BIRÓ TAMÁS SÁNDOR


Kaotikus dinamika a mikrovilágban



Írásomban a mikrovilág egyik üzenetértékû sajátosságáról, a kaotikus dinamikáról lesz szó. Részben saját elméleti kutatásaimra támaszkodva, a káosz (mint fizikai fogalom) ismertetése után három kutatási területen történt alkalmazást mutatok be, ami példázza a tudomány módszereinek exportálhatóságát a különbözõ kutatási témák között. A növekvõ absztrakció sorrendjében elõször a gyorsítós nehézion-kísérletekben, majd a kvarkok bezárásának problematikájával összefüggésben vizsgálom a káosz szerepét. Végül a tudomány és a fantázia határterületére kalandozva azt a kérdést teszem fel: vajon magyarázatot adhat-e a mikrokáosz a jelenleg alapvetõnek tartott természeti jelenség, a kvantummechanikai határozatlanság okára? Ez egyben példa lenne arra, hogy egy ma természeti törvénynek tekintett összefüggés mögött mélyebb összefüggések rejtõzhetnek.
 

Sokféleképpen lehet valami láthatatlan. Lehet úgy, hogy nem bocsát ki fényt (teljesen sötét) vagy tökéletesen átlátszó, de úgy is, hogy a mérete túl kicsi. Már az atomok mérete is kisebb a látható fény hullámhosszánál, az atom magja s annak alkotórészei, a proton és a neutron, illetve a hozzájuk hasonló elemi részecskék (pl. pionok, kaonok, D-részecskék) még kisebbek. Az ismert mondás: "hiszem, ha látom", a közvetlen tapasztalás bizonyító erejét fogalmazza meg. Hogyan gyõzõdhetünk meg a láthatatlan dolgok létezésérõl?
Szemünk erejét növelhetjük mûszerek, ember által alkotott gépek segítségével. A mikroszkóp (és a teleszkóp) megalkotása például lehetõvé tette a sejt (és a távoli csillagok) vagy a baktériumok felfedezését. A mikroszkópnál hatékonyabb "nagyító" a részecskegyorsító, ami az atomoknál tízezerszer kisebb méretû részecskéket is „"át" azáltal, hogy azokat más, hasonló részecskékkel bombázza. Ilyen a CERN-i SPS (szupravezetõ proton szinkrotron) is, amelyben - a 2000. február 10-ei sajtóbejelentés szerint - elõször a világon olyan nehézion-ütközések történtek, amilyenekbenvalószínûleg - ha rövid idõre is - az atommag alkotóelemei, a protonok és a neutronok további alkotóelemeikre, kvarkokra bomlottak a hirtelen energiakoncentráció hatására.
A fény hullámhossza az érzékelés fizikai határa. Ezen túl már csak közvetett ismereteket szerezhetünk, valódiságáról már nem az érzékek, hanem csakis az értelem útján gyõzõdhetünk meg. Minél távolabb kerülünk a közvetlenül érzékelhetõtõl, annál több gondolkodásra van szükség. A gondolati kalandok során, amilyen az emberi természet, a fantázia könnyen elragadhatja a gondolkodót. Ezt ellensúlyozandó alakította ki a modern európai tudomány három alappillérét: az elmélet és kísérlet egymást kölcsönösen kontrolláló kettõsségét, a tudományos tételek egymás közötti ellentmondásmentességére vonatkozó kívánalmat, valamint a tudósok egymás munkáját kritikusan szemlélõ attitûdjét.

Az elemi részek világának (melynek jellemzõ mérete igazából a mikron mikronjának az ezredrésze, 10-15m ) titkai sem hozzáférhetõek gyakran igen mély absztrakciót kívánó elméletek nélkül. Ilyen hipotézisek alapgondolatairól és eredményeirõl beszélni a matematika nyelvének segítsége nélkül csak közvetve, sokszor ködösnek tõnõ analógiák segítségével lehet. E sorok szerzõje mindazonáltal hisz abban, hogy a természet törvényeiben rejlõ üzenet lényege mindenki számára hozzáférhetõ, értelmezhetõ. Efféle üzenet az, ahogyan az elemi részek világának furcsaságai magától érthetõdõnek vélt fogalmaink (például egyidejûség, közelhatás, ok és okozat sorrendje, oszthatóság, véletlen) átértékelésére késztetnek.
 
