A most közreadott írás csaknem negyed évszázada lapult Vekerdi László kéziratai között. Szerencsére előkerült, mert igazi kincs. A huszadik század nagyhatású matematikusának, Turán Pálnak (1910-1976) szellemét idézi fel egy beszélgetésben Erdős Pál, a barát, és Halász Gábor, a tanítvány. Erdős Pál azóta eltávozott közülünk, Halász Gábort néhány évvel a beszélgetés után akadémikussá választották.

Vekerdi László értő és megértetni akaró kérdései nyomán a válaszokból kirajzolódnak előttünk Turán Pál emberi és szakmai arcvonásai.

Lipcsében tart előadást, 1955-ben

A Fejér Lipót és Riesz Frigyes utáni matematikus-generáció kiemelkedően nagy egyénisége Turán Pál. Ezt a generációt kegyetlenül megritkította a második világháború és az őrült önkény; a megmaradottak jelentősége így még tovább növekedett a honi matematikai kutatások nagy hagyományainak közvetítésében. Az ő kutatói és nevelői munkásságuk alakította - alakítja máig - a következő generációk számos kutatási irányát hazánkban, s határozza meg a magyar matematika arcát. Hatásuk rendkívül széleskörű külföldön is, hiszen a maguk területén a világ legismertebb - s leg-elismertebb - matematikusaihoz tartoznak. Rényi Alfréd mesél el egy jellemző anekdotát Turán Pállal kapcsolatban: az egyik nagy amerikai matematikai intézet vezetője panaszkodott egyszer Erdős Pálnak, hogy "intézetének tagjai csak a Turán-féle egyenlőtlenséggel, illetve annak különböző általánosításaival foglalkoznak, és nem képes rávenni őket, hogy e témán kívül - melynek érdekességét és jelentőségét persze ő sem tagadta - mással is foglalkozzanak." Ez a Legendre-polinomokra vonatkozó szép egyenlőtlenség Turán viszonylag könnyebben megközelíthető eredményeihez tartozik; tán ezért is váltott ki - jegyzi meg Rényi - akkora érdeklődést, nagyobbat, "mint például a sokkal mélyebb analitikus számelméleti eredményei". Turán 50. születésnapjára (1960. augusztus 18.) készült Rényi-esszé óta, úgy látszik, megérett az idő Turán mély és nagyon nehéz eredményeinek megértésére és méltánylására; tanítványainak munkáin és az ő módszere által inspirált dolgozatok nagy számán túl az is mutatja, hogy a világ legnagyobb tudományos kiadóinak egyike napjainkban jelentette meg - Halász Gábor és Pintz János közreműködésével - Turán módszerét és a módszer alkalmazásait ismertető vaskos könyvét, melynek bővítésén s tökéletesítésén élete utolsó napjáig dolgozott. (Turán, P. (Paul): On a new method of analysis and its applications, New York. Wiley-Interscience, 1984). A könyvet tanítványai, későbbi munkatársai - Halász és Pintz - Turán Pál útmutatását és elképzeléseit követve fejezték be.

Turánt és Erdőst a számelmélet iránti érdeklődésük még ifjú korukban összehozta, s később több közös közleményben kamatozott matematikai barátságuk. Erdős professzor Rényi Alfréden kívül tán senki mással annyi közös közleményt nem írt, mint épp Turán Pállal.
 

Erdős Pál: - Igen, és még Hajnal Andrást kell feltétlenül említeni. Velük, hármójukkal szerepelek valóban leggyakrabban közös szerzőként.

Vekerdi László: - És ez önmagában sokat mondó, hiszen professzor úr igazán nem szűkölködik az igen híres szerzőtársakban! Turán Pállal hogyan ismerkedtek meg?

E.: - Még tulajdonképpeni találkozásunk előtt megismerkedtünk a Középiskolai Matematikai Lapok hasábjain. Az első közös munkánk egy itt kitűzött feladat megoldása volt; közös annyiból, hogy a legjobb megoldás alatt - amire persze egymástól függetlenül jutottunk - együtt jelent meg a nevünk. Úgyhogy amikor aztán az egyetemen találkoztam Turán Pállal, már tudtunk egymásról, valósággal jó ismerősökként találkoztunk, s én mindjárt előszörre azt kérdeztem tőle: igaz-e az, hogy a prímszámok reciprok értékeinek az összege divergens? Turán mindjárt felvilágosított, hogy ez egy jól ismert dolog, s ennél sokkal több is igaz. Ekkor hallottam először a prímszámtételről, Turántól. Történt pedig mindez 1930 szeptemberében. Olyan réges-régen, hogy a maiak közül akkor talán még senki se élt. Minket ettől kezdve összekötött a számelmélet, s kiváltképpen a prímszámok iránti érdeklődésünk. Turánt az analitikus módszerek vonzották, engem inkább az elemiek, így ebből a szempontból is jól kiegészítettük egymást.

