Bolyai János kéziratos hagyatékának titkai
Bolyai János (1802–1860) a magyar és egyetemes tudomány egyik legnagyobb alakja. A tudománytörténet a halhatatlan tudósok sorába emelte, lezártnak, befejezettnek tekinti életművét. Nemrég még azt hittük, hogy már minden lényegest elmondtunk róla, hogy Bolyai János matematikai világa mindannyiunk számára nyitott könyvvé vált. Úgy gondoltuk, hogy már nincsenek fehér foltok a Bolyai-kutatás térképén. Sok ezer oldalas kéziratos hagyatékának az utóbbi tíz évben történt feltárása azonban bebizonyította, hogy az eddig megjelent könyvtárnyi Bolyai-irodalomban a tudósról és emberről hangoztatott számos állítást módosítanunk kell.
A következőkben megmutatjuk, hogy még napjainkban is lehet újat mondani az Appendix tudós szerzőjéről. Bolyai János ládái még sok olyan kincset rejtenek amelyekről semmit sem tudtunk. Felnyitva azokat, a türelmes kutatónak sok örömben lehet része, amikor ezeket megtalálja.
Bolyai János halálakor sok ezer oldalnyi kéziratot hagyott hátra. Ezek lapjai rejtik azokat a gondolatokat, amelyeket írójuk életének második felében magányosan, sivár környezetben jegyzett föl. A kéziratokat mintegy száz évvel ezelőtt Paul Stäckel tanulmányozta először alaposan. Az ő úttörő munkájának köszönhető, hogy a tudományos világ a századforduló idején megismerhette Bolyai János több, kéziratban maradt matematikai eredményét. Érthetően Stäckel sem végezhetett tökéletes munkát, mindent felölelni és valósan értékelni nem tudott.
Igaz, hogy a hagyatékban nem találunk a Tér Tudományához hasonlítható művet, de ha türelmesek vagyunk és elég mélyre ásunk, akkor felfedezzük, hogy a Bolyai-kéziratok még sok meglepetést tartogatnak számunkra. Fáradozásainkért bőven kárpótolnak azok a kincsek és gondolat-gyöngyök amelyeket felszínre hozhatunk. Remélem, hogy a kedves Olvasó is annak tekinti majd Bolyai Jánosnak azokat a gondolatait, amelyek eddig a Teleki-téka polcain heverve nem váltak ismertté a matematikai irodalomban, de amelyekre később, évtizedekkel zseniális matematikusunk halála után mások is rátaláltak és különböző folyóiratokban publikáltak.
Az alábbiakban az eddig kiadatlan dokumentumokat felhasználva szeretném néhány helyen egyrészt kiegészíteni a Bolyai Jánosra vonatkozó eddigi ismereteinket, másrészt pedig kiigazítani a korábbi szakirodalom tévedéseit. Elsősorban azokra a Bolyai-gondolatokra fogok rámutatni, amelyeket aztán az elkövetkező korok matematikusai rendre újra felfedeztek.
Egy fontos láncszem
Először Bolyai János életútjának eddig jól ismert állomásait egészítjük ki néhány újabb adattal.
Hála Bolyai Farkas (1775–1856) közlékenységének, elég sokat tudunk János gyermekkoráról. A fiára büszke apa ifjúkori barátjához, Gausshoz írott leveleiben részletesen beszámol ezekről az időkről. Érdekesek viszont Bolyai Jánosnak azok a későbbi följegyzései amelyekben saját maga beszél a matematika iránt már gyermekkorában felébredt vonzalmáról. „Már kisgyermek koromban – írja egy helyen – feltettem magamnak a kérdést, hogy végtelen sok prímszám létezik-e?” Az e számmal kapcsolatban megjegyzi, hogy már fiatal korában átlátta, hogy
Bevallja, hogy eleinte az imaginárius mennyiségek fogalma nem volt elég világos számára, de aztán meglátva az ii=e–p/2 formulát, érdeklődése azonnal ezek felé a számok felé fordult: „… de akkor még az al-uti nyikról [imaginárius mennyiségekről] nekem sem lévén illő világos képzetem, inkább irtózva s hasztalan üresnek véve elfordultam s annyibahagytam, nem is mertem akkor tovább nyomozni (mint a háromszög-tant is legelőbb bár is észre-véve), míg végre megláttam az ii=e–p/2… mi által végre fölhíva érzem magamat mindenekelőtt a fő-és al-uti nyikról tiszta fogalmat szerezni.”
