KRÁMLI ANDRÁS

A káosz matematikusszemmel


Az itt következő írás elsődleges célja, hogy A káosz természete című cikksorozatban előforduló matematikai fogalmaknak és állításoknak legalább egy részét matematikailag korrekt módon megfogalmazza. A matematikai korrektség első szintje az intuícióra építő, szóbeli ismertetés, következő szintje a formális (elsősorban fizikusok számára írt), a matematikában általánosan elfogadott megfogalmazási mód, amely a Glosszáriumban kapott helyet. Az ismertetett állításokat számos, elsősorban a konzervatív dinamikai rendszerek köréből vett példával igyekeztem illusztrálni. Mivel szűkebb kutatási területem a kaotikus biliárdok elmélete, a példák egy része ebből az elméletből való. Megragadtam az alkalmat arra, hogy röviden ismertessem a nemzetközileg elismert Budapesti Biliárdiskola főbb eredményeit és azt a gondolkodásmódot, amely csak erre az iskolára jellemző.

Tél Tamás és Gruiz Márton sorozatindító cikkét azzal a meghatározással kezdi, hogy "a káosz egyszerű rendszerek bonyolult időbeli viselkedése". [1] Egyszerű rendszereknek a kevés szabadsági fokú rendszereket nevezzük. Konzervatív rendszerekben (amelyekben teljesül a mechanikai energia megmaradásának elve) a matematikusok a teljesen véletlenszerű viselkedést értik kaotikus mozgáson, és erőfeszítéseik arra irányulnak, hogy a kaotikus mozgást igazolják azokban az esetekben, amelyekben a fizikai evidencia erre utal. A teljesen véletlenszerű viselkedés tipikus példája az ismételt érmedobás- vagy kockadobás-sorozat. (Az idézett cikk helyesen figyelmeztet arra, hogy noha az érmedobás kimenetele gyakorlatilag megjósolhatatlan, egyetlen érmedobás nem káosz!)

A sok szabadsági fokú rendszereket a statisztikus mechanika már több mint 100 éve tanulmányozza. A statisztikus fizika matematikai modelljében például az ideális gáz minden egyes molekulája egyenes vonalú, egyenletes - tehát jól kiszámítható - mozgást végez, és a molekulák nem hatnak kölcsön egymással. A molekulák száma ebben a modellben nagyon nagy (~1024): ez teszi lehetővé, hogy egy adott hatdimenziós (3 hely- és 3 sebességkoordinátával rendelkező) fázistérfogat-elemben lévő molekulák számát véletlen változónak tekintsük. 

A súrlódásmentes (konzervatív) fizikai rendszerek mozgását a Newton-egyenlettel ekvivalens differenciálegyenlet-rendszerek írják le. Az ilyen egyenletrendszerek megoldásai n szabadsági fokú rendszerek esetén megőrzik a 2n dimenziós (n hely- és n sebességkoordinátájú) euklideszi fázistérfogatot.1 Ezt a jelenséget az 1. ábrán szemléltetjük. Itt a fázistér az egységnégyzet (0ŁxŁ1, 0ŁvŁ1). Ha minden x pont a saját sebességével mozog, akkor t idő elteltével a négyzet paralelogrammába megy át. Ez azt jelenti, hogy ha egy adott A halmaz minden pontjának t idő eltelte utáni helyzetét éppen az At halmaz pontjai írják le, akkor minden -ˇ<t<ˇ időpontra az At halmaz térfogata egyenlő az A halmaz térfogatával. Ezért számos matematikus a konzervatív rendszerek mozgását az összenyomhatatlan folyadékok mozgásával szemlélteti. 


1. ábra. A konzervatív rendszerek mozgásának szemléltetése

A mozgásegyenleteknek vannak megmaradó mennyiségei, ezek felelnek meg a klasszikus mechanika megmaradási törvényeinek (energia-, impulzus-, impulzusmomentum- és tömegközéppont-megmaradási törvények, de pl. egy rugalmas falú edénybe zárt keménygolyó-rendszerben csak a mozgási energia marad meg). 1887-ben Bruns igazolta, hogy az égi mechanikában nincs a felsoroltaktól független, a koordináták algebrai függvényeként felírható megmaradó mennyiség. A rendszert leíró pont a fázistérnek a megmaradási törvények által megengedett részhalmazán, azaz a 2n dimenziós fázistérnek egy (2n-m) dimenziós felületén mozog (m a megmaradó mennyiségek száma). Azt a kérdést, hogy ezt a halmazt a mozgó pont egyenletesen járja-e be, azaz ergodikus-e a rendszer, vagy bizonyos tartományokat "kihagy", már Boltzmann felvetette. A kérdést ugyan nagy szabadsági fokú rendszerekre fogalmazta meg, de megválaszolása már kevés szabadsági fok esetén is nehézségekbe ütközik. Ezzel a kérdéskörrel foglalkozik az ergodelmélet, amelyet Birkhoff, Hincsin és Neumann János alapozott meg az 1930-as években. 

