Arisztotelész (Kr. e. 384-Kr. e. 332)	Domokos Gábor

DG: Előadásomban kaotikus dinamikai rendszerek néhány sajátosságáról szeretnék beszélni. (Felteszi az első fóliát, ahol szerepel az x –> 2x leképezés, az x változó xÎ[0,1] módon van megadva.) Az ilyen rendszerek egyik legfontosabb tulajdonsága a nyújtás, amit már ezen a rendkívül egyszerű modellen is tanulmányozhatunk.

Arisztotelész (A): Elnézést, hogy közbeszólok, de nem értem a felírt jelölést.

DG (A-hoz fordul): Az xÎ[0,1] azt jelöli, hogy x bármely, 0 és 1 közötti értéket felvehet. 

A: Nem lett volna-e egyszerűbb ezeket felsorolni? Diktálom, mire gondolok:

DG (írja): 

Ez a szellemes felsorolás (melyet Georg Cantor műveiből ismertem meg) valóban tartalmazza az összes 0 és 1 közé eső, két egész szám hányadosaként felírható, úgynevezett racionális számot. Az eredeti jelölés azonban nemcsak ezekre, hanem az irracionális számokra is vonatkozott.

A: Nem ismerem ezt a kifejezést. Felírna egy ilyen számot?

DG (írja): 

A: Mit jelöl ez a szám, amelyet számjegyek végtelen sorozatával adott meg?

DG: Például a szabályos ötszög oldalának és átfogójának arányát. Aranymetszésnek is szokták nevezni.

A (körülnéz): Püthagorasz nincs itt? Az ő egyik tanítványa, Hippaszosz mutatta meg, hogy ez a két szakasz összemérhetetlen, vagyis arányuk nem írható fel két egész szám hányadosaként.

DG: Azt olvastam, hogy Hippaszoszt társai megölték. Igaz ez?

A: Én is így hallottam, és nem lep meg a történet. A pitagoreusok nem örültek ennek a felfedezésnek, mert bebizonyosodott, hogy egyes geometriai objektumok nem írhatók le egész számok segítségével. Világképükben az egész számok központi szerepet játszottak, mindent ezek segítségével akartak leírni, megmagyarázni. Hippaszosz felfedezésétől számíthatjuk a folytonos (kiterjedt) objektumokkal foglalkozó geometria és a diszkrét (kiterjedés nélküli) számokat vizsgáló aritmetika¹  különválását. De mintha az ön által legutóbb felírt furcsa kifejezésben ez a két terület keveredne.

DG: Pontosan így van. Az önök egyik legnagyobb matematikusa, Eudoxosz kifejlesztette az arányok elméletét, amelyben szerepelhettek összemérhetetlen arányok is. Jóval később, a XVI–XVII. században Simon Stevin, John Wallis és mások elkezdték ezeket az arányokat számokként kezelni, és elnevezték őket irracionálisszámoknak. Az irracionális és racionális számok együttesét pedig valós számoknak nevezték. Úgy vélték, hogy az arányok számokként való értelmezése csupán technikai fogás. 

A: Rendkívül érdekes, amit mond, bár nem értek vele egyet. Szerintem ugyanis nem technikai, hanem filozófiai akadálya van az összemérhetetlen arányok számokként való kezelésének. Mielőtt ezt kifejtem, megkérem, hogy a racionális számokhoz hasonlóan sorolja fel az irracionálisokat  is.

DG: Sajnos, ez lehetetlen, ahogy ezt a már említett Georg Cantor bebizonyította.
 
 
 

John Wallis (1616–1703)	Georg Cantor  (1845–1918)

A: De ha nem tudja őket felsorolni, akkor hogyan tudja őket megnevezni?

DG: A lényegre tapintott, az irracionális számok többségét nem lehet megnevezni. Sőt eljárást sem tudunk adni a kiszámításukhoz.

A: Összefoglalva: az irracionális számok olyan, többnyire megnevezhetetlen és kiszámíthatatlan objektumok, melyeket felsorolni lehetetlen és minden egyes ilyen szám megadásához végtelenül sok számjegyet kell leírnunk. Talán nem veszi rossznéven, ha megkérdezem, miért volt szükség ilyen számok bevezetésére?

DG: A matematikusok számára technikai jellegű kiegészítésnek tűnt. Úgy látták, hogy számos fizikai jelenség leírása leegyszerűsödik, ha bevezetik az irracionális számokat.

A: Műveimben több helyen is leírtam, hogy a végtelen csak potenciálisan létezik, aktuális végtelen nincsen.² Márpedig egy irracionális számot csak végtelenül sok számjeggyel, tehát végtelen idő alatt lehet megadni. Éppen ezért az irracionális számok csak potenciálisan léteznek és filozófiai szempontból világosan elkülönülnek az aktuálisan létező racionális számoktól. Csodálkoznék, ha a két számtípus egy kalap alá vétele nem vezetett volna filozófiai ellentmondásokra.

