GRUIZ MÁRTON

A kaotikus mechanika kapcsolata Platónnal és a rétestésztával


A hétköznapi életben nap, mint nap használjuk a “káosz”, “kaotikus” szavakat, de vajon mit értünk rajtuk? Általában “összevisszaságra”, valamilyen követhetetlen jelenségre, vagy folyamatra gondolunk. Ezek a jelenségek, illetve folyamatok nem kizárólag mozgások, miután a “kaotikus” jelzőt gyakran értjük gazdasági, társadalmi, biológiai stb. dolgokra is [1]. A mindennapos életben ez egy szubjektív fogalom, jelezve, hogy az adott jelenség időbeli mindennapos életben ez egy szubjektív fogalom, jelezve, hogy az adott jelenség időbeli lefolyása, a korlátozott emberi megfigyelőképességgel nem, vagy csak nehezen követhető. Értve ezen, hogy a rendszer véletlenszerű, illetve annak tűnő viselkedése miatt a jelenség időbeli fejlődése csak egészen rövid időtávra jósolható meg előre. A fizikára, azon belül is a mechanikai mozgásokra szűkítve a kört, megkísérthetjük ezt a szubjektív fogalmat objektív tartalommal megtölteni.

 Nézzünk rögtön egy ilyen “objektív” példát! Egy konkrét rendszernek (amit később részletesen bemutatunk) egy adott kezdőfeltételének (kezdeti hely és sebesség) egyetlen pont felel meg a képen (1. ábra). Megfelelő paramétereknél a súrlódás hatására a rendszer – átmeneti kaotikus mozgás után – stabil periodikus mozgást fog végezni [2, 4–6]. Ez a stabil periodikus mozgás esetünkben mindössze két fajta lehet. Attól függően, hogy a mozgás a két lehetőség közül melyiken stabilizálódott, jelöltük a kezdőfeltétel pontját sötéttel illetve világossal. A sötét és a világos szín a stabilizálódáshoz szükséges időt érzékelteti: ha ez az idő kevesebb egy bizonyos értéknél, akkor sötét, ha több akkor világos. A bemutatott kép egy nagyon bonyolult fraktál [7,8]! (Lásd: keretes írás!) A nemkaotikus  rendszereknél a két szín határa csupán egyetlen sima vonal lenne. Ilyenre szemléletes példa a hegyére állított ceruza, ami minden esetben eldől jobbra vagy balra és a két esetet – hasonló ábrázolásban – egy egyszerű vonal választja ketté. Ez a két rendszer jól érzékelteti a kaotikus és a nemkaotikus mozgások bonyolultságának az eltérését.

1. ábra. Fraktál vonzási tartomány

Milyen mozgásokkal foglalkozzunk?

A káosz vizsgálatára célszerű minél egyszerűbb – ún. kis szabadsági fokú1 – rendszereket választani, hogy a valóban fontos, tipikus tulajdonságok egyértelműekké és kézzelfoghatóvá váljanak [1–3]. Nagy szabadsági fokú rendszerek mechanikai leírásához sok egyenletre van szükség, bizonyos esetekben pedig –, mint például a gázoknál, ahol az egyenletek száma 1023 nagyságrendjébe esne – már nem is lehetséges, s éppen ezért kell rájuk a termodinamika, illetve a statisztikus mechanika módszereit alkalmazni. Ráadásul ahhoz, hogy ilyen rendszerek alkotórészeinek pontos mechanikai állapotát (hely és sebesség) az időben jósolni tudjuk, szükségünk lenne még az egyenletek számának nagyságrendjébe eső, különböző kezdőfeltételek pontos ismeretére is!