 

Mi a káosz? 

A káosz a mindennapi nyelvhasználatban összevisszaságot, rendetlenséget, szervezetlenséget jelent. A fizikusok ezalatt olyan, matematikailag kiszámítható mennyiségekkel leírt fogalmat értenek, ami a rendetlenség növekedésére irányuló tendenciákat a jövõbeni állapot kiszámításának pontatlanságával hozza kapcsolatba. Egy adott állapot, melynek ismeretében a késõbbi állapotot megjósolja egy-egy elméleti számítás, sohasem ismert pontosan. Ez a gyakorlatinak tõnõ akadály a mikrovilágban sokkal mélyebb gyökerû: a kvantummechanika egyik alaptétele a határozatlansági összefüggés, ami szerint nem lehet bizonyos összetartozó mennyiségeket egyszerre tetszõleges pontossággal mérni. Adott fizikai mennyiség ilyen párja mindig ezen mennyiség pillanatnyi változási sebességével függ össze, tehát a határozatlansági összefüggés éppen a dinamikának, a változások kiszámításának szab korlátot. Az ilyen konjugált mennyiségpárok értékei pontokként szemléltethetõk egy elképzelt sokdimenziós térben, a fázistérben. A határozatlansági összefüggés szerint sohasem láthatunk a fázistérben adott, a Planck-féle hatáskvantumból kiszámítható méretnél kisebb alakzatot.
A kezdeti állapot ismeretének pontatlansága lehet kicsi vagy nagy, az igazi probléma azonban az, ha növekszik. Eme növekedés ténye és mértéke a kaotikus dinamika tárgya. Ha a kezdeti pontatlanság (két közeli fázistérbeli pont távolsága) exponenciálisan (hatványszerûen) növekszik, akkor beszélünk kaotikus rendszerrõl. Determinisztikus a káosz, ha a mozgásegyenlet, ami az idõben egymásra következõ állapotokat köti össze, minden esetben jól meghatározható, pontosan kiszámítható (például, ha a fizikai rendszerre ható erõk mind ismertek, nincs közöttük véletlen tényezõ). A meglepõ tény az, hogy ennek ellenére vannak olyan fizikai rendszerek (bizonyos tulajdonságokkal bíró erõk), amik egészen közeli kezdõállapotokból exponenciális gyorsasággal tetszõlegesen távoli állapotokat hoznak létre - mindvégig determinisztikus szabályok szerint. Ilyen rendszer például a földi légkör, aminek kaotikus dinamikája az idõjárás hosszú távú elõrejelzését praktikusan ellehetetleníti. Az elõrejelzések javulása az adatok szélesebb körû s egyre precízebb ismeretén alapszik.
A kezdeti pontatlanság exponenciális növekedésének sebességét számszerûsíti a Lyapunov-exponens. Ha ez pozitív, akkor tekintünk egy rendszert kaotikusnak. Bonyolult rendszereknél több Lyapunov-exponensrõl is beszélhetünk, aszerint, hogy milyen irányú eltérések növekednek (míg más irányúak esetleg csökkennek) a sokdimenziós fázistérben. Az exponensek összessége a Lyapunov-spektrum (ez pozitív, negatív, sõt komplex értékekbõl is állhat). Míg a legnagyobb Lyapunov-exponens a dinamikus fejlõdési pályák jellemzõ széttartási sebességét írja le, addig az összes pozitív Lyapunov kitevõ összege a rendezetlenség növekedését jellemzi.
Ez a fajta rendezetlenség nemcsak a mikrovilági történések összevisszaságában nyilvánul meg, hanem makroszkopikusan is: az elemi részek (vagy atomok) tömegének mozgása egyre kevésbé egyirányú, rendezett, úgynevezett kollektív mozgás, egyre inkább eredõ nélküli, rendezetlen mozgássá válik. A rendezetlen mozgás energiáját hõként, emelkedõ hõmérsékletként tapasztalhatjuk. Ilyen értelemben beszélnek a fizikusok elemi részecskék sokaságainak hõmérsékletérõl, holott nincs olyan, hõmérõként funkcionáló mûszer, ami ezt közvetlenül mérné. Ebben az esetben is a kísérleti reakciókban keletkezett részecskék mozgásának statisztikai elemzésébõl vonhatunk le következtetéseket.
 