DG:  Valóban, rengeteg vita kísérte az irracionális számok bevezetését, mígnem 2300 évvel az ön halála után egy Brouwer nevű holland matematikus rámutatott, hogy az irracionális számok bevezetése egyenértékű az önről elnevezett kétértékű logika elvetésével.

A: Ez igazán nem lep meg. Természetfilozófiáról szóló egyik művemben kifejtem, hogy a jövőre (vagyis a potenciálisan létezőre) vonatkozó állítások esetében már nem érvényes a kizárt harmadik elve.³ Az irracionális számok, ahogy azt korábban megállapítottuk, nem a jelenben (aktuálisan), hanem a jövőben (potenciálisan) létező objektumok, tehát nem vonatkozik rájuk a kizárt harmadik elve. Kérem, adja át Brouwernek üdvözletemet.

DG: Sajnos ez lehetetlen, hiszen már ő is halott. Megjegyzem azonban, hogy sok kiválóság, köztük Hermann Weyl,⁴ osztotta Brouwer nézeteit. Esetleg ön meg tudná-e világítani egy egyszerű példával, hogy mit jelent a jövőbeli eseményekre vonatkozóan a kizárt harmadik elvének tagadása?

A: Szívesen mondok ilyen példát:  Szükségszerű, hogy holnap vagy esik az eső, vagy nem esik, de ez sem azt nem jelenti, hogy holnap biztosan esik, sem pedig azt, hogy biztosan nem esik.

DG: Mondhatjuk-e tehát azt, hogy egy jövőbeli esemény, még ha determinált is, mégsem megjósolható, kiszámítható?

A: Igen, ez találó megfogalmazás. 

DG: És hogyan jelentkezik ez a probléma az irracionális számok esetében?

A: A táblán szereplő irracionális számot ön egy olyan képlettel adta meg, melynek segítségével egyértelműen kiszámítható, tehát determinált. Mivel azonban ez a számítás végtelen időt vesz igénybe, a jelenben feltehetők eldönthetetlen kérdések. Például, ha a szám tizedes tört alakját használjuk, feltehetjük a kérdést, hogy a számjegyek átlaga vajon 9/2-nél kisebb vagy nagyobb. Ezt nyilván nem lehet eldönteni.

DG: Értem a példát. Egyesek azt az ellenvetést hoznák fel, hogy az említett kérdés (bár valóban eldönthetetlen), mégis teljesen érdektelen, ugyanis tetszőleges, véges számú számjegy átlagát pontosan meghatározhatjuk.

A: Így van. Akik így érvelnek, lényegében azt mondják, hogy nincs szükség irracionális számokra, hiszen az említett véges számjegysorozatok kivétel nélkül racionális számoknak felelnek meg. Én sem tudom, szükséges-e a matematikában az irracionális számok bevezetése. Ha azonban igen, akkor számolnunk kell azzal, hogy velük együtt eldönthetetlen kérdések, megjósolhatatlan események kerülnek be a matematikai modellbe. Érdekel, hogy Brouwer eredménye után „valós számként” továbbra is együtt használták-e az irracionális és a racionális számokat.

DG: Igen, bár a vita az irracionális számok létéről és jelentéséről mind a mai napig tart. Idézek egy neves matematikus, Reuben Hersh „A matematika természete” című, filozófiai kérdéseket is érintő, 1997-ben megjelent könyvéből:⁵ „A fizikai elméletben a kényelem, a hagyomány és a megszokás kedvéért használunk valós számokat. Fizikai szempontból a kiindulópont és a cél egyaránt a véges, diszkrét modell... A valós számok kényelmesebbé teszik a számolást, a matematika simább, kellemesebb alakot ölt a valós számok lágy hullámain. Az elméleti fizikához azonban nem lényegesek, tényleges számításokra nem használjuk őket.”

Hersh itt arra céloz, hogy egyes fizikai folyamatok lényegének leírásához valóban szükségtelenek az irracionális számok, valószínűleg ezért nem terjedt ki a vita a most tárgyalt filozófiai kérdések következményeire. Ugyanakkor egy másik könyvet is említenék. Négy kiváló matematikus, Steven Smale, Michael Shub, Felipe Cucker és Lenore Blum azt vizsgálja 2002-ben kiadott művében, hogy a számítási bonyolultság elméletét hogyan lehetne olyan számítógépekből kiindulva felépíteni, melyek nem csak racionális, hanem irracionális számokkal is képesek pontos műveleteket végezni.
 
