Érdi Bálint

Bolygórendszerek kaotikus dinamikája

Második rész


Cikkünk első részében a Naprendszer bolygóinak keringésével és tengelyforgásával kapcsolatos kaotikus változásokról esett szó. Ebben a részben folytatjuk a bolygórendszerek kaotikus dinamikai jelenségeinek ismertetését. Ezúttal a kisbolygók kaotikus pályafejlődésével, valamint az exobolygórendszerek dinamikai viselkedésével kapcsolatos eredményekből adunk ízelítőt.
 
 

Kis égitestek kaotikus viselkedése

A Naprendszerben számtalan kisméretű égitest, üstökös és aszteroida kering. Ezek a nagybolygók perturbáló hatása alatt állnak, s mivel mozgásuk igen érzékenyen függ a kezdőfeltételektől, melyeket nem ismerünk elég jól, hosszú távra nem jelezhető pontosan előre. Ezt jól szemlélteti a Chiron kisbolygó példája. A Chiron erősen elnyúlt pályán kering a Nap körül. Perihéliuma (napközelpontja) a Szaturnusz pályáján belül, aféliuma (naptávolpontja) az Uránusz pályájának közelében van. Felfedezése után, az 1980-as években, több kutató numerikus integrálással vizsgálta a kisbolygó mozgását. A kezdőfeltételeket a legpontosabbnak tartott pályaelemekből számított kezdőértékek körül változtatták. A számítások azt mutatták, hogy a Chiron többször szorosan meg fogja közelíteni a nagybolygókat. Az egymáshoz közeli, különböző kezdőfeltételekkel végzett numerikus integrálások azonban igen különböző végeredményekre vezettek, ami tipikus jelenség kaotikus rendszerek esetén. Így a Chiron sorsával kapcsolatban csak valószínűségi kijelentések tehetők. Eszerint 1/8-ad a valószínűsége annak, hogy a Szaturnusz perturbáló hatására a Chiron olyan hiperbolapályára kerül, melyen kidobódik a Naprendszerből. Nagyobb, 7/8-ad annak a valószínűsége, hogy a Szaturnusz szoros megközelítései során elszenvedett perturbációk a Chiront a Naprendszer belsőbb vidékei felé terelik, ahol azután a Jupiter gravitációs hatása alá kerül majd. A Chiron kisbolygóként való azonosítása egyébként kérdésessé vált, amikor 1988-ban felfedezték, hogy fényessége nagy, szabálytalan változásokat mutat, és kómája van. A Chiront ma a Kentaurok közé sorolják. Ezek olyan objektumok, melyek átmeneti pályán vannak az Edgeworth–Kuiper-övből a rövid periódusú üstökösök Jupiter-családjába.

A kisbolygók a Naprendszer ismert égitestjeinek legnépesebb csoportját alkotják. Már több tízezer kisbolygó pályáját katalogizálták. Döntő többségük a Mars és a Jupiter pályája között kering, de több száz kisbolygót ismernek a Neptunuszon túli Edgeworth–Kuiper-övben, és ezres nagyságrendű az ismert Föld közeli kisbolygók száma. A kisbolygók jelentős részének pályáit – hosszú távon – a különféle rezonanciákkal, és a nagybolygók szoros megközelítésével kapcsolatos kaotikus dinamikai fejlődés alakítja.

A kisbolygók körében a rezonancia fő típusai a középmozgás-rezonancia és a szekuláris rezonancia. Középmozgás-rezonancia esetén egy kisbolygó és egy nagybolygó (általában a Jupiter) középmozgása közelítőleg kis egész számok hányadosaként fejezhető ki. Ekkor a kisbolygó néhány keringése alatt a nagybolygó is néhány fordulatot tesz meg a Nap körül, úgy, hogy a két bolygó kölcsönös pálya menti helyzetei közelítőleg periodikusan ismétlődnek. Ez a kisbolygóra ható perturbáló erők felerősödésével, és így jelentős pályaelem-változásokkal járhat. A fő kisbolygóövezetben, a Mars és a Jupiter pályája között, a Jupiterrel való 3/1, 5/2, 7/3, 2/1 arányú középmozgás-rezonanciáknál a kisbolygók eloszlásában minimumok vannak. Ezek a környezetüknél néptelenebb tartományok a Kirkwood-zónák. A fentiek alapján létezésüket természetesnek gondolhatnánk. Ám a 3/2 és 1/1 rezonanciáknál kisbolygó-csoportosulások figyelhetők meg, ami rögtön a rezonancia ellentmondásos természetét mutatja, és izgalmassá teszi a problémát. Miért van az, hogy a kisbolygók eloszlásában bizonyos rezonanciáknál ritkulások, másoknál pedig sűrűsödések vannak? Erre a kérdésre a Kirkwood-zónák felfedezése, 1876 óta keresték a választ, ám csak a közelmúltban sikerült elfogadható magyarázatot találni.

