PAPP GÁBOR

A királis szimmetria esete a véletlen számokkal 

Amai térelméletek általánosan kétfajta részecskecsaládból épülnek fel. Vannak az „anyagi" részecskék, a fermionok, mint például az elektron, és vannak a részecskék közötti kölcsönhatást közvetítõ részecskék, a bozonok, mint amilyen az elektronok közti taszításért felelõs foton. Az erõs kölcsönhatásban az elektron szerepét a kvarkok játsszák, míg a foton szerepét a gluon1 veszi át. A tipikus kvark-gluon kölcsönhatás, az ún. csatolás erõssége nagyságrendekkel különbözik az erõs kölcsönhatásban az elektrodinamika elektron-foton csatolásától. Az elektronnak az elektromágneses kölcsönhatás miatti kötési energiája a hidrogénatomban néhány elektronvolt, ami az einsteini energia- tömeg egyenlõség elve alapján 10-36kg-mal teszi könnyebbé azt, és elhanyagolható az elektron 10-30 kg-os tömege mellett. A hidrogénatomban kötött elektron tömege kicsit más, mint a szabad elektroné, de ettõl még felismerhetõen elektron. Más a helyzet az erõs kölcsönhatásban, ahol a kötési energia összemérhetõ a részecskék tömegével, és ezáltal a szabad és a kötött részecske már nagyon eltérõ tulajdonságokat mutathat.
A csatolás erõsségén kívül azonban van még egy nagyon lényeges különbség az elektronok és fotonok elméletét leíró kvantum-elektrodinamika, illetve a kvarkok és gluonok viselkedését vizsgáló kvantum-színdinamika (az angol elnevezés rövidítéseként QCD) között. A gluonok, a fotonokkal ellentétben egymással is kölcsönhatásba lépnek, így egy gluon könnyen „elbomolhat" kettõre. Ráadásul a kvarkok és a gluonok, illetve a gluonok önmaguk közti csatolásának erõssége a kvantumelektrodinamikában leírtakkal éppen ellentétesen függ a részecskék tipikus energiájától, és kis energiák esetén a csatolás erõssége igen nagy lesz. Ennek az a következménye, hogy a kvantum-elektrodinamikában általánosan használt módszer, a perturbációszámítás2nem alkalmazható a kvantum-színdinamika alacsony energián történõ vizsgálatához, azaz például a természetben megfigyelt hadronok, mint a proton és neutron leírásához. A perturbáció-számítás azon alapul, hogy a bonyolult kölcsönható rendszer jellemzésére a szabad, ismert megoldású, kölcsönhatásmentes rendszer paramétereit használjuk, és megpróbáljuk a két rendszer közti különbséget kiszámolni. Ez abban az esetben lehetséges, ha a szabad és a kölcsönható rendszer közti különbségek „kicsik". Az elektronok egymással kölcsönhathatnak egy, kettõ, ..., végtelen sok foton közvetítésével. A végeredmény szempontjából, hogy a két elektron taszítja egymást, mindegyik folyamat ad valamilyen járulékot. Láttuk, hogy a kötött és a szabad elektron tömege közel esik egymáshoz, valamint kísérletekbõl tudjuk, hogy az elektron és a foton közti csatolási állandó értéke 1/137. Így ha kiszámoljuk a taszítást, feltételezve azt, hogy csak egy foton cserélõdik ki a két elektron között, a további elektron-foton kölcsönhatás figyelembevétele csak kicsit módosítja az eredményt. Ezzel szemben az erõs kölcsönhatásban nem garantált, hogy a szabad és a kötött kvark tömege megegyezik, és a csatolás erõsségét jellemzõ kombináció értéke egységnyi, azaz például az a kölcsönhatás, ahol két kvark között két kölcsönhatás jön létre egy-egy gluon segítségével, körülbelül ugyanolyan fontos, mint az ettõl számunkra megkülönböztethetetlen folyamat, melyben csak egy kölcsönhatás van.
Az erõs kölcsönhatásnak ez a viselkedése teszi szükségessé, hogy alacsony energián a kvantum-elektrodinamikától eltérõ, nemperturbatív módszereket találjunk a kvantum-színdinamikai elmélet megoldására. Az alacsonyenergiás vizsgálat során a ma minket körülvevõ és megfigyelhetõ hadronok (protonok, neutronok, pionok stb.) jellemzõit próbáljuk leírni. Erre az egyetlen ma ismert következetes módszer az ún. rácsszámolás, melynek során a téridõt nem folytonosnak tekintjük, hanem kis véges szakaszokból állónak. Egy ilyen diszkrét pontokból álló rácson a QCD megoldható számítógép(ek) segítségével, Monte-Carlo- módszerrel. Mint a neve is sugallja, ez a technika azt takarja, hogy bizonyos irányítással véletlenszerûen kialakítunk valamilyen színmezõt (az elektromágneses mezõ megfelelõje a QCD-ben), és megnézzük, hogy az mennyire fontos az elmélet megoldása szempontjából. Mind az elméleti jóslatok, mind a rácsszámolások azt mutatják, hogy bizonyos mezõkonfigurációk igen lényegesek, és az elmélet alacsonyenergiás viselkedése igen nagy pontossággal megérthetõ, ha csak ezeket az állapotokat vesszük figyelembe, és a többiekrõl megfeledkezünk. A rácsszámolásokat természetesen illik különbözõ nagyságú rácsállandóval - a tér- és idõbeli szakaszok hosszával - elvégezni, és a számolások végén megbecsülni, hogy milyen eredményt várunk, ha a rácsállandó a nullához tart, azaz a téridõ visszanyeri folytonos jellegét.