Egy m invariáns mértékkel (a rendszer által megőrzött természetes valószínűség-eloszlással) rendelkező dinamikai rendszer akkor ergodikus, ha a fizikai mennyiségek térbeli és időbeli átlagai megegyeznek.2 (Absztrakt rendszerek esetén nem feltétlenül a fázistérfogat az invariáns mérték, sőt gyakran az invariáns mérték megtalálása sem egyszerű feladat.) Nagy szabadsági fokú, kölcsönható részecskerendszerekre ezt a fogalmat úgy szemléltethetjük, hogy ha hosszú időn át megfigyeljük egy adott részecske sebességét, majd átlagoljuk, akkor ez az átlag körülbelül egyenlő lesz azzal a mennyiséggel, amit úgy kapunk, hogy a részecskék sebességeit egy adott pillanatban átlagoljuk. Az ergodicitás a véletlenszerű viselkedés legenyhébb formája, e cikkben példákat mutatunk ergodikus nem kaotikus és nem ergodikus dinamikai rendszerekre is. 

Az ergodicitás még nem káosz! Például a kváziperiodikus3 mozgás ergodikus, de nem tekintjük kaotikusnak. Kváziperiodikus mozgást végeznének a Naprendszer bolygói, ha a bolygók között nem hatna gravitációs erő. 

A véletlenszerű viselkedés következő fokozata a keverés: egy dinamikai rendszer keverő, ha egy pozitív térfogatú A halmaz hosszú idő eltelte utáni At képe tetszőleges pozitív térfogatú B halmazba olyan arányban metsz bele, mint ahogyan A térfogata aránylik a teljes fázistérfogathoz. P. Halmos ezt a jelenséget a következő példával szemléltette: ha 1 cm3 vermutot 9 cm3 vodkában elkeverünk, akkor a keverék tetszőleges V térfogatában 0,1 V vermut lesz. 

Az ún. Kolmogorov-keverés a keverésnél is erősebb tulajdonság; sokáig azt sejtették, hogy a Kolmogorov-keverésből már következik a teljesen véletlenszerű viselkedés. A sejtés nem igaz, de a cikkben tárgyalt valamennyi konkrét Kolmogorov-keverő dinamikai rendszer egyben tejesen véletlenszerű is. 

A kaotikus viselkedés matematikai igazolásának céljából előbb az időt diszkretizáljuk az ún. Poincaré-metszet segítségével: az n dimenziós fázistérben kijelölünk egy (n-1) dimenziós F felületet, és a dinamikai rendszert csak azokban a ..., t-1, t0, t1, ... időpontokban figyeljük meg, amikor az időtől függő fázispont, x(t) metszi F-et. Az F halmaz diszjunkt részhalmazokra bontásával szimbolikus dinamikát4 szerkesztünk, azaz az eredeti dinamikai rendszert diszkrét idejű és diszkrét állapotterű dinamikai rendszerrel helyettesítjük. Az x(t0)–>x(t1) leképezés által definiált szimbolikus dinamikát a 2. ábrán szemléltetjük. A folytonos vonal az x(t) dinamikai rendszer trajektóriája a kétdimenziós euklideszi síkon, az F egyenes az x tengely. A trajektória és az F egyenes metszéspontjai a Poincaré-leképezésben részt vevő pontok. Az egyenest a 0-val és 1-gyel megjelölt félegyenesekre osztottuk. Az ábrán látható trajektóriarészletnek a ...0010011... sorozat felel meg, ezt a Poincaré-leképezés a ...010011... sorozatba viszi át. 


2. ábra. Az x(t0)–>x(t1)  leképezés által definiált szimbolikus dinamika

D. Ornstein és B. Weiss 1973-ban megmutatta, hogy az erősen instabil, ún. hiperbolikus rendszerek, azaz olyan dinamikai rendszerek, amelyek maximális Ljapunov-exponense5 pozitív (a konzervatív rendszereket az jellemzi, hogy az összes Ljapunov-exponens összege zérus), teljesen véletlenszerűek, azaz definiálható olyan szimbolikus dinamika, amely az érmedobás-sorozathoz hasonlóan viselkedik. 

Az 1960-as évekig az ergodelmélet absztrakt - fizikai jelenséget nem modellező - dinamikai rendszereket vizsgált. 

A Bolyai-sík korlátos tartományaiban adott, ún. geodetikus áramlás kivételnek tekinthető, mert a klasszikus mechanika Fermat-elve értelmében egy pont a konfigurációs térben (azaz csak a helykoordináták által definiált térben) olyan pályát ír le, amely mentén valamilyen mennyiség integrálja minimális. Az eredeti Fermat-elvben két pont között a fény a lehető legrövidebb idő alatt teszi meg az utat, a geodetikus áramlás a megtett út hosszát minimalizálja, így elvileg konstruálható hozzá valós fizikai modell. E. Hopf 1939-ben bebizonyította, hogy ez a dinamikai rendszer ergodikus. 

