A közelmúlt nevezetes matematikatörténeti eseményének számított Kiss Elemér marosvásárhelyi matematikus munkája, Bolyai János algebrai és számelméleti jellegű kéziratos hagyatékának a feldolgozása. Kiderült – ellentétben a korábbi vélekedéssel –, hogy Bolyai János nemcsak a geometriában alkotott nagyot, hanem számos figyelemre méltó algebrai és számelméleti eredményt is elért. Bolyai János ezen vizsgálatai eddig ismeretlenek voltak.

Bolyai Farkas

Kiss Elemér kutatási eredményeit előbb cikkek sorozatában, majd az Akadémiai Kiadó és a Typotex Kft. közös kiadványaként megjelent Matematikai kincsek Bolyai János kéziratos hagyatékában című munkájában adta közre [5]. A könyvből egyértelműen kiderül, hogy nemcsak Bolyai Jánost, hanem az édesapját, Bolyai Farkast is érdekelték a számelméleti kérdések. Elolvasva a most először publikált matematikai tárgyú leveleket, világossá vált az is, hogy több számelméleti probléma megválaszolására éppen Bolyai Farkas kérte meg a fiát. Természetesen merül fel így a kérdés: vajon Bolyai Farkas kéziratos hagyatékában rejtőznek-e számelméleti tárgyú feljegyzések? Dolgozatomban erre adok választ.

Bolyai Farkas kéziratos hagyatéka

Bolyai Farkas kéziratainak javarésze a marosvásárhelyi Teleki–Bolyai Könyvtárban és a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtárának Kézirattárában vannak. Fráter Jánosné az Akadémia Bolyai-gyűjteményének repertóriumát [4] még az 1960-as években összeállította és közzétette. Oláh Anna Bolyai-kutató, hosszú évek munkájának eredményeként, a Marosvásárhelyen található Bolyai Farkas-kéziratok katalógusát is elkészítette, amely nemrég jelent meg az Egy halhatalan erdélyi tudós, Bolyai Farkas (összeállította Gazda István) kötetben, az Akadémiai Kiadónál [3].

Oláh Anna Bolyai Farkas kéziratait, témájuk alapján, 29 csoportba sorolta [6]:

Témakörök                             Oldalszám

1. Diákkori jegyzetei               594
2. Matematika                         571
3. Fizika                                  444
4. Levelezés                           260
5. Kemence                            232
6. Történelem                         168
7. Peregrinációs útikönyv       168
8. Gyógyászat                        151
9. Csillagászat                        148
10. Évnyitó, ünnepi
és gyászbeszédek                  147
11. Irodalom                           110
12. Zene                                   86
13. Tanterv                               58
14. Kémia                                 55
15. Vegyes, összefüggéstelen
feljegyzések                              44
16. Hivatalos okmányok            36
17. Műszaki feljegyzések          26
18. Szónoklattan                       22
19. Erdészet                             20
20. Háziszerek leírása              16
21. Nyelvészet                          12
22. Tanulmányrészletek
(bevezetők)                                 8
23. Filozofikus elmélkedések      8
24. Ballisztika                              6
25. Publicisztika                          4
26. Birtokiratok                           4
27. Jog                                       2
28. Életrajzi feljegyzések            2
29. Gazdálkodás                        1

Összesen:                    3403 oldal

A matematikai tárgyú kéziratok három nyelven íródtak: magyarul, németül és latinul. A kéziratok két csoportra oszthatók: az egyikbe tartoznak azok az írások, amelyeket ténylegesen Bolyai Farkas jegyzett le; míg a másikba a hagyatékban található más személyek matematikai tárgyú írásai. Az utóbbi csoportba tartozó iratok szerzői között találjuk Bolyai Jánost, Michael Schuster segesvári matematikatanárt és több diákjegyzetírót: Orbán Lajost, Antal Lászlót és Vállyi Károlyt is. Itt különösen Vályi (más írásmódban Vállyi) Károlyra szeretném felhívni a figyelmet, Bolyai Farkas tanítványára, aki később egy neves magyar matematikust is adott a világnak, nevezetesen a fiát, Vályi Gyulát. Réthy Mór (Vályi Gyula tanára, később tanártársa) amikor ellátogatott a Vályi családhoz és hallotta az idős Vályi Károlyt Bolyai Farkasról beszélni, majd meglátta a család féltve őrzött dedikált Tentamenjét is, akkor nem volt többé kérdés a számára, hogy Vályi Gyula miért választotta a matematikusi pályát [8].