 Régóta ismert tény tehát, hogy a sok szabadsági fokkal rendelkező rendszerek analitikus leírása nem lehetséges. Ez még a tisztán mechanikai rendszerekre is igaz, annak ellenére, hogy a Newton-törvények teljes determinisztikusak, tehát egzaktul meghatározzák a rendszer időbeli fejlődését. Ennek az okát sokáig csupán a fentiekben látták, hogy a sok szabadsági fok miatt extrém mennyiségű egyenletet kellene megoldani, s ha még ez lehetséges is lenne, a kezdőfeltételek megállapítása már önmagában is leküzdhetetlen nehézséget okozna, ráadásul ezek a rendszerek legtöbbször nyíltak és a környezettel való pontos kapcsolatuk ugyancsak ismeretlen. Ilyen rendszerre jó példa a Föld légköre, amelynek az időbeli fejlődésével a meteorológia foglalkozik és kísérel meg egyre hosszabb, illetve pontosabb előrejelzést adni [1]. Éppen a fent vázolt problémák miatt, a légkört már régebben is bonyolult rendszernek tartották, amelyre természetesen illet és illik, hogy kaotikus.

 Persze, sok olyan egyszerű mechanikai rendszer létezik, amelynek a mozgását kevés, vagy akár már egyetlen egyenlet (differenciálegyenlet) is leírja. Ezen egyenletek többsége már régen ismert, miután viszonylag egyszerűen meg lehet őket határozni, de akad közöttük néhány ún. nemlineáris differenciálegyenlet is, amiknek viszont nincs egzakt megoldása.2

 A század második felében a számítástechnika rohamos fejlődése új, eddig ismeretlen utakat nyitott meg a természettudományok előtt. Lehetővé vált például olyan, előbb említett, néhány szabadsági fokkal rendelkező mechanikai rendszerek tanulmányozása is, melyeknek nemlineáris mozgásegyenleteik nem megoldhatóak, azaz nem lehet egyszerű képlettel megadni a mozgás időbeli lefolyását. Ezeknek a néhány szabadságfokú rendszereknek a vizsgálata – szimulálása – kiderítette, hogy bizonyos paraméterek és kezdőfeltételek mellett – meglepő módon – olyan nagy bonyolultságú, komplex mozgás jöhet létre, amelyet régebben kizárólag, a már bemutatott, sok szabadsági fokkal rendelkező rendszerek sajátjának tekintettek.

Egy kézzelfogható példa

Ismerkedjünk meg röviden, egy ilyen viszonylag egyszerű, de ennek ellenére mégis nagyon bonyolult mozgásra képes rendszerrel! Ez egy közönséges inga, melynek felfüggesztési pontját (a csuklót) periodikusan mozgatni kezdjük. Az inga álljon egy elhanyagolható tömegű rúdból, emylnek a végére rögzítsünk egy tömegpontot. A felfüggesztési pontot vízszintesen mozgassuk az A cos(Wt) kitérési-idő függvény szerint, azaz harmonikus rezgőmozgással (ez a “legegyszerűbb” periodikus mozgás).


2. ábra. Egy kaotikus mozgás vonalát ábrázoltuk a szög-szögsebesség síkon, ahol a vízszintes tengely a szög (kitérés), a függőleges pedig a szögsebeség. A vonalaknak sehol sincs szakadása, a jobb oldalon kifutó görbe a bal oldalon visszjön és fordítva, következésképpen ez egy hengerpalást

 Ennél a gerjesztett ingánál a mozgást a kitérés (szög), a sebesség (szögsebesség) és az idő által kifeszített háromdimenziós koordinátarendszerben – az ún. fázistérben – célszerű vizsgálni (lásd: keretes írás!). Ebben az absztrakt, háromdimenziós térben (koordinátarendszerben) az inga egyetlen állapotának egyetlen pont felel meg3, ha pedig hosszabb ideig figyeljük a rendszert, akkor a pillanatról pillanatra változó állapotok egy összefüggő vonalat, az ún. trajektóriát rajzolják ki. Egy kaotikus mozgás trajektóriája látható (2. ábra) a kitérés-sebesség (szög-szögesebesség) síkon. Itt tehát az inga mozgását követhetjük nyomon, csak éppen nem valódi térben, hanem egy olyan síkon, ahol az időben változó szög és szögsebesség van egyszerre ábrázolva. Jól látszik, hogy kaotikus mozgás esetén a vonalak szabálytalanul “tekeregnek”, amelyek a valódi fázistérben természetesen nem metszik egymást, de esetünkben a háromdimenziós fázistérben lévő vonalakat “levetítettük” az időtengely mentén a szög-szögsebesség síkra. A szög periodicitása miatt ez a sík valójában egy hengerpalást, tehát a bal oldalon (-180°-nál, vagyis, -p-nél) kiszaladó vonalak a jobb oldalon (p-nél) jönnek vissza és nyilvánvalóan fordítva is ugyanígy történik. Egyszóval: a vonal akkor “fut ki” a képről, amikor az inga a legfelső pontján átlendül.