Szekuláris rezonancia esetén egy kisbolygó és egy nagybolygó pályaellipszise vagy pályasíkja közelítőleg együtt forog. A szekuláris rezonanciák hosszú idő, több millió év alatt a kisbolygópálya excentricitásának, illetve pályahajlásának jelentős mértékű változását okozhatják. A fő kisbolygóövezetben három szekuláris rezonancia található: az úgynevezett n5 és n6 rezonancia, amikor egy kisbolygó és a Jupiter, illetve egy kisbolygó és a Szaturnusz pályaellipszise forog együtt, valamint a n16 rezonancia, amikor egy kisbolygó és a Jupiter pályasíkja forog azonos ütemben. (A pályasíkok és a pályaellipszisek precessziós sebessége a pályaelemek bonyolult függvénye, a szekuláris rezonanciáknak megfelelő helyek a fázistérben hiperfelületek.) A kisbolygók eloszlásában a szekuláris rezonanciák mentén minimumok vannak, szekuláris rezonanciánál kisbolygó-csoportosulást nem figyeltek meg.

Visszatérve a Kirkwood-zónák problémájára, J. Wisdom (1983) mutatta ki először, hogy a 3/1 rezonanciában a kisbolygók pályáinak fejlődése a Jupiter perturbáló hatása következtében kaotikus: a pályák excentricitása kis, 0,1 alatti értékekről véletlenszerűen nagyobb, 0,35 körüli értékekre ugorhat, majd ismét visszaesik egy alacsonyabb értékre. Ez a folyamat rendszertelenül ismétlődik, kis excentricitású szakaszok váltakoznak nagy excentricitású kiugrásokkal (1. ábra). Ha egy 3/1 rezonanciában lévő kisbolygó pályájának excentricitása eléri a 0,35 értéket, a pálya annyira elnyúlttá válik, hogy eléri a Mars pályáját. Ilyen pályán a kisbolygó többször szorosan megközelítheti a Marsot, s a Marssal való találkozások néhány millió év alatt kiperturbálják a kisbolygót a 3/1 rezonanciából.
 


1. ábra. Egy kisbolygó excentricitásának tipikus időbeli viselkedése a Jupiterrel való 3/1 rezonancia esetén (Wisdom, 1983)

A későbbi vizsgálatok szerint hasonló mechanizmus működhet közre az 5/2 rezonancia elnéptelenítésében is. A Marstól távolabbi 7/3 rezonancia esetében azonban ez a folyamat nem elég hatékony a zóna kiürítéséhez. Itt 0,42 fölé kellene növekednie a kisbolygópályák excentricitásának, hogy a kisbolygók elérjék a Mars pályáját, a vizsgálatok szerint azonban ekkora növekedésre a Jupiter perturbáló hatása önmagában nem elegendő. A. Morbidelli és M. Moons (1993, 1995) ezért – a Jupiter mellett – a többi nagybolygó perturbáló hatását is figyelembe véve kereste a Kirkwood-zónák eredetének okát. Vizsgálataik szerint ebben meghatározó szerepe van a n5 és n6 szekuláris rezonanciáknak. Ott, ahol a 7/3 középmozgás-rezonancia húzódik, a n5 és n6 szekuláris rezonanciák tartományai átfedik egymást, s a több rezonancia együttes hatása alatt álló kisbolygópályák fejlődése annyira kaotikus, hogy a pályák excentricitása rövid idő alatt igen nagy, 0,7 körüli értékekre is felugorhat. Az ilyen elnyúlt pályán keringő kisbolygók pedig nemcsak a Mars, hanem a Föld közelébe is eljuthatnak. Itt a nagyobb tömeg miatti erősebb perturbáló hatás rövidebb idő alatt, hatékonyabban távolíthatja el a kisbolygókat a 7/3 rezonancia zónájából, mint a Mars perturbációja. Hasonlóan meghatározó szerepet játszik a n5 és n6 szekuláris rezonancia a 3/1 és az 5/2 rezonancia elnéptelenítésében is. Ezeknek a Kirkwood-zónáknak az eredetére tehát – úgy tűnik – elfogadható magyarázatot találtak.