A mikrovilág leírása: a térelmélet

Hogyan írható le a kis méretük miatt láthatatlan atomok és a még kisebb elemi részecskék mozgása, állapotváltozásaik dinamikája? Ugyanúgy, mint az ingaóra vagy a bolygók mozgása? Az atomok - megannyi ütközõ biliárdgolyó, az elemi részek - üres térben repkedõ kemény porszemek? Ez csak bizonyos kísérletekre ad magyarázatot. Máskor, például az elektronmikroszkópban, az elemi részek (ebben az esetben elektronok) hullámként viselkednek, de a fényrõl is kiderült, hogy hol olyan, mint a hullám, hol pedig mint a részecskék.
A kvantummechanika ezt a helyzetet "kettõs természetként" fogta fel, s minden részecskét egy úgynevezett hullámfüggvény segítségével írt le. A jellemzõ eset egy sok egyedi hullámból álló hullámcsomag lett, ami - a benne foglalt energia túlnyomó részét tekintve - térben véges kiterjedésû. Ez a megoldás azonban nem felelt meg a fény (s rokonai a rádióhullámok, a röntgensugárzás stb.) leírására, amit Maxwell nyomán a térben pontról pontra egyedül a szomszédos értékek függvényében változó elektromos és mágneses mezõk rezgéseiként foghatunk fel. Ez egyszerre van jelen mindenütt éppúgy, mint a hullámfüggvény, de nem „csomagolható".
Az igen gyors, fénysebességhez közeli, úgynevezett relativisztikus mozgások tanulmányozása során az Einsteináltal felismert egyenértékûség a tömeg és az energia között (E=mc2), az elemi részecskék számát viszonylagossá tette: bármikor keletkezhetnek energiából, és ismét azzá válhatnak. A „tiszta" energiaként felfogható mezõkben lehetõségként ("virtuálisan") részecskepárok vannak.
A kvantummechanika relativisztikus általánosítása, ami az elõbbi két jelenséget (a mezõket és az energia - tömeg átalakíthatóságot) is figyelembe veszi, a térelmélet. (Angolul field theory, amit helyesebb "mezõelméletnek" fordítani.) A tér, amit a fizikai mezõk teljes egészében elfoglalnak, tele van kvantumokkal s ezek a kvantumok egymásba - bizonyos szabályok betartásával - átalakulhatnak. A kvantumok elkerülhetetlenül tömeges jelenléte, már az azelõtt üresnek képzelt newtoni térben, a vákumban is, oda vezet, hogy a térelmélet jobban hasonlít az anyagot leíró statisztikus elméletekhez, semmint azt a múlt század végén a fizikusok hitték volna.
Eltekintve olyan speciális és nehéz problémáktól, amik a tér oszthatóságával s ezáltal az elemi részek pontszerûségével függnek össze, a térelmélet a sok részecske részvételével zajló, energiadús folyamatok leírásában, például a gyorsítós nehézionreakciókéban, az érzékek számára ismertebb világ változásait elemzõ elméletekhez hasonlóvá válik, "klasszikus" vonásokat vesz fel. (A szakemberek ezt "szemiklasszikus" közelítésnek nevezik.) Különösen a mezõk (térkonfigurációk) dinamikájáról derült ki, hogy az bizonyos esetekben kaotikus mozgásokat tartalmaz. Ez egyben - mint az elõzõ fejezetben részletesen taglaltuk - az energia rendezetlenebbé válásának is különleges mechanizmusa.

