Pap János

Akusztikai dzsessz
Nemlineáris jelenségek és káosz a zenei akusztikában


A káoszról szóló írások sorában e nemlineáris hangszer-akusztikai tanulmány a hamarosan folytatódó Hangszerlélek című sorozat kiegészítésének is tekinthető. A szerző zenei akusztikus, és csupán az új tapasztalatok okozta öröm és a szintézis tisztelete a magyarázat és mentség arra, hogy a káoszkutatás tükrében a saját szakmájáról gondolkodik.

Nagyon messziről kezdeném. Az ókori indiai, kínai és görög zenekultúrában a rendezettség diadalát tapasztaljuk, sőt félelmet a rendezetlenségtől. A konfuciánus Hszün-cét idézve: "Mert a zene azáltal különbözteti meg egymástól az egyeseket, hogy ezáltal biztosítsa az összhangot, azért hasonlítja össze a különböző dolgokat, hogy ezáltal tegye széppé a részek arányát, s azért egyesíti a különféle zenei hangokat, hogy ezáltal teremtse meg a művészi szépséget. Így képes rávezetni mindenkit az egyetlen helyes útra, így képes rendet tartani a tízezernyi változás között. … kicsapongó hangokat tiltani be annak érdekében, hogy minden maga megfelelő idejéhez alkalmazkodva történjék, következésképpen barbár szokásokkal és eretnek muzsikálással senki se merészelje megzavarni a választékosságot: ez a Legfőbb Zenemester dolga." [1]

A rendezettség elsősorban bizonyos hangsorok, harmóniák tiszteletét, az idegen, új elemek és megoldások tiltását jelentette. A zenei rend az ethosz (erkölcsi rend) kifejeződésévé vált, amelyben mégis az affektus (érzelem) a legfőbb irányító, de immár az ethoszra veszélytelen, szabályozott, kódolt, irányítható formában.

A félelem oka, hogy a zene a figyelembeszűkítő ritmusosságával, a tempófokozással vagy -csökkentéssel, dinamikaváltoztatásokkal tudatállapot-módosulást képes elérni. Az ősi rítusokban éppen ezért a zene nem esztétikai értékei, hanem az elmére gyakorolt hatása miatt kapott kitüntetett szerepet. A transz általános következménye, hogy az egyén manipulálhatóbbá válik, és a transz egyes fajtáiban, azok végső fázisában a viselkedés irányíthatatlan lesz. Mindebből kitűnik, hogy az ember már története hajnalán képes volt társai viselkedését befolyásolni, és ehhez a zenei formákat lélektani szempontból is szabályozni. (Megjegyzendő, hogy ma is léteznek kultúrák, ahol a tudatállapot módosításának extrém formáit - pl. transzállapotot, extázist - természetesnek tekintik.)

A zene "rendje" mögött az emberi gondolkodás mechanizmusa, a fizikai és biológiai világ szerkezete és folyamatai rejtőznek. Nem véletlenül tekintik egyes kutatók a zenét a gondolkodás egyik sajátos formájának. [2, 3]

A zenei rend megteremtéséhez tulajdonságaikat megtartó, reprodukálható, stabil hangok szükségesek, a stabil hangokhoz lineáris fizikai tulajdonságokkal rendelkező hangszerek. Hiszen a hang kis amplitúdójú rezgés. A kis amplitúdó feltétele az emberi percepciónak is. A periódusok szabályossága pedig a periódusidő reciprokával leírható alaphangot eredményez, illetve az alaphang frekvenciája egész számú többszöröseiből felépülő felhangsort. (A hangok alaptípusait lásd az 1. ábrán.)

1. ábra.  a-b: Énekhang rezgésgörbéje és spektruma. c-d: Zaj (sziszegés) rezgésgörbéje és spektruma

A linearitás a természetben inkább különös, mint általános jelenség, amiből az következik, hogy a megközelítőleg lineárisan viselkedő hangszereink kitüntetett, egyedi, különös produktumok, kognitív képességeink remekei.

A korábbi, káoszról szóló írásokból még a laikus olvasók számára is kiderülhetett, hogy az iskolában belénk sulykolt lineáris szemlélet a valóságot nem írja le, hiszen életünket a nemlinearitás határozza meg, ráadásul számos rendszerben a "kevés összetevő erős és nemlineáris kölcsönhatása" [4] sztochasztikus viselkedést eredményez. E zaj és rendezettség közötti kaotikusságot a természetes hangforrásokat vizsgáló hangelemzők naponta megtapasztalják (2. ábra). E "mikrokáosz" (a nyomásingadozás egymást követő periódusaiban egymáshoz képest csupán kicsi változások tapasztalhatók) a fizikai rendszerek általános jellemzője, és csak a kutatók "nagyvonalúságán" múlik, hogy figyelembe veszik-e vagy sem.


