Stépán Gábor

Mikrokáosz



Legszívesebben két bevezetőt írnék. Az egyiket a népszerűsítő jelleg határozná meg, a másikat a mérnöki szemlélet, pontosabban annak változása azóta, hogy megjelent a káosz fogalma. Mindkettőben tükröződik az a gondolkodásmód a káoszról, melyről Tél Tamás és Gruiz Márton cikkében azt olvashattuk: a káosz egyszerű rendszerek bonyolult viselkedése. Kezdjük akkor az általános jellegű bevezetővel.

A káosz szórakoztat

Sokszor elgondolkodik az ember, miért nézzük élvezettel a különböző sportokat, miért szeretünk sportversenyeken részt venni vagy sakkozni, kártyázni, társasjátékokat játszani, biliárdozni, számítógépjátékokkal szórakozni, vagy csak merengeni egy folyó vagy a tenger partján, és nézni a víz áramlását. A válasz egyszerű: mert ezek változatosak, nem vagy ritkán ismétlik önmagukat. Ez a vonzó bennük. Természetesen a kisgyerekeknek szóló társasjátékok szabályai nem lehetnek túlzottan bonyolultak, hiszen nehezen tanulnák meg, újra és újra elfelejtenék őket. Nem is egyszerű olyan játékot csinálni, ami változatos, de ugyanakkor könnyen elsajátítható. Sokszor hívják segítségül a dobókockát a játék menetének változatosabbá tételére. A kártyajátékoknak se szeri, se száma, és minden korosztálynak megvan a maga kedvence. A sakk sikerének titka szabályrendszerének egyszerűségében, szemléletességében és egyúttal az egyes játszmák hallatlan bonyolultságában rejlik. A lehetséges lépéskombinációk száma ugyan véges, de olyan nagy és olyan változatos, hogy egyelőre legfejlettebb számítógépeink sem tudják bejárni. A kombinációk nagy száma önmagában persze még nem garancia egy játék sikerére, ahhoz az is kell, hogy nagyon sok közel egyforma, reális eséllyel alakuljon ki közülük, és ne legyen néhány olyan erősen stabilis megoldási variáció, ahova biztosan elvetődnek a játékosok.

A különböző bajnokságok rendszerét szintén igyekeznek úgy megalkotni, hogy egy játékos vagy csapat akár évekig az élen maradhat, de az is előfordul, hogy évente más és más a bajnok és a kieső. Néhány sport bizonyos értelemben igazságtalannak tűnő számítási szabályainak is hasonlóak az okai: egy teniszmérkőzést meg lehet nyerni úgy is, ha kevesebb pontot szerzünk ellenfelünknél, de a megfelelő pillanatokban – a játék kimenetele így izgalmasabb, változatosabb.

Természetesen egy játékot nem csupán a szabályokkal lehet véletlenszerűvé tenni. A már említett kockadobás olyan megoldás, ahol a newtoni mechanika ütközési jelenségét alkalmazzák kaotikus jelenségek előidézésére, a játékba való bevonására. Az ütközés erős nemlinearitásnak is felfogható: mintha két test között egy olyan nemlineáris rugó helyezkedne el, ami vagy zérus merevségű, amíg a testek nem érnek össze, vagy nagyon merev, amikor összeérnek. Ez persze még nem garancia a véletlenszerű jelenségek kiváltására, de könnyen azzá alakul, főként ha térbeli, merev testek hat szabadsági fokú mozgásáról, ütközéséről van szó.

Ezzel el is jutottunk a labdajátékok népszerűségének egyik legfontosabb okához. Angol nyugdíjasok az éves snookerbajnokságok idején napokat ülnek a televízió csatornái előtt, figyelik a biliárdgolyók mozgását, játékát – ami már síkbeli mozgásként is szórakoztató, de a golyók súrlódásos ütközése, forgása további változatosságot teremt. A tenisznek, röplabdának nemcsak a szabályai alapszanak a véletlenszerű jelenségek kiváltásán: a labda és az ütő vagy a labda és a játékos keze közötti ütközés is nagy változatosságot ad a labdameneteknek. A labdarúgás, a kézi- vagy a kosárlabda egyszerű szabályok mellett is nagyon izgalmas, sokszor kiszámíthatatlan mérkőzésekhez, eredményekhez vezet.