 Bizonyos paramétereknél tehát (pl.: tömeg, rúd hossza, gerjesztés frekvenciája súrlódás erőssége stb.) a 2. ábrán látott, rendkívül összetett mozgás alakul ki, amelyek tanulmányozásához – a jobb áttekinthetőség érdekében – újabb speciális, a megszokottól eltérő ábrázolásokat érdemes alkalmazni, hogy ne csak az “összevisszaságot”, a követhetetlen, minden szabályosság nélküli mozgást tapasztaljuk. Kaotikus rendszerek esetén az ilyen ábrázolások, vagy másképpen leképzések, általában fraktál (lásd: keretes írás!) alakzatokra vezetnek, egy ilyent mutattunk be az 1. ábrán is [1–3].


3. ábra. A stroboszkopikus leképezés "működéséről" láthatunk egy szemléltető képet. A trajektória – vagyis a rendszer időben folytonosan változó mechanikai állapotának fázistérbeli vonala – itt a mi rendszerünknek megfelelő háromdimenziós állapottérben (fázistérben) "kígyózik". Ezt a háromdimenziós megjelenítést tudjuk a stroboszkopikus leképezés segítségével kétdimenziós ábrázolássá redukálni. A képen látható, hogy gerjesztő periódusidőnként az időtengelyre merőleges síkmetszetet készítünk, miközben a döféspontokat a szög-szögsebesség síkra levetítjük

 Készítsünk a fázistérről egy ún. stroboszkópikus leképezést! (3. ábra) Ezt megkapjuk, ha a gerjesztő periódusidőnként, az időtengelyre merőlegesen síkmetszeteket készítünk és a trajektóriák általi döféspontokat egy – most már kétdimenziós – síkra egymásra vetítjük. Ezen a leképezésen nem folytonos vonallal, hanem pontsorozattal követjük a mozgást. Bizonyos paramétereknél és kezdőfeltételeknél egyszerű periodikus4 mozgások alakulnak ki, amelyeknek stroboszkópikus képe egy, vagy néhány, de időben nem változó, álló pont.

 Megfelelő paramétereknél viszont sokkal bonyolultabb mozgás jöhet létre és akkor ennek megfelelő a stroboszkópikus kép is sokkal összetettebb lesz [1–3]. Ilyen összetett képet láthattunk a már többször említett 1. ábrán is, ahol az inga két periodikus mozgásának az ún. vonzási tartományát térképeztük fel. Ahogy korábban leírtuk, ebben az esetben súrlódás hatására az inga kaotikus mozgása idővel stabil periodikus mozgásba megy át.5 Ez egy egyszerű átforduló mozgás, aminek a periódusideje megegyezik a gerjesztésével, ezért a stroboszkópikus képe egyetlen álló pont. A jobbra valamint balra átforduló mozgás adja azt a két lehetséges stabil állapotot, amelyeknek a leképezett pontja az egybefüggő kék, illetve piros területek közepébe esnek. Ahoyan a “vonzási tartomány” nevében is benne van, az eltérő kezdőfeltételekből kiinduló trajektóriákat attól függően jelöltük különböző színnel, hogy melyik periodikus mozgás pontjához tartottak.