 

Steven Smale	Michael Shub

A: Nagyon érdekes ez a vita. Természetesen én az irracionális számok létét se nem állítom, se nem tagadom. Pusztán azt szögezem le, hogy a racionális számoktól alapvetően eltérő objektumokról van szó. De kíváncsi vagyok az ön véleményére is.

DG: Az irracionális számok létéről folytatott vitában én sem szeretnék állást foglalni. Ez a probléma a kontinuum két alapvetően eltérő megközelítésére vezethető vissza: az úgynevezett atomisztikus megközelítés szerint a kontinuumot alkotó pontok megjelölhetőek – ezért vezetik be az irracionális számokat. A másik, a kontinuumot folytonos egészként kezelő, az ön filozófiai nézeteihez közeli holisztikus álláspont szerint egyes pontok megjelölése jelen időben nem lehetséges, a kontinuum folytonos egészet alkot. A két szemlélet közötti szakadék áthidalhatatlan. Kétségtelen, hogy ha a természeti folyamatokat kvantitatív módon kívánjuk leírni, akkor az atomisztikus megközelítést kell alkalmaznunk, de tudnunk kell, ez mivel jár. Amennyiben az adott jelenség leírására elegendő a kontinuum racionális része (tehát a racionális számok), úgy a jelenség a modell alapján kiszámítható, megjósolható. Hersh idézett művében ilyen jelenségekre célzott. Egyéb esetben azonban a jelenség modellezéséhez szükség van az irracionális számokra. Mérnökként úgy fogalmaznék, hogy az utóbbi esetben érdemes bevezetni az irracionális számokat. Természetesen azt várjuk, hogy ezek a jelenségek nem lesznek kiszámíthatóak, megjósolhatóak.

A: Ez nem meglepő, hiszen leírásukhoz jelen időben nem értelmezhető fogalmakat kellett bevezetni. Ezek után azt gyanítom, hogy éppen ilyen fizikai jelenségeket szándékozik bemutatni.

DG: Így van, ez előadásom célja. Ezek a jelenségek „öröklik” az irracionális számokkal kapcsolatban felvetett filozófiai aggályokat: véges idő alatt, véges pontosságú számítógéppel nem jelezhetőek előre, vagyis megjósolhatatlan módon viselkednek. 

Visszatérek előadásom eredeti fonalához: a kaotikus dinamikai rendszerek két alapvető tulajdonsága a nyújtás és a keverés. Látszólag rendkívül egyszerű modellek is rendelkeznek ezekkel a tulajdonságokkal, egyik közismert példa a diadikus leképezés: x_i+1 =2 x_i mod 1, melyet a korábban említett x –> 2x leképezésből származtathatunk. Egy magyar matematikus, 

Rényi Alfréd bizonyította be elsőként, hogy irracionális kezdeti értéktől (x₀) indítva a diadikus leképezés által szolgáltatott x_i számsorozat véletlenszerű módon viselkedik, a kezdeti értéktől függetlenül mindig azonos (egyenletes) valószínűségi mérték szerint oszlik el az egység-intervallumon. Bár minden egyes lépés determinisztikus, a hosszú távú viselkedés mégis megjósolhatatlan. 

A: Jól értem, hogy irracionális x₀ értékből indítva az xi számsorozatnak minden eleme irracionális lesz? És vajon igaz-e a fordított állítás is, vagyis racionális kezdeti érték után csupa racionális szám fog-e következni?

DG: Pontosan fogalmazott. A matematikusok ezt úgy fejezik ki, hogy mind az irracionális, mind a racionális számok halmaza invariáns, vagyis ha már egyszer belekerültünk, nem tudunk belőlük kilépni. Van azonban egy lényeges különbség a két számhalmaz között: Rényi említett eredménye – más megfogalmazásban – azt jelenti, hogy az irracionális számok halmazán belül nincsen invariáns részhalmaz, vagyis bárhonnan indítva a számsorozatot, az „bejárja” az egész halmazt. Más a helyzet racionális kezdeti érték esetén: ekkor mindig periodikus viselkedést tapasztalunk. Ha egyszer a leképezés belépett egy ciklusba, onnan többet nem léphet ki, tehát a ciklusok invariáns részhalmazai a racionális számoknak.

A: Ez valóban alapvető eltérésnek tűnik. Létezik-e a racionális számoknak más invariáns része az említett ciklusokon kívül?

 DG: Könnyű belátni, hogy a k/N (k=0,1,...N–1) típusú racionális számhalmazok is invariánsak. Az ilyen típusú racionális számhalmazra megszorított (vagyis egy N×N-es négyzetrácson lezajló) leképezéseket nevezzük a folytonos leképezés diszkretizáltjainak. Az elmondottak alapján érthető, hogy a diszkrét leképezésben tetszőleges, x₀=k/N kezdeti értékből indulva periodikus pályát találunk. Rögzített N érték mellett több ciklus is létezhet párhuzamosan.