 A káosz szerepe a nehézion-reakciókban

Nagyenergiás nehézion-reakciók végállapotában a mozgás rendezetlen (az ekvivalens hõmérséklet a Nap középpontjában uralkodónak mintegy milliószorosa). A reakció után detektált részecskék száma is lényegesen nagyobb, mint az öszszelõtt ionokban levõké. Ezekben a reakciókban a híres Einstein-képlet (E=mc2) fordítva mûködik, itt az energiából anyag keletkezik. Ez a folyamat lényegileg jól szimulálja az univerzum korai (elsõ másodpercig tartó) fejlõdését.
Nemcsak új részecskék keletkeznek, hanem valószínûsíthetõ, hogy az eredeti protonok és neutronok alkotórészei, a kvarkok is összekeverednek. Minél több kvark vesz részt egy-egy nehézion- reakcióban, annál inkább tanulmányozható az esemény statisztikus modellekkel. Az ütközõ ionok összes elektronjuktól megfosztott atomok, puszta atommagok. A legtöbb kvarkot tartalmazó, természetben elõforduló atommag az urán: 3·238=714 kvarkot tartalmaz. A gyakorlatban ennél valamivel kisebb ionokat, ólom és arany magokat használnak (mert mégsem olyan könnyû az összes elektront leszakítani, az eljárás - vékony fólián átlövés - lassítja az ionokat).
Igen, de ezt a számolást a mezõkben virtuálisan jelenlévõ, s a reakcióban "materializálódó" kvarkok nélkül hajtottuk végre! Areakció után detektálható részecskék kvarkjainak száma nemcsak az összelõtt atommagok nagyságától, hanem az energiától is függ. Minden hasznosítható GeV-energia három új kvarkot jelenthet. Hogyan lesz az energiából anyag, a mezõbõl kvark?
Mint kiderült, ehhez nem elegendõ az energia-ekvivalencia, mert az energia más formájáról van szó. Az energiaátalakítás hatásfokának korlátot szab a spontán rendezetlenség tendenciája. Ez, a termodinamika 2. fõtételében megfogalmazott klasszikus összefüggés, az elemi részek és terek világában is érvényes, figyelembe kell vennünk. Nos, a nehézion-reakciók végállapota rendezetlenebb, mint a kezdõállapot. A kérdés csak az, hogy milyen, s vajon elég gyors mechanizmus termeli-e a rendezetlenséget, az entrópiát. A reakció ugyanis - az ionok fénysebességhez közeli sebessége miatt - nagyon gyorsan lezajlik, olyan rövid idõ alatt, amíg a fény néhány protonnyi távolságot tesz meg (3fm/c=10-22 sec).
A reakcióban ezért nem keletkezhetnek rögtön új kvarkok, az ütközõ, egymásba hatoló atommagok kölcsönhatása elõször vékony fonalakba sûrûsödõ energiamezõket, úgynevezett húrokat hoz létre. Kutatásaink során ezeket a mezõket tanulmányoztuk, s megállapítottuk, hogy dinamikájuk kaotikus; a vezetõ Lyapunov-exponens becsült nagysága pedig a reakció idejével összemérhetõ. Ez azt jelenti, hogy a kaotikus térdinamika jelentõs tényezõje a rendezetlenség, végsõ soron az elemi részek gazdagságának létrehozása a nehézion-reakciókban. Ez az univerzum korai, forró szakaszában is hasonlóan történhetett.
 

