Papp György

Mik is azok a kvantumszámítógépek?



 
Mottó: Hölgyeim, nem kell úgy sietni; még nem értek ide.
Hajós György
geometriaprofesszor

 

 A kvantummechanika törvényeit felhasználó “kvantuminformáció-feldolgozás” három fontos eleme a kvantumkriptográfia, a kvantumteleportáció és a kvantumszámítógép. A kvantumkriptográfia alkalmazása során kvantumállapot segítségével juttatnak információt egyik helyről a másikra. Az információ lehet például kód valamely titkos üzenet megfejtéséhez. A kvantumteleportáció kvantumállapot átmásolása klasszikus információátadással. A kvantuminformáció-feldolgozás elemei közül a kvantumszámítógépek azok, amelyek megvalósítása ugyan mutat némi reményt, de nem mondható, hogy rövidesen ott fognak állni az asztalon a hagyományos gépek mellett [1, 2, 3].

Egy klasszikus számítógép programjai segítségével feldolgozza a bemenő adatokat, és kimenő adatokat hoz létre. Bármely klasszikus rendszer a határozott állapotok egyikében található. Például a klasszikus bit bármely időben 0 vagy 1 állapotú. A két lehetőség kölcsönösen kizárja egymást. De mint később látjuk majd, a kvantumrendszer úgynevezett szuperponált állapotban lehet. Amíg ez az állapot létezik, komponenseiként tartalmazza a különböző klasszikus lehetőségeket. Például a szuperponált kvantumbit (qubit, ejtsd kjubit) egyazon időben tartalmaz olyan komponenseket, amelyek a zérusnak, illetve az egynek felelnek meg. Az állapot – ellentétben a klasszikus bittel – sem nem zérus, sem nem egy. A szuperponáltságnak köszönhető, hogy abban a számítógépben, amely a kvantummechanika szabályai szerint fejleszti időben az állapotot, a bemenő állapot a lehetséges klasszikus bemenő állapotok szuperpozíciója. Így a gép a különböző bemenő adatokat párhuzamosan dolgozza fel, és a kimenő adatokat szuperponált alakban hozza létre. Ha sikerül a kvantumszámítógép megvalósítása, akkor az – a párhuzamosság révén – a klasszikus számítógépek számára kezelhetetlen problémákat oldhat meg.

Klasszikus objektumok (például egy bolygó vagy egy elhajított test) mozgását a pályája megadásával írjuk le, azaz megadjuk a tömegközéppontjához húzott helyvektort az idő függvényében. Ezt a pályát megfigyelhetjük anélkül, hogy attól a mozgás megváltozna. Ugyanez igaz a klasszikus bitre: kiolvasható anélkül, hogy az értéke megváltozna. Ily módon természetes az a feltevés, hogy a klasszikus objektumok követik pályájukat függetlenül attól, hogy megfigyeljük-e őket, vagy sem. Természetesen kölcsönhatásuk más rendszerekkel (együtt környezetnek nevezzük őket) lehet oly mértékű, hogy az objektum mozgása változzék. Azonban a klasszikus fizika keretein belül ez a változás – elvben – tetszőlegesen kicsinnyé tehető.

A kvantumrendszerek másképp viselkednek. Általánosan igaz, hogy a kvantumrendszer megfigyelése még elvben sem lehetséges a rendszer irreverzibilis megzavarása nélkül. Következésképpen helytelen azt feltételezni, hogy a kvantumrendszer a klasszikus trajektóriához hasonlót követ, lényegében függetlenül a környezettől. A kvantumrendszer viselkedése drámaian függ attól, hogyan választjuk meg a vele való kölcsönhatást. Ennél még rosszabb, hogy amit a kölcsönhatás után látunk, abból nem tudunk következtetni arra, hogy a rendszer mit csinált a megfigyelés előtt. A kölcsönhatás irreverzibilis.
A kvantumrendszer viselkedését az időtől függő kvantumállapot megadásával írjuk le, ez a |y> (ejtsd ket y)1. A |y> kvantumállapot időbeli fejlődésének két fontos nézőpontja létezik. Ezek a kvantumrendszerekhez kötődő híres hullám-részecske dualizmussal függnek össze. Amikor a kvantumrendszer állapota láthatatlanul fejlődik az időben, akkor sima, hullámszerű tulajdonságokat mutat. Ha viszont kölcsönhat a környezettel vagy a mérőműszerrel, azaz éppen előkészítjük (kisugárzódik) vagy mérjük (detektált állapotban van), akkor részecsketermészetet mutat. A fejlődés mindkét aspektusa jelentős szerepet játszik a kvantumszámítás terén.