Továbbra sem teljesen tisztázott azonban a 2/1-es Kirkwood-zóna keletkezése. E rezonancia fázisterének szerkezete igen hasonló a 3/2 rezonanciáéhoz, sőt a 2/1 rezonancia kevésbé kaotikus, itt kiterjedtebb a reguláris tartomány. Innen mégis hiányoznak a kisbolygók, míg a 3/2 rezonancia szűk reguláris tartományát egy népes kisbolygócsalád, a több mint 60 tagú Hilda-csoport tölti ki. E két rezonancia kaotikus tartományát jórészt a n5, n6 szekuláris rezonanciák átfedése hozza létre. Ezekben a tartományokban a pályák excentricitása akkorára növekedhet, hogy a kisbolygók elérhetik a Jupiter pályáját, s a Jupiter szoros megközelítései során elszenvedett perturbációk a kisbolygókat a Naprendszer külső térségei felé irányítják. A nagybolygók perturbáló hatásának figyelembevételével végzett, igen hosszú időtartamra kiterjedő numerikus integrálások arra utalnak, hogy a 2/1 és a 3/2 rezonancia reguláris tartományaiból a kisbolygók lassan eltávoznak. A 2/1 rezonancia esetében a diffúzió sebessége nagyobb, itt az elnéptelenedési folyamat már lezajlott, a 3/2 rezonancia esetében a diffúzió lassabb, itt még maradtak kisbolygók. A probléma azonban még további vizsgálatokat igényel.

2. ábra. A Trójai kisbolygók. Az a) ábra a kisbolygókat a Jupiter pályasíkjára vetítve, a b) ábra pedig a Jupiter pályasíkjához viszonyítva mutatja be

Megjegyezzük, hogy az 1/1 rezonanciájú, a Nap–Jupiter rendszer L4, L5 Lagrange-pontjai körül elhelyezkedő, több mint ezer ismert tagból álló két Trójai kisbolygócsoport (2. ábra) elsősorban a Lagrange-pontok stabilitásának köszönheti létezését. (Az L4, L5 pontok a Nappal és a Jupiterrel egyenlő oldalú háromszögek csúcsait alkotják. A Lagrange-pontok körüli kisbolygókat a trójai háború hőseiről nevezték el. A Jupiter előtt, az L4 pont körüli kisbolygók többnyire görög, a Jupiter mögött, az L5 pont körüliek pedig többségükben trójai harcosok neveit viselik.)

3. ábra. A fázistér szerkezete az L4 Lagrange-pont körül (Sándor és Érdi, 2003)

E kisbolygók dinamikai fejlődése is részben kaotikus. A síkbeli esetben (a Nap, a Jupiter és a kisbolygók egy síkban vannak) az L4 pont körül a fázistér szerkezetét a 3. ábra mutatja (Sándor és Érdi, 2003), a jobb oldal egy részének kinagyított képe a 4. ábrán látható. A vízszintes tengelyen a kisbolygóknak és a Jupiternek a Napból látható szögtávolsága, a függőleges tengelyen egy, a fél nagytengelyek arányától függő mennyiség van megadva, ez utóbbi a Jupiter és a kisbolygók pályái közti radiális irányú eltérésre jellemző. A centrum (az L4 pont) körüli zárt görbék reguláris pályáknak felelnek meg, a kisebb zárt görbékből álló szigetláncolatok a librációs mozgás rövid és hosszú periódusú komponensei közti magasabb rendű rezonanciákkal kapcsolatosak, a pontozott tartományokban kaotikus pályák találhatók. A Lagrange-pontok körüli stabilitási tartományból a kisbolygók lassú kaotikus diffúzióval évmilliárdok alatt eltávozhatnak (Levison és társai, 1997).