A kaotikus attraktor

Vannak azonban olyan paraméterek, amelyeknél a súrlódás ellenére is tartósan fennmarad a kaotikus mozgás. Egy ilyen mozgás stroboszkópikus képét láthatjuk a 4. ábrán. Ezt a geometriai alakzatot kaotikus attraktornak nevezzük, ami olyan esetekben figyelhető meg tehát, amikor súrlódás ellenére is állandósult kaotikus mozgást tapasztalunk. A kaotikus attraktor egy – a stroboszkópikus leképezésen időben nem változó – fraktál. Ezt alátámasztják a különböző nagyítások, valamint – most nem részletezett elméleti számítások szerint – az is, hogy kiterjedt alakzat létére, mégis nulla(!) a területe [2]. Ez a struktúra tehát a szög és a szögsebesség által kifeszített síkon helyezkedik el, amelyen a rendszer állapotát jelző pont szabálytalanul ugrál.6 A kaotikus attraktort azért látjuk, mert elegendő idő alatt a rajta ugráló pont szép lassan kirajzolja nekünk az egész struktúrát. (Természetesen nem az egészet, mert ahhoz végtelen sok időre lenne szükség, miután ez egy “végtelen bonyolult” geometriai alakzat: fraktál.)
 
 

4. ábra. Bizonyos paramétereknél súrlódás ellenére sem szűnik meg a kaotikus mozgás. A stroboszkopikus leképezésen ilyenkor – a 4. ábrán látható – kaotikus attraktor rajzolódik ki. A kaotikus attraktor egy fraktál, amit alátámaszt a bekeretezett területekről készített nagyítás. Jobbra fönt: 10-szeres nagyítás. Balra lent: Az előző képről készült újabb tízszeres (tehát százszoros) nagyítás. Itt a pontok nem rajzolják ki folytonosan a szálas fraktálszerkezetet, miután véges idő alatt a leképezett pontok száma korlátozott. Jobbra lent: A jobb fölső képen bekeretezett részről készített tízszeres nagyítás. Ha a képen levő keretről készítenénk újabb nagyítást, akkor a már bemutatott százszoros nagyításra emlékeztető ábrát kapnánk

 A kaotikus attraktort nem csak stroboszkópikus leképezésen tanulmányozhatjuk, hanem időben folytonosan is. Úgy kell ezt elképzelnünk, mintha több ezer ingát ábrázolnánk egyszerre a fázistérben, de ha már egyszerre “indítottuk” őket – miután mindegyik számára egyformán telik az idő – akkor később is egy síkban maradnak (az időtengelyre merőleges szög-szögsebesség síkjában), tehát most több ezer inga, több ezer folytonosan “sodródó” pontját szemlélem a szög-szögsebesség síkon. Ebben az esetben azt tapasztaljuk, hogy a struktúra a gerjesztés periódusidejével megegyező periodikus mozgástvégez. Az 5. ábrán hét lépésben követhetünk nyomon egyetlen ilyen periódust. Ezek a pontok hasonlóan rajzolják ki a kaotikus attraktor finom struktúráját, mint ahogyan a levegő örvényeit láthatóvá teszik a levegővel együtt mozgó füst apró szénszemcséi! Jogosan merül föl az olvasóban az a kérdés, hogy vajon hogyan lehetséges kaotikus mozgás abban az esetben, ha a kaotikus attraktor egyszerű periodikus mozgást végez és az inga pontjai pedig együtt mozognak vele? A válasz: az attraktor mint ponthalmaz periodikusan mozog, de egyes pontjai nem!

5. ábra. A kaotikus attraktort időben folytonosan is szemlélhetjük. Az ábrán láthatjuk, amint a szög-szögsebesség síkon a gerjesztés egyetlen periódusidejéig (hét lépésben) követjük nyomon az attraktor mozgását. Az első és az utolsó kép megegyezik, miután az attraktor a gerjesztéssel megegyező priodikus mozgást végez. Jól látható, ahogyan egyes részei betűrődnek és kinyílnak