Reverzibilis hullámszerű viselkedés. Amikor a kvantumrendszert elszigeteljük a környezettől, beleértve ebbe a mérőműszert is, az állapota koherensen és reverzibilisen fejlődik az időben az időfüggő Schrödinger-egyenletnek megfelelően.2 Alapvető, hogy ha |y1> és |y2>  megoldása az egyenletnek, akkor tetszőleges C1 és C2 konstans együtthatókkal a C1|y1>+C2|y2> is megoldás. Tehát szuperponált állapot örződik az időben. Ez az egyenlet lineáris voltának következménye.

Irreverzibilis részecskeszerű viselkedés. Ha a kvantumrendszer a környezettel összeköttetésben áll, a kvantumállapot időfejlődése módosul. A csatolás lehet szándékolt: a rendszert összekötjük egy mérőműszerrel, amelyet valamelyik tulajdonságának mérésére terveztünk. De lehet nem szándékolt is: például súrlódó erő hat a rendszerre. Az állapotfejlődés mindkét esetben irreverzibilissé változik. A törékeny, de gyakran kívánatos szuperponált állapotok megsemmisülnek, dekoherenssé válnak. Ez tekinthető az állapot egyfajta lokalizálódásának: a környezettel való kölcsönhatás következtében a kvantumrendszer jobban emlékeztet egy klasszikus rendszerre, amely egy határozott állapotra lokalizált. Ez az irreverzibilis viselkedés azt jelenti, hogy minden olyan kvantumszámítás, amely bizonyos kvantumállapotok reverzibilis schrödingeri fejlődésen alapszik, megvédendő mindennemű környezeti hatástól. A gépek gyakorlati megvalósításának ez a legnagyobb gátja jelenleg.