V.: - Mikor jelent meg az első közös cikkük?

E.: - 1934-ben, az American Mathematical Monthly-ban. Elemi cikkecske volt, egy m szám egymástól különböző prímtényezőinek a számára adtunk meg benne becslést, valószínűleg nem a legélesebbet, de máig nem sikerült jobbat találni.

V.: - De a harmincas években a legtöbb közös munkájuk nem számelméleti volt, hanem az interpoláció elméletére vonatkozott. Ebből a témakörből jelent meg ugyanis a harmincas évek végén, a negyvenes évek elején három nagy visszhangot kiváltó dolgozatuk.

E.: - Ezt a munkát alapjában még mint Fejér tanítványai kezdtük el.

V.: - Az interpolációs dolgozatok tehát Fejér Lipót gondolatvilágában gyökereztek?

E.: - Igen, persze, az alapokat tőle tanultuk. Egy függvény Lagrange-féle interpolációs polinomja egy Fourier-sorhoz hasonlítható, és mi olyan interpolációs kérdéseket vizsgáltunk, amelyek a Fourier-sorok elméletében már megoldást nyertek. Így például fontos kérdés volt, hogyan viselkednek a Lagrange-féle interpolációs polinomok a négyzetes átlagkonvergencia szempontjából. Én magam ezekkel a kérdésekkel a későbbiekben nem foglalkoztam, Turán azonban végig megőrizte érdeklődését ez iránt, a tulajdonképpeni Fejér-problémakör iránt, és fontos eredményekre jutott itt is.

V.: - Fejér körül hogyan dolgoztak professzor úrék? Szemináriumokon?

E.: - Szemináriumokon, egyetemi előadásokon, beszélgetéseken, ahogy adódott. Ami az utóbbit illeti, én nem nagyon tudtam jól kifejezni a gondolataimat, nem tudtam nagyon jól magyarázni, úgyhogy Fejér szerette, ha beszélgetéskor ott van Turán is, mert ő jobban el tudta magyarázni azt is, amit én gondoltam. A harmincas években nagyon sokat beszéltünk Turánnal matematikáról, jól ismertük egymás gondolkozását. Én nem mindig fejtettem ki részletesen a mondandómat, siettem, s egy ízben, mikor kért, hogy ismételjem meg, lassú felfogásúnak neveztem őt. Turán azonban letorkollt: "Tévedsz, a világosan megfogalmazott matematikai érvelés jól megérthető,  nem vagyok olyan ostoba, hogy meg ne érteném." Akkoriban többnyire az utcákon sétálva, fejből fogalmaztuk meg sejtéseinket és bizonyításainkat. Egy ízben, mikor az egyik forgalmas utcán sétálva matematizáltunk, Turán hirtelen befordult egy csöndes mellékutcába: "Túlságosan sok szép leány járkál itt - mondta - ,elvonják a figyelmemet a lényegről". Későbbi éveiben azután már jobban szerette leírni a bizonyításokat, hogy ellenőrizhesse.

V.: - Interpolációelméleti munkássága során Turán Pál mélyrehatóan megismerkedett a polinomok minden csínjával-bínjával; talán ez is segítette őt a Legendre-polinomokra vonatkozó híres egyenlőtlensége fölfedezésében.

Erdős Pállal (Varsó, 1958)

E.: - Ezt a ma már klasszikus egyenlőtlenséget közvetlenül a háború után találta. Azóta számos különféle bizonyítását és általánosítását közölték. Egyszer Turán Hollandiába utazott, s a vonaton találkozott egy matematikussal, aki a speciális függvények specialistája volt. Turán úgy mutatkozott be neki, hogy leírta az egyenlőtlenségét; "Ismeri ezt?" - kérdezte. "Hogyne -felelte a matematikus - ez Turán egyenlőtlensége". "Nos, én pedig a Turán vagyok" - mondta Pali. De azért egy kicsit mindig bántotta, hogy egyenlőtlensége annyival nagyobb érdeklődést kelt, mint a sokkalta mélyebb hatványösszeg módszere.

P_n²(x) - P_n-1(x) P_n+1 (x) >=  0, n=1,2,...  (-1 =<  x =< 1),
Ahol Pn(x) az n-edik Legendre-polinomot jelöli.