A rácsszámolások azonban igen idõigényesek, és igazából nem segítenek a fizikai kép megértésében, „mechanikusan" adják meg a feltett kérdésekre a választ. További hátrányuk, hogy a jelenlegi - és rohamosan bõvülõ - számítógépes kapacitás sem elegendõ ahhoz, hogy elég nagy rácson ki tudjuk számolni az elméletet, így sok kérdésre nem képesek választ adni. Azonban lehetõség van további egyszerûsítésekre, mint azt az elõbbi példa is mutatja, azaz tehetünk olyan fizikai közelítéseket, melyek az adott kérdéskör - a kvantum-színdinamika alacsonyenergiás viselkedése - szempontjából nem okoznak nagy hibát, ugyanakkor lényegesen leegyszerûsítik a kérdések megválaszolását.

Az egyszerûsített, ún. effektívelmélet kidolgozásához, mint arra Wigner Jenõrávilágított, szükséges a szimmetriák feltárása, és ezen szimmetriák megkövetelése az egyszerûsített modellben is. A hadronok tömegeit vizsgálva azt látjuk, hogy egy részecske, a pion (valójában három, a pozitív és a negatív töltésû, valamint a semleges pion) igen kirí közülük, a többi hadronhoz képest meglepõen kicsi - „majdnem nulla" - a tömege. Egy ilyen jelenségnek a térelméletekben igen komoly következménye van, ugyanis az elmélet egy szimmetriája önmagától sérül. Ezt a legjobban a mágnesesség példáján át lehet megérteni. A mágneseket leíró elmélet nem tünteti ki egyik mágnesezettségi irányt sem, az tetszõleges szöggel elforgatható, és ennek a szimmetriának alapján azt várnánk, hogy sok elemi mágnesbõl felépülõ acéldarab teljes mágnesezettsége nulla. Ezzel szemben azt tapasztaljuk, hogy hiába a forgatási szimmetria, ez sérül, mivel a mágnes esetében a kis elemi mágnesek egy adott irányba állnak be. Hasonló a helyzet, amikor egy pálcát függõlegesen az asztalhoz nyomunk, és erõs nyomás esetében a pálca hirtelen egy adott irányba meggörbül (a pálcát leíró elmélet alapján bármelyik irányba meggörbülhet). Mi lehet az a szimmetria, ami sérül a kvantum-színdinamika esetében, és a pion igen kis tömegét okozza?
 