Van azonban a sportoknak egy másik csoportja, amelyik nem az ütközéseknek köszönheti a sokszínűséget: itt egyensúlyozásra van szükség. Idetartozik a hullámlovaglás, a széllovaglás, a síelés, a korcsolyázás, a kajakozás, a kenuzás, a gördeszkázás, sőt bizonyos értelemben az autóversenyzés, motorkerékpározás is – minden olyan sport, ahol megvan a bukás, esés lehetősége. Ezekben az esetekben a sportoló – miközben magát vagy sporteszközét, járművét kívánja egyensúlyban tartani – nagyon változatos mozgásra van kényszerítve minden újabb menetben. Talán az egyik legnehezebben követhető, egyeseknek már túlzottan is gyors és változatos sport a jégkorong, ahol az ütközés a korong és az ütők, illetve a játékosok között ugyanúgy jelen van, mint az egyensúlyozási feladat az egyes játékosok számára a jégen.

Az ütközési jelenségek a kaotikus dinamika klasszikus példáinak számítanak (lásd pl. rezgő lemezen pattogó golyó, lottószámok sorsolása). Ebben az írásban a hétköznapi életben, a sportokban is meghatározó másik jelenséggel, az egyensúlyozás dinamikájának kaotikus jellegével foglalkozunk.

Kicsiben minden lineáris…
Kicsiben nem minden lineáris…
Kicsiben minden nemlineáris?!

A bevezető gondolatok másik része a fenti alcímhez, egy klasszikusnak mondható mérnöki szemlélet változásához kapcsolható. A mérnököknek tervezőmunkájuk során nagy szükségük van arra, hogy a fizikai jelenségeket leíró differenciálegyenleteket zárt alakban meg tudják oldani. Erre a lineáris algebra lehetőséget is ad lineáris differenciálegyenletek esetén – most tekintsünk el a nagyon nagy méretű lineáris feladatok megoldásának számítástechnikai nehézségeitől. A linearizálás a mérnök kezében olyan eszköz, amit szinte mindenütt használ, mert másként nemigen tud tervezni. Olyan, mint egy kalapács, amivel a hajódarutól az órarugóig mindent megcsinál.

A mérnököket természetesen figyelmeztetik, módszereik csak kis mozgásokra érvényesek, de hogy mi számít kicsinek, azt inkább tapasztalattal tanulják meg, nem bonyolódnak matematikai becslésekbe. A biztatás azonban elhangzik a legtöbb tankönyvben: ha nem tudjuk, mit kezdjünk a rendszert leíró bonyolult egyenletekkel, gondoljunk arra, hogy kicsiben minden lineáris – ahogy ezt egy nemlineáris rugókarakterisztika esetében az 1. ábra mutatja. Linearizáljunk, számoljunk, tervezzünk, gyártsuk le gépünket, kockáztassuk meg, hogy valóban csak "kis" mozgásokat végez majd, és úgy működik, ahogy elképzeltük.

1. ábra. "Kicsiben minden lineáris"

A sok figyelmeztető ellenpélda között szerepelnek a nemlineáris rezgéstan klasszikus példái az akadozó csúszástól a "simmiző", más szóval "szitáló" kerekekig. És persze ott vannak a káosz tudományterületének immár szintén klasszikusnak mondható példái, mint az ingák nagy amplitúdójú kaotikus lengései. A mérnököket ez utóbbiak sokáig nemigen érdekelték: ők ritkán terveznek olyan szerkezeteket, amelyeknek mozgása ennyire nagy kitérésekkel járna, gyakrabban olyanokat, amelyek egy megkívánt egyensúly, stacionárius vagy periodikus mozgás kis környezetében maradnak. Ott pedig lehet linearizálni – a káosz a mérnöknek látszólag nem érdekes.