V.: - Turán meleg hangon ír nekrológjában Fejérről. Nyilván szerette és becsülte őt.

E.: - Igen, hogyne, Fejér nagyon sokra tartotta Turánt; tréfásan úgy fejezte ki ezt, hogy eljött a magyar matematikában az okos Pálok ideje.

V.: - Ennek ellenére Turán a harmincas években nagyon nehezen tudott elhelyezkedni.

E.: - Egyáltalában nem tudott! Elég reménytelen volt a helyzet: sokkal több tehetséges fiatal volt, mint hely. Turán magántanítványokból élt, csak később kapott állást a Rabbiképzőben. Persze, nem kell valami fényes lehetőségre gondolni. Turán kollégájának, a matematikus Vázsonyinak az apja, a Weissfeld bácsi, aki híres cipőkereskedő volt, nevetve mondta: "Turán úr, magának havi fizetése van egy évre!" De Pali nem keseredett el, mosolyogva válaszolta: "Lesz még nekem évi fizetésem egy hónapra!" Turán Pál már világhíres matematikus volt, s még mindig óraadásból élt.

V.: - Professzor úrék rendszeres találkozásai mikor szakadtak meg?

E.: - Én 34-ben mentem el,  a háború előtt utoljára 1938-ban jártam itthon. Aztán egészen 1948-ig nem találkoztunk. Akkor Pali kijött Amerikába, Princetonba. Már a hajónál vártam.

V.: - Írt Turán a háború után a Matematikai Lapokban egy megrendítően szép emlékezést a magyar matematika háborús veszteségeiről. Ő hogyan szenvedte át azokat a borzalmas éveket?

E.: - Már hamar behívták munkaszolgálatra, de aránylag szerencséje  volt. Egyik parancsnoka matematikus volt, vagy valaki, aki ismerte őt, s nagyon rendesen bánt vele. Később, egy másik parancsnoka pedig jó embernek bizonyult, aki még akkor se bántott senkit, ha nem volt megvesztegetve. Úgyhogy másokkal ellentétben neki aránylag könnyebb dolga volt. A háború után mindjárt kezdtünk levelezni, s mihelyt értesültem a Fejért ért méltánytalanságokról s a nélkülözésekről, küldtem csomagot, amennyit csak tudtam. Turánnal 1946-ban már egy közös cikket is írtunk. Levelezés útján, persze, mert én csak 1948 végén voltam itthon egy rövid időre.

V.: - Turán a háború után igen nagy szerepet vállalt a honi matematikai élet újraindításában, az oktatás és a kutatás megszervezésében. Beszámolt ezekről a szervezési kérdésekről is?

E.: - Persze, pontosan tudtam, mi történik itthon. De főként a közös munkák töltötték meg a leveleket. 55-ben jelent meg egy interpolációs cikkünk, ami elég erősen hatott: ezt 54-ben írtuk, amikor egyáltalában nem is találkoztunk. Pár számelméleti cikk is származik ebből az időből. De erőteljesen 1960-ban kezdtünk el újra együtt dolgozni, amikor visszajöttem. Ekkor indult el a közös munkánk az úgynevezett statisztikus csoportelmélet területén.

V.: - A háború után dolgozta ki Turán Pál a híres és nagyhatású új módszerét, a hatványösszeg módszert.

E.: - Igen, 1951-ben kaptam meg, akkor írta meg az eredményt, éppen Angliában voltam.

V.: - Lehetne erről a nagyon nehéz módszerről úgy beszélni, hogy a kívülállók is megsejtsenek belőle valamit?

E.: - Erről Halász Gábor bizonyosan többet tudna mondani; ő és Pintz János alaposan beledolgozták magukat, amikor a most megjelenő könyvet a meglévő tervezet és feljegyzések alapján befejezték. Beszéljen erről Halász. Nekem csak kis részem van a hatványösszeg módszerben, a komplex számok hatványösszegének a maximumára vonatkozóan. Halász ellenben igen sokat dolgozott vele. Írtam én is erről egy ismertető cikket, abban benne van minden.

V.: - Lehetne a laikusoknak is elmondani belőle valamit?

Halász Gábor: - Mennyire laikusoknak?

V.: - Olyanoknak, akik annyit azért sejtenek, hogy mi a "hatvány" meg az "összeg", de nem többet.

H.: - Mondhatjuk akkor, hogyha veszünk véges sok - mondjuk n - komplex számot és hatványra emeljük őket, s aztán képezzük az n-edik hatványösszeget, majd ennek n-edik gyökét vesszük, akkor ennek a kifejezésnek a limesze az a maximális tag. Ez egy elemi összefüggés, Turán ebből alkotott véges esetű egyenlőtlenségeket. De hát ez csak egy sovány - bár könnyen érthető - parafrázis, fogalmat sem ad a módszer gazdagságáról és szépségéről. Erről szavakban nemigen lehet mit mondani, csak felírni lehet, képletek sorával. 