A: Úgy látom, ez a leképezés alapvetően eltérően viselkedik a racionális és az irracionális számok halmazán, így közvetlenül igazolja az irracionális számokkal kapcsolatban korábban megfogalmazott nézeteimet. Az imént azonban nem matematikai, hanem fizikai példákat ígért.

DG: Jogos a felvetése. Először a modellt mutattam be, és csak most térnék rá a modellezendő folyamatra. Mintegy negyven éve publikálta Edward Lorenz azt a dolgozatát légköri áramlások matematikai modelljeiről. A jelenséget általánosan leíró Navier–Stokes-féle parciális differenciálegyenleteket radikálisan leegyszerűsítve egy 3 dimenziós közönséges differenciálegyenlet-rendszerre jutott. Ez a drasztikusan redukált modell is komplex és meglepő viselkedést mutatott: a 3 dimenziós fázistérben a megoldásgörbék egy közel 2 dimenziós objektumra húzódtak rá és azon belül haladtak tovább. Ezt a (később mások által különös attraktornak nevezett) objektumot egy síkkal metszve a megoldásgörbék egydimenziós pontsorozatot jelöltek ki. Ha ezt egydimenziós leképezésként ábrázoljuk, akkor a diadikus leképezéshez hasonló grafikont kapunk. Bár a két leképezés nem azonos, több lényeges tulajdonságuk megegyezik: mindkét esetben igaz, hogy tipikus (irracionális) kezdeti értékből indítva véletlenszerű viselkedést tapasztalhatunk. Ugyancsak igaz mindkét esetben, hogy az N×N racionális rácson diszkretizált leképezés minden kezdeti érték esetén ciklusba jut. (A Lorenz-modellre azonban már nem igaz a diadikus leképezésnek az a tulajdonsága, hogy az irracionális és racionális számok halmaza külön-külön invariáns.) Tehát a vizsgált fizikai jelenségnél  lényegesen eltér az irracionális számokat is tartalmazó folytonos leírás és a pusztán racionális számokat használó diszkrét leírás. Mivel a digitális számítógépek csak az utóbbira alkalmasak, felvetődik a jelenség kiszámíthatóságának és megjósolhatóságának a kérdése.

A: Nem tudom, mit jelent a digitális számítógép, de azt bizton mondhatom, hogy a légköri folyamatokat nehéz megjósolni. Számos „jövendőmondónak” származik ebből a megélhetése.

DG: Az utóbbi 2500 év ezen a területen nem sok változást hozott. Érdekes azonban, hogy a megjósolhatatlanságot nem a légkörben található részecskék nagy száma, hanem a rendszer mélyén megbújó kaotikus „motor” okozza.

A: Ha jól értem, akkor a légkör példa olyan fizikai rendszerre, mely az irracionális számok használata nélkül nem írható le, még közelítően sem. Mivel az irracionális számok a jelenben nem értelmezhető objektumok, konkrét számításokhoz nyilván nem használhatóak. Ez arra mutat, hogy a körülöttünk lévő világ bizonyos jelenségeit soha nem írhatjuk le pontosan, nem ismerhetjük meg azokat.

DG: Igen, ez fontos következtetés. A fizikusok már korábban is mutattak példát ilyen jelenségekre a szemmel nem látható, elemi részecskék világában. A kvantummechanikai jelenségek esetén sem alkalmazható az önről elnevezett kétértékű logika, ezért Garrett Birkhoff és Neumann János kidolgozta az úgynevezett kvantumlogika alapjait.⁶

A: Nagyon érdekes. Ezek szerint káoszlogikát is ki lehetne dolgozni?

DG: A két terület között van analógia, de a különbség is jelentős. Kétségtelen, hogy filozófiai szempontból hatalmas port kavart a kvantummechanika határozatlansági elvének felfedezése, a mindennapi, érzékszerveinkkel tapasztalható világra gyakorlatilag nincsen hatása. Más a helyzet a kaotikus folyamatokkal, melyek sokkal nagyobb léptékben zajlanak.

A: Tudna mondani más példát?

DG: A Naprendszer bolygói is kaotikus rendszert alkotnak, pedig viselkedésük jó közelítéssel periodikus. Ez azonban csak átmenetinek tekinthető, akár néhány millió év múlva is már jelentősen módosulhatnak a bolygók pályái.