Kétségtelen, hogy Bolyai János számára az 1820-as évek az Appendix kidolgozásának jegyében teltek el. Ezzel életrajzának valamennyi írója egyetért. Följegyzései között azonban olyan írásokat is találunk, amelyek arra utalnak, hogy a geometria mellett már ebben az időben a matematika más ágai is foglalkoztatták. Így például a komplex számok elmélete, a magasabb fokú algebrai egyenletek és a számelmélet is. „Az imaginárius mennyiségek tanát – írja – amikor az én igen fontos Tér Tudományommal foglalkoztam, már kigondoltam”. Két, Aradra címzett kiterített levélborítékon – amelyek közül egyik 1827. március 11-i keltezésű – a fiatal katonatiszt a harmadfokú algebrai egyenletek megoldását tárgyalja. Hogy az 1820-as években milyen alaposan tanulmányozta Bolyai Gauss munkáját a Disquisitiones arithmeticae-t, kitűnik apjának Gausshoz írt 1831. június 20-án kelt leveléből: „Fiamnak szándéka volt, hogy a Te polygon-elméletedet németül, a kisebb kaliberű elméknek valamivel könnyebben hozzáférhető módon adja ki.”
Úgy gondolom, hogy az Appendix végső formába való öntése történetének egy igen fontos láncszemét sikerült megtalálnom a kéziratos hagyatékban.
Tudjuk, hogy Bolyai János 1820 és 1824 között összeállította térelméletének anyagát. 1825 elején hazalátogatva Marosvásárhelyre megmutatta apjának a már kidolgozott elméletét, 1826-ban pedig Aradon átadta volt bécsi tanárának Wolter von Eckwehrnek fölfedezése egy kéziratos fogalmazványát. Bolyai Farkas 1831. június 20-án postázta Gaussnak az Appendix „különlenyomatát” [13]. Ezeket az ismert adatokat Bolyai János nyilatkozatai segítségével egy újabbal tudjuk kiegészíteni. Két följegyzésében is tanúsítja, hogy az Appendix már 1829-ben teljesen kidolgozva készen volt. Mindkét helyen arra a tényre hivatkozik, amely szerint a Tentamen kiadásához (amelynek „függeléke” volt Bolyai János műve) szükséges nyomtatási engedélyt már 1829-ben (pontosan október 12-én) kiadták a hatóságok, akkor pedig a munkának készen kellett lennie. „… a rengeteg sok szükségest magába foglaló – írja Bolyai – és Euklid sőt Ádám óta a tanban a legnagyobbszerű időszakot kezdett vagy legalább előkészített Marosvásárhelyt, mint a munka törvényes elővizsgálatja vagy recensiója időszám vagy határozatjából kiviláglik már 1829-ik évben készen volt vagy állott, bár is sokféle más akadályok miatt csak az 1832-ik évben megjelent Tentamen…” (1. ábra). A másik följegyzésben pedig egyebek mellett ezt olvassuk: „És így elég csodálatos, nevezetes és különös az, hogy bár is az Appendix lényegére nézve már 1823-ban megszületett 1829-ben a Tentamen kihirdetés s kinyomtatásra a könyv – vizsgáló Bizottságtól szabadságot nyert,…”.
1. ábra. "... már 1829-ik évben készen volt..."
Az 1829-es évet azért kell nyomatékosan hangsúlyoznunk, mert a nemeuklideszi geometria történetét tárgyaló munkák szerint Lobacsevszkijnek az Appendixszel összemérhető orosz nyelvű értekezése 1829–30-ban jelent meg.
Bolyai matematikai ismeretei
Életrajzíróinak egyöntetű véleménye szerint Bolyai János matematikai képzettsége a korabeli matematikai ismeretek tekintetében vázlatos volt.
Próbáljuk meg az alábbiakban aprólékosabban megvizsgálni ezt a kérdést és az eddig ismeretlen dokumentumokat figyelembe véve feltérképezni Bolyai János ismeretanyagát.
Való igaz, hogy a bécsi akadémián az ún. felsőbb matematikából csak keveset tanult. Domáldi, majd marosvásárhelyi évei alatt igencsak szűkében volt a tudományos segédeszközöknek. Elszigetelt, magányos tudós volt. Korának sok matematikai felfedezése nem jutott el hozzá. Bár kortársa Abelnek (1802–1829), Galois-nak (1811–1832), Eisensteinnak (1823–1852), Riemann-nak (1826–1866), munkásságukról mit sem tud. Nem jutnak el Marosvásárhelyre az akkor már létező és színvonalas matematikai folyóiratok. Nem értesül az 1840-ben felfedezett felület, a pszeudoszféra létezéséről, amelyeknek egy véges darabján érvényesek a nemeuklideszi geometria tételei. Még Gauss munkásságának eredményeit is csak kis részben ismerte.
Mégis, bármilyen messze volt Marosvásárhely a múlt század derekán a jelentős matematikai centrumoktól, csak szivárogtak ide is hírek a mathézis világából. Közvetítőjük apja, Bolyai Farkas volt. A kollégium professzora szeretett levelet írni s ezáltal szoros kapcsolatot tartott fenn Gauss-szal és másokkal is. Természetéből fakadóan csaknem minden iránt érdeklődött. Minden újságra felfigyelt, s ha valami érdemesnek vagy érdekesnek látszót talált, azt azonnal tudatta fiával. Bizonyára János is elolvasta Gauss leveleit, aki matematikai tárgyú írásai mellett könyveket is küld Farkasnak.