Ezzel a gondolkodásmóddal homlokegyenest ellenkező szemlélet is megjelent a mérnökök között az utóbbi évtizedben. Sok kísérletező, méréstechnikával foglalkozó mérnök ismerte fel, hogy valójában legtöbb szerkezetünk működése igenis véletlenszerűnek, kaotikusnak tűnik – csak elegendő pontossággal, nagy felbontással kell megmérni a mozgásukat. És valóban, sok gépünk mozgása annak ellenére véletlenszerű, hogy klasszikus mérnöki szemlélettel kis amplitúdójúnak mondható.

Ráadásul éppen az utóbbi évtizedben jelentek meg a mikroprocesszorokkal irányított gépek, gépalkatrészek. Ezekben az esetekben az analóg-digitál átalakítókon jelentkező kerekítés pontosan olyan nemlinearitást jelent, amilyen az említett, nagy felbontású vizsgálat esetén látható: itt kicsiben minden nemlineáris.

Jól mutatja ezt az a tréfás feladvány is, amelyik Lewis Carrolltól, az Alice csodaországban [0] című mesekönyv szerzőjétől származik. Arra a kérdésre, hogy melyik óra a pontosabb: amelyik áll vagy amelyik napjában egy másodpercet siet, a meglepő válasz az volt, hogy amelyik áll, mert az napjában kétszer mutatja a pontos időt, míg a siető nem. A feladat még az analóg órák korában készült. Manapság a digitális, kicsit siető óra napjában nagyon sokszor is mutathatja a pontos időt, hiszen ha másodpercenként jelezi az időt, olyan, mintha egy-egy másodpercig álló óra lenne. Ezt mutatja a 2. ábra.

2. ábra. "Kicsiben minden nemlineáris"

A következőkben az egyensúlyozás dinamikájával, majd a kicsiben jelentkező nemlinearitásoknak az egyensúlyozás dinamikájára gyakorolt hatásával foglalkozunk. Ez vezet a mikrokáosz jelenségéhez, a kicsiny, mégis kaotikus mozgásokhoz, amelyek számítógéppel szabályozott szerkezeteinken, gépeinken lépnek fel.

Hogyan egyensúlyozunk?

Vizsgáljuk meg a legegyszerűbb egyensúlyozási feladatot: mindenki próbált már pálcát egyensúlyozni az ujja hegyén. Aki rászánt néhány percet a próbálkozásra, és elegendően hosszú pálcával, netán seprűnyéllel kezdte a gyakorlást, hamar rájött, a feladat nem is olyan nehéz. Nem is lehet, hiszen saját magunkat is sikeresen egyensúlyozzuk két lábon, ahogy már egyéves korunkban megtanultuk.

Válasszuk ennek a pálca-egyensúlyozási feladatnak is a matematikailag legegyszerűbben leírható változatát, amikor az l hosszúságú és m tömegű homogén rúd csak a függőleges síkban billeghet, és a rúd alsó pontját csak vízszintes egyenes mentén mozgatjuk, ott hatunk rá egy vízszintes Q szabályozóerővel (3. ábra). Ilyen játék modellt könnyen készíthetünk magunknak: szigetelőszalaggal rögzítsük egy legalább 30 centiméteres vonalzó egyik végét egy A4-es papírlaphoz. A sima asztallap felületén csúsztatva próbáljuk meg kezünkkel úgy mozgatni a papírlapot, hogy a vonalzó az asztallapra merőlegesen minél hosszabban megálljon.