Levelestészta

A kaotikus attraktor bonyolult örvénylő mozgást végez, azaz egyes részei újra és újra betűrődnek és kinyúlnak, teljesen hasonlóan ahhoz, ahogyan a tésztát – tulajdonképpen periodikusan – összehajtják és kinyújtják. Ha a tésztában több “perióduson” keresztül követnénk az egyik lisztszemcsének a mozgását, akkor az olyan bonyolult lenne, mint az inga szög-szögsebesség síkon lévő pontjának mozgása. Bizonyos idő után a rétestészta is ahhoz hasonló szálas szerkezetet kezd mutatni, amit a kaotikus attraktornál már megfigyelhettünk. A kaotikus attraktor olyan szerkezetű mintha ez a betűrődés-kinyúlás folyamat már végtelen régóta tartana, s ez szemléletes magyarázat arra, hogy egyetlen stroboszkópikus leképezésen időben már nem változik a struktúrája, valamint arra is, hogy minden nagyításnál hasonlóan összetett szálas alakzatot láthatunk.

Dinamikai instabilitás

A kaotikus rendszerek fontos jellemzője a nagy dinamikai instabilitás, vagyis a kezdőfeltételre mutatott rendkívüli érzékenység. Ez azt jelenti, hogy akármilyen minimálisan változtatjuk is meg a kezdőfeltételeket (a kezdeti szöget vay szögsebességet), a rendszer viszonylag rövid időn belül mégis teljesen eltérő mozgást fog végezni. Kaotikus mozgás fázisterében átlagosan exponenciálisan távolodnak egymástól a közeli trajektóriák, szemben a nemkaotikus mozgással, ahol legfeljebb lineárisan. A távolodás sebességét meg lehet mérni, s ebben a konkrét esetben két trajektória távolsága, harminckét periódus alatt (átlagosan) 1015-szeresére nőtt7 (6. ábra). A kezdeti távolságot mérési pontatlanságnak is tekinthetjük, s akkor ez azt jelenti, hogy ha hatvannégy periódusideig szeretném a mozgást előre jósolni (számítani), akkor az eredeti mérési pontosságot 1015-szeresére, kilencvenhatnál pedig már 1030-szorosára kell növelnem! Nemkaotikus mozgásnál (ami természetesen ebben a rendszerben is felléphet) kétszeres mérési pontosságnál kétszeresére, 1015 szeresénél pedig 1015-szeresére nő a mozgás jóslásának lehetséges idej. (A levelestészta hasonlatnál két, kezdetben egymáshoz közel lévő lisztszemcsének a távolodását kellene figyelni.) Az említett példa is jól mutatja a kaotikus és a nemkaotikus mozgások közötti jelentős különbségeket, vagyis – megfelelő mérési pontosságnál – míg az utóbbi esetben az előre jelezhetőség ideje akár a világegyetem életkorával is összemérhető lehet, addig az előbbinél emberi léptékkel is nagyon kicsi ez az idő. Megállapíthatjuk tehát, hogy kaotikus mozgásnál a teljesen determinisztikus meghatározottság ellenére, még elvileg sincs értelme előre jelezhetőségről beszélni, holott ez a fogalom látszólag már megkérdőjelezhetetlenül beépült a klasszikus mechanika eszköztárába.

6. ábra. Két nagyon közeli kaotikus trajektória távolodásának mért eredményei. A vízszintes tengely az idő, a függőleges a távolság logaritmusa. A logaritmikus skálán átlagosan – jó közelítéssel – lineárisan távolodtak egymástól a trajektóriák, ami éppen azt jelenti, hogy a valóságban exponenciális léptékű a távolságuk növekedése. A vízszintes szakasz elérése után a két inga már teljesen eltérő mozgást végzett

 Ennek a néhány példának a felvázolása is érzékeltethette, hogy a rendszer valójában milyen bonyolult, holott a mozgást mindössze egyetlen differenciálegyenlet határozza meg8.