Szinte hihetetlen, de Gausst is értékes információhoz juttatja Bolyai Farkas. Tőle tudja meg Gauss, hogy megjelent a matematikatörténet egyik fontos, később sokat idézett folyóirata a Grunert által szerkesztett Archiv der Mathematik und Physik.
Bolyai János (és Farkas) másik forrása a magyar nyelvterület első közkönyvtára, a Marosvásárhelyen 1802 óta működő könyvesház, a Téka. Ez a remek gyűjtemény a Bolyaiak kedvelt szellemi műhelye. Igaz, hogy a Téka nem szakkönyvtár, de a könyvtáralapító Teleki Sámuel ifjúkorában érdeklődött a matematika iránt is, s így természetes könyvtára matematikai részlegének gazdagsága is. Leibnitz 11, Newton 8 munkával szerepel a nyomtatott katalógusban. De jelen vannak a Bernoulliak, Euler, D’Alembert, Lagrange, Clairaut és mások is. A Bolyaiak a Tékában matematikai értekezéseket tartalmazó folyóiratokat is találtak. Olvasták például a Pétervári Aktákat (Euler dolgozataival), a Göttingische Gelehrte Anzeigent (Gauss írásaival).
Bolyai János sokat merített apja és a saját maga gyűjtötte matematikai könyvekből. Az akkori viszonyokhoz képest mindkettőjüknek gazdag és eléggé jelentős könyvtára volt.
Talán mégsem volt olyan szegényes és vázlatos Bolyai János szakirodalmi tájékozottsága, amint azt eddig olvashattuk. Igaz, a nemzetközi matematikai kutatás perifériáján dolgozott, de lehetőségeihez képest sokat olvasott. A könyveket amelyek kezeügyébe kerültek rendkívüli figyelemmel és igen kritikus szemmel vizsgálta. Jegyzeteiben állandóan hivatkozik olvasmányaira, s ahol okot talál rá sohasem mulasztja el bíráló megjegyzéseit. Írásaiban sok helyen idézi Lacroix, Lagrange, Laplace, Newton, Cauchy, Bolyai Farkas, Littrow, Mascheroni, Vega, Euler, Montucla műveit. A legtöbbször Gauss és Ettingshausen nevével találkozunk. A Disquisitiones arithmeticae számos fejezetéhez fűz megjegyzést, Ettingshausen könyvében pedig több hibát felfedez.
Bolyai Jánosnak apjától eltekintve egyetlen olyan tudóstársa sem volt, akivel gondolatait kicserélhette volna. Mégis akadtak a környezetében művelt emberek is, akiket tisztelt. Ilyen volt Aradon Wolter von Eckwehr százados és Olmützben Emanuel Zitta őrnagy, akik matematikailag is képzett tisztek voltak. Zitta kölcsönözte Bolyainak a nevezetes Crelle-féle matematikai folyóirat két számát, amelyekben „sok jót” talált. Bolyai mindkét följebbvalóját őszintén tisztelte. Évtizedek múlva sem feledkezett meg róluk. 1851. november 24-én kelt jegyzetében fontos teendői között megemlíti, hogy „… Wolter – és Zittanak írni s Heil-Lehre-met [Üdv-Tanomat] megküldeni”.
Bolyai János tehát tudott arról, hogy a nagyvilágban léteznek matematikai folyóiratok, könyvek, amelyekhez leginkább anyagi okok miatt nem sikerült hozzájutnia.
Ugyancsak fontos feladatai között említi Bolyai „Némi vagy holmi érdekes vagy nevezetes könyvököt melyek kijötte vagy megjelenése felől tudomásom van vagy értesültem, csak belátás vagy megnézegetés végett megszerezni”. Szeretné megrendelni nemcsak Gauss s Lobacsevszkij minden művét, de az Ettingshausét is, annak ellenére hogy „… a már kész Appendix becsét sem volt képes fölismerni…”. Írni akar Kazanyba, ismét említi Grunert folyóiratát mint amelyre szüksége van. Külön feladat 1851-ben „Atyáméinak is apróra átnézete”. Jó lenne olvasni még növénytannal, állattannal, nyelvtannal és kristálytannal foglalkozó könyveket is – írja.
Bolyai János nem értesülhetett kora tudományának minden eredményéről, matematikai műveltségét mégsem mondhatjuk vázlatosnak. Ő sem volt megelégedve olvasmányaival sem könyvei számával. Természetesen szeretett volna még többet tanulni. „Eddig elé – jegyzi meg 1856-ban – a legnagyobb szorgalom s képesség mellett sincs mit egyebet tenni … mint néhány hallomás szerint jobb, általján történetesen kezünkbe került könyvből is némileg okulni. És valóban: nekem nagyon kevés könyvöm van, …”
Nem fogadhatjuk el tehát a köztudatba eddig eléggé behatolt képet a két Bolyairól. Éppen ellenkezőleg Vekerdi Lászlónak van igaza amikor [14] tanulmányában így ír: „Sarlóska Ernő látja jól, hogy Bolyai János Bécsben egy tág horizontú világba jutott, amiből később se lépett ki soha. Merő anakronizmus őt Marosvásárhelyre bezárni. Mindvégig a szellemi Európa ama nagy polgáraihoz tartozik, akik megismerték és vállalták a végsőkig gondolt gondolatok szigorú keménységét … A Bolyaiak – apa és fiú – nem holmi provinciális nyomorba süllyedt s kínjukban egymást tépő szerencsétlenek; alakjuk és sorsuk az európai gondolkozás fő áramába tartozik, szervesen és kitéphetetlenül. Kihagyásuk az európai szellem egész történetét károsítja és hamisítja meg.”