A kvantumszámítógépek a számolásokat kvantumalgoritmusok segítségével végzik. A  kvantumalgoritmusok egy és két kvantumbites műveletekből építhetők fel. Ezeket az elemi műveleteket – és a műveleteket megvalósító fizikai eszközöket is – kvantum logikai kapuknak nevezzük. A kvantumszámítógép ezen kvantum logikai kapuk összessége. A kapuk meghatározott qubiteken hajtanak végre változtatásokat, ami az egész összefonódott állapot megváltozását eredményezi. Melyek azok a kvantumrendszerek, amelyek számításba jöhetnek a qubit hordozóiként? Elvben minden olyan rendszer alkalmas, amelynek két, jól megkülönböztethető állapota van. Tehát a foton (a fény részecskéje) két egymásra merőleges polarizációja; alkalmasan előkészített kétállapotú atomok vagy ionok; spinnel rendelkező részecskékből álló folyadékok. Ez utóbbi részecskéket olyan mágnestűkként képzelhetjük el, amelyek mágneses tér hatására “beállnak”. Két beállásuk (egy irányban vagy ellentétes irányban a külső térrel) két különböző energiájú kvantumállapotnak felel meg, s mint ilyen a qubit hordozójanak tekinthető. Feltehető, hogy a parallel spin az |1>-nek, míg az antiparallel a |0>-nak felel meg. A parallel beállás alacsonyabb energiájú, mint az antiparallel. A különbség a ható külső mágneses tér erősségétől függ. A folyadékban – normális esetben – az ellentétes irányban beálló részecskék száma megegyezik. Ezt az egyensúlyt változtatja meg a külső mágneses tér úgy, hogy a parallel beállásúak száma megnő. Ezt a többletet képesek mérni az úgynevezett magmágneses rezonanciatechnika (NMR, Nuclear Magnetic Resonance) segítségével. Az állandó mágneses tér mellett a magmágneses rezonanciás kísérletekben változó elektromágneses mezőt is használnak. Ha megfelelően választott frekvenciával oszcilláló mágneses teret alkalmaznak, a spinek átfordíthatók, óhaj szerint irányíthatók. (A frekvenciát az alkalmazott állandó mágneses tér erőssége és a kísérletben részt vevő részecskék természete határozza meg.) Ha például protonokat helyezünk 10 tesla erőssegű állandó mágneses térbe, akkor 400 megahertz frekvenciával oszcilláló (azaz rádiófrekvenciájú) mágneses tér képes a spinjük átfordítására. Az átfordítás során a rádióhullám a magspint forgatja az oszcilláló tér iránya körül. Ezt az irányt a fix tér irányához képest derékszögben szokás létrehozni. Ha az oszcilláló rádiófrekvenciás impulzus olyan hosszan hat, hogy 180 fokos forgatást eredményez, akkor a fix térrel eleddig párhuzamosan álló spin azzal antiparallel irányítású lesz. Alkalmasan választott impulzussal más szögű forgatás is lehetséges.3

1. ábra.  A mágneses mag a búgócsigához hasonlóan viselkedik.  Alaphelyzetben a spintengely az állandó mágneses tér irányát veszi fel (középen). A megfelelően választott oszcilláló mező a spin más irányú beállítását hozhatja létre. Például egy 180°-os impulzus (balra) a forgó mag teljes átfordulását eredményezi. A 90°-os impulzus (jobbra) a tengelyt az állandó mágneses tér irányára (függőleges nyilak) merőleges irányba késznyeríti. Az eldőlést követően a spintengely körbeforog – pontosan úgy, mint a gyerekjáték  [4]

A kvantumkontrollált nem – mint két kvantumbites művelet – a következőt hajtja végre: az első, úgynevezett kontroll kvantumbit “igen” állapota esetén a második, úgynevezett cél kvantumbit ellenkezőjére változik, “nem” állapota esetén változatlan marad.4 A kísérleti  megvalósítás több fizikai rendszeren is sikerült. Közülük a legígéretesebbet a már említett magmágneses rezonanciatechnika segítségével végzett vizsgálatsor eredményezte, amelyben  egy molekula magspinjeit egyszerre tapogatták le impulzus-magrezonanciával. A magmágneses rezonanciakísérletben a részecskék nemcsak az alkalmazott külső teret érzékelik, hanem a magspin következményeként fellépő teret is. Folyadékokban egy mágneses mag hat az ugyanazon molekulában lévő másik magra is. Ennek a jelenségnek az alapján, kloroformot (CHCl3) használva, végeztek kétspin-kísérleteket [5], ahol egy extra neutronnal ellátott C mag spinje lépett kölcsönhatásba a H magjával, s alkalmasan tervezett rádiófrekvenciás jelsorozat segítségével elérték, hogy a C-mag spinje a H-mag spinállásától függően forduljon, vagy ne forduljon.