A: Valóban? Én a bolygók mozgását 55 egymásba ágyazott, koncentrikus gömb (az úgynevezett szférák) segítségével próbáltam leírni. Ez a modell Eudoxosz illetve Kallipposz elméletére támaszkodott, melyek pusztán a mozgás geometriájára vonatkoztak, a mechanikára nincs javaslatuk. Csodálkozom, hogy időközben az emberiség megoldotta ezt a nehéz feladatot.

DG: Nagyon lassan, sok-sok tévedés után, és csak részlegesen tudunk következtetni Naprendszer jövőbeli mozgására. Bizonyos szempontból önök kellemesebb helyzetben voltak, ugyanis modelljük nem írta le a mozgás mechanikáját. A tudomány mai modellje ezt leírja, és ez többekben azt a téves képzetet kelti, hogy ezáltal a mozgás megismerhető.

A: Hiába tudták azonban felállítani a mechanikai modellt, ha annak kiszámítása az irracionális számok használata nélkül lehetetlen. A modell így – bizonyos értelemben – illúzió.

DG: Bár ez erős megfogalmazás, a lényegre tapintott. Ugyanakkor rendkívüli felismerésnek tartom, hogy a Naprendszer éppen ilyen modell segítségével írható le. Ezzel a fizika megfoghatóvá tette, hogy mitől megfoghatatlan a bolygók mozgása.

A: Egyetértek Önnel, csodálatos eredmény. Ugyanakkor meglepne, ha ennek tudatában az emberek feladták volna a világ pontosabb megismeréséért folytatott küzdelmet.

DG:  Jól sejti, és hamarosan rátérek ennek rövid ismertetésére, előbb azonban szeretném megmutatni, hogy az iménti problémának az inverze is jelentkezhet a modellezés során.

A: Úgy érti, hogy valamilyen diszkrét jelenséget próbálnak meg leírni folytonos modellel, azonban a kaotikus jelleg miatt ez nehézségekbe ütközik?

DG: Erről van szó. A jelenséget egy egyszerű, elvi példával szeretném szemléltetni. Brehm szerint⁷  a lemmingek (Lemmus lemmus) Skandinávia legrejtélyesebb állatai. Az egérhez hasonló kis rágcsálók hosszú időszakokra eltűnnek, majd hirtelen ellepik a környéket. Nem kísérelem meg elmagyarázni a lemmingek titokzatos viselkedését, csupán egy egyszerű, kvalitatív modell segítségével próbálom megmutatni, hogy milyen dinamika állhat a jelenség mögött. Tételezzük fel, hogy a lemmingpopuláció azonos időnként megduplázódik, viszont ha elér vagy túllép egy rögzített N küszöbszámot, akkor N lemming elpusztul, a többi pedig  elvándorol, és a korábbi szabály szerint továbbszaporodik. A küszöbszámot indokolhatja a lemmingek adott környezetében fellelhető táplálék mennyisége. Így egy rekurzióhoz jutunk, mely az i-edik állapotban mérhető X_i létszám függvényeként adja meg az (i+1)-edik állapot X_i+1 létszámát: X_i+1 = 2 X_i  mod N. Láthatjuk, hogy mindössze az x_i =X_i/N transzformációt kell végrehajtanunk, és a diadikus leképezéshez érkeztünk.

A: Ismét a diadikus leképezés! Bizonyára most az a kérdés, hogy Rényi eredményeiből következtethetünk-e nagy lemmingpopulációk létszámának alakulására? Belátom, hogy nem, hiszen a populáció diszkrét, vagyis egész (racionális) számokkal leírható, míg a Rényi által bizonyított véletlenszerűség a folytonos diadikus leképezésben megtalálható irracionális számokra vezethető vissza.

DG: Így igaz. Bár a populációdinamikában előszeretettel alkalmaznak folytonos modelleket, a lemmingek egyszerű példája megmutatja, hogy kaotikus rendszerek esetén ez nehézségekbe ütközhet.

A: Egy apróságot nem értek. Ön azt mondta, hogy a diszkrét modellekben csak periodikus viselkedést tapasztalhatunk. Hogyan mondhatjuk tehát egy ilyen rendszerre, hogy kaotikus? 

DG: Pontatlanul fogalmaztam: maga a populáció természetesen nem viselkedhet kaotikusan. A folytonos modellek alkalmazását akkor kell megfontolnunk, ha maga a folytonos modell mutat kaotikus viselkedést. 

A: Így már világos. Van azonban még valami,  amit nem értek. Korábban azt mondta, hogy a folytonos modelleket a számítások során szükségszerűen diszkrétekkel kell helyettesíteni, hiszen műveleteket csak racionális számokkal lehet végrehajtani. („digitális számítógépeket” emlegetett, ezeket nem ismerem, de pusztán filozófiai alapon az állítást elfogadom. Jelen időben nem végezhetünk korlátlanul műveleteket jövő időben értelmezett objektumokkal.) Ezek szerint még abban az esetben is, ha egy populáció viselkedését kaotikus folytonos modellel írjuk le, a számításokban már diszkrét modell fog szerepelni. Az utóbbitól viszont joggal várhatnánk, hogy jól közelíti a biológiai rendszert. 