Elfeledett felfedezések
Meglepően eredetiek Bolyai Jánosnak a számelméleti problémákkal kapcsolatos gondolatai és eredményei. A Bolyai munkásságát ismerő olvasónak biztosan különösnek hangzik ez az állítás, ami érthető, hisz az eddig megjelent valamennyi Bolyai-monográfia szerzőjének egybehangzó véleménye szerint az abszolút geometria felfedezője nem vonzódott a számelméleti problémákhoz. Pedig ennek éppen az ellenkezője igaz. A kézirathagyaték lapjai arról tanúskodnak, hogy a fenti véleményekkel ellentétben Bolyai János igen élénken érdeklődött a számelmélet nehéz kérdései iránt. Ezekről a [5], [6], [8] dolgozatokban már részletesen beszámoltunk. Most – írásainkat újabb adatokkal is kiegészítve – Bolyainak főképpen azokat az észrevételeit emeljük ki, amelyek kézirataiban rejtőzve nem válhattak ismertté, és amelyeket halála után tevékenykedő matematikusok újra felfedeztek.
Bolyai János sokat fáradozott a prímszámok képletének keresésével. Egy időben úgy gondolta, hogy ezt a kis Fermat-tételben megtalálhatja. Ez a tétel azt mondja ki, hogy ha p egy prímszám, a egy olyan egész szám, amely nem osztható p-vel, akkor az ap–1–1 különbség osztható p-vel, amit röviden még a következőképpen szoktunk írni:
ap–1ş1(mod p) (1)
A kis Fermat-tétel fordítottja nem érvényes, vagyis ha (1) fennáll, abból nem következik szükségszerűen, hogy p prímszám. Bármely a egész számhoz találhatunk olyan összetett p számokat is, amelyekre az (1) összefüggés érvényes marad. Így például
2340ş1(mod 341) (2)
bár 341=11×31. Az olyan összetett p számokat, amelyekre az (1) kongruencia a=2 esetén teljesül, 2-höz viszonyított pszeudoprímeknek vagy álprímeknek nevezzük. Ezek szerint 341 egy ilyen álprím.
Apja ösztönzésére Bolyai megpróbálta bebizonyítani a kis Fermat-tétel fordítottját. Néhány kísérlet után rádöbbent arra, hogy ez lehetetlen. Több olyan összetett p számra talált amelyekre (1) fennáll.
Bolyai János is felfedezte a legkisebb, 2-höz viszonyított pszeudoprímszámot, a 341-et. Erről édesapját 1855 májusában egy levélben értesíti, de a 341-es számot már azelőtt megtalálta. Megemlítjük, hogy ezt a számot egy ismeretlen szerző már 1830-ban felfedezte, de Bolyainak erről természetesen nem volt tudomása.
Érdekes az a mód, ahogyan Bolyai János megtalálta a 341-es számot. Érdemes részletezni az általa „elmélet”-nek nevezett módszert, mert néhány meglepő megjegyzést fűzhetünk hozzá.
Bolyai azt a kérdést vizsgálja, hogy milyen feltétel mellett teljesül az
apq–1ş1(mod pq) (3)
kongruencia, ahol p és q prímszámok, a pedig egy olyan egész szám, amely nem osztható sem p-vel, sem q-val. Először azt veszi észre, hogy
a(p–1)(q–1)ş1(mod pq)
bármely, a feltételeinket kielégítő p, q, a számokra teljesül, vagyis
apq–p–q+1ş1(mod pq).
Ha az
ap+q–2ş1(mod pq) (4)
kongruencia igaz lenne, akkor ez utóbbi két összefüggés összeszorzása által nyomban megkapnánk a (3)-at. Tehát most azokat a feltételeket kell megkeresnünk, amelyek ez utóbbi, (4)-es kongruencia helyességét biztosítják.
Ide kívánkozik első észrevételünk. Feltűnő azonosság van Bolyai meglátása és Erdős Pál egyik 1949-ben felhasznált ötlete között. Ha összehasonlítjuk a fentieket Erdős [3] dolgozatával, azonnal szembetűnik, hogy ő ugyanazt a gondolatmenetet követi, amelyet már Bolyai János is alkalmazott vagy 100 évvel azelőtt (2. ábra). Még ehhez hasonló gondolatot találunk D. H. Lehmer [12] cikkében is.