3. ábra. A Bolyai-sík geodetikus áramlásának szemléltetése

A Bolyai-sík geodetikus áramlását a 3. ábra szemlélteti. Az a, b, c, d, a’, b’, c’, d’ oldalakkal határolt szabályos derékszögű nyolcszög (a Bolyai-geometriában ilyen nyolcszög létezik!) megfelelő (vessző nélküli és vesszős) oldalait összeragasztjuk. A fázistér pontjai az (x, v) (hely- és sebességvektor-) párok, a fázispontot tartalmazó pálya az x pontból a v irányba kiinduló geodetikus (minden szakaszon minimális hosszúságú) vonal. Ha a pálya valamelyik oldalon elhagyja a tartományt, akkor az összeragasztás miatt a neki megfelelő oldalon tér vissza. A Bolyai-sík geodetikus áramlása a folytonos idejű hiperbolikus rendszerek mintapéldája: ez a rendszer tehát teljesen véletlenszerűen viselkedik. 

A legintenzívebben a keménygolyó-rendszereket (a gázok golyómodelljét) és a többtest-problémát (a Naprendszerben tapasztalható kaotikus jelenségeket) tanulmányozzák. 

Biliárdok

Ja. G. Szinaj 1970-ben bebizonyította, hogy a kétdimenziós tóruszon6 két azonos tömegű ütköző korongból álló dinamikai rendszer ergodikus és Kolmogorov-keverő. G. Gallavotti és D. Ornstein 1974-ben bizonyította be, hogy a Szinaj-biliárd teljesen véletlenszerűen viselkedik. 

Szinaj bizonyításának lényege, hogy az ütköző korongokból álló rendszer vizsgálatát visszavezette alkalmasan konstruált matematikai biliárdok tanulmányozására. Matematikai biliárdon az alábbi dinamikai rendszert értjük: az n dimenziós euklideszi tér fix ütközőkkel határolt tartományában (a tartomány vagy eleve korlátos, vagy a megfelelő lapok összeragasztásával tórusszá alakítható) egy pontszerű részecske egyenletes sebességgel mozog a ütközők között, míg a tartomány határáról a rugalmas ütközés - azaz a fényvisszaverődés - szabályai szerint pattan vissza. (További részletek a [2] hivatkozásban.) A 4. ábrán mindkét esetre mutatunk példát. 


4. ábra. Matematikai biliárd. A pontszerű részecske egyenletes sebességgel mozog az ütközők között, a tartomány határáról a rugalmas ütközés szabályai szerint pattan vissza: a) a tartomány a tórusz részhalmaza, b) a tartomány a sík korlátos részhalmaza

Ha a tartomány határa egyes szinguláris pontok kivételével mindenütt konvex (a 4. ábra ezt az esetet ábrázolja), akkor a dinamikai rendszer hiperbolikus - a közeli és párhuzamos pályák exponenciálisan széttartanak -, azaz a Ljapunov-exponens pozitív. Ennek a ténynek az ismeretében számos, a biliárdfolyamat szingularitásából adódó technikai probléma leküzdése árán igazolható az ergodicitás és a Kolmogorov-keverés. A d>2 dimenziós és n>2 ütköző gömbből álló dinamikai rendszerek visszavezethetők egy olyan (d×n)dimenziós matematikai biliárdra, amelyben az ütköző testek hengerek (a hengerpalástokat definiáló egyenletek azt fejezik ki, hogy két gömb nem hatolhat egymásba). A Szinaj és N. Csernov által kifejlesztett módszerek finomításával és konkrét feladatra adaptálásával Szász Domokos, Simányi Nándor és a szerző bebizonyították, hogy a 3 és 4 golyóból álló rendszer Kolmogorov-keverő (1991-92). Ebben az irányban a legerősebb eredményt Szász Domokos és Simányi Nándor érte el: tetszőleges számú golyóból álló dinamikai rendszer hiperbolikus, ha a golyók tömegei különbözők, és nem esnek egy nulla mértékű halmazba.7 [3] Az nem ismeretes, hogy az egyenlő tömegű golyókból álló rendszer a kivételes halmazba tartozik-e? 

5. ábra. Biliárd az ellipszisben

Ha a matematikai biliárd tartományának határa konkáv, akkor meglepő jelenségekkel találkozunk. Az 5. ábrán ellipszis alakú tartomány látható. A geometriai optikából ismert, hogy az ellipszis F1 fókuszából kiinduló fénysugár átmegy az F2 fókuszon. Ugyanez érvényes a matematikai biliárd trajektóriájára is. Elemi geometriai megfontolásokkal igazolható, hogy tetszőleges trajektóriához van egy olyan F1, F2 fókuszú ellipszis vagy hiperbola, amit a trajektória végtelen sokszor érint. Ezek az ellipszisek, illetve hiperbolák az ún. kausztikák (gyújtóvonalak), amelyek például egy jegygyűrű megvilágításakor láthatók. 