3. ábra. Az egyensúlyozás egy mechanikai modellje

A 3. ábrán látható ideális, súrlódásmentes rendszernek 2 szabadsági foka van, célszerűen a rúd alsó pontjának x vízszintes elmozdulását és a rúd függőlegessel bezárt j szögét választhatjuk a rendszert egyértelműen leíró koordinátáknak. Mivel csak a j=0 függőleges helyzet körüli kis mozgásokkal, azok stabilitásával kívánunk foglalkozni, linearizáljuk a leíró newtoni egyenleteket: azaz kicsiben minden lineáris, sinj»j, cosj»1 stb., és megjegyezzük, egyenleteink csak (mondjuk)  érvényesek. A rúd szögének időbeli változására ekkor a

differenciálegyenlet adódik, ahol b a szöggyorsulás (j második deriváltja), g a gravitációs gyorsulás szokásos jele.

Amennyiben az inga alsó pontja súrlódásmentesen elcsúszhat a vízszintes egyenes mentén, szabályozóerő sem hat, azaz Q(t)ş0, és ha az ingát egy kicsiny j0 szöghelyzetből (pl. zérus szögsebességgel) indítjuk a t0=0 időpillanatban, nyilvánvalóan eldől. Ez matematikailag úgy fejezhető ki, hogy

Ha a mozgásról t időközönként stroboszkóppal felvételt készítünk, azt találjuk, hogy két, egymást követő villanás pillanatában a szögek értékeinek hányadosa állandó (q). Az inga szögének értékei a stroboszkóp villanásainak pillanataiban egy q kvóciensű mértani sorozatot alkotnak:
Mivel ez a kvóciens jelen esetben 1-nél nagyobb, a sorozat divergens, a pálca függőleges helyzete instabil.

Azt egyébként Maxwell már 1865-ben belátta [1], hogy a (2) alakú differenciálegyenlet zérus megoldása instabil, hiszen az ott szereplő együtthatók nem azonos előjelűek (az egyik +1, a másik –6g/l). A stabilitás feltétele, hogy a másodrendű differenciálegyenlet tagjainak minden együtthatója azonos (itt pozitív) előjelű legyen. Milyen szabályozóerővel lehet ezt elérni?

A legegyszerűbb esetben egy úgynevezett PD-szabályozóval, melynek elnevezése a P arányos, és a D differenciális tényezőkre utal. Ezekkel a szabályozóerő egy képzeletbeli rugót és egy viszkózus csillapítóelemet képez:

itt w a szögsebesség (jelső deriváltja).

Ezzel már elérhető, hogy az (1) differenciálegyenlet

új alakjában a zérus megoldás stabilis legyen. A pálca felső holtponti helyzete stabilizálható, ha a PD-szabályozóban alkalmazott együtthatók kielégítik azt a követelményt, hogy (5) együtthatói pozitívak legyenek, azaz ha

(6)

Ez az a legegyszerűbb módszer, amivel egyensúlyozhatunk: a megfigyelt szög radiánban vett értékét megszorozzuk egy, a pálca súlyánál kissé nagyobb számmal, majd ehhez adjuk még a pálca szögsebességével arányos kis csillapítóerőt, és az így adódó erővel toljuk a pálca alsó pontját vízszintesen. Nagyjából ezt a matematikailag talán bonyolultnak tűnő szabályozást gyakoroljuk be próbálkozásaink során.

Amennyiben stroboszkóppal világítjuk meg ezt a szabályozott rendszert, a legegyszerűbb esetben ismét (3) alakú mértani sorozatot kapunk, ami azonban most 1-nél kisebb abszolút értékű kvóciens mellett konvergens – a stabilis rendszernek megfelelően.

A sikertelen egyensúlyozás
és reflexeink késése

Hiába olyan egyszerű szabályozási paramétereket választani a (P, D) paraméterek síkjának (6) szerinti kvadránsában, az egyensúlyozás sokszor mégis sikertelen: egy, mondjuk, csupán 10 cm hosszú ceruzát senki nem tud az ujján kiegyensúlyozni. Ennek oka az, hogy reflexeink késése miatt nem tudjuk a szabályozóerőt azonnal a megfigyelt szög- és szögsebességértékeknek megfelelően beállítani. Mindenki írhat egyszerű számítógépi programot, mellyel ellenőrizheti, hogy a szemünk előtt felvillanó jelre ujjunk egy billentyű lenyomásával például csak kb. t=0,1 másodperc késéssel tud reagálni. Ez azt jelenti, hogy a (4) szabályozóerő pontosabban

alakban modellezhető.