1. ábra. A jobb kéz hüvelykujja mutatja a részecske spinjének irányát a többi ujj által meghatározott forgási irány esetében
A QCD elméletében a kvarkok „szabad" tömege igen kicsi, és jó közelítéssel nullának tekinthetõ. A tömegtelen részecskéknek azonban van egy sajátságos jellemzõjük, az ún. kiralitás3, mely a részecske spinjének (saját impulzusmomentumának) és haladási irányának relatív helyzetét határozza meg. A rajz alapján, ha jobb kezünk ujjait a hüvelykujj kivételével a forgás irányába állítjuk (begörbítve), akkor a rájuk merõlegesen tartott hüvelykujj mutatja meg a spin irányát (1. ábra). Amennyiben ez a haladás irányával kevesebb, mint 180 fokot zár be, akkor jobbkezes, ellenkezõ esetben balkezes részecskérõl beszélünk. Ez a felosztás nem mûködik tömeggel rendelkezõ részecskék esetében, mivel beülve egy, a vizsgált részecskénél gyorsabban mozgó vonatkoztatási rendszerbe, a részecske haladási iránya elõjelet vált, míg spinje nem, és végeredményként a kiralitás az ellenkezõjére változik. Mivel a fizikában a részecskék típusát jellemzõ fizikai mennyiségek nem függhetnek attól, hogy milyen vonatkoztatási rendszerbõl határozzuk meg az értéküket, a kiralitás nem jó jellemzõ tömeggel rendelkezõ részecskékre. Ugyanakkor tömegtelen részecske esetén, mivel az fénysebességgel halad, nincs olyan vonatkoztatási rendszer, amelybõl nézve a részecske haladási iránya megváltozna.

A továbbiakban lássuk a QCD-nek azt a közelítését, ahol a kvarkok „szabad" tömege nulla. Ebben az esetben a jobb- és balkezes  kvarkok egymástól teljesen függetlenek lesznek, és az elmélet érzéketlen e kétféle kvark relatív fázisának tetszõleges megváltoztatására. Az ezzel összefüggõ szimmetriát nevezzük királis szimmetriának. Amennyiben a kvarkoknak tömeget adunk, a tömeg „összekeveri" a kétféle kiralitású kvarkokat, megszüntetve a királis szimmetriát. Így e szimmetria sérülése azt is jelenti, hogy az eredeti elméletben tömegtelen szabad kvarkok tömeget nyernek! Ez a látszólagos ellentmondás abból adódik, hogy a QCD-t a szabad kvark jellemzõivel írtuk fel, és a szabad kvark tömegtelen. Ez nagy energián nem is okoz problémát, ott mûködik a perturbáció-számítás, a kölcsönható és a szabad rendszer „közel" áll egymáshoz. Ugyanakkor alacsony energián, a kölcsönható rendszer annyira más, mint a szabad, hogy a kölcsönható kvarkok jelentõs, a proton tömegének harmadával egyenlõ tömeggel rendelkeznek. A két, a szabad és a kölcsönható rendszer annyira távol van egymástól, hogy perturbációszámítással a királisszimmetria-sértés nem írható le.

A kvarktömegnek ez a viselkedése, hogy alacsony energián nagy, nagy energián meg nulla a fenti közelítésben azt jelzi, hogy van egy kritikus energia, amelynél a kvarkok tömege eltûnik. Ez az energia például a kvark-gluon rendszer hõmérsékletével jellemezhetõ, és a hõmérséklet növekedésével elérjük a kritikus hõmérsékletet, ahol a kvark tömege nullává válik. A rácsszámolások azt mutatják, hogy ez az átalakulás egybeesik a másik nagy fázisátmenettel, amikor a hadronokba „bezárt" kvarkok kiszabadulnak, és kvark-gluon-plazmát alkotnak.
A királis szimmetria spontán sérülésének másik, már említett következménye, hogy a pion tömege nulla lesz. A természetben a „szabad" kvarkok tömege nem nulla, mint azt most feltételezzük, így a pion tömege sem nulla, de nagyon kicsi a többi hadron tömegéhez képest. A szabad kvarkok és a pion tömegének viszonyát Gell-Mann, Oakes és Renner számolta ki. Azt találták, hogy a pion tömegének négyzete arányos a szabad kvark tömegével.
 