6. ábra. A Bunyimovics-stadion

V. F. Lazutkin 1973-ban igazolta, hogy a sík elég sima konkáv görbével határolt tartományában ez a jelenség lényegében megmarad, a kausztikákkal befedett terület pozitív. Az ilyen dinamikai rendszerek nem ergodikusak: ha egy trajektória egy adott kausztikát érint, akkor nem érinthet egy másik kausztikát, tehát nem járja be a teljes fázisteret: a fázistér szétesik a különböző kausztikákat érintő trajektóriák által bejárt tartományokra. Viszont a két félkör és két egyenes szakasz által határolt, stadion alakú tartományban (6. ábra) értelmezett biliárd kaotikus: ergodikus és Kolmogorov-keverő. Ezt a meglepő tényt L. A. Bunyimovics bizonyította be 1979-ben. A hiperbolikus viselkedés (a Ljapunov-exponens pozitivitásának) oka az, hogy bár a közeli pályák a határon bekövetkező ütközés után fokuszálódnak, van elég idejük "defokuszálódni", így végeredményben ugyanúgy exponenciálisan távolodnak egymástól, mint a konvex szórótestek esetén. 

7. ábra. Biliárd a kardioid görbében

A hiperbolikus konkáv - sehol sem szóró - biliárdokra nem a Bunyimovics-stadion az egyetlen példa. 1986-ban M. Wojtkowski effektív, jól ellenőrizhető feltételt fogalmazott meg arra, hogy a jelenség fellépjen. Ez például a 7. ábrán látható "kardioid" görbére is teljesül. A Wojtkowski-feltételnek eleget tevő biliárdok bizonyos enyhe technikai feltétel teljesülése esetén Kolmogorov-keverők; ezt Szász Domokos igazolta 1992-ben. [4] 


8. ábra. Wojtkowski példája

A 8. ábrán Wojtkowski példája látható olyan sehol sem szóró biliárdra, amely első látásra két, alaposabban megvizsgálva három ergodikus komponensből áll. Az ütközők: a, b párhuzamos szakaszok; c, illetve d félellipszisek, amelyeknek fókuszai F1 és F2, illetve F3 és F4; az e, illetve f szakaszok az F1 és F3, illetve F2 és F4 pontokat kötik össze. Az ellipszis optikai tulajdonsága miatt az e és f szakaszokkal belülről ütköző pályák sohasem válnak az e és f szakaszokkal kívülről ütközőkké. Az akadályokat kívülről, az óramutató járásával egyező irányban megkerülő pályán mozgó részecske (az ábrán látható pálya ilyen) sohasem kerülheti meg az akadályokat az óramutató járásával ellenkező irányban. Ebben az esetben a káosz a fázistér három - egymást kiegészítő - komponensén érvényesül. 

Itt kell megjegyeznünk, hogy a Budapesti Biliárdiskola számos új módszerrel és fogalommal gazdagította elsősorban az ún. félig szóró biliárdok elméletét. A kettőnél több ütköző golyóból álló rendszerek ilyenek; ezeknél a Ljapunov-exponens pozitivitásának igazolása is kifinomult technikát igényel. Az ilyen rendszerekre vonatkozó, áttörést jelentő eredményeket ez az iskola érte el. Az algebrai módszerek alkalmazása, a többdimenziós esetben fellépő szingularitások kezelése és a statisztikus viselkedés mélyebb megértése terén járult hozzá a káoszelmélethez. Iskolánk alapítója Ja. G. Szinaj (aki a matematikai fizika szinte minden ágában kiemelkedő eredményeket ért el), aktív tagjai Szász Domokos, Simányi Nándor és a szerző, valamint Szász Domokos doktoranduszai: Bálint Péter, Tóth Imre és Varjú Tamás.

Égi mechanika

A következőkben a másik intenzíven tanulmányozott - részben kaotikusan viselkedő - konzervatív rendszerről, a már említett többtest-problémáról lesz szó. A Naprendszer stabilitásának kérdése az égi mechanika megalapozása óta (Lagrange és Laplace, XVIII. század) kihívást jelent a matematikusoknak; II. Oszkár svéd király (u. 1872-1907) díjat tűzött ki a probléma megoldásáért. A díjat 1889-ben H. Poincarénak ítélték oda a korlátozott háromtest-probléma stabilitásának vizsgálatában elért eredményeiért. (Itt jegyezzük meg, hogy a matematikai stabilitás8 az égi mechanikában általában nem teljesül: a kezdeti feltételek kis megváltozásának hatására egy bolygópálya alakja és mérete ugyan kicsit változik, de mivel ez a keringési idő megváltozásával jár, két közeli különböző pálya mentén mozgó bolygó nagyon eltávolodhat egymástól, így például a távközlési műholdak mozgása sem stabilis; ez az instabilitás azonban nem káosz.) 