2. ábra. Bolyai János meglátása és Erdős Pál 1949-ben felhasznált ötlete között feltűnő az azonosság
Végül azt találja Bolyai, hogy a (4)-es összefüggés akkor teljesül, ha
(ap–1–1)/q és (aq–1–1)/p egész számok. (5)
Az a=2 egyszerű esetben aztán rendre kipróbál néhány, az (5)-ös feltételeket kielégítő prímszámot, és így eljut a p=11 és q=31 számokhoz, amelyek szorzata 341 s megkapja a (2)-es kongruenciát.
Így fedezte fel tehát Bolyai János a legkisebb pszeudoprímszámot. Ha módszerét figyelmesen végigkövetjük azonnal észrevesszük, hogy az egy ma már jól ismert tankönyvi tétel. Ugyanis az (5)-ös feltételek a=2-re így írhatóak:
2p–1ş1(mod q) és 2q–1ş1(mod p),
vagyis Bolyai szerint ha ezek a feltételek teljesülnek, akkor azokból a
2pq–1ş1(mod pq)
kongruencia következik. Ez pedig pontosan J. H. Jeans tétele, amelyet szerzője 1898-ban, évtizedekkel Bolyai János halála után közölt [4].
Így ez a Bolyai által felfedezett szép számelméleti tétel ma nem az ő, hanem újrafelfedezőjének nevét viseli. A matematikatörténet-kutatók szerint a matematikai tételek jelentős része nem az igazi fölfedező nevén ismert. A fentiek szerint ezek közé sorolható a Jeans-tétel is. A tételt minden kétséget kizáróan először Bolyai János találta meg. Felfedezését – mint oly sok más munkáját az Appendixen kívül – sajnos nem közölte. Ezért rejtőzött az évtizedekig a kézirataiban.
A kis Fermat-tétel fordítottjának megcáfolása sokat foglalkoztatta Bolyai Jánost. A hátrahagyott kéziratokban több, újabb ellenpéldát találunk erre a tételre. Megszerkeszti például a
414ş1(mod 15) (6)
és az érdekes
2232ş1(mod 232+1) (7)
kongruenciát is.
Egészen egyszerű példa a (6)-os, de nem kis meglepetéssel látjuk viszont egyik D. H. Lehmer által 1927-ben közölt dolgozatban [11]. Bolyai ezt az összefüggést is elmélete alkalmazásaként nyerte. A (7)-es kongruencia bizonyítását azonban másképpen végezte el. Ezt most nem részletezzük, de megjegyezzük, hogy a (7)-hez hasonló, vagyis olyan kongruenciákat amelyekben az ún. Fermat-féle számok szerepelnek csak az 1900-as évek elején megjelent dolgozatokban találunk. Bizonyos tehát, hogy Bolyai volt az első aki kimutatta, hogy az F5=232+1 egy pszeudoprímszám.
A (2)-es összefüggésben szerepelő 341 és a (6)-os összefüggésben szereplő 15 is két prímszám szorzata. Bolyainak szándékában állt módszerének kiterjesztése arra az esetre is, amikor az ellenpéldáiban előforduló összetett számok 3 prímszám szorzatára bonthatók, vagyis kereste azokat a feltételeket is, amelyek teljesülése estén az
apqr–1ş1(mod pqr)
kongruencia is érvényes lesz, ahol p, q, r prímszámok, a pedig egy olyan szám, amely nem osztható ezek közül egyikkel sem. A célt ebben az esetben nem sikerült elérnie. Próbálkozásait a következő szavakkal fejezi be: „… de már három tényezőre meglehetősen vagy elég bonyolult lesz.”
Azért tartjuk mégis feljegyzésre érdemesnek Bolyainak ezt a kísérletét, mert gondolata csak nagyon későre jutott másoknak is az eszébe. R. D. Carmichael az, aki 1912-ben ilyen kongruenciákat szerkeszt [1].
Sokat foglalkoztatták Bolyai Jánost a fentebb már említett Fermat-féle számok, vagyis az
Fk=22k+1
alakú számok. A Fermat-féle számok története ugyancsak érdekes és hosszú. Fermat szilárdan hitt abban, hogy az összes ilyen típusú szám prím, noha ő csak az F0, F1, F2, F3 és F4-et számította ki. Sejtése akkor dőlt meg, amikor Euler 1732-ben megmutatta, hogy a következő Fermat-féle szám az F5 összetett. Ezután szinte 150 évnek kellett eltelnie amíg 1880-ban, az akkor 82 éves Landraynek sikerült tényezőkre bontania az F6-ot [2].
A matematika története nem tud arról, hogy 1732 és 1880 között valaki még foglalkozott volna a Fermat-féle számok prím vagy összetett voltának a vizsgálatával. Pedig a mi Bolyai Jánosunk képzeletét is megragadták ezek a számok. Kéziratos hagyatékának számos lapján, kis céduláján, néha más természetű szövegek közé beszúrva olyan hosszabb, rövidebb jegyzeteket találunk amelyekben a Fermat-féle számok szerepelnek.