2. ábra. A “kvantumkontrollált nem” kapu a két input egyikét átfordítja a másik állásától függően. A kloroformmolekula hidrogén és szén magspinje közti kölcsönhatás felhasználásával készült “kvantumkontrollált nem” kapu működését illusztrálja az ábra. Először egy 90°-os, oszcilláló impulzussal a szénmagot eldöntik. Ezután a mag (ha a hidrogénmag ugyanúgy állt) gyors, vagy (ha a hidrogénmag ellentétesen állt) lassú mozgással körbefordul. Megfelelő idejű várakozás és egy újabb 90°-os impulzus a szénmagot átfordított (balra) vagy eredeti állapotba (jobbra) viszi a szomszédos hidrogénmag állapotától függően [4]

Ez az a művelet, amelyet a klasszikus számítástechnikában ellenőrzött nem kapunak hívnak. A klasszikus számítástechnikában – az egy bittel dolgozó logikai kapukkal együtt – ez tette lehetővé az univerzális számítógép megalkotását. A kvantumkontrollált nem kapu kísérleti  megvalósítása (ahol a kísérletben részt vevő spinek szuperponált állapotban lehetnek) az egy kvantumbites műveletekkel együtt lehetővé teszi, hogy univerzális kvantumszámítógépről beszéljünk. De a fent leírt kísérletsorozat nem csak elvi jelentőségű: a két kvantumbites kvantumszámítógép a Grover-féle keresőalgoritmust [6] használva egy lépésben kiválasztotta négy elemből a jelölt elemet. Ehhez klasszikus eljárás esetén a szükséges próbálkozások száma kettő és három közé esik.

A kloroformos komputer egyik legnagyobb hiányossága a qubitek kis száma. Az összefonódott qubitek száma növelhető, de számuk nem haladja meg az adott molekulában található atomok számát. A két kvantumbites kvantumszámítógépet az azonos elven működő három, majd öt kvantumbites gép követte. Így a Grover-féle algoritmus felhasználásával további eredmények születtek az adathalmazban való keresés terén. A jelenleg létező NMR-készülékek azonban 10 qubitnél nagyobb gép megvalósítását nem teszik lehetővé, ugyanis szobahőmérsékleten a szükséges jelfelbontás lehetősége a magszám növekedésével erősen csökken. Ha ezen az akadályon is túl lép a tudomány, akkor a következőt a dekoherencia jelenti. A folyadékbeli spinforgatásban körülbelül 1000 műveletig őrződik a szuperponált állapotok együtthatóiban rejlő információ, azt követően az állapot dekoherenssé válik. A dekoherencia elleni védekezésnek két módja is ismert: extra qubit hozzáadásával a kvantum-hiba javítása (ez méretnövelést igényel), illetve a kvantumszámítógépet a környezettől elszigetelő mesterséges környezet kifejlesztése.

Milyen gyors lesz a fenti elveken alapuló kvantumszámítógép? A ciklusidőt a spinek átfordulási ideje határozza meg, és így összehasonlíthatatlanul hosszabb a megahertz sebességű hagyományos számítógépekénél. De a kvantumszámítógép, ha elegendő számú qubittel kihasználjuk a parallelizálás előnyeit, akár 400 számjegyből álló számot is képes lesz faktorizálni egy év alatt. Shor felfedezése révén az ehhez szükséges algoritmus létezik [7], és ha figyelembe vesszük azt a becslést, mely szerint a ma létező leggyorsabb hagyományos gép számára a fenti feladat évmilliókat igényelne, akkor már ezért is érdemes dolgozni a kvantumszámítógép megalkotásán. Pontosan ezzel kapcsolatos a terület egyik legújabb felfedezése. 2001 decemberében jelentették be [8] az IBM Almadenben lévő kutatóközpontjában: 7 kvantumbites kvantumszámítógép segítségével, a Shor-algoritmus felhasználásával, a tizenötöt törzstényezőire bontották. Az intézet kémikusai megalkottak egy olyan új molekulát (3. ábra), amelynek hét magspinje (két szén- és öt fluoratomé) qubitként hat kölcsön egymással. A molekulák rádiófrekvenciás impulzusokkal “programozhatók”, majd az általuk kibocsátott jel NMR-készülékkel felfogható. Az intézet fizikusai egy küvettában ezen molekulák milliárdszor milliárdját (1018) vezérelték, és a Shor-algoritmus futtatásával azonosítani tudták a hármat és az ötöt mint a tizenöt törzstényezőit.

