Császár Ákos

Bolyai János és Gauss


 

"Most valamit fiad munkájáról. Ha azzal kezdem, hogy nem szabad megdicsérnem, bizonyára egy pillanatra meghökkensz; de mást nem tehetek; ha megdicsérném, ez azt jelentené, hogy magamat dicsérem: mert a mű egész tartalma, az út, melyet fiad követett, és az eredmények, amelyekre jutott, majdnem végig megegyeznek részben már 30-35 év óta folytatott elmélkedéseimmel."
 

Hányszor idézték már ezeket az óvatos fogalmazású sorokat, amelyekkel a matematika göttingai fejedelme néhány tollvonással szétzúzta ifjúkori barátja fiának minden reményét arra, hogy elnyerje a matematikai zseninek járó elismerést, hogy életét katonai erődítmények építkezésének felügyelete helyett a matematika tanításának s mindenekelőtt a matematikai kutatásnak szentelhesse!

Aki csak idézi Gaussnak 1832. március 6-án Bolyai Farkashoz írt fenti sorait, nem mulasztja el megemlíteni, milyen méltatlanul járt el a göttingai szellemóriás, amikor a párhuzamosok több mint kétezer éves problémáját megoldó Bolyai Jánostól csaknem minden elismerést megtagadott azzal az indoklással, hogy erre ő is rájött, de jobbnak látta, hogy semmit se hozzon belőle nyilvánosságra. Néhány ismerősének levélben megemlíti (a Bolyai Farkasnak írott levél fogalmazásánál sokkal határozottabban elismerő szavakkal), ez minden. Az, hogy nem tett többet barátja fiának elismeréséért, annál érthetetlenebb, mivel a probléma másik megoldóját, Lobacsevszkijt, 1842-ben megválasztatta a Göttingai Tudós Társaság tiszteleti tagjának.

Abban tehát a geometria történetének minden kutatója egyetért, hogy Gaussnak a lagymatag dicsérő sorok helyett sokkal többet kellett volna tennie Bolyai János érdekében; most azonban a kérdést nem tudományos-etikai nézőpontból kívánjuk mérlegelni, hanem azt szeretnénk megvizsgálni, mennyire állja meg a helyét Gauss érvelése: ő mindezt már régen tudja. Mennyire indokolt a paralelprobléma megoldását elsőnek, egymástól függetlenül publikáló Bolyai János és Ny. I. Lobacsevszkij mellé harmadik (sőt sok forrásmunkában első) felfedezőként C. F. Gausst is odaállítani? Önként vetődik fel a gondolat, hogy megkíséreljük kinyomozni, mennyire előzhette meg Gauss a felfedezésben Bolyai Jánost és Lobacsevszkijt.
 

Nyikolaj Ivanovics 
Lobacsevszkij
Bolyai János
(Részlet Csorvássy István 
és Izsák Márton szoboregyütteséből)

Hogy a probléma hátterét világosan lássuk, legalább röviden át kell tekintenünk a párhuzamosok problémájának kétezer éves történetét.

Tudjuk, hogy Eukleidész a Kr. e. III. században hatalmas kézikönyvben foglalta össze korának matematikai, elsősorban geometriai ismereteit. Ebben arra törekedett, hogy a geometria kifejtésében néhány alapfogalomból (mint pont, egyenes, sík stb.) és az alapfogalmak szemléletünk számára nyilvánvaló néhány tulajdonságából, az axiómákból kiindulva szabatos logikai következtetéssel jusson el a geometriai elmélet valamennyi tételéhez. Ma már tudjuk, hogy Eukleidész művének felépítése korántsem hézagtalan: a ténylegesen felsorolt alapfogalmakon és axiómákon kívül burkoltan felhasznál számos további fogalmat és tételt (minden tekintetben szabatosan kidolgozott axiómarendszert a geometria felépítésére először D. Hilbert közölt 1899-ben); a felépítésnek ezt a nem teljes szabatosságát azonban csak a XIX. század kifinomult elemzése ismerte fel. Ami miatt Eukleidész munkáját már az ókorban bírálták, az egészen más; úgy érezték, hogy Eukleidész egyik alaptétele, a XI. axióma, túlságosan bonyolult ahhoz, hogy a szemlélet alapján evidensnek legyen tekinthető, és ezért megkísérelték, hogy ezt az axiómát a többiből levezessék, s ezáltal feleslegessé tegyék.

Mit is állít ez a XI. axióma? Eukleidész eredeti fogalmazásában a következőt: ha a síkban két egyenest egy harmadik úgy metsz, hogy a létrejövő belső szögek összege a harmadik egyenes egyik oldalán kisebb két derékszögnél, akkor az első két egyenes metszi egymást (mégpedig azon az oldalon, amelyen a belső szögek összege két derékszögnél kisebb) (1. ábra).