Bár dolgozatom végén Schusterhez még egy rövid megjegyzés erejéig visszatérek, a továbbiakban csak az első csoportba tartozó matematikai kéziratokról lesz szó.

Bolyai Farkas matematikai
vonatkozású kéziratai

Bolyai Farkas matematikai tárgyú feljegyzései teljes egészében eddig még nem lettek feldolgozva. A hagyaték lapjai egyaránt tartalmaznak kidolgozott tanulmányokat, néhány soros feljegyzéseket és mellékszámításokat is. A továbbiakban válogatást közlök a hagyatékból, a kéziratokat témakörök szerint csoportosítva. Hivatkozásként feltüntetem a marosvásárhelyi Teleki–Bolyai Könyvtárnak a jelzetszámait is. Az itt tárgyalt iratok a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtárának Mikrofilmtárában is elérhetők, a 8030-as tekercsen [1].

Néhány témakör és dolgozat Bolyai Farkas matematikai tárgyú irataiból:

a) Algebra

– A Log a s Log b-ből Log(a+b) Gauss szerint kezdetű írás (BF. 56/1).

– Komplex számok vizsgálata:

A Sigillum veri simplex jeligéjű tanulmány (BF. 51/1–51/8v). Ezt vagy ennek egy tisztább változatát küldte el Bolyai Farkas a lipcsei Jablonowski Társaság 1837-es matematikai pályázatára, amire Bolyai János a Responsiót küldte. Később mindkét Bolyai visszakérte a dolgozatát Lipcséből.

– A polinomiális tétel vizsgálata (BF. 63/1–BF. 63/3v).

– A Farczádi úr radix cubicájára című írás (BF. 84/1,1v).

b) Analízis

– Hatványsorba fejtés (BF. 90/1,1v).

– Sorok konvergenciájának vizsgálata:

Egy kis értekezés felsőbb rendeletre című tanulmány (BF. 52/1–52/5). A matematikai hagyaték talán legnehezebben olvasható dolgozata, benne az Olivier-, Burg- és Montucla-kritériumokkal.

– Integrálszámítás (BF. 101/1,1v).

– Taylor-formula (BF. 92/1).

c) Geometria

– Elemi geometriai feladatok (BF. 70–77).

– Feljegyzések a párhuzamosokról (BF. 104/1,1v, 2, 2v).

– A Generatio plani című dolgozat (BF. 54/1–54/3v).

d) Vegyes feljegyzések, mellékszámítások

e) Számelméleti tárgyú írások.

A továbbiakban csak a számelméleti tárgyú írásokat vizsgálom. Nem titkolt célom ezzel Kiss Elemér kutatásaihoz néhány további adalékkal járulni és feltárni azokat a matematikai csomópontokat, ahol a két Bolyai vizsgálatai találkoznak. Nagyon izgalmas feladat az olyan néhány soros megjegyzések értelmének megfejtése, amelyek magukban ugyan többet sejtetnek, de csak gondolattöredékek maradtak meg róluk. Ilyenkor a két Bolyai kéziratainak együttes tanulmányozása segítségünkre lehet a probléma megoldásában.

Lássunk erre egy példát! Bolyai Farkas a BF. 96/1 lapján ezt írja:

", s x-nek s yⁿ⁺¹-nek primnek kell lenni x pro y=3=2", majd ezt rögtön bibliai tárgyú írásokkal folytatja.