A Naprendszer stabilitására vonatkozó matematikai vizsgálatok csúcspontja a Kolmogorov-Arnold-Moser- (KAM-) tétel. A tétel és a bizonyításhoz szükséges, gyorsan konvergáló egyenletmegoldó algoritmus A. N. Kolmogorovtól származik (1954), míg a bizonyítás részleteit különböző esetekben V. I. Arnold (1963) és J. Moser (1962) dolgozta ki. [5] 

A Naprendszerre a KAM-tétel a következőt jelenti: a kilenc nagybolygó mozgásának kváziperiodikus jellege elég kis perturbáció esetén megőrződik (sőt maguk a periódusok is megmaradnak, ez biztosítja a matematikai stabilitást), ha a kilenc nagybolygót jellemző kezdeti értékek egy nagy fázistérfogatú halmazban vannak. Minél kisebb a perturbáció, annál nagyobb a jó kezdeti értékek halmazának térfogata. A perturbálatlan, illetve a jó halmazból induló, kicsit perturbált rendszer mozgása egy sokdimenziós tóruszon megy végbe: ez a Kolmogorov-tórusz. A bolygók keringési idejei nem lehetnek racionálisan összefüggők (kváziperiodicitás, ez alól a Neptun és a Plútó keringési ideje kivétel, l. alább), sőt az irracionalitás mértékére is kikötésekkel kell élnünk. Ezek a kikötések az ún. perturbációs sorok konvergenciáját biztosítják. 

Véges pontosságú mérésekkel nem adható válasz arra a kérdésre, hogy a Naprendszer jelenlegi állapota a jó kezdeti értékek halmazában van-e? Csak azt a tényt lehetne megállapítani, hogy a Naprendszer nincs benne a kívánatos halmazban, ezt pedig előbb-utóbb amúgy is észrevesszük: például két nagybolygó összeütközik. 

A numerikus kísérletekből arra lehet következtetni, hogy a Naprendszer lehetséges perturbációi (az egyes bolygók közötti kölcsönhatás, a figyelembe nem vett kisbolygók, holdak hatása stb.) lényegesen nagyobbak, mint amit a KAM-elmélet megenged (J. Laskar). Aggodalomra azonban nincs ok: N. N. Nyehorosev 1977-ben igazolta, hogy "rossz" kezdeti feltételek esetén a Naprendszer mozgásának távolodása a Kolmogorov-tóruszoktól rendkívül lassú. (Laskar számításai szerint 50 millió évig nem várható katasztrófa.) 

A KAM-tétel által megadott tartományon kívül a rendszer viselkedése csak speciális esetekben tanulmányozható. A rezonáns esetek (amelyekben nem teljesül a periódusok összemérhetetlenségi feltétele) más módszerrel külön vizsgálhatók; Arnold leírta a lehetséges mozgástípusokat, közöttük van matematikailag stabilis is. 

A legtöbbet tanulmányozott eset az ún. korlátozott háromtest-probléma (két véges tömegű pont egy síkban kering a közös tömegközéppont körül, míg a harmadik pont tömege zérus, és a két tömegpont által létesített periodikus erőtérben mozog). Erre a rendszerre V. M. Alekszejev 1967-ben (megelőzve Ornstein és Weiss általános tételét) megoldotta Szitnyikov problémáját: véletlenszerűen viselkedő szimbolikus dinamikát konstruált. Alekszejev példájában a két pont tömege egyenlő, a harmadik - zérus tömegű - pont a keringés pályasíkjára merőlegesen mozog. A megfigyelt mennyiségek a harmadik pont által a pályasík alatt, illetve felett eltöltött időtartamok. A lehetséges időtartamok alkalmasan diszkretizálhatók, és tetszőleges, előre adott 01 sorozathoz (érmedobás-sorozathoz) található olyan kezdeti feltétel, hogy a megfigyelt diszkretizált időtartamok sorozata éppen az adott 01 sorozat legyen. 

9. ábra. Az m1 és m2 tömegű bolygóval szinkronban keringő, zérus tömegű test egyensúlyi helyzetei (L1-L5)

A síkbeli korlátozott háromtest-probléma híres speciális kérdése, hogy a két nem nulla (m1 és m2 tömegű) bolygóval szinkronban keringő koordináta-rendszerben a zérus tömegű test mikor van egyensúlyi helyzetben. Már Lagrange megtalálta az 5 lehetséges egyensúlyi helyzetet (9. ábra). Arnold és A. Deprit igazolták, hogy ha teljesül az 

feltétel, akkor az L4 és L5 helyzetek stabilisak. A Hold/Föld és a Jupiter/Nap tömegarány teljesítik ezt a feltételt, ezért a "görög" és "trójai" kisbolygók nagyon sokáig szinkronban keringenek a Jupiterrel. [6] A bizonyítás Moser módszerének kifinomult alkalmazásával adható meg. 

Gyakran a Poincaré-metszéssel kapott leképezés is túlságosan bonyolult, ezért a várható jelenségeket egyszerűbb, "karikatúra"-leképezéseken tanulmányozzák. Ilyen például a KAM-elmélet alapvető segédtételében szereplő leképezést helyettesítő standard leképezés vagy az Hénon-leképezés, amelyet a konvekció egyenletét modellező háromdimenziós nemlineáris Lorentz-egyenlet Poincaré-metszetének tanulmányozására használnak. 