DG: Állítása teljesen logikus, a következtetés mégsem helyes, ugyanis a  kaotikus modellek diszkretizálásával nyert leképezések egy fontos tulajdonságát még nem említettem. Az ilyen leképezésekben mindig periodikus viselkedést fogunk tapasztalni, azonban a periódusok hossza érzékenyen függ a diszkretizáláskor használt N számtól. Egyszerű példaként ismét a diadikus leképezést említem. Ha N=16, akkor egyetlen darab, egyelemű ciklus létezik, ez az X=0. Minden ide fut be, más szóval a lemmingpopuláció, függetlenül a lemmingek kezdeti számától, mindig kihal néhány lépésen belül. Ha azonban N=17, akkor két darab 8-as ciklus létezik az X=0 fixponton kívül. Ekkor a modell szerint a populáció sosem hal ki (hacsak nem zérus darab lemminggel indítunk). 

A: Értem. Tehát ugyanazon folytonos modellből két eltérő N-nel származtatott diszkrét modell alapvetően eltérő viselkedést jósol, így az egyik segítségével nem következtethetünk a másikra.

DG: Így van. Amikor egy folytonos modellt a számítások miatt diszkretizálunk, általában a populációk létszámánál nagyságrendekkel nagyobb N-et használunk (az említett digitális számítógépek nagy teljesítménye miatt), így a két diszkrét rendszer (az eredeti diszkrét folyamat, valamint a folytonos modell véges pontosságú számítógépen futtatott változata) között semmilyen érdemi kapcsolat sincs.

A: Ezek szerint a nagy teljesítményű gépekkel végzett számítások érdekes tulajdonsága, hogy az eredményükből sem a folytonos modell viselkedésére, sem pedig az eredeti, diszkrét populációra nem lehet közvetlenül következtetni. Miért használnak az emberek ilyen gépeket?

DG: Bár kétségtelen, hogy a gépek segítségével sokszor (például nem kaotikus rendszerek esetében) értékes információhoz juthatunk, nem ártana, ha kicsit óvatosabban kezelnénk a gépi számítások eredményeit. Említette, hogy meglepné, ha az elmondottak tudatában az emberek feladták volna a világ pontosabb megismeréséért folytatott küzdelmet. Nos, egyáltalán nem adták fel, és a további küzdelem egyik fő motiválói éppen a digitális számítógépek voltak. Ezeket a csodálatos berendezéseket, melyek a másodperc milliomodrésze alatt algebrai műveletek ezreit képesek végrehajtani, alig több mint fél évszázaddal ezelőtt építették, szintén egy magyar matematikus, a kvantumlogikával kapcsolatban már említett Neumann János ötletei alapján. Ő volt az, aki először átlátta, hogy a számítógép diszkrét jellege miatt egyes fizikai folyamatok modellezésére közvetlenül nem alkalmas. Meghívta csapatába a kiváló lengyel matematikust, Stanislaw Ulamot, azzal a feladattal, hogy  kaotikus dinamikával rendelkező folyamatok gépi modellezhetőségével foglalkozzon. 
 

Neumann János  (1903–1957)	Stanislaw Ulam  (1909–1986)

A: A kaotikus folyamatok pontos modellezése – első hallásra – megoldhatatlannak tűnik a számomra. Eddig úgy értetten, Ön is ezen a nézeten van.

DG: Ez azon múlik, mi is pontosan a kitűzött feladat. Ulam hamar átlátta, hogy digitális gépekkel soha nem lehet kaotikus dinamikát pontosan modellezni. Rájött, hogy a helyzet még ennél is rosszabb: a számítógép által szolgáltatott végeredmény még statisztikus értelemben sem hasonlított a folytonos rendszerhez. 

A: Meg tudná-e határozni, hogy mikor nevezünk két idősort statisztikus értelemben hasonlónak? Nem ismerem ezt a fogalmat.

DG: Osszuk fel az egység-intervallumot képzeletben D darab egyforma dobozra. Legegyszerűbb, ha a D=N esetet képzeljük el. Indítsuk el mindkét (folytonos és diszkrét) leképezést valamely kezdeti x₀, illetve X₀ értéktől, majd figyeljük mindkét folyamatot hosszú (T>>D) időn keresztül. Ezalatt megszámoljuk, hogy melyik dobozban hány alkalommal található x_i, illetve X_i, majd az előfordulások számát elosztjuk T-vel. Mindkét (folytonos és diszkrét) folyamat esetére ez egy D értékkel megadott diszkrét függvényt eredményez, amelyet az úgynevezett valószínűségi mérték statisztikus közelítésének nevezünk. Ha ez a két függvény kellően közel van egymáshoz, azt mondjuk, hogy statisztikus értelemben a két folyamat hasonlít.