Máshol a sorok között ezt jegyzi fel (BF. 55/1):

"yⁿ x, 's  is yⁿ⁺¹-nek, s x-nek primnek kell lenni, s y nak csak 3 […] 2 lehetnek becsei, hogy x egész legyen minden n re [tehát?] y csak 2 kettő lehet."

A BF. 57/3v oldalon is hasonlóról olvashatunk:

x-nek s yⁿ⁺¹–1-nek primnek kell lenni x=2 pro y=3; minden n-re y=2", majd Bolyai házipraktikákkal folytatja gondolatait, egerek, bolhák és más társbérlők ellen. Vajon miért vizsgálja Bolyai Farkas ezeket az egyenleteket? Örömmel olvassuk, hogy János is ír erről édesapjának egyik levelében (BJ. 1014/1v) [5]:

"Wolfius abban is hibázott, hogy nem mondja meg, hogy y és x primek legyenek; egyébaránt az ide küldött kifejezettje x-nek el van hibázva; ugyanis nem

hanem

Hogy ez pro y>2 nem lehet egész, és a föladatnak meg nem felelhet, nagyon röviden kiviláglik onnan, hogy nyilván

<

tehát csak =1 lehet egész: miből yⁿ(y–2)+1=yⁿ⁺¹–1, tehát yⁿ is =1 lenne; mi repugnál."

Kettejük jegyzeteinek együttes tanulmányozása után már kezd világosodni a kép: arról a kérdésről van szó, hogy egy tökéletes szám (vagyis olyan pozitív egész szám, amely megegyezik a nálánál kisebb pozitív osztóinak összegével) mikor lehet yⁿx alakú. Ismeretes, hogy már Eukleidész (Kr. e. III. század) igazolta, hogy minden 2ⁿ(2ⁿ⁺¹–1) alakú szám tökéletes szám, ha n olyan pozitív egész szám, hogy 2ⁿ⁺¹–1 prímszám. Kétezer év múlva L. Euler (1707–1783) bebizonyította, hogy minden páros tökéletes szám szükségképpen 2ⁿ(2ⁿ⁺¹–1) alakú (az, hogy van-e páratlan tökéletes szám ma is nyitott probléma). A Bolyaiak előbb említett feljegyzései a szorzatalak általánosítására vonatkoznak, vagyis ha egy tökéletes szám yⁿx alakú, ahol x és y is prímszámok, akkor vajon mit mondhatunk x-ről és y-ról. A választ bizonyítással együtt a fenti jegyzetekben találjuk: az (y=3, x=2, n=1) megoldáson kívül y csak 2-vel lehet egyenlő és az n-t úgy kell választani, hogy x 2ⁿ⁺¹–1 alakú prímszám legyen.

Bolyai Farkas számelméleti tárgyú kéziratai

Kiss Elemér korábban említett [5] könyvében utalt arra, hogy Bolyai Farkas is foglalkozott a Wilson-tétel és a kis Fermat-tétel megfordításával. Bolyai Farkas kéziratos hagyatékában sikerült megtalálnom ezen vizsgálatokat.

A Wilson-tétel és megfordítása

A Wilson-tétel azt állítja, hogy ha p prímszám, akkor (p–1)!+1 osztható p-vel. C. F. Gauss az 1801-ben megjelent Disquisitiones arithmeticae című munkájában (ahonnan a Bolyaiak számelméleti ismereteiket elsősorban szerezték) bár tárgyalja a Wilson-tételt, de annak megfordításáról – Bolyai Farkas szavaival élve – "merőben hallgat". Kiss Elemér Bolyai János kéziratos hagyatékában megtalálta Bolyai Jánosnak a megfordításra adott bizonyítását (három különböző helyen is), valamint utalásokat arra, hogy azt édesapja is bebizonyította: "Oly szép és fontos Wilson-tétel fordítottját apám és én is bebizonyítottuk", "a Wilson-tan fordítottjának is szigorú, bár is nem rövid okát adta."