4. ábra. Az 5. ábra egy részletének kinagyítása (Sándor és Érdi, 2003)

A Földet gyakran megközelítik, s nemegyszer már el is találták kisebb-nagyobb méretű aszteroidák. Ezeknek a forrása a Mars és a Jupiter pályája közti fő kisbolygóövezet. Itt viszonylag gyakoriak a kisbolygók egymás közötti ütközései. Az ütközéskor keletkező töredékek bekerülhetnek a középmozgás-rezonanciákba, vagy a n5, n6 szekuláris rezonanciákba, ahonnan a korábbiakban vázolt módon, az excentricitás növekedése révén évmilliók alatt a Naprendszer belsőbb térségeibe juthatnak. Itt fejlődésüket a belső bolygókkal való találkozások, szoros megközelítések határozzák meg. A Naprendszer belső vidékein néhány millió évig tartózkodnak. Pályafutásukat gyakran a Napba hullva fejezik be. Más kisbolygók a perturbációk hatására kifelé vándorolnak, ahol az óriásbolygók hatása alá kerülhetnek. A bolygók szoros megközelítésekor fellépő pályaváltozásokat igen nehéz pontosan kiszámítani, hiszen azok nagyon érzékenyen függnek a kezdeti feltételektől. Ezért nem lehet a Földre veszélyes kisbolygók esetében sem hosszú távra pontos előrejelzést adni. Példaként említhetjük az Eros kisbolygót, amely az egyik legnagyobb Föld közeli aszteroida (méretei: 40´14 km), s gyakran megközelíti a Földet (1975-ben 14 millió km-re volt). Az Eros a Marssal van szekuláris rezonanciában, a két égitest pályája közel egyező ütemben forog. Ennek hatására az Eros pályája egyre elnyúltabbá válik, és néhány millió év múlva metszeni fogja a Föld pályáját. Emiatt az Eros néhány száz millió év múlva ütközhet a Földdel, bár ennek kicsi a valószínűsége.

Exobolygórendszerek

A Naprendszeren kívüli, más csillagok körül keringő bolygók kutatása napjaink csillagászatának egyik legérdekesebb területe. Az utóbbi évek intenzív vizsgálatainak köszönhetően mára az ismert exobolygók száma eléri a 100-at. A megismert exobolygórendszerek igen különböznek saját bolygórendszerünktől. Az exobolygók közel keringenek középponti csillagukhoz, tömegük pedig nagy, hasonló a Jupiteréhez. Ez minden bizonnyal a jelenleg használt detektálási módszerek következménye. Kisebb tömegű, vagy a középponti csillagtól távolabbi bolygók felfedezése a jövő feladata. Mindenesetre az, hogy az eddig megismert rendszerekben nagy tömegű bolygók keringenek egymáshoz, és a középponti csillagukhoz is közel, érdekes problémákat vet fel ezen rendszerek dinamikai fejlődésével és stabilitásával kapcsolatban. Például a Földön kívüli élet lehetőségének szempontjából fontos kérdés, hogy az exobolygórendszerek ún. lakhatósági zónájában (ahol a víz folyékony halmazállapotban van) létezhetnek-e elegendően hosszú ideig stabil bolygópályák.

Az ELTE csillagászati tanszékén több ismert exobolygórendszer dinamikai stabilitását vizsgáltuk (Sándor és Pál, 2003). Részletesen feltérképeztük a fázistér szerkezetét a lakhatósági zónák tartományában. Eredményeink szerint sok esetben a fázistér jelentős része kaotikus, de vannak olyan rendszerek is (pl. e Eridani, 47 Ursae Majoris), melyekben a Föld típusú bolygók hosszú ideig stabilan keringhetnek. Példaként a 70 Virginis és a 47 Ursae Majoris rendszerek esetét mutatjuk be.