Édesapjához írt egyik levelében például két helyen is utal a Fermat-féle
számokra: „A numerus perfectus [tökéletes szám] valamint a 
-re
nézti előbbi demonstrációm is egyébaránt jó és szép…” továbbá: „Azt
megmutatni, hogy bármely 2p–1 idomú szám prím
mihelyt p prím, ugyanakkor, mikor a ()-gyel
bajlódám,…”
Sajnos a „jó és szép” bizonyítást nem sikerült megtalálni a kéziratokban.
Egyik helyen azonban megállapítja és be is bizonyítja, hogy a
alakú számok mindig 6n–1 alakúak, következésképpen sohasem oszthatók
3-mal, máshol pedig felírja, hogy
=xy, mł5
de az x és y számokról nem állít semmit.
Bolyai Farkas és Bolyai János olyan tudósok voltak, akiknek életében fontos szerepet játszott a zene elmélyült szeretete és gyakorlása. Mindkét Bolyai foglalkozott a zene elméletével is. Bolyai János hátrahagyott kéziratainak egyik oldalán egy érdekes, a zeneelméletben előforduló 81/80-as törttel (didymoszi vagy szintonikus kommának nevezik) kapcsolatosan a következő kérdést teszi fel:
Határozzuk meg azt a 81/80-nál kisebb a/b (a, bÎN\{0}) törtet, amelynek számlálója 1-gyel nagyobb a nevezőjénél, és az a, valamint a b természetes számok törzstényezői között csak 2, 3 és 5 prímszámok fordulnak elő.
A feladat megoldása
2x–3y=1, 2x–5y=1, 2x+1=3y·5z,…
alakú exponenciális diofantikus egyenletek megoldására vezethető vissza. Ezeket az egyenleteket Bolyai is felírta 1840 körül, megoldásukat azonban nem viszi véghez. A feladatnak végül is úgy, ahogy Bolyai megfogalmazta nincs megoldása [9]. Figyelemre méltó viszont, hogy a matematika történetében ilyen típusú egyenlet, pontosan a
3x–2y=1
egyenlet csak 1844-ben jelenik meg, és E. Catalan francia matematikus nevéhez fűződik. Az egyenlet megoldása körül felmerült igen nehéz problémát éppen ezért Catalan-sejtésként ismeri a matematikusvilág, amit csak ebben az évben (2002-ben) sikerült végképp tisztázni. Ha Bolyai János gondolatát közli valamelyik folyóiratban, ma valószínűleg Catalan helyett Bolyai-sejtésről beszélnénk.
Megjegyezzük, hogy Bolyai feladatának nemrég egy általánosítását is megtaláltuk [10].
A komplex egészek aritmetikája
A Bolyai-hagyaték nagy kincse a komplex egészek aritmetikája. Lehet, hogy első hallásra túl merésznek hangzik az az állítás, amely szerint a komplex egészek aritmetikáját Gausstól függetlenül és körülbelül vele egy időben Bolyai János is kidolgozta. Amint a kéziratban maradt jegyzeteiből kiolvashatjuk, a komplex egészek oszthatóságának minden alapvető problémájával foglalkozott. Próbálkozásairól nem készített egy összefüggő dolgozatot, de kéziratainak különböző oldalairól összegyűjtve a tárggyal kapcsolatos följegyzéseit, belőlük a komplex egészek összefüggő elmélete bontakozik ki.
A matematikatörténetben a komplex egészek oszthatóságának elmélete Gauss nevéhez fűződik, mert eredményeit először valóban ő közölte két nagyobb dolgozatban.
A Természet Világa 1996/11-es számában [7] részletesen felsoroltuk azokat az érveinket, amelyek alapján állíthatjuk, hogy Bolyai is felfedezte a komplex egészek minden fontos tulajdonságát. Bár elmélete nem olyan kimerítő, részletes mint a Gauss dolgozataiban foglaltak, az alkalmazásokban viszont túlszárnyalta Gausst. Bolyai János a komplex egészekre vonatkozó megállapításait például nagyszerűen felhasználta különböző számelméleti tételek bebizonyításánál.
Ragadjunk ki egyetlen példát. Ismert a Fermat-nak tulajdonított tétel: minden 4k+1(kÎN) alakú prímszám a tagok sorrendjétől eltekintve egyértelműen felírható két egész szám négyzetének összegeként. Ezt a tételt Bolyai János felhasználva a komplex egészeket a következőképpen bizonyítja:
A Disquisitiones arithmeticae 64-es és 108-as paragrafusai szerint, ha p egy 4k+1 alakú prímszám, akkor létezik olyan x egész szám, hogy (x2+1)/p is egész. Ezt a törtet (x+i)(x–i)/p alakba írva következik, hogy p-nek létezik ±1 vagy ±i-vel nem egyenlő két olyan komplex egész e és f tényezője, amelyekre (x+i)/e és (x–i)/f is komplex egészek. Legyen e=a+bi, f=c+di, ahol a, b, c, d nullától különböző egész számok. Mivel p=(a+bi) (c+di) következik, hogy p=(a–bi)(c–di) s akkor p2=p·p=(a2+b2)(c2+d2). De a2+b2>1,c2+d2>1 tehát p=a2+b2= =c2+d2(3. ábra).