Az alábbi, ún. standard leképezést S. Aubry és J. Mather vezette be 1982-ben: 

Itt 2px a szögváltozó, ył0 pedig az ún. hatásváltozó (az origótól mért távolság). Ha k=0, valamennyi y=konstans kör a T leképezés invariáns halmaza (10. ábra)

10. ábra. A standard leképezés (k=0)

Ha k elég kicsi, akkor azok a körök maradnak invariánsak, amelyeknek y sugara irracionális és rosszul közelíthető kis nevezőjű racionális számokkal. A "rosszul közelíthetőség" mértékétől függ, hogy mekkora k engedhető meg. A k konstans növelésével a korábbi folytonos invariáns görbék Cantor-típusú invariáns halmazokra12 esnek szét. Ha k»0,972 (R. MacKay, 1992), akkor már csak az 

sugarú (ez éppen az aranymetszés aránya) körnek megfelelő invariáns görbe marad meg. 

Az invariáns görbék (és Cantor-görbék) közötti tartományban a leképezés viselkedése nem ismert. 

Az Hénon-leképezés az (x, y) síkot képezi le önmagára: 

T(x, y):=(1-ax2+y, by).

Itt a és b szabad paraméterek, a terület csak b=1 esetén invariáns mértéke T-nek. A káoszelmélet szempontjából érdekes különös attraktorok9 a {0<a<2, 0<b<1} tartományban jelennek meg. Az Hénon-leképezés a legegyszerűbb kétdimenziós kvadratikus leképezés, ennek ellenére matematikailag egzakt tanulmányozása rendkívüli nehézségekbe ütközik, és számítógépes szimulációja is számos nem triviális elméleti megfontolást igényel. Az olvasó azt várná, hogy legalább az egydimenziós kvadratikus leképezés egyszerűen tanulmányozható. Ezt a leképezést logisztikus leképezésnek nevezik, és hagyományosan T(x):=ax(1-x) alakban írják fel. Erről a leképezésről sokáig azt gondolták, hogy tökéletesen modellezi a turbulenciát. [1] Itt csak két - a káosz cikksorozatban nem tárgyalt - jelenségre hívjuk fel a figyelmet. 

Az egyik a Sarkovszkij-tétel (1965) az egységintervallum logisztikus és annál általánosabb egycsúcsú T leképezéseinek periódusairól. Ha a természetes számokat a következő furcsa módon rendezzük: 

1<2<4<...<2k<2n(2k+1)<...<2(2k+1)<...<14<10<6<...<2k+1<...<7<5<3,

akkor ha valamely a paraméterértékre a T leképezésnek van n periódusú pontja (más szóval a T n-edik iteráltjának van fixpontja), akkor minden, a fenti értelemben n-nél kisebb m-re T-nek van m periódusú pontja. Speciálisan, ha T-nek van 3 periódusú pontja, akkor bármely periódus előfordul. Ezt az állítást gyakran úgy emlegetik, hogy "a három periódusból" következik a káosz; ez az állítás minden további feltételezés nélkül nem igaz. 

A másik jelenség a hosszmértékre nézve abszolút folytonos10 invariáns mérték problémája. M. V. Jakobszon 1981-ben bizonyította be, hogy az a paraméterű logisztikus leképezésnek az a értékek egy pozitív mértékű halmazán van abszolút folytonos invariáns mértéke, tehát az ergodelmélet módszerei alkalmazhatók. Az eredmény annyira meglepte a matematikusokat, hogy a híres sorelmélész, L. Carleson 1988-ban új bizonyítást adott a tételre. M. Benedicks és Carleson 1989-ben az Hénon-leképezésre igazolták, hogy az {(a, b) : 0<a<2, 0<b<1} paramétertartomány egy pozitív mértékű részhalmazára az Hénon-leképezésnek létezik különös (nulla mértékű, de 1-nél nagyobb Hausdorff-dimenziójú11 Cantor-típusú12) attraktora, és az attraktoron létezik ergodikus SRB- (Szinaj-Ruelle-Bowen-) mérték13

Az 1960-as és 70-es évek fordulóján a KAM-elmélet megszületése, a Szinaj-biliárd kaotikus viselkedésének igazolása, a turbulencia jelenségének matematikai magyarázatában bekövetkezett paradigmaváltás (a turbulens áramlás nem tekinthető véges sok, össze nem mérhető periódusú hullám szuperpozíciójának), a fraktálok felfedezése a fizika számára és számos más matematikai eredmény vezetett el az önálló káoszelmélet kialakulásához. A kevés szabadsági fokú dinamikai rendszerekben fellépő kaotikus viselkedés matematikai modellezése, a fogalmak tisztázása és egyes konkrét modellek vizsgálata egyre nagyobb kihívást jelent a matematika számára. Metaforával élve azt mondhatjuk, hogy a káoszelmélet Ljapunov-exponense pozitív, minden probléma megoldása legalább két új problémát vet fel. Abban reménykedünk, hogy a vizsgálatok nem válnak öncélúvá, nem szakadnak el azoktól a fizikai feladatoktól, amelyeknek létüket köszönhetik. 

A szerző köszönettel tartozik Szász Domokosnak a szöveg pontosításáért és számos kiegészítő megjegyzéséért, valamint Tél Tamásnak az érthetőséget szolgáló tanulságos kritikai észrevételeiért és szerkesztési tanácsaiért.

Az írás az OTKA T-302022 sz. támogatásával készült.