1. ábra

Minthogy ez a fogalmazás valóban nagyon bonyolult, már az ókorban készítettek más, ezzel egyenértékű átfogalmazásokat. Ezek közül a legegyszerűbb a következő: ha a síkban meg van adva egy egyenes és egy rajta nem fekvő pont, akkor az utóbbin pontosan egy olyan egyenes halad át, amely az adott egyenest nem metszi; az ilyen egyenest mondjuk az adott egyenessel párhuzamosnak, s ezért az axiómát röviden párhuzamossági axióma néven is emlegetik. Azt is tudták már az ókorban, hogy a párhuzamossági axióma egyenértékű, helyettesíthető a következő állítással: bármely háromszög belső szögeinek összege két derékszöggel egyenlő.

Évszázadokon át sokan megkísérelték, hogy a párhuzamossági axiómát bebizonyítsák Eukleidész többi axiómája alapján. Mindezek a bizonyítási kísérletek lényegében véve ugyanazt az utat követték: kiindultak abból a feltevésből, hogy nem igaz a párhuzamossági axióma állítása és ebből próbáltak olyan következményeket levezetni, amelyek előbb-utóbb ellentmondásba kerülnek a többi axiómával. A választott módszertől függően más-más állításnál álltak meg ezek a kísérletek, úgy vélve, hogy ez már annyira ellentmond a szemléletnek, hogy bizonyára ellentmondásban van Eukleidész többi axiómájával is; az utólagos, gondos elemzés azonban mindig megmutatta, hogy egy-egy ilyen merőben szokatlanul hangzó állítás csupán az euklideszi geometrián gyökerező gondolkodásunk számára látszik képtelenségnek, ténylegesen nem hozható ellentmondásba a párhuzamossági axiómát nélkülöző Eukleidész-féle axiómarendszerrel.

Így pl. Wallis 1663-ban a párhuzamossági axióma tagadásából arra a következtetésre jutott, hogy ha két háromszög szögei megegyeznek egymással, akkor a két háromszög egybevágó (azaz ilyenkor nem lehetnek valódi hasonló háromszögek), s bizonyítását azzal vélte befejezni, hogy ez természetesen lehetetlen. Saccheri 1733-ban megállapítja, hogy ha nem volna igaz a párhuzamossági axióma, akkor létezne két egymást nem metsző egyenes, amelyek végtelenül közelednek egymáshoz, "ez pedig ellentmond az egyenes természetének".

Saccheri műve (jóllehet éppen úgy nem tud Eukleidész többi axiómájával ellentmondást kihozni a párhuzamossági axióma tagadásából, mint számos elődje), annyiban mégis lényegesen előre viszi a párhuzamosok problémáját, hogy ő az első, aki többé-kevésbé világosan megállapítja: ha feltesszük, hogy a háromszög belső szögeinek összege nem egyenlő két derékszöggel, akkor már a párhuzamossági axióma nélkül is belátható, hogy ez az összeg nem lehet nagyobb két derékszögnél, csak kisebb. Ezt azután szabatosan bebizonyítja 1794-ben Legendre, aki több bizonyítási kísérletet is tesz a párhuzamossági axiómának a többitől való levezetésére, s aztán mindegyikről sorra belátja, hogy nem vezet célhoz.

A XVIII. század folyamán a leglényegesebb eredményeket a párhuzamosok problémájával kapcsolatban Lambert érte el. Ezeket tárgyaló műve csak halála után, 1786-ban jelent meg. Ebben újra felfedezi, hogy ha a párhuzamossági axióma állítása nem igaz, akkor két háromszög szögeinek megegyezéséből egybevágóságuk következik; ezt követően bebizonyítja, hogy a háromszögek szögösszegének két derékszögtől való eltérése (a háromszög ún. defektusa, hiánya, hiszen a szögösszeg nem éri el a két derékszöget) arányos a háromszög területével. Fejtegetéseit azzal fejezi be, hogy mindebből ellentmondásra jutunk, hiszen ha a párhuzamossági axióma nem volna igaz, akkor létezne minden megállapodástól független, abszolút hosszúságegység (pl. annak az egyenlő oldalú háromszögnek az oldalhossza, amelynek mindegyik szöge 45°-os). Abban persze téved, hogy ez logikailag ellentmond Eukleidész többi axiómájának; nem lehetetlen ilyen abszolút hosszúságegység létezése, csupán számunkra szokatlan. Tesz viszont egy másik érdekes megállapítást is. Azt, hogy a háromszög területe arányos a háromszög defektusával, egybeveti a gömbháromszögtannak azzal a tételével, amely szerint egy gömbháromszög excesszusa (tehát szögösszegének két derékszöget meghaladó része) arányos a gömbháromszög területével:

T=r2(a+b+g–p),

ahol T a gömbháromszög területe, r a gömb sugara, a, b, g pedig a gömbháromszög szögei ívmértékben (radiánban) kifejezve. Mármost – mondja Lambert –, ha a gömb sugara képzetes, akkor r2 negatív, és így pozitív terület akkor adódik, ha a szögösszeg kisebb p-nél (azaz két derékszögnél); így a párhuzamossági axióma tagadásából nyert következmények a képzetes sugarú gömbön érvényesek lehetnek.

Képzetes sugarú gömb természetesen nincs; az erre való utalás csak formális játék a szavakkal. Lambertnek ez a felismerése mégis fontos és továbbgyűrűző gondolat volt a párhuzamosok problémájának történetében.

Gauss és Bolyai Farkas göttingai egyetemi éveik alatt, a város környékén tett hosszú sétáikon, újra meg újra megvitatták az őket érdeklő problémákat, köztük a párhuzamosok kétezer éves rejtélyét is. Azt, hogy a fent leírt történeti előzményekről mindketten tájékozva voltak, biztosra lehet venni, hiszen éppen a göttingai egyetem akkori matematikaprofesszora, Kästner, előszeretettel foglalkozott a párhuzamosok kérdésének történetével, egy tanítványának disszertációtémául is adta ennek feldolgozását. Vitáik eredménye aligha lehetett több, mint annak megállapítása, hogy a párhuzamossági axióma levezetése Eukleidész többi axiómájából elsőrendűen fontos volna a geometria alapvető kérdéseinek tisztázásához, de hogy az erre irányuló eddigi kísérletek mind kudarcot vallottak, mert bármilyen szokatlan és meglepő állításokhoz vezetett is a párhuzamossági axióma tagadása, még egyről sem sikerült igazolni, hogy valóban logikailag ellentétben állna a többi euklideszi axiómával. Mindebből a probléma különösen fontos és különösen nehéz voltára lehetett ésszerűen következtetni.

1799-ben Bolyai Farkas hazautazott Marosvásárhelyre. Még ebben az évben írta Gauss, hogy észrevette: mivel a háromszög területe, ha nem igaz a párhuzamossági axióma, arányos volna a defektussal, s az utóbbi nem lehet akármilyen nagy (radiánban mérve kisebb p-nél), azért a párhuzamossági axióma tagadásából következik, hogy nem lehet akármilyen nagy területű háromszöget készíteni. "Mindenki mást kielégítene ez az eredmény – írja –, de engem nem: ez még nem a sokat keresett ellentmondás, ez még, bármilyen szokatlan, logikailag nem lehetetlen."

1804-ben Bolyai Farkas maga is tett egy kísérletet a párhuzamossági axióma bizonyítására. Gondolatait megírta barátjának: Gauss kitűnő kritikai érzékkel rögtön megtalálja a hibát Bolyai Farkas gondolatmenetében, s erre válaszlevelében rámutat. Bolyai Farkas még egy kísérletet tett a hiba kijavítására, de érvelése ismét hiányos; erre a levélre Gauss már nem is válaszolt.

Carl Friedrich Gauss
Nehéz megítélni, mennyit foglalkozott Gauss a század első két évtizedében a párhuzamosok problémájával. Néhány adat azonban megfontolást érdemel. Így mindenekelőtt figyelembe kell venni, hogy Gauss 1796. március 30-án (első jelentős matematikai felfedezésének másnapján) kezdte vezetni híres matematikai naplóját. Ebben feljegyzett minden, számára fontosnak tűnő felfedezést, korszakalkotó gondolatoktól kezdve olyan apróságokig, mint egy integrál ügyes helyettesítéssel való átalakítása. Biztosra vehető, hogy ha 1814-ig, amíg naplóját vezette, bármi, számára lényegesnek tűnő eredményt ért volna el ebben az irányban, annak a naplóban nyoma volna: azonban egyetlen ilyen irányú feljegyzést sem találunk benne.