2. ábra.  Részlet az Orontea c. operából (falzett hang)

A mikrokáosz több szempontból is hasznos, például az idegrendszer kisebb mértékű kifáradásához vezet. Nem véletlen tehát, hogy a természetes hangokat kedveljük a sztochasztikusságot nélkülöző gépi hangokkal szemben. A jelenségben esztétikánk változatosságra irányuló, már a római időkben közkinccsé váló elve, a varietas delectat nyilvánul meg.

A véletlen és a zenei szerkezet kompozíciós összekapcsolása szintén komoly múltra tekint vissza, azonban csak a XX. században lelt valódi otthonra. Létezik a "kockavetésnek" egy direktebb módja is, az improvizáció. Változatos, időben meg nem jósolható hangesemények jellemzik. Legkiforrottabb zenei formája a DZSESSZ. A dzsessz a múlt század zenei "gyümölcse". Kialakult olyan irányzata is, például a free jazz (atonális, totális improvizáció, melyben nincs téma és a rögtönzésnek alapot adó harmóniasor), melynek összhatása a megszokott, "rendezett" zenei formák ismeretében a hétköznapi káosz fogalmával rokonítható (de sohasem a zenészek fejében!). A címben jelzett "akusztikai" káosz a hangforrások kaotikus viselkedésére utal, amely azonnal plauzibilissé válik, mihelyt laikusként kezünkbe veszünk egy hegedűt és megpróbálunk rajta játszani.

A következőkben néhány kitüntetett hangszercsoport példáján keresztül a természetes hangok nemlineáris és kaotikus jellegzetességeinek fizikai hátterét értelmezem.

A hangszerek,
a nemlinearitás és a káosz

A hangszerek az autofon vagy idiofon, azaz önmagukban hangot adó hangszerektől eltekintve általában gerjesztőrendszerből (hangforrás) és erősítőrendszerből (rezonátor) állnak.

Gyakori eset, hogy a hangforrás nemlineáris és a rezonátor lineáris. És szinte minden hangszernél előfordul, hogy az a rendszer, amely kis amplitúdón lineáris, nagy amplitúdón nemlineárisan viselkedik. Ez utóbbi az esetek többségében hallható jelenség.

A nemlinearitást a zenei akusztikában és ezen belül a hangszerakusztikában sokat (de nem eleget!) kutatták. A megoldások egyedisége miatt a zenei és nem a fizikai problémára koncentráló vizsgálatok és elemzések a nemlinearitásnál általában megtorpannak. A szakirodalmat tanulmányozva elég gyakran találkozhatunk a nemlinearitás "varázsszavával", de a megoldások teljességének hiányában a szerzők csupán az adott probléma súlyát és megoldatlanságát fedik el - igaz, legalább jelzik a problémát (lásd A. H. Benade "Fundamentals of Musical Acoustics" című alapkönyvét [5]). Mindez nagyon hasonlít az orvoslás "vírus"-diagnózisára.

A káoszra való utalás azonban egyre gyakoribb, az alkalmazott matematikai módszerek terjedőben, a számítástechnika jó szolgálóleány; a szemléletváltás folyamatban. Ezzel nem azt akarom mondani, hogy "divattá" vált a káoszkutatás eredményeire hivatkozni. Csupán arra utalok, hogy egyre gyakoribb a komplexitásra törekvés. Az irányváltást a valóság és az elmélet ellentmondásai kényszerítették ki, és hasznát elsősorban a mechanikus rendszerek elektromos-elektronikus modellezése tükrözi, hiszen a kaotikusan is viselkedő áramkörök már sokkal élethűbb hangokat keltenek, mint a korábbi lineáris rezgőkörök.

Néhány alaposabban elemzett jelenség:

- vont húr gerjesztésének nemlinearitása;
- nemlineáris térfogati áramlás a nádrésen keresztül;
- ajaksípoknál a gerjesztő (jet) légsugár nemlinearitása, turbulenciája;
- harangok-gongok-réztányérok nemlineáris rezgése fortissimo ütéseknél bifurkáció, determinisztikus káosz);
- a hangszalagok nemlineáris rezgése (bifurkáció, káosz, bifonáció) stb.