1. ábra. A BF. 100/1v jelzetszámú kéziraton a Wilson-tétel megfordításának igazolása látható. "Ezt János találta az enyim után" – írta Bolyai Farkas

Bolyai Farkas kéziratos hagyatékában sikerült megtalálni Bolyai Farkas bizonyítását nemcsak a Wilson-tétel megfordítására, de magára a Wilson-tételre is (BF. 88/1, 1v, 2, 2v). A négyoldalas teljes szöveget egy külön dolgozatban tesszük közzé [7]. Bolyai Farkas kéziratai között egy olyan oldalra is akadtam (BF. 100/1v), amelyen Bolyai Jánosnak a Wilson-tétel megfordítására adott igazolása található. Erre Bolyai Farkas fel is jegyezte: "Ezt János találta az enyim után." (1. ábra). Ennek a lapnak a másik oldalán szintén számelméleti feljegyzések vannak, nevezetesen a 341 álprím próbája (2. ábra). Ez azonban már a kis Fermat-tétel gondolatköréhez vezet el bennünket.

2. ábra. A BF. 100/1v kézirat másik oldalán a 341 álprím próbája látható

A kis Fermat-tétel megfordítása

A kis Fermat-tétel azt állítja, hogy ha p prímszám és (p, a)=1, akkor a^p–1ş1(modp). Bolyai Farkast nagyon érdekelte, hogy vajon igaz-e az állítás megfordítása, vagyis a kongruencia teljesüléséből következik-e p prímsége. Fiát is megkérdezte ennek a problémának az eldöntéséről. A tétel megfordítása nem igaz, és ezt Bolyai János "elmélet után" (a Jeans-tétel felfedezésével) a 341 álprím megtalálása révén látta be, vagyis ha a=2 és p=341, akkor a kongruencia teljesül, pedig a 341 nem is prímszám, mivel az 11 és 31 szorzata. Eredményét el is küldte édesapjának. Ennek az ellenőrzése található az előbb említett lapocska másik oldalán (BF. 100/1).

Azt gondolhatnánk, hogy ezzel Bolyai Farkas vizsgálódásait a megfordítással kapcsolatosan be is fejezte, hiszen a kérdés megoldódott, János talált egy ellenpéldát, így a kis Fermat-tétel megfordítása nem igaz. Nos, az öreg Bolyai itt nem állt meg, tovább kérdezett, hiszen a "conversának két sőt 3 esete van" – írja és valóban, mi van akkor, ha

"1. ha p nem prim az a-hoz, de maga prim,"

"2. ha p prim az a-hoz, de maga nem prim,"

"3. ha p nem prim az a-hoz, sem maga nem prim",

ezekben az esetekben fennáll mindig a kongruencia? Bolyai Farkas könnyen választ ad erre magának az alábbi példákkal (3. ábra, BF. 57/1):

1. 5^5–1–1=624 és ez nem osztható
5-tel (itt a=p=5), vagyis ekkor nem teljesül a kongruencia.

2. 2^341–1=1+mp (ezt találta Bolyai János, itt a=2 és p=341), vagyis összetett p-re is teljesülhet a kongruencia.

3. 2^10–1=511+1 és 511 nem osztható 10-zel (itt a=2, és p=10), vagyis ekkor sem teljesül a kongruencia.

3. ábra. A BF. 57/1 kéziraton Bolyai Farkas a kis Fermat-tétel megfordításának különböző eseteit vizsgálja

Bolyai Farkas talált egy-egy példát arra, hogy ha a és p nem relatív prímek, ahol p prím vagy összetett szám, akkor nem teljesül a kis Fermat-tétel kongruenciája. De ő még tovább megy, észreveszi, hogy ha a és p nem relatív prímek, akkor soha nem is teljesülhet ez a kongruencia. Ezt gyorsan be is bizonyítja magának az alábbi frappáns módon (a mai átírással és szóhasználattal közlöm):

1. Állítás: Ha (a,p)ą1, akkor a^p–1ş1(modp) nem teljesül.