3. ábra. A hét kvantumbites molekula modellje [8]

A kvantumszámítógépek nem csak a nagy számok törzstényezőinek megkeresésében lennének hasznosak. Természetes laboratóriumai lehetnének a kvantummechanikai elvek vizsgálatának. Ezen eszközökkel, a megfelelő programok futtatása révén, a  kutatók más – alapvetően érdekes – kvantumrendszereket tanulmányozhatnának.
Mialatt az NMR-alapú rendszerek továbbra is kísérleti terepei lesznek a kvantumszámítás eszközeinek és technikáinak, figyelembe kell venni, hogy nagyon nehéz az olyan molekula kifejlesztése és előállítása, amelyben jóval több, mint hét qubit fogható munkára. Ennek eredményeként az új kísérletek azt célozzák, hogy olyan új kvantumszámítórendszereket fejlesszenek ki, amelyek könnyebben “skálázhatók” át a kvantumszámításhoz szükséges nagyszámú qubitre. A jelöltek között szerepel a kvázi nulla dimenziós elektronrendszer spinje félvezető nanoszerkezetekben (szokásos elnevezése kvantumpötty (quantum dot)), a spinnel rendelkező szennyező atom félvezetőkben, illetve az optikai rezonátorokon áthaladó atom.
Bár a kvantumszámítás lehetőségei hatalmasak és a közelmúltban elért fejlődés reményteljes jövőt ígér, azt kell mondani, hogy a kvantumszámítógépek kereskedelmi szintű elterjedése még messze van. Az NMR-alapú kvantumszámítógépek csak laboratóriumi kísérletek alanyai. Az első működő alkalmazások minden bizonnyal olyan speciális funkciók segédelemeiként jelennek meg, mint a bonyolult matematikai problémák megoldása, a kvantumrendszerek modellezése, vagy a strukturálatlan rendszerekben végzett keresés.

JEGYZETEK

1. A |y> a rendszer lehetséges állapotainak absztrakt Hilbert-terében vektorként jelenik meg. Amikor kvantumrendszerekre végezünk számolást, kényelmesebb, ha az állapotnak egy bizonyos reprezentációt választunk. Például  kvantumbit esetében az egy és a zérus állapot (jelölésük |1>, illetve |0>) oszlopvektorral reprezentálható:

|1>= ,  |0>= .

A kvantumrendszer megfigyelhető tulajdonságait operátorok szolgáltatják. Ha az operátorok a rendszer kvantumállapotára hatnak, megadják, hogy a rendszernek az adott állapotban megfigyelhető mennyisége milyen értéket vesz fel. A vektorokkal reprezentált kvantumbitállapotokhoz a bitérték-operátort (B) mátrix reprezentálja:

B=  .

Hattatva B-t a bázisállapotokra, a bitértékeket kapjuk:

B|1>=1|1>,
B|0>=0|0>,

amit mátrix- és vektorreprezentációban könnyű igazolni. A |1> és |0> állapotok B sajátállapotai. Sajátállapotban levő rendszer határozott bitértékkel bír: ezt sajátértéknek nevezzük. A qubites példában a sajátérték rendre egy és zérus. A kvantummechanikában a B típusú operátorok összes lehetséges sajátállapota bázist alkot. A qubitbázis csak két állapotot tartalmaz. Egy kvantumrendszer bármely állapota megadható a bázisállapotok lineáris kombinációjaként: szuperpozíciójaként. Például a tetszőleges |y> qubitállapot kifejthető |y>=a|0>+b|1> alakban, ahol “a” és “b” kifejtési együtthatók, melyek felírhatók  vektoralakban is. A szuperpozícióban szereplő együtthatók (a és b) általában komplex számok, így nagyságot és fázist is hordoznak. A szuperponált állapotbeli komplex számokat szokás azon bázisállapotok amplitúdóinak hívni, amelyhez tartoznak.