 A paraméterek és a kezdőfeltételek változtatásával, valamint különböző matematikai apparátusok alkalmazásával, leképezésekkel, mérésekkel egyetlen rendzsernél is rengeteg eltérő új információhoz és bonyolult geometrikai struktúrákhoz (fraktálokhoz) jutunk. Ez a rendszerhez hozzátartozó, meglepően sokszínű “világ”, mind a fent említett egyenlet következménye, s annak ellenére, hogy birtokunkban van a – mindent meghatározó – mozgásegyenlet, mégis a mozgások döntő többségét csupán számítógépes szimulálással lehet megismerni. Egy lineáris rendszer tulajdonságainak a feltérképezéséhez, a legtöbb esetben valóban elegendő a rendszert meghatározó egyenletek ismerete, viszont a nemlineáris mechanikai renszerek tulajdonságainak sokszínű arzenáljára az alapegyenletekbők szinte semmit sem tudunk következtetni, s ez annak ellenére így van, hogy ugyanolyan determinisztikusan meghatározottak mozgásegyenletei által, mint a lineárisok. Még ha tudatában vagyunk is ezeknek az alapvető különbségeknek, akkor is csak egy ilyen egyszerű nemlineáris rendszernek a konkrét vizsgálata döbbenti rá az embert, hogy egy nemlineáris rendszer mennyire összetett és bonyolult tud lenni. A mozgásnak nagyon sok tulajdonsága szimuláció közben teljesen váratlanul bukkant föl, hiszen egy ilyen rendszernek a megismerése a szó valódi értelmében egy felfedezés és ennek a felfedezésnek pusztán egy kis szelete a kaotikus attraktor, valamint a fraktál vonzási tartományok, s ezeknek tulajdonságai.

Platón

Ha egy kicsit kilépünk a szigorú tudományos leírás medréből, akkor feltehetjük azt a kérdést, hogy a megismert struktúrák mennyire és milyen értelemben létezőek? Gondolhatunk itt arra, hogy bár ezeket számítógépek segítségével alkottuk meg, de mégsem tudtuk előre azt, hogy mivel fogunk szembesülni, s éppen ezért lehetett valódi felfedezésről beszélni. Bizonyos értelemben ezek az alakzatok már akkor is léteztek, amikor a számítógépeket még fel sem találták. Kis túlzással Platón objektív idealizmusára9 emlékeztethet minket a probléma! Egyébiránt a platóni felfogás még napjainkban is a legelterjedtebb és legnépszerűbb filozófiai értelmezése a matematika absztrakt világának. Esetünkben az ad neki különös hangsúlyt, hogy a megismert geometriai szerkezetekkel, mint valódi, tehát szemmel is látható formákkal találtuk szembe magunkat. Ez az analógia talán nem is olyan erőltetett, ha arra gondolunk, hogy ezek a struktúrák nem cska azért nem létezhetnek ilyen “tökéletes” formában, mert a szimulációnál a lehető legegyszerűbb modellt vettük alapul (elhanyagolható tömegű teljesen merev rúd, csak az időtől függő gerjesztés stb.), hanem a valóságban, a kvantummechanikai határozatlansági elv10 miatt, erős nagyításoknál a szálas fraktálszerkezet már úgy is teljesen “elmosódna”. Tehát – némi költői túlzással – ezek a fraktálok, a kaotikus mozgások “ideáinak” is tekinthetőek, s az őket magukba rejtő világra a számítógéppel, mint eszközzel tudtunk ablakot nyitni!
 
 