Bizonyítás: Ha (a, p)ą1, akkor léteznek olyan k, l, h 1-nél nem kisebb egész számok, hogy a=kh és p=kl. Ekkor nyilván a^m–1=k^mh^m–1, melynek p, vagyis kl nem lehet osztója, hiszen akkor k is osztója kellene hogy legyen, de az nem lehet, mert k-val osztva k–1 maradékot adna.

Bolyai Farkasnak még egy bizonyítását közlöm (a mai szokásos jelölésrendszerrel), amelyet a kis Fermat-tételre ad az a=2 esetre. Az igazolás a 4. ábrán látható és a BF. 55/1 jelzetszámú oldalon van, kicsit hosszabban leírva, de a bizonyítás gondolata lényegében egyetlen sorban is világosan megadható.

4. ábra. "Tökélyes számnak mondották agörögök" kezdetűírás a BF. 55/1 oldalon. A lapon Bolyai Farkasnak a tökéletes számokkal kapcsolatos néhány vizsgálatát, a 2. állításra adott bizonyítását, a pitagoraszi számhármasok formuláját, valamint a 341 álprím próbáját is megtaláljuk

2. Állítás: Ha p prímszám, akkor 2^p–2 osztható p-vel.

Bizonyítás:

Bolyai fenti bizonyítása a binomiális tételen alapul. Itt jegyezem meg, hogy a kis Fermat-tételnek adható az általános esetre is az előbbihez hasonló bizonyítása, de ott a polinomiális tételt kell felhasználni.

Felvetődik a kérdés, vajon Bolyai Farkas hagyatékában Fermat karácsonyi tételére adott bizonyítása is meg van-e, hiszen János azt írta, hogy azt is bebizonyította az édesapja. Ezt a bizonyítást még nem sikerült megtalálnom, de nem kizárt, hogy az valahol még megvan, mivel több feljegyzés foglalkozik a négyzetszámok és a törtek négyzetösszegének vizsgálatával.

További számelméleti érdekességek Bolyai Farkasnál

Érdemes megfigyelni, hogy a Bolyaiak nem ijedtek meg górcső alá venni a hosszú évszázadok óta megoldatlan nehéz matematikai problémákat. Foglalkoznak a híres görög feladatokkal: a szögharmadolás, kockakettőzés, körnégyszögesítés, a tökéletes számok és természetesen a párhuzamosok problémájával.

A nagy Fermat-sejtés (nagy Fermat-tétel) is megérintette őket. A "Theorema summae duorum cuborum, quorum radices sunt numeri integri cuborum, non est cubus" című 16 oldalas dolgozat a nagy Fermat-sejtés n=3 esetét vizsgálja (BF. 397, 8033-as tekercs). Bolyai Farkas ezt írta a munkára: "Schuster küldötte hozzám a segesvári Rector korában ezen imaga demonstratióját. Volt ez rövidebben demonstrálva az Euler algebrája harmadik darabja végén." Ezt a munkát Bolyai Farkas halála után Bolyai János megtalálta és nem túl kedvező bírálatot ír róla 1857. november 27-én kelt levelében Bolyai Gergelynek [2]: "idő jobb töltéséért valami mathesisi speculatiókat kísértek meg, jelesen egy oly tárgyban, melyben egy Schuster nevű becsületes segesvári rector kemény hajótörést szenvedett (mint az Öreg iratai között találtam), sőt az óriás Euler is csak félszegen ad elő."