A: Nem éppen erre vonatkozott Rényi eredménye? Ön azt állította az imént, hogy Rényi szerint egy kaotikus leképezés által szolgáltatott xi számsorozat véletlenszerű módon viselkedik, és a kezdeti értéktől függetlenül mindig ugyanazon valószínűségi mérték szerint oszlik el az egység-intervallumon. Ezek szerint Ulam azt kutatta, hogy ezt a valószínűségi mérték hogyan közelíthető számítógéppel.

 DG: Pontosan. A fizikai folyamatok megismerése szempontjából ez igen fontos kérdésnek tűnt.

A: Filozófiai szempontból is érdekes ez a kérdés. Bár az irracionális számok világában lezajló kaotikus folyamat megoldásáról nem tudjuk megmondani, hogy adott pillanatban pontosan hol található, azt azonban vizsgálhatjuk, hogy általában hol szokott tartózkodni.

DG: Korábban említettem, hogy a részecskefizikában is találkoztak elvileg is megjósolhatatlan folyamatokkal. Ott is érdekes kérdés a részecske helyének statisztikus leírása. Visszatérve az előzőekhez: Ulam rövidesen megoldotta a feladatot, megalkotta az úgynevezett Ulam-sémát, melynek segítségével elvben jó statisztikus közelítést lehetett készíteni. Sajnos az Ulam-séma eredeti formájában nem volt közvetlenül programozható, ezért ezután még sokan finomították. Szász Domokossal hosszan dolgoztunk az Ulam-séma mélyebb megértésén, és sikerült egy olyan, az eredeti sémával egyenértékű módszert kidolgoznunk, mely egyrészt könnyen programozható, másrészt a séma egy addig rejtett érdekes tulajdonságát mutatta meg. Módszerünk lényege, hogy a diszkretizált leképezéshez pontosan definiált jellegű véletlen zajt adunk hozzá. Bizonyítható, hogy az így megzavart diszkrét leképezés statisztikus értelemben hasonlítani fog a folytonoshoz.

A: Érdekel, hogy mi a gyakorlati jelentősége ennek a felismerésnek. Az Ön által elmondottakból úgy tűnik, mintha a véletlen bevezetése leegyszerűsítette volna a számításokat. Nem értem, milyen módon lehet véletlen számokkal műveletet végezni. Ha véges idő alatt elő lehet állítani ilyen számokat, akkor nem lehetnek egyenértékűek az irracionális számokkal. Ha viszont nem, akkor mit nyertünk a bevezetésükkel?

DG: Ön ismét a lényegre mutatott rá. Természetesen – az irracionális számokhoz hasonlóan – véletlen számok is csak végtelen idő alatt állíthatóak elő, ugyanis a véletlent végtelen bonyolultsággal és információsűrűséggel bíró folyamatként is elképzelhetjük. Mégis van gyakorlati jelentősége a véletlen és a zajos modellek bevezetésének. Ennek egyik oka, hogy a valóságban léteznek véges állapotterű (tehát racionális számokkal leírható), de véletlen zajjal terhelt rendszerek (populációk), ezeknek pedig éppen ilyen a pontos modellje. 

A: Az sem világos számomra, hogy statisztikus értelemben miért nem magára a hozzáadott véletlen zajra hasonlít a véletlennel megzavart folyamat?

DG: Ez is előfordulhat, ha a hozzáadott zaj nagy. Az Ulam-sémával egyenértékű zaj azonban minimális mértékű. A diszkretizálás során az eredetileg végtelenül sűrű információt (irracionális számokat) hordozó trajektóriák véges információtartalmúvá egyszerűsödnek. A véletlen viszont a legnagyobb lehetséges információsűrűségű folyamat, tehát a véletlen zavarással a diszkretizálás során elvesztett információt csempésszük vissza a rendszerbe. Természetesen nem ugyanazt az információt, és (mivel a véletlen helyett kvázi-véletlent használunk) nem is ugyanannyit.

A: A populációdinamikai feladatnál nyilván nem lehet előre megtervezett méretű véletlen zajt hozzáadni a rendszerhez. Egy valódi populáció azonban sosem fog teljesen determinisztikusan működni.