Fraktálok

A fraktálok bonyolult geometriai struktúrák, amelyeknek tanulmányozásában szintén meghatározó szerepe volt a számítástechnika fejlődésének. Egyik jellemző tulajdonságuk az önmagukkal való hasonlóság, más szóval, a fraktálok olyan alakzatok, melyek minden nagyításban hasonlóan néznek ki. A “minden”-en azt kell érteni, hogy egy fraktálról hiába készítünk egyre nagyobb nagyítást, sohasem tudunk eljutni a struktúra “elemi építőköveiig”, hanem mindig az eredeti képre emlékeztető és azzal megegyező bonyolultságú ábrával találjuk szembe magunkat. Hétköznapi szóhasználattal azt is mondhatnánk, hogy ezek a geometrikai alakzatok “végtelenül bonyolultak”. Tipikusan fraktálstruktúra szokott kialakulni, ha egy matematikai vagy fizikai rendszerben, véges területen végtelen hosszú vonal, vagy esetleg véges térfogatban végtelen nagy felület helyezkedik el. Az általunk bemutatott gerjesztett ingának a különböző leképezései az előbbi esethez tartoznak. Könnyen támadhat olyan érzésünk, hogy egy véges területen belül elhelyezkedő végtelen hosszú vonal, “több”, mint egy megszokott egydimenziós vonal, de mégis “kevesebb”, mint egy kétdimenziós felület! S valóban, ezeknek a struktúráknak a segítségével újra lehetett értelmezni a dimenzió fogalmát és sikerült matematikailag definiálni, a nem egészszám dimenziókat is. Következésképpen az említett esetben a fraktál dimenziója egy és kettő közé fog esni. (Értelemszerűen az utóbbi esetben pedig kettő és három közé.) A fraktáldimenzió egy mérhető mennyiség és ezért többnyire fontos jellemzője a különböző kaotikus rendszereknek is. A természetben is meg lehet figyelni fraktálszerű struktúrákat, mint például a szigetek partvonala, az emberi érrendszer, a tüdőhólyagocskák, a felhők, a fák koronája vagy a kráterektől lyuggatott Holdfelszín. A mitokondrium nevű sejtalkotó külsű és belső membránja is fraktálszerkezetet mutat. Nyilvánvalóan az ilyen természetben fellelhető struktúrákra csak bizonyos nagyságrendeken belül érvényes az önhasonlóság, szemben a számítógépekkel elkészített, valamint a kaotikus rendszerek szimulálásánál felbukkanó “valódi” fraktálokkal. (Lásd még: Tél Tamás: Törtdimenziós renszerek: a fraktálok, Természet Világa 3., 115. évf., 1984)


 
 
A fázistér

A különböző mozgásokat célszerű az úgynevezett fázistérben vizsgálni. Ha egy tömegpont egy vonal menti mozgását vizsgáljuk, akkor a tömegpont pillanatnyi mozgásállapotát tökéletesen jellemz a hely (x) és a sebesség (v) nagysága. Ha ezenkívül ismerem a testre ható erőket is – ami függhet a helytől, a sebességtől és az időtől is – akkor a Newton törvények segítségével a test mozgásállapotát tetszőleges későbbi időpontban is megtudom mondani. Ebben az egyszerű esetben a fázisteret az “x” és az “v” tengely feszíti ki, ami így mindössze két dimenziós. A fázistérben a rendszer pillanatnyi mozgásállapotához egy pont tartozik, az időbeli fejlődését pedig egy vonallal, az ún. trajektóriával lehet nyomon követni. A trajektóriák soha nem metszhetik egymást, mert ellenkező esetben ez azt jelentené, hogy a mozgás időbeli fejlődése nem egyértelmű, vagyis egy adott kezdőfeltételből (a metszéspontból) kiindulva, az azonos körülmények ellenére, több különböző módon is változhatna a rendzser. A mechanikai mozgásegyenletek teljesen determinisztikusak. Egyre összetettebb rendszerhez, általában egyre több dimenziójú fázistér tartozik. Ha például a tömegpont a teljes háromdimenziós térben szabadon mozoghat, akkor a fázistér hat, kettő darab (független) tömegpont esetén viszont már tizenkettő dimenziós (a kétszer három darab hely és a kétszer három darab sebességkoordináta). Azonban hasonlóan az első példában látottakhoz, a bonyolult, összetett rendszerek esetében is, mindössze egyetlen fázistérbeli pont jellemez egy lehetséges állapotot! Bizonyos rendszernél a koordináták nem cska a helyváltozók és a sebességek lehetnek, hanem például szögek és szögsebességek, tehát a rendszerhez jobban illeszkedő, úgynevezett általános koordináták és általános sebességek. Az egyszerű szabadon lengő inga fázistere is kétdimenziós, ezért ez a tömegpont egydimenziós mozgásával rokon probléma, azonban itt a fázisteret egy szög és egy szögsebesség feszít ki.