3. ábra. A komplex egészeket felhasználva így bizonyította Bolyai János azt, hogy minden 4k+1 alakú prím szám egyértelműen felírható két egész szám négyzetének összegeként
Bolyai bizonyítását az 1850-es évek közepén egyik, apjához írt levelén jegyezte fel. Fermat tételét előtte csak G. Eisenstein bizonyította be a komplex egészek segítségével 1844-ben, de ezt a munkát Bolyai nem ismerte. Összehasonlítva Eisenstein bizonyítását [2] Bolyai fenti eljárásával azonnal megállapíthatjuk, hogy a két bizonyítás lényegesen eltér egymástól. A tétel iránt napjainkban sem szűnt meg a matematikusok érdeklődése. Az utóbbi évtizedekben, sőt években is több olyan publikáció jelent meg, amelyek szerzői a Fermat-tétel egyszerű, elemi és minél rövidebb bizonyítására törekedtek, de Bolyai János „demonstrációjának” eleganciáját az elmúlt 140 év dacára – úgy érzem – senkinek sem sikerült elérnie.
Említettük, hogy Bolyai sokat fáradozott a prímszámok képletének megkeresésével. Ezt nem sikerült neki a racionális egészek sokaságában, de sikerült megtalálnia viszont az összes komplex prímeket.
Az algebrai egyenletek
megoldhatósága
A Bolyai-hagyaték számos oldalán találkozunk Bolyai Jánosnak az algebrai egyenletek megoldhatóságával kapcsolatos jegyzeteivel. Följegyzéseiből és a töredékekből tiszta kép tárul elénk ez irányú törekvéseiről. Kiolvashatjuk belőlük, hogy sokáig bizonytalan úton járva az ötödfokú, sőt a tetszőleges fokszámú algebrai egyenletek megoldását keresi, majd ráébredve tévedéseire, ő is eljut a Ruffini–Abel-tételig.
Bolyai néhány, az 1820-as évekre eső kísérlet után 1837-ben, tehát a domáldi „remeteség” idején kezd az algebrai egyenletekkel alaposabban foglalkozni. Tehát amikor a négynél magasabb fokú egyenletek megoldására vonatkozó gondolatait papírra veti, a matematikusok már ismerik a Ruffini–Abel-tételt. Ezúttal Bolyai egy már megoldott feladattal birkózik. Bár kortársa Abelnek és Galois-nak, munkásságukról nem tud.
Bolyai János érdeklődését a feladat iránt bizonyára J. Lagrange, Gauss és A. Ettingshausen munkái keltették fel. Gaussról följegyzi, hogy a Demonstratio nova „remek” munkájának a 9. §-ában azt írja, hogy az algebrai egyenletek általános föloldására „csekély remény maradt” és „… Nem több reménnyel nyilatkozik a Disquisitiones arithmeticae 645 lapján” sem. Ettingshausen bécsi egyetemi tanárnak a Teleki-tékában ma is meglévő könyvében viszont megtalálja Ruffini 1799-ben közölt bizonyítását, amelyben Ruffini „… kísérletet tett a lehetetlenségre nézve … De ezen kísérletbe néhány hiba csúszott be.”
Bolyai tehát észrevette, hogy Ruffini bizonyítása hibás, s ebből arra következtet, hogy a magasabb fokú egyenletek megoldása nem lehetetlen. Nem ismerve Abel munkáját, először ő is – mint olyan sokan mások – az ötödfokú egyenlet megoldását keresi. Egy idő után aztán rádöbben kísérletei hiábavalóságára, sikerül kijavítania a Ruffini-tétel hibáit, és ezáltal meggyőződik arról, hogy a négynél magasabb fokú algebrai egyenletek algebrai úton általában nem oldhatók meg.
Sajnos, erről csak töredékes följegyzései vannak Bolyainak, de ezekből is világosan kiolvashatjuk, hogy sikerült végül is meggyőződnie a Ruffini–Abel-tétel helyességéről. Egyik helyen ezt írja: „Tan. [Tétel] Négynél fölsőbb vagyis legalább öt-rangú (geber) [ötödfokú, algebrai] általános egyenletet geberül [algebrailag] föloldani lehetetlen”. Ugyanezt fejezik ki a fia, Bolyai Dénes 1851-ben készült írásgyakorlatára odavetett sorok: „Véghatározat vagy ultimátum. Az 5-’s fölsőbb rangú egyenlet általános föloldása lehetetlenségét két módon tudom megbizonyítani, úgy mint: a Ruffini illőleg megjavított s tökélyre vitt szép, eredeti, elmés eszméje szerint; és hogy az fm számok 5-gyök-függvény csoportjait nem lehet 5-nél alsóbb (kisebb) rangú egyenlet által meghatározni, vinni. A legtöbb és szebb tehát, mit itt meg lehet tenni és kívánni, megkísérteni: hogy ily…” Kár, hogy a papír elfogyott, a folytatást pedig nem találjuk.