Ha kísérleteinkből felismerjük, hogy itt a stabilitás elvesztése nem egyszerűen a pálca exponenciális eldőléseként játszódhat le, hanem periodikus mozgásokon, rezgéseken keresztül (ahogy sikertelenül kapkodjuk a rúd alsó pontját jobbra-balra), akkor megtalálhatjuk a stabilitási határokat zárt alakban a P és D paraméterekre. A stabilitási határokon kialakuló rezgés frekvenciáját változtatva megrajzolhatjuk a 4. ábrán látható stabilitási térképet. A térképből nagyon sok következtetés vonható le.


4. ábra. Az egyensúlyozás stabilitási térképe – a vonalkázott tartomány stabilis

A stabilizáláshoz csak véges paramétertartomány áll rendelkezésre, és szükség van mind a két paraméterértékre. Érdekes megfigyelni, hogy az emberi egyensúlyozó szervben, a belső fülben elhelyezkedő labirintusban megtalálhatók az orvosok által statikus, illetve dinamikus receptornak nevezett részek, melyek agyunk szabályozótevékenységéhez mind az orientáció, mind az orientáció időbeli változásának jeleit előállítják egy PD-szabályozó számára (5. ábra).


5. ábra. Az emberi egyensúlyozó szerv, a labirintus

Az időkésés növekedésével (t1<t2<t3 a 4. ábrán) a stabilitási tartomány szűkül. Ahhoz, hogy egyáltalán létezzen ilyen stabilitási tartomány a (P, D) paramétersíkon, az kell, hogy Pmax>mg teljesüljön néhány rezgési frekvenciára. Ezt a feltételt kiszámítva azt kapjuk, hogy a pálca stabilizálásának szükséges feltétele az, hogy reflexeink késése kisebb legyen, mint a (8) képlettel megadott kritikus időkésleltetés:

Ha például egy 30 cm hosszú vonalzót egyensúlyozunk, akkor ez a kritikus reflexkésés hozzávetőlegesen  másodperc. Ez számszerűen is reális eredmény: éppen ilyen hosszú rudat tudunk általában még egyensúlyozni, ennél rövidebbet már nem. Illetve mégis: cirkuszi mutatvány, amikor poharat, kést vagy más, mindössze 10-20 cm hosszú tárgyat egyensúlyoznak. Vegyük észre, hogy ezt általában a fogak közé vett tőr hegyén végzik el, amikor is a szem és az egyensúlyozást végző nyakizmok között sokkal kisebb a holtidő, mint karunkon át, ujjaink irányában. Egy másfél méter hosszú seprűt viszont már akár a lábujjunkra helyezve is egyensúlyozhatunk.

Mindenki tudja, hogy az alkohol rossz hatással van reflexeink késésére, ezért különösen veszélyes ittasan autót, motorkerékpárt vezetni, biciklizni…, tulajdonképpen gyalogolni, alkalmasint állni is. Igaz ugyan, hogy kevés alkohol javítja érzékeink pontosságát (azaz például pontosabban észlelhetjük a pálca szögét, szögsebességét), de ezt a hatást alapvetően elrontja, hogy jelentősen növekszik a reflexek késése. Amikor ez nagyobbá válik atkr kritikus időkésleltetésnél, magunkat sem tudjuk egyensúlyozni, dülöngélni kezdünk. Ennek a stabilitás határán jelentkező periodikus mozgásnak a frekvenciája Hz-ben kifejezve 0<f<1/(4tkr)»2 Hz. Ez a frekvencia számszerűen is megfelel az ittas emberek másodpercenkénti 1-2 billegésének csakúgy, mint a céllövők esetében kimért kb. 1 Hz-es frekvenciának [3].