 
 

2. ábra. A részecsketerekhez tartozó potenciál a szimmetrikus (balra) és a sértett fázisban

Egy szimmetria spontán sérülésének következtében megjelenõ nulla tömegû részecskék létére elõször Goldstone adott magyarázatot, és azóta az ilyen típusú részecskéket általános néven Goldstone-bozonoknak nevezik. A jelenség szemléletesen megérthetõ a 2. ábra alapján, ahol a két részecsketér értékének megfelelõ potenciált ábrázoljuk. A bal oldalon található a szimmetrikus állapot, a potenciál minimuma a tér nulla értékénél van, ez felel meg az alapállapotnak. Amennyiben a részecskét gerjeszteni szeretnénk, azaz elmozdítani a potenciálvölgy aljából, energiát kell befektetni, a részecske „ellenáll". Ennek az ellenállásnak a mértéke a potenciál görbülete a minimum körül, és ez a görbület a részecske tömegének négyzetével arányos. Ajobb oldali ábrán a szimmetria sérül, a potenciál minimuma nem a nulla térértékeknél van, hanem egy kör alakú völgyet képez, melyen belül a tér tetszõleges értéket felvehet. Ebben az esetben létezik egy olyan irány, a völgy iránya, ahol tetszõlegesen kicsi energiával lehet gerjeszteni a részecskét, az nem áll ellen. Az ennek az irányú gerjesztésnek megfelelõ részecske tömege éppen ezért nulla, míg a völgyre merõleges irányú gerjesztésnek megfelelõ részecske tömege továbbra sem nulla. A kvantum-színdinamikában az itt ábrázolt kettõ helyett 4 részecsketér van. A királis szimmetria spontán sérülése a 4 irányból egyet érint, így a maradék 3 irányhoz tartozó gerjesztések zérus tömegûek lesznek. Ezeket azonosítjuk a három pionnal.

A szimmetria spontán sérülésének további következménye is leolvasható a jobb oldali ábráról. A potenciálminimumhoz tartozó térérték nem nulla, azaz az alapállapotban (vákuumban) a királis szimmetria sérülése esetén kvarkkondenzátum alakul ki, a vákuum tele van kvark-antikvark párokkal. Ha egy ilyen közegen egy kvark át akar haladni, akkor az állandó kölcsönhatások miatt „lelassul", és egy adott utat így lassabban tesz meg. A nemrelativisztikus p=mv, az impulzus, tömeg és sebesség összefüggés analógiájára felírható relativisztikus egyenlet alapján az impulzus megõrzése úgy valósul meg, hogy az áthaladó kvark tömege megnövekszik, azaz egy kezdetben tömeg nélküli kvark igen nagy, a proton tömegének harmadát kitevõ tömegre tesz szert.

Az eddigiek alapján igen nehéznek tûnik egy olyan leegyszerûsített modell megalkotása, mely a kvantum-színdinamika egyes tulajdonságait visszaadhatja. Egy lehetséges megközelítési módszer Wigner Jenõtõl származik, aki a szimmetriák szerepét tanulmányozta a bonyolult fizikai jelenségek modellezésében, és felismerte azt, hogy a lehetséges szimmetriatulajdonságok igen erõs megszorítást jelentenek, sokszor alapvetõen meghatározzák a rendszer tulajdonságait. Az atommag modellezésekor például azt feltételezte, hogy a magerõk elég bonyolultak ahhoz, hogy két nukleon közötti kölcsönhatást a szimmetriák meghatározta keretek között teljesen véletlennek lehessen feltételezni. Mivel a természetben megfigyelt energiaszintek diszkrétek, azaz jól meghatározott energiaértékeket képviselnek, már korán felvetõdött a gondolat, hogy az energiaszinteket mátrixokkal lehet leírni. Matematikailag a mátrix semmi egyéb, mint egy kétdimenziós rács rácspontjaira írt számok együttese. Például az