A káosz szerepe a kvarkbezárásban

Normális körülmények között nem figyelhetõk meg szabad kvarkok. A kvarkok a nehéz elemi részekben, a hadronokban találhatók, mintha oda lennének bezárva (a jelenség angol neve: confinement ). Kiszabadulásuk csak idõlegesen, nagy energiasûrûség mellett lehetséges, mint például a korai univerzumban vagy relativisztikus-nehézion reakciókban.
A kvarkok viselkedését, dinamikáját leíró elmélet, a fény viselkedését és az elektromágneses jelenségeket leíróhoz hasonló kvantumtérelmélet. A lényeges különbség az, hogy a fény elemi hordozójának, a fotonnak megfelelõ részecskék, a gluonok egymással is kölcsönhatnak, erõ forrásai, tehát „töltöttek". Ez a töltés persze nem lehet az elektromos töltés, amely által létrehozott elektromos és mágneses tereknek nincs ilyen tulajdonságuk. Ezt a másfajta (nemábeli) töltést, ami az elemi részek világában, a hadronok dinamikájában játszik fontos szerepet, a fizikusok színnek (color) nevezik. A megfelelõ kvantumtérelmélet neve kvantum-színdinamika (quantum chromodynamics), röviden QCD. A kvarkok és gluonok színesek, a hadronok színtelenek. A bezárás  miatt a színtöltés - aminek a szivárvány színeihez semmi köze sincs, - csak nagyon kis távolságon, egy protonon belül, s csak rövid ideig észlelhetõ. A bezárás a gluonok egymáshoz ragadásának a következménye, de eme tény részletes levezetése a QCD alapegyenleteibõl mindmáig még senkinek sem sikerült (meggyõzõ módon legalábbis nem). Az egyenletek túl bonyolultak.
Modern számítógépes világunkban azonban gépek dolgoznak helyettünk. A térelméletben a pontszerûség miatt fellépõ nehézségek idõlegesen elkerülhetõk, ha a teret és idõt csak diszkrét pontok halmazának, rácsnak képzeljük. Ekkor egy véges rendszerként szimulálható a fizikai mezõk elvileg végtelen dimenziós dinamikája is. Ez a rácstérelmélet. (Lásd a hármas borító ábráját.)
A "rácson" sikerült a kvarkbezárás rekonstruálása a QCD egyenleteibõl, illetve az azoknak megfelelõ véges változatból. Matematikailag természetesen - ellentétben a jogi precedens fogalommal - semmilyen, csak véges sok esetre igaznak bizonyult állítás sem tekinthetõ igaznak további végtelen sok hasonló esetre. Az állítás átszármazási tulajdonságának, a rekurziónak a bizonyítása is szükséges (indukciós elv). A rácsszimulációkat is igyekeznek a kutatók egyre nagyobb és egyre finomabb rácsokon elvégezni. Az eredmények extrapolációja vagy ami abból megmaradni látszik, lehet érvényes az eredeti elméletben, a QCD-ben is.
Másrészt a kvarkbezárás tényének szimulációs rekonstruálása nem elég. Valamit tanulni is szeretnénk a jelenségrõl, szeretnénk megérteni a háttérben meghúzódó mechanizmust. Sokan keresnek valamilyen különleges konfigurációt, amely a bezárásra jellemzõ, de a nagyenergiájú fázisban nem.

Kutatásaink azt igazolták, hogy a bezáró fázis gluon-konfigurációi a szabad fázisban elõfordulókénál sokkal kaotikusabbak. A legnagyobb Lyapunov-exponens az energiával arányosnak adódott, s ez az összefüggés a folytonos határesetben (zérus rácstávolság) is maradandónak bizonyult, ellentétben a szokványos elektrodinamika rácsszimulációjával, ahol a fenti határesetben a kaotikus dinamika eltûnését tapasztaltuk. Végeredményben a kvarkbezárást a majdnem véletlenszerû gluon-konfigurációk okozzák, amelyek önmaguktól, spontánul, kaotikus dinamikájukkal jelennek meg.

A káosz és a Planck-állandó

Az elemi részekkel ekvivalens fizikai mezõk kaotikus dinamikájának tanulmányozásából még messzebbre vezetõ következtetések is levonhatók. A térelméleti megközelítés, az elmúlt ötven év hallatlan sikersorozata, olyan népszerûvé vált az elméleti fizikában, hogy a ma még kísérletileg hozzáférhetetlen nagy energiák és kis méretek világára is megkíséreljük alkalmazni. Ez a szellemi kaland nemcsak az ismertnek, hanem az elképzelhetõnek is a határára vezet minket.
A kvantumtérelmélet, s ezáltal a kvantummechanika gondolatvilágának egy ismert fizikai jelenségkör, a gravitáció áll csak ellen - de ez makacsul. A gravitáció térelmélete, ha kvantumos formában lenne megfogalmazható, megnyitná az utat az egységes térelmélet, a „minden" elmélete felé. Az utóbbi két évtized koncentrált (fizikusi és matematikusi) erõfeszítései ellenére sem vezetett ez a program mindmáig teljes sikerhez. A természet alaptörvényei mégsem lennének egységesek? (A teremtés egy eklektikus mozaik lenne?) Vagy csak rossz irányban próbálkozunk?

Néhány fizikus (többek között Gerald t'Hooft, az egyik 1999- es fizikai Nobel-díjas) ez utóbbi nézõpontot osztja. Nem a gravitáció elméletét kellene megpróbálni kétségbeesve "kvantálni", hanem talán a kvantummechanika - s ezáltal a kvantumtérelmélet - mögött esetleg meghúzódó klasszikus elméletet megalkotni.