Reflexeink azonban életünk előrehaladtával is lassulnak. Az öregek otthonában például egyértelmű korrelációt mutattak ki az idős emberek reflexeinek lassulása és az elesések gyakorisága között. Idős embereknek ezért azt tanácsolják, hogy lassítsák mozgásukat, legyenek óvatosabbak, hiszen gondosabban, kisebb stabilitási tartományból kell megválasztaniuk az egyensúlyozáshoz szükséges szabályozási paramétereket. Egyes neurológusok életkortól függetlenül is használják a pálcaegyensúlyozási kísérleteket reflexeink, koordinációs képességeink állapotának ellenőrzésére [4].

A pálca-egyensúlyozási kísérletek azonban azt mutatják, hogy hiába elegendően gyorsak reflexeink, hiába választjuk meg a szabályozási paramétereket gondosan a 4. ábra szerinti stabilitási tartomány belsejében, egy kis amplitúdójú rezgés, szabálytalan remegés mindig marad a rendszerben, tökéletesen soha nem nyugszik meg az egyensúlyozott pálca, vagy egyébként álló helyzetben lévő testünk mozgása. Erre persze azt a magyarázatot szokták adni, hogy az emberi szabályozás sok véletlenszerű elemet tartalmaz, és ha a szabályozás sztochasztikus, nem csodálkozhatunk azon, hogy annak eredménye sem tökéletes. A következőkben vizsgáljuk meg, hogyan egyensúlyoz a determinisztikusan működő digitális számítógép.

Egyensúlyozás
számítógépi szabályozással

A digitális számítógép egyensúlyozáskor meglepően hasonlóan működik, mint az ember. A világ számos egyetemén, így a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem több tanszékén is megépítették gépész- és villamosmérnök-hallgatók a pálca egyensúlyozására készített, számítógéppel szabályozott kis kocsit (6. ábra). A kocsin csapággyal rögzített pálca szöghelyzetéről egy jeladó ad információt a számítógépnek, az kiszámítja a (4)-nek megfelelő szabályozóerőt, amit azután a kocsin elhelyezett villanymotor segítségével juttat el a pálca alsó pontjára.

6. ábra. Számítógéppel szabályozott egyensúlyozás

Legyen bármilyen gyors digitális gépünk processzora, az emberi reflexekhez hasonlóan késni fog, legfeljebb tizedmásodpercek helyett mindössze ezredmásodperceket. Van azonban egy apró kvalitatív különbség is az analóg és a digitális eset között. A számítógép t mintavételezési idővel (másként 1/t mintavételezési frekvenciával) dolgozik, ami azt jelenti, hogy a számítógép a 7. ábrának megfelelően egy tk–1=(k–1)t (k=1, 2,…) időpillanatban kap jelet a szög értékéről, azzal tideig számol, majd a tk=kt időpillanatban kiadja a szükséges szabályozóerőt, ami a (tk, tk+1) mintavételezési intervallumban állandó marad, hiszen közben már az újabb érzékelt jellel kell foglalkoznia. Ez azt jelenti, hogy a számítógép r késése periodikusan változik t és 2t között a 7. ábra szerint:

Ha mindezt figyelembe véve ismételjük meg a matematikai stabilitási vizsgálatot, egy, a 4. ábrán láthatóhoz teljesen hasonló stabilitási térképet kapunk. A kritikus mintavételezési időre vonatkozó képlet sem tér el lényegesen (8)-tól:
A számítógépek bőven teljesítik ezt a kritériumot: velük egészen rövid pálcákat is egyensúlyozhatunk. Más módon kifejezve: ha a tk mintavételezési időpontokban villantunk az ingára stroboszkópunkkal, ismét konvergens mértani sorozatot kell kapnunk:

Ha azonban vetünk egy pillantást a számítógépes egyensúlyozási kísérletre, azt tapasztaljuk, hogy a szög bizony nem tart egyenletesen a függőleges holtponti helyzetnek megfelelő zérus értékhez; a körül kis, véletlenszerűnek tűnő rezgést, remegést tapasztalunk. Mi lehet az oka, hogy a véletlen hatásoknak alig kitett számítógépi szabályozás is mutatja azokat a kicsi, véletlenszerű rezgéseket, melyeket az emberi egyensúlyozásnál is megfigyelhetünk?