V.: - Hogyan jutott Turán a módszerre?

H.: - Ezt már nem lehet közérthetően elmondani. Eredetileg egy rendkívül nehéz és máig megoldatlan számelméleti probléma, a Riemann-sejtés, illetve az úgynevezett "sűrűségi hipotézis" vizsgálatára dolgozta ki Turán a hatványösszeg módszert. Ez a sejtés, illetve hipotézis lényegében a prímszámok eloszlását fejezi ki egy adott intervallumban, bizonyos speciális komplex-változós függvény, az ún. "zetafüggvény" gyökeinek segítségével. Mármost az az érdekes, hogy Turán alapvető észrevétele a probléma bonyolultságához képest  meglepően egyszerű, valósággal apróságnak tűnhet, akadhatnak, akik triviálisnak vélik…

V.: - Éspedig? Mi ez az alapvető észrevétel?

H.: - Hát, amit az előbb mondottam: a hatványösszegek abszolút értékéből vont gyöknek a limesze az a maximum. Ezt mindenki azonnal belátja és hajlandó akár trivialitásnak is tekinteni. Pedig óriási a jelentősége és szinte beláthatatlan az alkalmazási köre.

V.: - Mi ez a jelentőség?

H.: - Az, hogy ennek az effektív változatai, tehát nem a határérték-forma, hanem a tényleges egyenlőtlenség-alakjai nagyon sok helyütt előkerülnek a matematikában. Azaz, limesz-reláció helyett véges egyenlőtlenség írható fel. Ez a széleskörű alkalmazhatóság "titka". Ez a számelméleti alkalmazások jelentősége: egy komplex változós analitikus függvény, a zetafüggvény gyökei ezen egyenlőtlenségek révén kapcsolatba hozhatók a prímszámokkal, a prímszámok eloszlásával. Az, hogy a prímszámeloszlás analitikus módszerrel kezelhető, már régebben is ismert volt. Turán nagy felfedezése, hogy ebben a vizsgálatban egy ilyen egyenlőtlenség nagyon hasznos. Dehát képletek nélkül ennél tovább menni nem lehet, az eddigiek is inkább csak verbális pótléknak tekinthetők. Egyébként a képletek is elég egyszerűek; Turánra általában is jellemzőnek tekinthető, hogy rendszerint valami apró, egyszerű észrevételig ment vissza - mint amilyen ez a hatványösszeg tétel is volt - és abból bontott ki egy nagy elméletet.

V.: - Tudna még erre a hatványösszeg módszer mellett egyéb - viszonylag  felfogható - példát mondani?

H.: - Például az egész valószínűség-számítási számelmélet - egy egész új matematikai diszciplína - Turán Pálnak egy egyszerű észrevételéből és bizonyításából nőtt ki, bár neki magának akkor még fogalma se volt róla, hogy tulajdonképpen valószínűség-számítási módszert alkalmaz: a Csebisev-egyenlőtlenséget. Ez különben még első cikkeinek egyike volt, a harmincas évek közepén, Hardy és Ramanujan tételéről. Vagy például 1932-ből híres közös sejtésük Erdőssel: minden pozitív felső sűrűségű sorozat tartalmaz tetszőleges hosszú számtani sorozatot. A probléma több mint 40 évig megoldatlan maradt, Erdős professzor 1000 dollárt ajánlott fel a bizonyításáéért vagy cáfolásáért, mígnem 1973-ban Szemerédi Endre megoldotta. Hasonlóképpen egy egész nagy problémakör, az ún. extremális gráfok elmélete fejlődött ki egy egyszerű kombinatorikai tételéből, amire munkaszolgálatos korában jött rá.

Linniknek magyaráz (Moszkva, 1966)

V.: - Milyen volt Turán professzor előadóként?

H.: - Sohasem az úgynevezett "anyagot" adta le, mindig elvezetett a legmaibb kutatásokig. Ez a legjobb értelemben vett modernség volt előadásaiban a lenyűgöző. Mindig megmutatta a dolog értelmét, s ráirányította az ember figyelmét a fontos összefüggésekre. Az előadás persze más, mint a kutatás, és azt hiszem, Turán nagyságát inkább szűkebb tanítványi köre tudta igazán méltányolni. Nemcsak magyar tanítványai, a külföldiek is. Igen szép eredményeket ért el például egy lengyel tanítványával, S. Knapowskival közösen, a hatványösszeg módszer területén. Ez a módszer valószínűleg élete fő műve, de a matematika egyéb területein is hallatlanul inspiráló problémákat tudott fölvetni. Erről azonban Erdős professzor bizonyosan többet tudna mondani nálam.