 

JEGYZETEK

[1] A mechanikában az anyagi pont(ok) vagy test(ek) helyzetének meghatározására szükséges független helykoordináták számát nevezzük szabadsági foknak. Pl.: vonal mentén mozgó egyetlen pontnak egy, felületen mozgó egyetlen pontnak kettő, szabadon mozgó egyetlen pontnak három, szabadon mozgó két pontnak hat, egy ingának pedig egy szabadsági foka (a kitérés szöge) van, stb. A szabadsági fokszámnak a kétszerese egyenlő a fázistér dimenziószámával (lásd: keretes írás!).
[2] Egy differenciálegyenlet (pl. a Newton-egyenlet: , ahol a (v, x, t) ismert függvény) megoldásán olyan x(t) függvényt értünk, ami behelyettesítve a differenciálegyenletbe kielégíti azt. Pl.: egyetlen pont egydimenziós mozgásegyenletének megoldásfüggvénye, a középiskolából is jól ismert  út-idő függvény, illetve a v(t) = at + v0 sebesség-idő függvény, ahol v0 és x0a kezdeti sebesség és kitérés. Ebben a példában a(v, x, t) = a = konstans, azaz a gyorsulás nem függ a sebességtől, a helytől és az időtől sem.
[3] Az teljesen különböző állapotnak felel meg, ha az inga az egyik pillanatban ugyanolyan szögben áll és ugyanolyan szögsebességgel leng, de a vízszintesen mozgatott csukló abban a pillanatban éppen máshol van. Tehát a gerjesztés (a csukló mozgatása) miatt szükségünk van még egy tengelyre, ami a gerjesztés különböző állapotairól (a gerjesztő fázisról) ad információt, s mivel a gerjesztés csak az időtől függ, ezért ez a tengely lehet maga az idő is.
[4] Gyakran nem periodikus, hanem kváziperiodikus mozgást figyelhetünk meg, aminek egy zárt görbe a képe.
[5] A gerjesztés által folyamatosan “bepumpált” energia miatt képes a rendszer állandó stabil mozgásra a súrlódás ellenére is.
[6] A stroboszkópikus leképezésen a kaotikus attraktor áll, a pontok pedig azért ugrálnak, mert – a stroboszkópikus leképezés lényegéből fakadóan – csak gerjesztő periódusidőnként “nézzük meg”, hogy a trajektória éppen hol van a szög-szögsebesség síkon.
[7] Természetesen minél hosszabb ideig akarjuk nyomon követni a távolodást, annál kisebb kezdeti eltérést kell alkalmazni, mivel, amikor már olyan nagy a távolság, hogy különböző mozgásoknak tekinthetem őket, akkor a mérés értelmét veszti. Ilyen nagy távolságnál – az exponenciális léptékű változások ábrázolására használt – logaritmikus skálán már amúgy sem módosul a távolságuk, mert az már nem változik nagyságrendekkel.
[8] Az egyenlet a teljesség kedvéért közöljük [5,9]: . A betűk jelentése: j az inga kitérésének a szöge, t az idő, l az inga hossza, m a végén lévő tömegpont tömege, g a gravitációs gyorsulás, a a súrlódás mértéke, A a gerjesztés amplitúdója, W a gerjesztés szögsebessége.
[9] Platón objektív idealizmusában, létezett az ún. “ideák” világa, ahol minden földi dolognak az ősképe, a közös tartalmát hordozó, tökéletes és változatlan “ideák” lakoznak. (Pl.: Az összes földi szék összes tulajdonságát magában hordozó “székség”.) Platón szerint az “ideák” világa csupán a “szellem”, a tiszta intellektus számára látható.
[10] A Heisenberg-féle határozatlansági elv szerint bizonyos fizikai mennyiségeket egyszerre csak meghatározott bizonytalansággal tudunk mérni. Ez a bizonytalanság nem méréstechnikai, hanem elvi korlát! Ilyen mennyiség a hely és a sebesség (valójában az impulzus), valamint a szög és a szögsebesség is, következésképpen a trajektóriát nem lehet éles vonalnak tekinteni.