Irodalom

1. Tél Tamás, Gruiz Márton: Mi a káosz? (És mi nem az), Természet Világa, 133., 296-298. (2002) 
2. Szász Domokos: Matematikai biliárdok. Ergodicitás és káosz, Természet Világa, Matematika különszám, 69-73. (1998) 
3. Szász Domokos, Simányi Nándor: Hard ball systems are completely hyperbolic, Ann. of Math. 149., 1, 35-96. (1999) 
4. Szász Domokos: On the K-property of some planar billiards, Comm. Math. Phys. 145., 3, 595-604. (1992) 
5. Földi utakon az égi mechanikához. Beszélgetés Jürgen Moser professzorral. Staar Gyula interjúja, Természet Világa, 127., 194-199. 1996) 
6. Érdi Bálint: Bolygórendszerek kaotikus dinamikája, Természet Világa, 134., 210-213. és 256-260. (2003) 
7. A Nagy Fehér Főnök. Beszélgetés Jakov Grigorjevics Szinaj professzorral. Staar Gyula interjúja, Természet Világa, 116., 355-359. (1985) 

*** 

Glosszárium

1. Térfogat. Az n dimenziós euklideszi tér részhalmazain értelmezett nem negatív, valós értékű függvény, amely a téglatesteken megegyezik azok euklideszi térfogatával. A térfogat definícióját úgy terjesztjük ki a téglatesteknél bonyolultabb halmazokra, hogy diszjunkt halmazok egyesítésének térfogata egyenlő legyen ezen halmazok térfogatának összegével. 

2. Ergodicitás. Tetszőleges, a fázistéren értelmezett integrálható f(x) függvény térbeli és időbeli  átlaga megegyezik, azaz 

 Itt x a fázistér egy pontját jelöli. (Bővebben lásd [2] és [7].) 

3. Kváziperiodikus mozgás. Az n dimenziós tórusz6 irracionális irányú feltekerése kváziperiodikus mozgás; formális definíciója: 

ahol y1, ..., yn racionálisan nem összefüggők, azaz nincsenek olyan k1, ..., kn egész számok, hogy k1y1+ ...+ knyn =0. 

4. Szimbolikus dinamika. A Poincaré-metszetet definiáló F felület lesz a fázistér. Az x(tk) –> x(tk+1) leképezést T-vel jelöljük. A folytonos dinamikai rendszerhez tartozó µ invariáns mérték F-re való alkalmas megszorítása a T leképezés invariáns mértéke lesz. A továbbiakban feltesszük, hogy a teljes fázistér mértéke véges, így az is feltehető, hogy (F) = 1, azaz valószínűségi mérték. Az F fázisteret legfeljebb megszámlálható sok diszjunkt (egymást nem metsző) halmaz egyesítéseként állítjuk elő: 

E felbontás segítségével konstruáljuk meg a T leképezéshez tartozó szimbolikus dinamikát, azaz a T leképezéssel matematikailag ekvivalens ...,X-1, X0, X1,... valószínűségi változó sorozatot: 

Xn = k, ha 

ahol n tetszőleges egész szám; ily módon a fázistér pontjait két irányban végtelen sorozatokkal kódoltuk (2. ábra). Ez a kódolás akkor tükrözi hűen a T leképezés tulajdonságait, ha minden x és y F-beli pontpárra van olyan n egész szám, hogy Tnx és Tny az felbontás különböző halmazaiba esik, azaz minden x fázispont egyértelműen dekódolható ...,X-1, X0, X1,... sorozatból. Az így konstruált ....,X-1, X0, X1,...  sorozat azért tekinthető valószínűségi változók sorozatának, mert az {X1 = k1,... Xn= kn} esemény valószínűségét minden n-re a 

képlettel definiálhatjuk. Az így definiált véletlen változó sorozat általában nem lesz független. 

5. Ljapunov-exponens. Az x0(0) = x0kezdeti feltételt kielégítő x0(t) instabil megoldáshoz közeli - az x0(0) = x kezdeti feltételt kielégítő - x(t) megoldásoknak az x0(t) megoldástól való távolodási rátája a l Ljapunov-exponens: 

                    (L1)

 Formálisan: 
         (L2) 
Mivel az x0(t) megoldás általában egy korlátos tartományon belül marad, a  határátmenet nélkül l-t nem tudnánk értelmezni, hiszen (L1) bal oldala korlátos, míg jobb oldala végtelenbe tartó lenne. Az (L2) definíció nem független attól, hogy az x kezdeti érték milyen módon tart x0-hoz, de a lehetséges irányoknak egy, a fázistérnél alacsonyabb dimenziós alterének kivételével l fenti definíciója egyértelmű. 
Bizonyos alacsonyabb dimenziós altereken tartatva x-et x0-hoz, különböző exponenseket kapunk, többek között negatívakat is: ilyen irányok mentén perturbálva a kezdeti feltételt, az x0(t) megoldás stabilis. 

6. Tórusz. Az n dimenziós euklideszi tér egységkockájának szemben lévő lapjait összeragasztva egy határ nélküli n dimenziós alakzatot kapunk, ez a tórusz. A kétdimenziós tórusz konstrukcióját mutatja a 11. ábra.