DG: Valóban, ebben az esetben az a kérdés, hogy a biológiai zaj hogyan viszonyul az Ulam-sémában előírt zajhoz. Ha ennél nagyobb, akkor a populációt jól lehet jellemezni (statisztikus értelemben) folytonos modellek alapján, ha kisebb, akkor diszkrét modellt kell használni. Összefoglalva: kaotikus leképezések statisztikus viselkedésének leírásakor ekvivalens eredményre jutunk, ha irracionális számokkal végzünk műveleteket, vagy ha racionális számokkal végzünk műveleteket, de egy véletlen zavaró tagot adunk hozzá az eredményhez. Lemondhatunk tehát az irracionális számok használatáról, de akkor be kell vezetnünk a véletlent. Lemondhatunk a véletlen használatáról, de akkor be kell vezetnünk az irracionális számokat. A kettőről egyszerre azonban nem mondhatunk le.

A: A legutóbbi megállapítás a véletlen és az irracionális számok „ekvivalenciájáról” matematikailag bizonyára értékes. Filozófiai szempontból is izgalmasnak tűnik, hiszen az irracionális számok jövő időben létező objektumok, érthető, hogy az ilyenek használata a véletlenhez hasonló bizonytalanságokat jelent. Megkísérlem másképpen is megfogalmazni: vannak olyan makroszkopikus fizikai folyamatok (kaotikus folyamatok), melyeket nem ismerhetünk meg minden részletükben, mert végtelen bonyolultságúak. Ennek ellenére törekszünk arra, hogy matematikai leírást adjunk. Ez a leírás szükségszerűen támaszkodik „bizonytalan” elemekre: ilyenek lehetnek az irracionális számok vagy a véletlen. 

DG: Jobban kiemelte a lényeget, mint én. Hozzáfűzném, hogy a beépített bizonytalan elemek ellenére a matematikai modellből mégis hasznos információt nyerhetünk a rendszer viselkedéséről.

A: Nagyon örülök, hogy az irracionális számok problémája ma is foglalkoztatja az embereket. Ahogy említettük, 2500 évvel ezelőtt ezzel kapcsolatos rendhagyó nézetei miatt Hippaszoszt tudós társai meggyilkolták. Remélem, hogy az itt elhangzottak szintén felkeltik a kollégák érdeklődését, de abban is bízom, hogy ezt talán kevésbé heves formában hozzák az ön tudomására.

Köszönetnyilvánítás. A szerző köszöni Domokos Réka és Fehér Márta megjegyzéseit. A kutatást az OTKA T046646 témája támogatta.

______

Jegyzetek
1.Categoriae 4 b 20, Metafizika 1020 a 7–14.
2. VII. könyv 3. fejezet; Ross, 118.oldal: A végtelennek két fajtája van: 1) az összeadás szerinti végtelen, amely nem meríthető ki részek egymáshoz adása útján és 2) a felosztás szerint való végtelen, amely ad infinitum osztható. A szám az első, a tér a második, az idő pedig mindkét értelemben végtelen. Arisztotelész szerint az 1) értelemben van, a 2) értelemben nincsen végtelen. A térbeli kiterjedés nem végtelen aktuálisan, de végtelen föloszthatósága szerint, potenciálisan. Egy térbeli kiterjedés soha nem osztahtó fel aktuálisan végtelen számú részre. 
VI. könyv, 1. fejezet; Ross, 129.oldal: Egyetlen kontinuum sem épülhet fel oszthatatlan entitásokból – például a szakasz nem állhat pontokból.
3. De Interpretatione (Herméneutika) 9. fejezet, Ross, 114. oldal: Bármire vonatkozóan szükségszerűen igaz, hogy vagy lesz, vagy nem lesz – de sem az nem igaz, hogy lesz, sem az, hogy nem lesz.
4. The Continuum. Dover, 1994. 93. oldal: Az intuitív [lényegében arisztotelészi] és a matematikai [tehát pontokból és az azoknak megfeleltetett irracionális számokból felépített] kontinuum bizonyosan eltér egymástól; áthidalhatatlan szakadék tátong közöttük. De vannak olyan racionális okok, amelyek arra késztetnek, hogy áttérjünk az egyikről a másikra, ha meg akarjuk érteni a természetet.... Azt mondhatjuk, hogy az analízis tartalmazza a kontinuum elméletét, amely, más fizikai elméletekhez hasonlóan, igazolásra szorul.
5.Reuben Hersh: A matematikai természete. 185. oldal, Typotex, 2000. Eredeti: What is mathematics, really? Oxford University Press, 1997.
6. Bikhoff, G., Neumann, J. v.: The Logic of Quantum Mechanics. Ann. of Math. 37., 823–842. (1936)
7. Brehm, A: Az állatok világa. ÁKV-Maecenas Kiadó, Budapest, 1990
 

A székfoglaló teljes szövege