A kvantummechanika egyik jelentõs, kísérletileg többszörösen igazolt állításának (hogy nincs a kvantummechanikában rejtett paraméter, azaz a kvantum-bizonytalanság eredendõ s nem a tudatlanság következménye) azonban ez a program ellentmondani látszik. Az úgynevezett Bell-féle egyenlõtlenség ugyanis szigorú korlátot szab bizonyos mérések eredményeinek, amelynek alapján eldönthetõ, hogy a klasszikus vagy a kvantummechanika igaz-e.
Az "ész csele" a következõ: az említett korlát nem zárja ki az úgynevezett nemlokális, távolhatásokat megengedõ elméletet. Ez persze túl nagy szakítás lenne az eddigi tudománnyal, ezért nem igazán tûnik járható útnak. A távolhatás azonban elvileg elképzelhetõ egy magasabb dimenziós térben megnyíló alagúton keresztül is. S valóban, a gravitáció klasszikus térelmélete magasabb dimenziókat is megenged, sõt szinte „kívánja" azokat. A matematikai modell szerint a tapasztalati, kvantumos világ egy magasabb dimenziós klasszikus világ határfelülete lehet.

A kaotikus mezõdinamika alapjában klasszikus jelenség, egy magasabb dimenziós téridõrácson is "mûködik". Kutatásaink során annak a lehetõségét vizsgáltuk, hogy egy klasszikus térelmélet kaotikus dinamikája vajon a forrása lehet-e a kvantum bizonytalanságnak. Egyelõre egy speciális modellben, a négydimenziós Yang-Mills-elméletben sikerült kimutatnunk, hogy - elméletileg már ismert mechanizmusok alapján - ez lehetséges: a vezetõ Lyapunov-exponenssel jellemzett idõkhöz képest hosszú idõkre egy háromdimenziós kvantumviselkedést kapunk. Ráadásul a magasabb dimenziós elmélet magas hõmérsékletû - bár klasszikus - s ez egy nulla hõmérsékletû háromdimenziós kvantumelméletre vezet; a hideg vákum kvantumos leírására. A(háromdimenziós) kvantumelmélet Planck-állandója a magasabb (négy) dimenziós klasszikus térelmélet rácstávolsága és hõmérséklete szorzatának adódik.

A kaotikus dinamika tehát mint mechanizmus, olyan alapvetõ természeti jelenség, ami a kvantumbizonytalanság mögött is meghúzódhat. Ha ez így lenne, akkor új út nyílna egy klasszikus alapú egyesítés elõtt a gravitáció és a többi ismert kölcsönhatás között. Ebben az esetben a gravitáció azért viselkedne klasszikusan a többi ismert erõvel szemben, amelyek kvantumosak, mert a Lyapunov-exponense sokkal kisebb vagy egyáltalán nem kaotikus. S ha mindez igaznak bizonyul, akkor még hátra van a magasabb dimenziós egyenletek vagy egyetlen egyesített egyenlet megtalálása. Ez lehet akár klasszikus is, de elvárásaink szerint kaotikus.
 
IRODALOM
[1]Elektronikusan hozzáférhetõ lista: http://sgi30.rmki.kfki.hu/~tsbiro
[2]T. S. Biró, S. G. Matinyan, B. Müller: Chaos and Gauge Field Theory, World Scientific, Singapore, 1995
[3]T. S. Biró, C. Gong, A. Trayanov, B. Müller: Real-time Dynamics of Yang-Mills Theories on a Lattice, Int. Journal of Modern Physics C (Computational Physics) 5, 113-149, 1994
[4]T. S. Biró, M. Feurstein, H. Markum: Chaotic behavior of confining lattice gauge field configurations, APH Heavy Ion Physics 7, 235, 1998
[5]T .S. Biró, N. Hörmann, H. Markum, R. Pullirsch: Chaos analyses in both phases of QED and QCD, hep-ph/9909309
[6]T. S. Biró, S. G. Matinyan, B. Müller: Quantum dynamics from classical dissipative systems, hep-th/9908031