Nincs mód arra, hogy minden részletre kitérjek. Az érdeklődők a megadott irodalomból is tájékozódhatnak. Elsősorban olyan jelenségeket kívánok bemutatni, amelyek zenéléskor, zenehallgatáskor megtapasztalhatók.

A farkashang vagy buller

A vont húr, ahol a gyanta biztosítja a vonó tapadását a húrhoz, különleges tulajdonságokkal rendelkezik. A súrlódási erő nem arányos a megvonás sebességével, ráadásul a megvonás iránya időnként megváltozik. A jelenség nemlineáris. Különleges feladat elé állítja a játékost az a tény is, hogy a vonónyomás (szokás vonóerőnek is nevezni) függ a megvonás helyétől. A maximális és minimális érték közötti vonónyomás-játéktartomány (amikor a hangszer normálisan szól) szintén függ ettől a helytől. A minimális értékre: Fvny-minimum~vv/x2v, ahol vv a megvonás sebessége, xv a lábtól mért távolság. [6] Tehát a játszhatóság nagyban függ a kezdeti feltételektől.

A húr rossz sugárzó, és ezért egy hozzá csatolt rezonátor erősíti fel a hangot. Az energiaátadás a húrról a lábra nem egyenletes: a rezonátortest rezonanciafrekvenciáin hirtelen "feljavul" - a lecsökkent bemeneti ellenállásnak (erő/sebesség jellegű fizikai mennyiség) köszönhetően. A korábban stabil húrrezgés instabillá válik, mert a visszaverődés a lábról gyengül, és a megvonás módjától való függés még kifejezettebb lesz. A hang csúnya, farkasordítás-szerű (magyarországi szóhasználattal bulleres), a rezgéskép rendezetlen jelleget mutat. A húr és a láb ellenállásainak aránya miatt a jelenség csellóknál a leggyakoribb.

A kukorékoló nád

Ha valaki kezébe vesz egy nádsípot (pl. klarinétot vagy oboát), azt tapasztalja, hogy a nád áztatása, megnedvesítése nélkül a hangszer rikácsoló, kukorékoló hangot ad. A nedvesítés hatására mélyülnek a nád sajáthangjai, megnő a hajlékonysága, a záródása (fúvóka - nád, nád - nád) tökéletesebb, rezgése szabályosabb lesz.

3. ábra.  A nádrésnél mért térfogati sebesség  a hangnyomás-különbség függvényében

A 3. ábrán látható, hogy a nádrésen a hangszercsőbe bejutó levegő térfogati sebessége (U) nemlineáris viszonyban van a fúvási nyomás (Pf) és a fúvókában mért nyomás (P) különbségével (Pf-P)-vel. (A hangszercsőbe a mérés során a visszacsatolás kiküszöbölésére vattát tettek.) A műveleti ábrának nevezett diagram jobb oldaláról leolvasható, hogy itt - ha tovább növeljük a fúvási nyomást - a nádszelep zárni fog. A szabályozást - hogy folyamatosan rezegjen a nád - a légoszlop rezgése (P) végzi el. A hang indításakor még nincs visszavert hullám, ezért ügyelni kell a légoszloprezgésnél jóval magasabb frekvenciájú nádhangok képzésére, mert ha túl erősen fújjuk, a hang hallhatóan csúnya, kukorékoló lesz.

Thompson mérései óta tudjuk: egy nemlineáris nádmódusnak nem szükséges a légoszlop alaphangjával egybeesnie. [7] A rezgés fenntartásához az is elegendő, ha a játszott hang valamelyik magasabb felhangjához illeszkedik; a rezgés stabilizálódni fog (az ötlet Benade-tól és Ganstól származik, 1968-ból).

(A nemlineáris fizikában alkalmazott elv, az öngerjesztett rendszerekben létrejövő módusszinkronizáció (mode locking) lényege, hogy a nemlineáris gerjesztő forrásra visszahat a lineáris gerjesztett elem. A módusok frekvenciái a módusok kölcsönhatása révén megközelítőleg harmonikus sorokba rendeződnek. A módusszinkronizáció kialakulásának feltétele, hogy a nemlinearitás mértéke mérsékelt legyen, a módusok frekvenciáinak arányát kis természetes számok aránya fejezze ki.) [8]