11. ábra. A tórusz előállítása

7. Nulla mértékű halmaz. Olyan halmaz, amely tetszőlegesen kicsi összhosszúságú intervallumrendszerrel lefedhető; pl. az A := {a1, a2, ... an...} megszámlálható halmaz (a racionális számok halmaza ilyen!) 0 mértékű, mert tetszőlegesen nagy, rögzített N-re minden an pontot belefoglalhatunk egy 1/2N+n hosszúságú intervallumba, így A-t lefedtük egy 1/2N összhosszúságú intervallumrendszerrel. 

 8. Matematikai stabilitás (Ljapunov definíciója). Az x(t) = 0 pont egy dinamikai rendszer stabilis egyensúlyi helyzete (fixpontja), ha a 0 tetszőleges U környezetéhez van olyan U’ környezet, hogy ha , akkor minden t > 0-ra . A t időparaméter lehet folytonos vagy diszkrét attól függően, hogy a dinamikai rendszert differenciál- vagy differenciaegyenlettel adjuk meg. A stabilitásnak ez a definíciója tér- és időtranszformációval tetszőleges x(t) trajektóriára átvihető. 

 9. Attraktor. A fázistér A halmaza attraktor, ha minden -ra van az időpontoknak olyan {tn} részsorozata, hogy 

 10. Abszolút folytonos mérték. A térnek azokon az A részhalmazain definiált m(A) nem negatív valós értékű additív halmazfüggvényt, amelyekre a térfogat értelmezhető, mértéknek nevezzük. A m mérték abszolút folytonos a térfogatmértékre nézve, ha van olyan integrálható f(x) függvény (a m mérték sűrűségfüggvénye), hogy minden szóba jöhető A-ra 

Nem túl bonyolult számolással belátható, hogy a 4x(1-x) logisztikus leképezés invariáns mértéke abszolút folytonos a térfogatmértékre nézve, és sűrűségfüggvénye 

ahol c tetszőleges pozitív szám. 

11. Hausdorff-dimenzió. Az n dimenziós euklideszi tér egy A részhalmazának a rendű Ha(A) Hausdorff-mértékét a következőképp definiáljuk. Legyenek  {B1,...Bn,...} az A halmazt lefedő, {r1,...rn,...} sugarú gömbök. 
 Ha(A) legyen az   összegek összes lehetséges lefedőrendszerre vett infimumának (legnagyobb alsó  korlátjának) a limesze, midőn az {r1,...rn,...} sugarak maximuma 0-hoz tart.
Nem nehéz belátni, hogy a fenti infimum legfeljebb egy a értékre lehet 0-tól különböző véges szám. Ha ugyanis Ha(A) valamely a-ra véges, akkor minden b > a-ra Hb(A)  = 0 és minden  g < a-ra  Hg(A)  = ˇ.
Az A halmaz Hausdorff-dimenziója az az a szám, amelyre igaz az alábbi állítás: minden b > a-ra Hb(A)  = 0 és minden   g < a-ra  Hg(A)  = ˇ. A megszámlálható halmazok Hausdorff-dimenziója zérus, míg az n dimenziós euklideszi tér minden olyan A halmaza, amely gömböt tartalmaz, n Hausdorff-dimenziójú. 

12. Cantor-halmaz. A [0, 1] intervallumból hagyjuk ki az   nyílt intervallumot, az így megmaradt 2 intervallumból hagyjuk ki az  és a  intervallumokat és így tovább. 

12. ábra. A Cantor-halmaz közelítése

A maradék halmaz a Cantor-halmaz (12. ábra). A Cantor-halmaz 0 mértékű, mert lefedhető   összhosszúságú intervallumrendszerrel. A Cantor-halmaz ugyanakkor halmazelméletileg ekvivalens a [0, 1] intervallummal: ha az intervallum pontjait végtelen triadikus törtekbe fejtjük, akkor pontosan azok a pontok lesznek a Cantor-halmaz elemei, amelyek kifejtésében csak a 0 és a 2 fordul elő, a 2 helyébe 1-et írva megkapjuk a [0, 1] intervallum összes pontjainak diadikus kifejtését. 
 A Cantor-halmaz  hosszúságú lefedőrendszere 2n darab  intervallumból áll. Így a = log32 = log2/log3 választással: 

A fenti okoskodás annak a ténynek heurisztikus indoklása (de matematikailag nem egzakt bizonyítása!), hogy a Cantor-halmaz Hausdorff-dimenziója log2/log3. 

13. Ergodikus SRB-mérték. A µ mérték a T disszipatív (a Lebesgue-mértéket összenyomó) leképezéshez tartozó SRB-mérték, ha van olyan U pozitív Lebesgue-mértékű tartomány, hogy minden f(x) folytonos függvényre és  pontra az f(Tnx)-ek időbeli átlagai megegyeznek az f(x) függvény µ szerinti térbeli átlagával: 

Az SRB-mérték az attraktorra van koncentrálva. 


Természet Világa, 135. évfolyam, 7. szám, 2004. július 
http://www.chemonet.hu/TermVil/ 
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/