a11a12 … a1N

a21a22 … a2N
.
.
.
aN1 aN2 … aNN
egy mátrixot határoz meg, NxN darab elemmel. Ha egy ilyen mátrix segítségével felírunk egy N ismeretlenes algebrai egyenletrendszert úgy, hogy a mátrix elemei az x1, x2, …, xN ismeretlenek együtthatói,
ai1x1 + ai2 x2+ … aiNxN= lixi, i=1, … N,
akkor ennek a mátrixnak van N darab lisajátértéke. Ezeket a diszkrét értékeket tudjuk megfeleltetni a fizikai állapotok energiaszintjeivel. Mivel a fizikában az energia valós szám, ez bizonyos megszorítást jelent a mátrix komponenseire nézve, a fizikában általában ún. hermitikus mátrixokat használunk, melyek sajátértékei valósak. Wigner ötlete az volt, hogy a bonyolult - kaotikus - atommag energiaszintjeinek eloszlását egy olyan mátrix segítségével próbáljuk kiszámolni, melynek elemeit véletlenszerûen választjuk. Mivel egy ilyen mátrix szintén csak valami esetleges véletlen eredményt adna, ezért átlagolunksok, ilyen véletlenszerûen választott mátrix sajátértékeire, és kiszámoljuk azok eloszlását. Egy ilyen eloszlást mutat be a 3. ábra, ahol a Wigner által eredetileg is használt 197 db 20x20-as mátrix sajátértékeire átlagoltunk.

3. ábra. 197 db 20x20-as mátrix sajátértékeinek eloszlása (hisztogram). A folytonos vonal mutatja a végtelen nagy (N=¥) mátrixok eloszlását
Mint az a 3. ábráról látszik, a 20 energiaszint eloszlását jellemzõ, számolt hisztogram igen közel esik az elméleti úton kiszámolható, végtelen sok energiaszintet figyelembe vevõ eloszláshoz, amit Wigner után Wigner-félkörnek neveznek. Ugyanakkor ez a modell nem váltotta be a hozzá fûzött reményeket, mivel a természetben elõforduló energiaeloszlások nem ilyenek. Ennek ellenére ez a gondolat igen lényeges szerepet kapott a késõbbiekben a fizikában. Kiderült, hogy ha alaposabban megnézzük az eloszlást egy energiaszint kis környezetében, és tanulmányozzuk, hogy mekkora az eloszlás fluktuációja az átlagértékek közül, akkor a véletlen mátrix univerzalitáskéntismert jelenséget kapjuk: ez a fluktuáció megegyezik igen sok, azonos szimmetriát mutató fizikai rendszer esetében. Ezeket a rendszereket kaotikusnak nevezzük.

Joggal vetõdik fel a kérdés, hogy alkalmazható-e hasonló modell a kvarkok esetében, ahol a gluonok közvetítette kölcsönhatás igen bonyolult, és mint azt a rácson végzett számolások is mutatták, a kvarkok energiaszint-eloszlásának fluktuációja a kaotikus rendszerekre jellemzõ viselkedést mutat. Az energiaszinteket leíró mátrixnak természetesen tükröznie kell a kvarkrendszer lényeges szimmetriáit, mint például a királis szimmetriát. A más modellekkel való összehasonlítás azt mutatja, hogy véges hõmérsékleten a kvarkrendszer alacsonyenergiás viselkedése leírható királis mátrixokkal,
 

