuk volt. Ennek a matematikai géniusznak életében csak egyetlen tanulmánya jelent meg nyomtatásban, főműve, az Appendix, amelyben kidolgozta az abszolút geometriát és annak speciális eseteként a hiperbolikus geometriát, amelyet Bolyai–Lobacsevszkij-geometriának is hívunk. Bár matematikai kutatásait Bolyai élete végéig folytatta, későbbi eredményeiből azonban semmit nem publikált, minden más vizsgálata kéziratban maradt.

A Bolyai-kutatás egyik alapfeladata, hogy feltárja és bemutassa Bolyai János matematikai eredményeit. Jól ismert tény, hogy az 1860-as évek második felében az Akadémia figyelmét külföldi kutatók hívták fel a Bolyai-hagyatékra, és kérték átvizsgálását, mondván, egy ilyen kiváló matematikus munkái között bizonyára akad még publikálásra váró anyag. Az Akadémia el is kérte a hagyatékot a marosvásárhelyi Református Kollégiumtól, s a megérkezett iratok átvizsgálására hamar létrehoztak egy bizottságot. A kapott Bolyai-kéziratok ezután 25 évig voltak az Akadémián, amikor is 1894-ben a kollégium igazgatósága jobbnak látta visszakérni azokat. A bizottsági jelentés végül is egy olyan határozattal zárta le az ügyet, miszerint kiadásra alkalmas anyagot nem találtak az iratokban (tegyük rögtön hozzá, hogy több jel mutat arra, hogy az Akadémia valószínűleg nem a teljes Bolyai-hagyatékot kapta meg).

Később Paul Stäckel német matematikus áldozatos feltárásának köszönhetően (amelyben őt több magyar is segítette) Bolyai János kéziratban maradt, főleg geometriai és a komplex számok elméletéhez kapcsolódó eredményeinek nagy része napvilágra került. Az előbb németül, majd 1914-ben magyarul megjelent Stäckel-féle Bolyai-monográfia ma is fontos forrása a kutatásnak. Az azóta eltelt évtizedekben számos könyv és tanulmány született a Bolyaiakról, de a matematikai tárgyú kéziratos hagyaték továbbra is feldolgozatlan maradt.

Kiss Elemér 1999-ben megjelent Matematikai kincsek Bolyai János kéziratos hagyatékából című könyvéből ma már tudjuk, hogy Bolyai János kézirataiban számos olyan matematikai vizsgálat is van, amelyeket a korábbi Bolyai-monográfiák nem ismertek, holott azok matematikatörténeti szempontból mindenképpen figyelemre méltók és érdekesek. Kiderült, hogy Bolyai geometriai vizsgálatain túl, számos algebrai és számelméleti problémával is foglalkozott, és nem is eredménytelenül. Apa és fia gyakorta forgatták Gauss Disquisitiones arithmeticae című híres számelméleti monográfiáját, újra- és továbbgondolva annak tételeit és bizonyításait. A kéziratok tanúságot tesznek írójukról, hogy az a kis Fermat-tétellel, a Wilson-tétellel, a Mersenne-számokkal, a Fermat-számokkal és más számelméleti kérdéssel is szívesen foglalkozott, nemegyszer olyan állításokat fedezve fel és bizonyítva, amelyek nyugodtan viselhetnék az ő nevét is. A kutatások Kiss Elemért arra a meglepő következtetésre vezették, miszerint Gausstól függetlenül, de vele körülbelül egy időben, Bolyai János is kidolgozta a komplex egészek aritmetikáját. E kijelentés talán kicsit merésznek tűnik, hiszen Bolyai nem írt olyan összefüggő dolgozatokat a témáról, mint Gauss, de alátámasztásául számos olyan okfejtést és példát hoz fel a könyv, amely valóban azt mutatja, hogy Bolyait szintén erősen foglalkoztatták a komplex egészek oszthatósági kérdései és több fontos eredményt is elért. A szerző ezen gondolatokat, a „prímtant” tartja Bolyai legfontosabb számelméleti munkájának és egyben Bolyai Jánosban az első magyar számelmélészt üdvözli. Mindemellett az is kiderül a kéziratokból, hogy több más matematikus kortársához hasonlóan Bolyait is izgatták a négynél magasabb fokú algebrai egyenletek megoldhatóságának problémái. Persze, világos, hogy a hagyatéknak ezen eredményei messze nem mérhetők az Appendix jelentőségéhez, jó azonban tudnunk róluk és jó, hogy ezeknek a marosvásárhelyi Teleki–Bolyai Könyvtárban lappangó iratoknak lényeges részei mindenki számára így már kötetben elérhetők. A könyvet a szerző angol nyelven is publikálta, amely szakmai körökben szép visszhangot keltett külföldön. Ennek eredményeként ma már néhány idegen nyelvű számelméleti munkában Bolyai János nevét is olvashatjuk. Így például a 17 Lectures on Fermat Numbers. From Number Theory to Geometry (Springer, 2001) monográfiában a szerzők Bolyai-tételként hivatkoztak Bolyai János azon észrevételére, hogy minden Fermat-féle szám 6n–1 alakú, ill. Kiss Elemér nyomán megemlítik, hogy Bolyai János bizonyította először az 5. Fermat-féle szám álprímségét.

Kiss Elemér azonban könyvének megjelenése után sem hagyta abba kutatómunkáját, tovább folytatta a Bolyai-kéziratok kibetűzését és megfejtését. Tavaly az MTA Matematikai Osztályának támogatásával a Typotex Kiadó újból kiadta művét, amely azonban nem változatlan utánnyomása a könyvnek, hanem annak egy átdolgozott, bővített változata. A második kiadásban olyan újabb témák kaptak helyet, mint a zenei kérdések által motivált matematikai problémák, a diofantikus egyenletek vagy a nemrég megoldott Catalan-sejtéssel (miszerint csak a 8 és a 9 lehet szomszédos teljes hatványpár) rokon egyenletek előfordulása a Bolyai-kéziratokban. Külön fejezetben szerepelnek Bolyai János kéziratban maradt analízissel kapcsolatos írásai is. Találhatunk ezekben hipergeometrikus sorokkal és elliptikus integrálokkal kapcsolatos feladatokat is.

A kötetnek különösen értékes az a fejezete, amely a két Bolyai, apa és fia egymáshoz írott tizennyolc matematikai tárgyú levelét adja közre. Ezen levelek érdekes matematikai tartalmán túl, azok kedves hangvételére is érdemes felfigyelni. Szintén igen érdekes az a fejezet is, amely Bolyai János tudományos ismereteit igyekszik feltérképezni, matematikai olvasmányait kinyomozni.

Kiss Elemér kitartó szorgalmának eredményeként, hosszú évek kutatómunkájával, szakirodalmi források százainak, kéziratok és papírszeletkék ezreinek kibetűzése és tanulmányozása révén született meg ez a könyv. A hazai matematikatörténet-írás köszönettel adózhat ezért az elszánt erőfeszítésért neki, és lelkesen buzdíthatja a Bolyai-ládák további kincseinek feltárásában.
 

Szabó Péter Gábor

Természet Világa, 137. évfolyam, 4. szám, 2006. április
http://www.termeszetvilaga.hu/ 
http://www.chemonet.hu/TermVil/ 


Vissza a tartalomjegyzékhez