5. ábra. A 70 Virginis exobolygó-rendszer fázistere a lakhatósági zónában (Sándor és Pál, 2003)

Az 5. ábra a 70 Virginis rendszer fázisterének szerkezetét mutatja a lakhatósági zónában, mely a középponti csillagtól 0,8–1,5 AU (csillagászati egység) távolságban van. A megfigyelt bolygó a lakható zónán belül (a=0,48 AU) kering. Egy másik, kisméretű bolygót a lakhatósági zóna különböző pontjaiba elhelyezve meghatározható, hogy mozgása milyen jellegű lenne. Az ábrán a sötét tartományokban a mozgás kaotikus, a világos tartományokban reguláris. Látható, hogy a lakhatósági zóna belső része nagyrészt kaotikus (a belső bolygóval való különféle rezonanciák miatt), és csak a zóna szélén van egy szűkebb reguláris tartomány, ahol stabil keringés lehetséges.

6. ábra. A 47 Ursae Majoris exobolygó-rendszer fázistere a lakhatósági zónában (Sándor és Pál, 2003)

A 6. ábrán a 47 Ursae Majoris rendszer fázistere látható a lakhatósági zónában, a középponti csillagtól 0,8–1,4 AU távolságra. Ez a rendszer hasonlít legjobban a mi Naprendszerünkre, itt két olyan bolygó kering, melynek tömeg- és pályaarányai a Jupiternek és Szaturnusznak felelnek meg. Mindkét bolygó a lakhatósági zónán kívül kering (a pályák fél nagytengelye a=2,09, illetve a=3,78 AU). Egy harmadik, kisméretű bolygót a lakhatósági zóna különböző pontjaiba helyezve szintén meghatározható későbbi mozgásának jellege. A 6. ábrán látható, hogy a lakhatósági zóna jórészt reguláris. A lakhatósági zónát a közelebbi, nagyobb tömegű bolygóval való 2/1, 3/1 és 5/2 rezonanciák keskeny kaotikus sávjai szabdalják. Közöttük azonban hosszú idejű stabil keringés lehetséges.

A rezonanciák alapvető szerepet játszanak a Naprendszer dinamikájában. A pályák hosszú távú fejlődése a középmozgás- és szekuláris rezonanciáktól, valamint ezek kölcsönhatásaitól függ. Várható, hogy a rezonanciák az exobolygórendszerekben is fontos szerepet töltenek be. Az első rezonáns exobolygórendszert G. W. Marcy és munkatársai fedezték fel (2001). A Gliese 876 jelű, M színképtípusú törpecsillag (tömege 0,32 Nap-tömeg) körül két bolygó kering, közelítőleg 30, illetve 60 napos periódussal, így ezek 2/1 arányú rezonanciában állnak egymással. Mivel a bolygók tömege nagy (legalább 0,56, illetve 1,89 Jupiter-tömeg), és a középponti csillaghoz igen közel keringenek (a=0,13, illetve 0,21 AU), kérdés, hogy stabil maradhat-e a rendszer hosszú ideig. M. H. Lee és S. J. Peale (2002) vizsgálatai szerint a rendszerben a 2/1 rezonancia mellett 1/1 arányú szekuláris rezonancia is található: a két bolygó pályaellipszise közel azonos ütemben, mintegy 3100 napos periódussal forog, úgy, hogy a pályák nagytengelyei közelítőleg egy egyenesbe esnek. A két bolygó együttállásai a pericentrumok környékén következnek be, s mivel a belső pálya erősen elnyúlt, a külső pedig csak kissé lapult, a két bolygó sosem közelíti meg szorosan egymást. Így nagy tömegük ellenére sem szenvednek nagy perturbációkat egymástól. Ezért a rendszer a csillag élettartamáig stabil maradhat.