A világ eddig nem tudott arról, hogy a XIX. század derekán a magyar matematikának is volt olyan tudósa, aki megoldotta a Ruffini–Abel-tételt.
Megfejtetlen írások
Századunk folyamán nagyszámú kutató vizsgálta már Bolyai gondolatait. A kéziratos hagyaték teljes feldolgozása azonban még mindig késik. Munkámmal az utókor e mulasztásának egy részét próbálom pótolni. Úgy érzem sikerült felfedni a kéziratok sok titkát, s másokat is búvárkodásra sarkallni.
A kéziratokban még sok, a matematika más ágaihoz tartozó, megfejtetlen írás található. Van tehát még keresnivalója a tudománytörténésznek Bolyai János matematika tárgyú publikálatlan kéziratai között. Ezek meggyőzően mutatják, hogy Bolyai János nem kizárólag a geometriában alkotott nagyot. Kora matematikájának minden ága érdekelte, sokoldalú, eredeti tudós volt.
Amint rámutattunk, nem mindig ismerte kortársai felfedezéseit. Fájdalom, a kézirataiban rejtőző eredményeiről sem tudott senki más apján kívül. Pedig ha alkalma lett volna ezeket különböző folyóiratokban – melyek már akkor léteztek s amelyekről ő is tudott – közzétenni, akkor ma a nevét nem csak a geometriai, de algebrai, számelméleti és más szakkönyvekben is gyakran megtalálhatnánk.
Fejtegetéseink során azt is tapasztalhattuk, hogy Bolyai az 1850-es években több matematikai tételt fedezett fel, ami azt jelenti, hogy idős korában, betegen is, fáradhatatlanul dolgozott. Élete utolsó éveiben is tiszta fejjel gondolkozott matematikai problémákon, a matematikai kutatás örömét és gyötrelmét akkor sem hagyta abba.
(Köszönöm a Magyar Tudományosság Külföldön akadémiai program keretében meghirdetett Domus Hungarica Scientiarum et Artium, valamint az Arany János Közalapítvány támogatását, amelyek segítségével hosszabb időt tölthettem Budapesten. A dolgozatban szereplő számos adatot budapesti könyvtárakban találtam meg.)
IRODALOM
[1] Carmichael, R. D.: On composite numbers P which satisfy
the Fermat congruence ar–1ş1(mod
p).
Amer. Math. Monthly, 19 (1912), 22–27.
[2] Dickson, L. E.: History of the Theory of Numbers, Chelsea, New
York, 1952.
[3] Erdős Pál: On the Converse of Fermat’s Theorem, Amer. Math. Monthly,
56 (1949), 623–624.
[4] Jeans, J. H.: The Converse of Fermat’s Theorem, Messenger Math.,
27 (1897–1898), 174.
[5] Kiss Elemér: Fermat’s Theorem in János Bolyai’s Manuscripts, Mathematica
Pannonica, 6 (1995), nr. 2, 237–242.
[6] Kiss Elemér: Foglalkozott-e számelmélettel Bolyai János?, Természet
Világa, 127 (1996), 8. szám, 344–348.
[7] Kiss Elemér: Kérdések Bolyai János kutatásairól, Természet Világa,
127 (1996), 11. szám, 522–523.
[8] Kiss Elemér: Bolyai János vizsgálatai a alakú prímszámok két négyzet
összegére való felbontásáról, Polygon, Szeged, 6 (1996), 2. szám, 1–11.
[9] Kiss Elemér, Sándor József: Bolyai János aritmetikai feladata,
Mat. Lap, 5 (2001), 9. szám, 321–325.
[10] Kiss Elemér, Sándor József: János Bolyai’s Arithmetical Problem
and its Extension, Octogon, Mathematical Magazin, 10 (2002), 2. szám, 575–578.
[11] Lehmer, D. H.: Tests for primality by the converse of Fermat’s
Theorem, Bull. Amer. Math. Soc., 33 (1927), 327–340.
[12] Lehmer, D. H.: On the Converse of Fermat’s Theorem, Amer. Math.
Monthly, 43 (1936), 347–354.
[13] Szénássy Barna: Kérdések és válaszok, Bolyai Jánosra emlékezünk!
Születésének 175. évfordulóján, Tud. Ismeretterjesztő Társulat Budapesti
Szervezete, 1978, Szerkesztette Staar Gyula, 29–40.
[14] Vekerdi László: A Bolyai-kutatás változásai, Természet Világa,
112 (1981), 2. szám, 56–58.
| Természet Világa,
2003. I. különszám |
Bolyai-emlékszám
http://www.chemonet.hu/TermVil/ http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/ |
Vissza a tartalomjegyzékhez