7. ábra. Szabályozás mintavételezési késéssel
 

A kerekítés
mint nemlineáris digitális hatás

Ha megnézzük a kísérletek során rögzített véletlenszerű szöglengéseket a 8. ábrán, azonnal felismerhetjük az ingadozások okát: a szögértékek csak diszkrét szinteken jelentkeznek, mivel a számítógép ki- és bemeneti pontjain a bitek számának megfelelően a szögek értékei véges számábrázolással jelennek meg. A diszkrét szintek az 1 bitnek megfelelő h szögértékek. Ez azt jelenti, hogy a szabályozóerő egy pontosított modellje erős, de csak kis léptéken jelentkező nemlinearitást tartalmaz.


8. ábra. Számítógéppel szabályozott inverz inga szögének időjele [5]

A rendszer stabilitásában ez megmutatkozik: mivel az egészrész-függvény a nulla körül zérus értéket ad, az inga holtponti helyzete körül, a kicsiny, de véges –h és a +h szögértékek között a rendszer nem kap szabályozó jelet: az inga eldől, ahogy ezt a (2)–(3) egyenletek kapcsán megbeszéltük. Tehát a j=0 helyzet így nem lesz sohasem stabilis, egy határon túl nem tudjuk egyenletesen megközelíteni.

Másként fogalmazva arról van szó, hogy a nagyon kis szögértékeket érzékelőink digitalizált jelei nullának tekintik, és így a stabilizálandó helyzet nagyon kis környezetében rendszerünk mindenképpen szabályozás nélkül marad, azaz ott a mechanikai okokból meglévő instabilitás érvényesül. Más kérdés, hogy amint a szögérték eléri a h értéket, majd annál nagyobb lesz, a szabályozás újra "bekapcsol", és az ingát "visszalökdösi" a holtponti helyzet h széles környezetébe – ott azonban újra "magára hagyja".

A mikrokáosz-leképezés

A kerekítést is figyelembe vevő mozgásegyenletből (3)-hoz hasonlóan kapott, immár nemlineáris diszkrét sorozatot nevezzük mikrokáosz-leképezésnek [6, 7, 8]:

Ebben a leképezésben a fent leírt egyensúlyozási dinamika minden fontos eleme megtalálható. A skalár x a j szög h-val dimenziótlanított értéke, j/h, xk a k-adik mintavételezési időpillanatban felvett érték. A (k+1)-edik pillanatbeli értéket az előző mintavételezési pillanat értékéből számíthatjuk. Ha nincs szabályozás, akkor b=0, és az instabil egyensúlyú mechanikai rendszert – (3)-nak megfelelően, a>1 mellett – divergens sorozat írja le:
Ha az inga h-nak sokszoros szögértékeivel mozog, akkor x értéke akár több száz, ezer is lehet. Ekkor az egészrész-függvényre vonatkozó int(xx kielégítő közelítés, és a PD-szabályozót bekapcsolva a zérus helyzet stabilizálható. Most (13) alakja közelítőleg

Az, hogy a PD-szabályozó paramétereit a 4. ábrán jelzett stabilitási tartományból választottuk, annak felel meg, hogy a leképezés b paraméterével az eredetileg divergens (13) sorozat a (14) alakban már konvergens lesz. Ennek megfelelően x értéke csökken, az inga szöge egyre kisebb, látszólag tart zérushoz, a felső holtponti helyzethez. Amint azonban x értéke kezd kicsivé válni, az egészrész-függvény nemlineáris hatása egyre erősebb. Például ha a szög h alá csökken, azaz x 1-nél kisebb, akkor az egész rész zérus, és ismét a (13) divergens sorozatot kapjuk. Szóval a 9. ábrának megfelelően a (12) mikrokáosz-leképezés nagy léptékben stabilis, az origó körül azonban instabil.