Az érzéki szépség titka

A nádrezgéshez hasonlóan nemlineáris rezgést végeznek hangszalagjaink is. Hogy ennek mi köze a szépséghez? Nagyon is sok. [9] Az intenzív érzelmek hangi kifejeződése a folyamatosság megtörése, a hangszín érdesebbé válása, a dinamikai szélsőségek megjelenése, az oktávugrás, a vibrato, azaz valamiféle radikális hangparaméter-változás. A túlerőltetett éneklés, a dohányzás, a túlzott alkoholfogyasztás következménye anomáliákat okoz a hangképző szervünkben, elsősorban a hangszalagok anatómiájában és viselkedésében, aminek következtében a fenti nem verbális vokális érzelmi kifejezések közvetlen imitációjára, vagy éppen fokozására válik alkalmassá. Edith Piaf, Louis Armstrong, Janis Joplin, Rod Stewart, Charlie stb. hangjának titka természetesen nem fiziológiai és fizikai eredetű. A különös hang csupán kiindulópontja művészetüknek. De mit ér egy koordináta-rendszer origó és egységvektor nélkül?

4. ábra.   A hangszalag feszítés-megnyúlás diagramja

A 4. ábrán látható hangszalag feszítés-megnyúlás görbéje nemlinearitást mutat, sőt hiszterézist is. (Az utóbbi azt jelzi, hogy a hangszalagnál a feszítési szakasz nyúlási tulajdonságai eltérnek a relaxációs szakasz nyúlási tulajdonságaitól.) [10] Nemlineáris a hangrésen átáramló levegő viselkedése és a légáram-hangszalag kölcsönhatás.

A nemlinearitás egyik következménye a már említett módusszinkronizáció. Jelentős beidegzési és anatómiai anomáliák esetében a nemlinearitás nő, és a hangban periódusidő-duplázó bifurkáció tapasztalható, azaz egy oktávval mélyebb zúgás (lásd az 5. ábra spektrogramját, rövid hangelemzést Janis Joplin hangszeres kíséretes énekéből).

 5. ábra.  Janis Joplin:  Summertime (részlet) - spektrogram
(az énekelt alaphang alatt egy oktávval szól annak bifurkációs hangja - a kíséret hangjait bejelöltük)

A bifurkáció, a szubharmonikusok, bifonáció (kéthangúság) a hangképzési hibák egyértelmű következményei, ezért a foniátriában diagnosztikai jelek.

A hétköznapi életben ugyancsak hangszalagrezgési instabilitás eredménye a hang váratlan, általában izgalom, feszültség okozta ugrásszerű magasodása. A jódliban a falzettbe történő átugrás már szabályozott énekes trükk, de nem véletlen, hogy nem tud mindenki jódlizni. (Megjegyzendő, hogy a farkasüvöltés és a kutyavonítás is hasonló akusztikai tulajdonságokat mutat.) [9]


6. ábra.   Normális és abnormális hangszalagrezgések attraktorai
(Gina Jiang nyomán: http://www.math.toronto.edu/courses/335/projects/jiang/report.htm)

Míg az embernél az instabil hang valami betegség, tökéletlenség jele (lásd az eltérő attraktorokat a 6. ábrán), a kaotikus hang az állatvilágban számos fajnál természetes. [11] A madaraknál az ok a hangképző szervben, a syrinxben keresendő, a hangforrásként szolgáló membrán vagy membránok fizikai tulajdonságaiban, azok feszítőizmaiban, beidegzésükben. A zajos és bifurkációt is gyakran mutató madárhang a nem énekesmadarakra jellemző (durván a madárfajok felére). Az énekesmadár syrinxe tökéletesebb szerkezetű, összetettebb beidegzésű, ami lehetővé teszi a kezdeti paraméterek szabályozását, a kontrollált működést.

Felsikító sípok

Gyakran találkozom munkám során készítőik akusztikai zsenialitását mutató hangszerekkel. Ennek igyekszem is írásaimban "hangot" adni, noha mindig hozzáteszem, hogy legtöbbször a tradicionális "próba szerencse" - "try and error" módszerrel született a meglepetés, és nem a tudomány segítségével. Egy furulyákról és fuvolákról szóló tanulmányban [12] már dicsértem a tilinkót, a furulyafejjel ellátott, játszónyílások nélküli, hengeres csövű hangszert. Különlegessége, hogy parányi légnyomásváltozás hatására is módosul a hangmagasság. Mivel a játékos ezt a változást nem tudja teljes mértékben irányítani, elbűvölő instabil zenei folyamatot hoz létre, azaz megvalósítja a dzsessz műfaji besorolás minden kritériumát; akaratlanul.