Bolyai Farkas és a lánctörtek

Bolyai Farkas szerethette a lánctörtek elméletét is, mivel a kéziratainak lapjain is gyakran felbukkannak. A Tentamenben megtalálhatjuk Lord Brouncker 1655 körül megadott példáját is bizonyításával együtt, valószínűleg Euler nyomán:

3. Állítás:

Bizonyítás:

A Tentamen 2. kiadása I. kötetének 441. oldalán olvasható bizonyítás az

azonosságnak a jól ismert

Leibniz-sorral való összevetéséből adódó igazolás, ahol a=1, b=3, c=5,…

A lánctörteket valós együtthatós egyenletek gyökeinek közelítésére is felhasználta. Bolyai híres munkájában részletesen bizonyította azt is, hogy a

végtelen lánctört az x²+ax=b valós együtthatós egyenlet egyik gyökét adja. Az ilyen végtelen processzusok iránti vonzalmát jól példázza az x^m=a+x trinom egyenlet (ahol mł2 egész szám, a pozitív valós szám) egyik gyökének az

iterációs sorozattal való megadása. Bolyai Farkas önálló matematikai eredményei közül külföldön ez az eljárás, az ún. Bolyai-algoritmus vált legkorábban ismertté (R. Baltzer, Die Elemente der Mathematik, 1860). A trinom egyenletek megoldását akkoriban a pénzügyi élet is szükségessé tette, mivel a járadékszámítás ún. kamatlábproblémája pont ilyen egyenletek megoldását igényelte. Farkas Gyula fiatalkorában a fenti eredményt tovább általánosította, tőle ered a módszer elnevezése is. Később Szénássy Barna mintegy félszáz olyan dolgozatot talált, amely szorosan kapcsolódik Bolyai fenti gyökközelítő módszeréhez, például Rényi Alfréd a valós számok előállításánál tudta azt felhasználni. Ezeket a matematikai érdekességeket látva, érdemes lenne egyszer Bolyai Farkas matematikai munkásságát is teljes alapossággal feldolgozni, kéziratos hagyatékával együtt.

Kiss Elemér könyve nemcsak a Bolyai-kutatásban hozott újat, de rámutatott egyben arra is, hogy a magyar számelméleti kutatások kezdetei nem a XIX. század utolsó negyedétől indultak meg hazánkban, hanem majd fél évszázaddal korábban, már a Bolyaiak munkásságától. Eredményeiket sajnos csak most ismerhette meg a nagyvilág, pedig korukban bizonyára nagyobb hatást fejtettek volna ki.

IRODALOM
[1] Bolyai Farkasnak a marosvásárhelyi Teleki– Bolyai Könyvtárban őrzött kéziratos hagyatékának a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtárának Mikrofilmtárában található másolatában a 8030-as tekercs.
[2] Bolyai-levelek (összeállította Benkő Samu), Kriterion Könyvkiadó, Bukarest, 1975.
[3] Egy halhatatlan erdélyi tudós, Bolyai Farkas (összeállította Gazda István), Akadémiai Kiadó, Budapest, 2002.
[4] Fráter Jánosné, A Bolyai-gyűjtemény (K22–K30), Budapest, 1968 (MTA Könyvtára Kézirattárának katalógusai 4).
[5] Kiss Elemér, Matematikai kincsek Bolyai János kéziratos hagyatékában, Akadémiai Kiadó, Typotex Kft., Budapest, 1999.
[6] Oláh Anna, Bolyai Farkas kéziratos hagyatéka (kézirat). Publikálás alatt a szegedi Polygon című folyóiratban.
[7] Szabó Péter Gábor, A Wilson-tételnek és megfordításának bizonyítása Bolyai Farkas kéziratos hagyatékában (kézirat). Publikálás alatt a szegedi Polygon című folyóiratban. Elérhető a http://www.inf.u-szeged.hu/~pszabo/Wilson.ps.gz címen.
[8] Weszely Tibor, Vályi Gyula élete és munkássága, Kriterion Könyvkiadó, Bukarest, 1983.

---

Természet Világa, 2003. I. különszám

Bolyai-emlékszám http://www.chemonet.hu/TermVil/  http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/