Összefonódás. Két kvantumrendszer együtt kombinált rendszernek tekinthető: matematikailag ez olyan Hilbert-térbeli állapottal írható le, amely az egyes rendszerek Hilbert-tereinek tenzori szorzatából áll elő. Például, ha két qubitünk van (egyes és kettes indexszel), amelyből az egyes |1>1 állapotban, a kettes |0>2 állapotban van, akkor a |c>12 kombinált állapot:  |c>12=|1>1|0>2 . Az operátorok is indexeket kapnak, amelyek jelzik, hogy mely altéren hatnak. Az operátorok a kombinált állapotnak csak arra a részére hatnak, amely ugyanazt az indexet viseli. Például a B1 bitérték-operátor |c>12-nek csak a |1>1 részére hat, ugyanígy értendő B2. A teljes bitérték:  Bt=B1+B2 . A  |c>12 a Bt-nek sajátállapota egy sajátértékkel. Három másik sajátállapot is létezik, amely a két kvantumbites bázist alkotja: |1>1|1>2, |0>1|1>2, |0>1|0>2. A két kvantumbites állapot négykomponensű oszlopvektor, így a mátrixok 4x4-es mátrixok.Tekintsük a következő lineáris kombinációt:

  |c>12= 1/(21/2)·(|1>1|1>2+|0>1|0>2)

Ez nem írható fel olyan szorzatalakban, mint |c>12, azaz az egyik qubit állapota szorozva a másik qubit állapotával. Tehát egyik qubitről sem mondhatjuk, hogy a másiktól függetlenül jól meghatározott állapotban van. A kettő együtt úgynevezett összefonódott állapotban van.

2.

H a rendszer Hamilton-operátora, amely az energia megjelenítője. A megoldás formálisan  alakban írható fel, ahol U az unitér időfejlesztő operátor:  . U-t tagonként hattatva, a szuperponáltság megőrződik. Mivel U+=U–1, így U unitér. Az egyenlet által szolgáltatott irreverzibilis időfejlődést unitér fejlődésnek is nevezik.
3. Egy qubit állapotának unitér megváltoztatása egy feles spin elforgatásával ekvivalens. Ennek megvalósítása a két állapot közötti átmenetre rezonáló klasszikus elektromágneses impulzussal lehetséges, amelynek alkalmas választásától függ a forgatás mértéke. A legegyszerűbb egy kvantumbites művelet a két bázisállapot fázisainak különböző mértékű elforgatása, ami az állapot betöltési valószínűségét változatlanul hagyja. A valószínűségeket  megváltoztató, legegyszerűbb művelet a tagadás, ennek unitér mátrixa:

  ,   N’= ,
ahol a második N’ alak azt tükrözi, hogy egy p szögű, az adott esetben x tengely körüli spinforgatás az állapotvektor fázisat p/2-vel megváltoztatja. Fontos művelet az, amely lehetővé teszi az olyan kezdeti állapot létrehozását, melynek minden tagja azonos együtthatójú.

4. A kvantum kontrollált nem-et létesítő unitér transzformáció mátrixa a következő:


 
 

IRODALOM
[1] Geszti Tamás; Fény-anyag kölcsönhatás, kvantumoptika c. kötet; pp 21–31. Szerk.: Bakos József, Sörlei Zsuzsa, Varró Sándor, Pécs (1999)
[2] T. P. Spiller; Proceedings of the IEEE, 84, 1719 (1996)
[3] Physics World, különszám, 1998. március; http://www.qubit.org/
[4]  N. Gerschenfeld, I. L. Chuang; Scientific American, 1998. június
[5] I. L. Chuang, N. Gerschenfeld, M. Kubinec; Phys. Rev. Lett. 80, 3408 (1998)
[6] L. K. Grover; Phys. Rev. Lett. 79, 325 (1997)
[7] P. W. Shor; Phys Rev. A52, R2493 (1995)
[8] http://www.research.ibm.com/resources/news/20011219_quantum.shtml