Ha közelebbről megvizsgáljuk a hangot létrehozó instabil légsugarat, azt tapasztaljuk, hogy a leváló örvényekkel, a turbulenciával együtt kölcsönhat a rezonátorral (esetünkben egy hengeres légoszloppal). [13] A kis sebességű áramlásra érvényes modell szerint amikor a légsugár kilép a szélcsatornából, kezdeti ingadozását a létrejövő örvények keltik. (Az örvények élettartamának kutatásából kiderült, hogy energiát csak a magasabb rendszámú módusoknak képesek átadni.) A légsugár szabályozott mozgását a csőbeli rezgésnek köszönhető transzverzális akusztikai áram okozza, ami természetesen visszahat az örvényességre is. Az instabilitás miatt a légsugár nagyon érzékeny e perturbációkra.

Ha a szélcsatorna távolsága az ajaktól w, a szélcsatorna magassága h,

akkor a w/h arányról kimutatható, hogy értéke mértéke a kialakult módusváltozásnak. Sőt magas értékeknél turbulencia alakul ki. (A változás - átvezetés zenei jele a hang oktávugrása.)

A furulyakészítők már évszázadok óta tudják, hogy alacsony fúvási nyomáson a magas w/h érték elkerülendő, de ha w/h»4, akkor a hang stabil lesz.

Az én tilinkómnál ez a szám: 6.

Csusszanás, zúgás, sistergés

Ritkán nevezzük a glissandót csusszanásnak, pedig milyen tökéletesen onomatopoetikus (hangutánzó) e szavunk, és alkalmas a kínai gongok hangmagasság-változásának kifejezésére. Létezik ugyanis a kínai operákból ismert gongtípus, a nagyobb, laposabb luo és a középen domborított, kisebb xiao luo, amelynek megütésekor a hangmagasság a gongfelület domborított és lapos része arányának függvényében változik, azaz "megcsusszan". A megütés erejének függvényében tapasztalt magasodás nem meglepő, hiszen a megütés nyomán kialakult "ráfeszítés" a vékony héjfelületeknél a húrokhoz hasonlóan emeli a hangot. A megütés pillanatában hallott hang tehát magasabb a normál állapoténál. Ahogy csökken a rezgés amplitúdója, a hang mélyül.

A különlegességet e mélyülést követő visszamagasodás jelenti. Kimutatható, hogy a lemezvastagság, görbület és az ütés dinamikája függvényében létrejöhet olyan állapot, amikor a rendszer a rezgési folyamat során ütésre lágyuló rugóként viselkedik. [14] Következménye: a lecsengés során a normál állapotot közelítve a hang magasodni kezd. (Meg kell jegyezzem, ez az érdekes hangcsúszás a kínai nyelvben is megtalálható és jelentéshordozó!)

A kissé domborított középső résznek köszönhetően a mozgásegyenletekben a nemlinearitást kifejező köbös tag mellé be kell vezetnünk egy négyzetes tagot is (egydimenziósra redukálva a problémát, egy négyzetes taggal bővített Duffing-egyenletet kapunk: d2x/dt2+kdx/dt+x+ +Ax2+Bx3=F(t), ahol k a csillapítási együttható, A és B a lemez geometriája által meghatározott állandók, F a kényszererő).

A módosított Duffing-egyenletet numerikusan megoldva bifurkációt tapasztalunk, és az amplitúdót növelve determinisztikus káoszt. [8, 15] A zene nyelvére lefordítva: egyre nagyobbakat ütve a fémlemezre, egyre több zúgó szubharmonikus (fn=f0/n) hallható, majd fortissimo ütéseknél sistergő zaj. A réztányér (cintányér) hangjában mindenki felfedezheti ezt a nagy amplitúdó indukálta kaotikus jelleget (7. ábra).

7. ábra.  Szinuszos gerjesztőforrással centrumában rezgésbe hozott réztányér hangspektrumai a dinamika függvényében [8]
            (a: alapmódus-közeli frekvencián kicsi amplitúdóval gerjesztve;  b: az amplitúdót növelve magasabb rendű  rezgési módusok jelennek meg; c: az amplitúdót tovább növelve bifurkációs szubharmominusokat tapasztalunk; d: nagy amplitúdónál a kaotikus viselkedésre jellemző sistergő zajt kapjuk)

A csapkodott fémlemezek hatalmas példányát, a tam-tamot lapunk egy korábbi számában már bemutattuk. [16] Itt csak annyit jegyeznék meg róla, hogy felsistergő, kaotikus rezgésre utaló hangja szintén a nemlineáris viselkedés következménye. A mély rezgési módusok nemlineáris csatolás révén energiát pumpálnak át a magasabbakba, ami - a feltételezések szerint - csak azért következhet be, mert a tam-tam felületén a készítők körkörösen, a körszimmetrikus módusok kialakulását lerontó, gyerekökölnyi dudorokat kalapálnak ki. Ráadásul a rezgés a lecsengés során fokozatosan a visszahajlított szélek felé tolódik ki.