V.: - Említette elébb Halász professzor az extremális gráfok elméletét. Ennek mi a lényege?

E.: - Turánnak megvolt az a képessége, hogy sokszor felvetett lényeges problémákat olyan területről, amellyel egyébként nem is foglalkozott. A halmazelméletben is van egy ilyen problémája, amivel aztán később Hajnal András foglalkozott sokat. Az extrém gráfokról felvetett problémája pedig lényegében abból indul ki, hogy hány él kell egy n szögpontú gráfban ahhoz, hogy legyen benne egy háromszög. Ezt aztán Turán maga is általánosította és ez lett a kiindulópontja a gráfelmélet extremális problémáinak. Magyar és külföldi tanítványaival Pali számos kombinatorikai cikket írt, én is dolgoztam velük ebben a témában.

V.:- Általában szeretett inspirálni, problémákat átadni megoldásra másoknak?

E.: - Igen, mert ő maga inkább csak olyan problémákkal foglalkozott, melyek máshol is alkalmazhatók. Azt mondta, hogy olyan sok a probléma, s olyan kevés az ember ideje, hogy szükségképpen korlátoznia kell magát.

V.: - És mit szólt professzor úr elsöprő probléma-áradatához?

E.: - Kicsit kritizált, hogy túl sok problémát vetek fel, "de - mondta - szerencsére valami jó ösztönnel mindig olyan kérdésre bukkansz, aminek van értelme". 

V.: -Turán Pál utolsó éveiben ismét gyakran találkoztak professzor úrék személyesen is.

E.: - Igen, és dolgoztunk is közösen, bár a régi nagy matematikai beszélgetések nem tértek vissza. Pali - bár ezt nem lehetett rajta észrevenni - úgy mondta, hogy "meglassult", jobban szerette írásban követni a dolgokat. Betegsége óta - évekig leukémiában szenvedett - fáradékonyabb is lett. De nem akarta tudomásul venni a betegségét: haláláig dolgozott. A hetvenes években Kanadában adott elő, s onnan jött haza - kétszer is - kezelésre. Én akkoriban pár évig nem jártam haza: 1973-ban, a tiszteletemre rendezett tudományos ülésre ugyanis nem engedték be az izraeli munkatársaimat, s akkor három évig nem jöttem haza. 1976-ban aztán egy konferencián Párizsban találkoztam Turán Pál feleségével, Sós Verával, ő mondta, hogy ha még élve akarom látni Palit, jöjjek haza. S akkor persze nyomban hazajöttem. Az utolsó szava, amit még érteni lehetett, matematika volt.

V.: - Professzor úr írja barátjáról szóló emlékezésében, hogy Turán fiatal korában úgy tartotta, három dolog van, amiért élni érdemes: a matematika, a nő és a zene. Ebben a sorrendben. Turán Pál megnyerő, vonzó egyéniség volt; szeretett és tudott élni?

E.: - Igen, és ezt az elvét mindvégig megtartotta. Végig dolgozott a nagy könyvén, nem tudta befejezni, várta, hogy jobban legyen. Sajnos, nem lett jobban, úgyhogy a könyv befejezése, a végleges sajtó alá rendezése Halászra és Pintzre maradt. Egészen bizonyosan nagyon nagy hatású könyv lesz.

V.: - Fejérről közölt nekrológjában írja Turán Pál, hogy a nagy professzor "széleskörű műveltsége, univerzális kulturális érdeklődése a művészetek iránt, szellemes társalkodó képessége" tüntette ki emberként. Ezek a jellemvonások mintha reá magára is érvényesek lennének. 

E.: - Igen, és őt - akárcsak engem - erősen érdekelte a történelem. Persze, nem szakmai szinten, hiszen a forráskutatás fáradalmait nem vállalhattuk, de sok történeti munkát olvastunk, kivált Turán. Érdekelte a sport is, nézőként s résztvevőként egyaránt. Mindenekelőtt azonban matematikus volt, ízig-vérig, szenvedélyen. Egyszer, amikor elkeseredett voltam, ezt a zsoltár-parafrázist írta vigasztalásomra: "Erős várunk nékünk a Matematika".

(1984)

---

Természet Világa,

139. évfolyam, 5. szám, 2008. május https://www.termvil.hu/  https://www.chemonet.hu/TermVil/