9. ábra. Iterációk a mikrokáosz-leképezésben eltérő léptékek esetén

A belülről kifelé növekvő és a kívülről befelé csökkenő mozgások között kaotikus mozgás alakul ki, melynek amplitúdója kicsi, néhányszorosa a kerekítés, azaz a diszkretizálás h értékének. Ezt a (12) leképezés egyszerű számítógépi szimulációja is jelzi az egyensúlyozáskor kísérletileg is tapasztalt véletlenszerű billegésnek megfelelően. A leképezés kaotikusságának matematikai igazolását [7]-ben találjuk.

Összefoglalás

Végül is az emberi egyensúlyozás kaotikus függetlenül attól, hogy vannak-e véletlenszerű elemek az általunk végzett szabályozásban, s analóg vagy digitális módon működik-e az agyunk. Egy biztos: mi sem tudunk tetszőlegesen kicsi szögértékeket érzékelni, így ha a megkívánt egyensúlyi helyzethez elegendően közel, azaz érzékelési pontosságunkon belül jutunk, akkor szabályozórendszerünk érzéketlenné válik, nem működik, és rendszerünk mechanikai instabilitása érvényesül.

Figyeljük meg egy elalvással küzdő kisgyerek vagy egy unalmas előadáson ülő hallgató fejének billegését. Ilyenkor az érzékelési szögtartomány nagyon naggyá nő, az ellazult, elálmosodott szervezetben a reflexkésések is nagyok. Az álmos ember feje akár 5-10 fokra is elbillen, de erre felébred, és egyensúlyozó/szabályozó rendszere bekapcsol: a fejet visszajuttatja a függőlegeshez közeli helyzetbe – ahol aztán az érzéketlenség miatt a szabályozás újra "kikapcsol". Azt hiszem, mindenki meggyőződhet róla, az ilyen egyensúlyozás eredménye véletlenszerű mozgás.

A mikrokáosz-leképezés azonban mérnöki szempontból sokkal fontosabb következtetésekre ad lehetőséget. Számítógéppel szabályozott gépeinkben kis léptékben az analóg-digitál átalakítókon kialakuló kerekítés olyan nemlinearitás, ami az időtartományban jelentkező lineáris digitális hatással, a mintavételezéssel együtt tipikusan kis amplitúdójú kaotikus rezgéseket okoz: ez a mikrokáosz.

Irodalom

0. Carroll, L., Alice’s Adventures in Wonderland, William Morrow & Company, London, 1993.
1. Porter, B., Stability Criteria for Linear Dynamical Systems, Oliver and Boyd, Edinburgh, 1967.
2. Stépán, G., Retarded Dynamical Systems, Longman, London, 1989.
3. Bretz, K., Kaske, R. J., Some parameters of multiloop biofeedback control of posture, Proceedings of XII Int. Symposium on Biomechanics in Sport (Siófok, 1994).
4. Moss, F., Milton, J. G., Medical technology–Balancing the unbalanced, Nature 425 (2003) 911–912.
5. Enikov, E., Stépán, G., Micro-chaotic motion of digitally controlled machines, Journal of Vibration and Control 4 (1998) 427–443.
6. Stépán, G., Micro-chaos in digitally controlled mechanical systems, in Nonlinearity and Chaos in Engineering Dynamics (Eds.: J. M. T. Thompson and S. R. Bishop), John Wiley & Sons, Chichester, 1994, 143–154.
7. Haller, G., Stépán, G., Micro-chaos in digital control, J. of Nonlinear Science 6 (1996) 415–448.
8. Chen, G., Dong, X., From Order to Chaos: Perspectives, Methodologies, and Applications, World Scientific, Singapore, 1997.


Természet Világa, 135. évfolyam, 2. szám, 2004. február
http://www.chemonet.hu/TermVil/ 
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/