***

A következő fejezet a hangszerek fizikai modellezéséről szólhatna, a Chua-áramkörről (8. ábra), mely képes a hangszerek kaotikus viselkedésének modellezésére is. [17] Ha az áramkört módosítjuk, és ellátjuk egy időkésést is kifejezni képes tápvonallal a C2 kondenzátor és L tekercs helyén, valamint egyenáramú tápfeszültséggel, akkor még közelebb juthatunk a hangszerek valósághű modellezéséhez. És talán ez a legfontosabb zenei akusztikai hozadéka a káoszkutatásnak.

8. ábra. Chua-áramkör

Egy másik terület, a káoszszabályozás elméletei pedig arra engednek következtetni, hogy a zenészek az alkalmas kezdeti feltételek megválasztásával (gyakran többéves gyakorlás eredményeként) folytonos paraméterkorrekciókkal képesek a kaotikus rendszerműködéseket elkerülni és a teljesség birodalmába juttatni az őket hallgató embert.

Köszönettel tartozom Tél Tamásnak hasznos megjegyzéseiért.

IRODALOM

[1] Hszün-ce: Tanulmány a zenéről. In: Tőkei Ferenc (szerk.): A szépség szíve. Európa Könyvkiadó, Bp., 1984
[2] Lehtonen, K.: Is Music an Archaic Form of Thinking? Nordic Journal of Music Therapy, 3 (1), 1994, 3-12.
[3] Calvin, W. H.: A gondolkodó agy. Kulturtrade, Bp., 1997
[4] Tél T.-Gruiz M.: Mi a káosz? Természet Világa, 133. évf. (7), 2002, 296-298.
[5] Benade, A. H.: Fundamentals of Musical Acoustics. Oxford Univ. Press., London, 1978
[6] Fletcher, N. H., Rossing, T. D.: The Physics of Musical Instruments. Springer-Verlag, New York, 1991
[7] Thompson, S. C.: The effect of the reed resonance on woodwind tone production. JASA 66 (5), 1979, 1299-1307.
[8] Fletcher, N. H.: Nonlinear Dinamics and Chaos in Musical Instruments. Complexity International, Vol. 1, 1994 (http://journal-ci.csse. monash.edu.au/ci/vol01/fletch01/html)
[9] Pap J.: Hang-ember-hang.Vince Kiadó, Bp., 2002.
[10] Titze, I. R.: Coupling of Neural and Mechanical Oscillators in Control of Pitch, Vibrato, and Tremor. In: P. J. Davies-N. H. Fletcher (eds.): Vocal folds physiology: controlling, complexity and chaos. Singular Publ., San Diego, 3-16.
[11] Tokuda, I. et al.: Nonlinear Analysis of Irregular Animal Vocalisations. JASA 111(6), 2002, 2908-2919.
[12] Pap J.: Jaj nektek, asszonyok! Természet Világa 132. évf. (6), 2001, 258-261.
[13] Verge, M-P. et al.: Sound production in recorderlike instruments. I. Dimensionless amplitude of the internal acoustic field. JASA 101(5), 1997, 2914-2924.
[14] Pap J.: A hangszerakusztika alapjai. Liszt F. Zeneművészeti Főiskola, Budapest, 1994
[15] Legge, K. A., Fletcher, N. H.: Nonlinearity, chaos, and the sound of shallow gongs. JASA 86(6), 1989, 2439-2443.
[16] Pap J.: Megütöm a zengőkövet. Természet Világa, 132. évf. (2), 2001, 64-67.
[17] Rodet, X.: Nonlinear Oscillations in Sustained Musical Instruments: Models and Control. Proc. Euromech’93 (http://i2pi.com/PAPERS/music-dsp/nonlinear-oscillations-in-sustained.pdf)


Természet Világa, 136. évfolyam, 6. szám, 2005. június
http://www.termeszetvilaga.hu/
http://www.chemonet.hu/TermVil/