7. ábra. A Gliese 876 rezonáns exobolygó-rendszer fázistere (Érdi és Pál, 2003). A belső bolygó a 2/1 rezonancia stabil (világos) tartományában foglal helyet

A 7. ábrán a Gliese 876 rendszer fázisterének szerkezete látható (Érdi és Pál, 2003) a középponti csillag és a külső bolygó közti tartományban (nem a lakhatósági zónában). A belső bolygó pályájának fél nagytengelyét és excentricitását változtatva meghatározható, hogy a különböző kezdőpontokból indított rendszer viselkedése milyen lenne. Az ábra közepén megfigyelhető világos árnyalatú, reguláris tartomány a két bolygó közti 2/1 arányú rezonanciának felel meg. A belső bolygó (az ábrán a B pont) ebbe a stabil tartományba esik. A külső bolygó (K pont) az ábra jobb szélén foglal helyet. A két bolygó közti tartomány erősen kaotikus (a számításokat 0,2-nél kisebb fél nagytengelyekre végeztük). Az ábra bal oldalán látható keskeny kaotikus sávok középmozgás-rezonanciáknak felelnek meg, a leghangsúlyosabb a=0,1-nél a 3/1 rezonancia.

Utószó

A Naprendszer dinamikájáról alkotott képünk alapvetően megváltozott az utóbbi évtizedekben. Kiderült, hogy bolygórendszerünk a kaotikus jelenségek gazdag tárházául szolgál. Kaotikus jelenségekkel találkozhatunk a kis és a nagy égitesteknél, aszteroidáknál és nagybolygóknál egyaránt. Újabban az exobolygórendszerek is a kaotikus viselkedés számos példáját adták. Fontos azonban hangsúlyozni, hogy a kaotikus viselkedés és ezzel kapcsolatban a mozgások előre jelezhetetlensége hosszú időtartamokra vonatkozik, a bolygók esetében például sok millió évre. Rövid időintervallumokra a bolygók mozgása igen pontosan kiszámítható, és – hasonlóan – az űrhajók mozgását is nagy pontossággal lehet előre jelezni. A bolygórendszerek kaotikus viselkedésére vonatkozó kutatások igen sok új eredményt hoztak. Ezt a kutatási területet továbbra is nagy érdeklődés övezi, az újabb vizsgálatoktól további érdekes eredmények várhatók.

Irodalom

Applegate, J. H., Douglas, M. R., Gursel, Y., Süssman, G. J., Wisdom, J.: 1986, Astronomical Journal, 92, 176–194.
Érdi B., Pál A.: 2003, Proceedings of the 3rd AH workshop on Trojans and related topics, megjelenés alatt.
Klavetter, J. J.: 1989, Astronomical Journal, 97, 570–579.
Laskar, J.: 1989, Nature, 338, 237–238.
Laskar, J., Robutel, P.: 1993, Nature, 361, 608–612.
Laskar, J., Joutel, F., Robutel, P.: 1993, Nature,361, 615–617.
Laskar, J.: 1996, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy,64, 115–162.
Lee, M. H., Peale, S. J.: 2002, Astrophysical Journal, 567, 596–609.
Levison, H. F., Shoemaker, E. M., Shoemaker, C. S.: 1997, Nature,385, 42–44.
Marcy, G. W., Butler, R. P., Fischer, D., Vogt, S. S., Lissauer, J. J., Rivera, E. J.: 2001, Astrophysical Journal, 556, 296–301.
Michtchenko, T. A., Beaugé, C., Roig, F.: 2001, Astronomical Journal,122, 3485–3491. Morbidelli, A., Moons, M.: 1993, Icarus, 102, 316–332.
Moons, M., Morbidelli, A.: 1995, Icarus, 114, 33–50.
Sándor, Zs., Érdi, B.: 2003, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, megjelenés alatt. Sándor, Zs, Pál, A.: 2003, Proceedings of the 3rd AH workshop on Trojans and related topics, megjelenés alatt
Süssman, G. J., Wisdom, J.: 1988, Science,241, 433–437.
Wisdom, J.: 1983, Icarus, 56, 51–74.
Wisdom, J., Peale, S. J., Mignard, F.: 1984, Icarus, 58, 137–152.
 


Természet Világa, 134. évfolyam, 6. szám, 2003. június
http://www.chemonet.hu/TermVil/ 
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/


Vissza a tartalomjegyzékhez