                                            (1)
alakban, ahol A egy, az elõbbiekben ismertetett véletlen mátrix, T pedig egy olyan mátrix, melynek csak az átlójában áll nem nulla mátrixelem, és az a hõmérséklettel arányos. Ez az objektum is mátrix, csak a királis szimmetria következtében két almátrixból épül fel, ahol az átlós blokk üres. Az ilyen felírásmód egy sokkal általánosabb problémát takar, mégpedig itt az elsõ mátrix által képviselt véletlen hatásokhoz egy, a második mátrix által képviselt determinisztikus hatást adunk hozzá. A két hatás arányát változtatva (például emelve a rendszer hõmérsékletét) megváltozik a „rend" és a „rendetlenség" viszonya, és a mágnesességhez hasonlóan a hõmérséklet elmoshatja a szimmetria spontán sérülését, a mágnes elveszti mágnesességét, a királisan sértett állapot helyett pedig egy királis szimmetriát megõrzõ állapot alakul ki.
Mik egy ilyen szimmetrikus állapot megjelenésének a következményei? Szimmetrikus állapot esetén nem érvényes a Goldstone-leírás, és ezáltal a pion nem szükségszerûen lesz tömeg nélküli (illetve a valóságban igen kis tömegû) részecske. Mint azt az elején említettük, a királis szimmetria sérülése a lehetséges 4 térirányból egyet érint, és ennek a következménye a három tömeg nélküli pion. A szimmetria helyreállásával a 4 térirányhoz tartozó négy részecske, a három pion és a skaláris szigmarészecske megkülönböztethetetlen lesz, azaz négy egyforma tömeggel rendelkezõ részecskét kell látnunk. Ezen kívül megszûnik a kvarkkondenzátum, és ennek következtében a szabad kvarkok mozgását már semmi sem zavarja, így azok tömeg nélküliek maradnak.


4. ábra. A kvark sajátenergia-értékek eloszlása a hõmérséklet (T) függvényében. T=1,
a kritikus hõmérséklet fölött már nincsenek energiaszintek a nulla energia körül

Mennyiben tudja e tulajdonságokat az általunk bevezetett egyszerû, a véletlen számokon alapuló modell visszaadni? Mint láttuk, a jelenség leírásához elegendõ, ha a modell kis hõmérsékleten egy királisan sértett állapotot mutat a kvarkkondenzátum nem nulla értékével, míg egy bizonyos kritikus hõmérséklet felett pedig a szimmetria helyreállásával a kondenzátum értéke nullára csökken. Ehhez felhasználjuk azt a Banks és Casher által megállapított összefüggést, hogy a kvarkok energiaszintjei eloszlásának a nulla energia környezetében mért értéke egyenesen arányos a kvarkkondenzátum értékével. A 4. ábra a sajátérték-eloszlást mutatja a hõmérséklet függvényében az (1) képlet által jellemzett modell alapján. Az eloszlást egy harmadfokú egyenlet nem valós megoldásai adják meg. A kritikus hõmérséklet felé közelítve az eloszlás értéke a nulla energia körül a kvarkkondenzátummal együtt a nullához tart, folytonosan. Ez azt jelzi, hogy a királisan sértett állapotból a királisan szimmetrikusba való átmenet másodrendû fázisátalakulás. Összefoglalva elmondhatjuk, hogy a legegyszerûbb, a szimmetriákat figyelembe vevõ, és a legnagyobb véletlenszerûséget feltételezõ modell képes a kvantum-színdinamika királis fázisátalakulásának minõségi leírására, és egyben igen általános jellege révén a fizika más területein is alkalmazható a rend és a rendezetlenség párharcának leírására.
 
1. Az elnevezés az angol glue – ragasztó – szóból származik.
2. A latin szó jelentése megzavarni, és elõször a bolygók mozgásának más bolygók általi megzavarására használták a fizikában.
3. A szó a kéz görög nevébõl származik.