Biztos viszont az is, hogy a probléma ebben az időszakban is foglalkoztatta. Így egyik barátja, Schumacher, egy 1808-ból származó feljegyzésben említi, hogy Gauss azt a tényt, hogy a párhuzamossági axióma tagadásából abszolút mértékegység létezése következnék, nem tartja az axióma kielégítő bizonyítékának. Levelezésében is többször felbukkan a kérdés, mindig abban a hangnemben, hogy a bizonyítási kísérletek (általában, vagy esetleg egy konkrét ilyen kísérlet) hibásak. 1816-ban, majd 1822-ben részletes bírálatot írt egy-egy, nyomtatásban megjelent bizonyítási kísérletről, alapos elemzéssel mutatva rá az elkövetett hibákra. Nézeteit ebben a kérdésben összegezi egy 1819-ből származó, Gauss hagyatékában talált feljegyzés: "A párhuzamosok elméletében még mindig nem vagyunk előbbre, mint Eukleidész volt. Ez a matematika szégyenletes része, amelynek előbb-utóbb teljesen más alakot kell kapnia."

Annak első kétségtelen nyoma, hogy Gauss a párhuzamosok elméletében mégis messzebb jutott, mint mások (vagy saját) bizonyítási kísérleteiben a hiba felderítése, illetve annak leszögezése, hogy a szemléletünknek látszólag ellentmondó következtetéseket nem sikerült logikailag is lehetetlennek kimutatni, 1819-ből származik. Ekkor válaszolt Gauss egy barátjának, Gerling marburgi matematikaprofesszornak levelére, amelyben Gerling elküldte egy jogászkollégájának, Schweikartnak néhány sornyi feljegyzését. Ebben Schweikart (természetesen minden bizonyítás nélkül) felsorolja a párhuzamossági axióma tagadásának néhány következményét, mégpedig a már korábban ismerteken kívül azt is, hogy az egyenlő szárú derékszögű háromszög magassága nem lehet akármilyen nagy. Mindehhez Schweikart azt a meglepő éleslátásról tanúskodó megjegyzést is hozzáfűzi, hogy a Földön érvényes ugyan Eukleidész geometriája, de csillagászati méretekben érvényes lehet az "asztrális geometria", amelyben a háromszög szögösszege két derékszögnél kisebb.

Gauss válaszolt Gerlingnek. Azt írta, hogy ő az asztrális geometriát annyira kidolgozta, hogy benne minden feladatot meg tud oldani, ha ismeretes az a határérték, amelyhez az egyenlő szárú derékszögű háromszög magassága tart, mikor a befogók hosszúsága végtelenbe nő. Példaképpen le is írja a háromszög területének és az n-szög területének legkisebb felső korlátját az említett határértékkel kifejezve.

Schweikart maga tovább nem foglalkozott a problémával. Azonban unokaöccse, Taurinus, 1825-ben és 1826-ban két kis füzetet is kiadott a párhuzamosok elméletéről. Az elsőben eljut a párhuzamossági axióma tagadásának néhány következményéhez, amelyekből ezután – hibás gondolatmenettel – ellentmondást vél kihozni és így a párhuzamossági axiómát véli bizonyítani. A másodikban Lambertnek a képzetes sugarú gömbről tett megjegyzését fűzi tovább azáltal, hogy a gömbháromszögtan ismert képleteiben a háromszög oldalait képzetes számokkal helyettesíti, és így formálisan azokhoz a képletekhez jut, amelyek a Bolyai János és Lobacsevszkij által kidolgozott nemeuklideszi trigonometria magvát alkotják. Végkövetkeztetésében azonban maga is megjegyzi, hogy ezzel az ilyen képletekre alapozott geometria lehetősége semmiképpen sincs még tisztázva.

Gauss Taurinusszal is levelezett; 1824-ben igen világosan megírta, hogy a párhuzamossági axióma tagadásából levonható következményekben minden fáradozása ellenére sem sikerült ellentmondást találnia, és így a nemeuklideszi geometriában (itt találkozunk először ezzel a kifejezéssel) egyedül az a szokatlan, hogy kell lenni abszolút hosszúságegységnek. Figyelemre méltó a levél befejezése, amelyben igen határozottan megtiltja Taurinusnak, hogy Gauss minderre vonatkozó nézeteiről másoknak is beszéljen.

Ez a tilalom sajátosan egybecseng Gaussnak 1829-ben Besselhez írt, sokat idézett levelével: "Egy másik témáról is, amely nálam már csaknem 40 éves, gondolkoztam időnként szabad óráimban, tudniillik a geometria alapjairól; nem tudom, beszéltem-e már önnek ezzel kapcsolatos nézeteimről. Itt is még szilárdabbá tettem egyet-mást, és az a meggyőződésem, hogy a geometriát nem tudjuk teljesen a priori megalapozni, ha lehetséges, még szilárdabbá vált. Biztosan sokáig nem fogok ahhoz jutni, hogy erre vonatkozó nagyon kiterjedt vizsgálataimat a nyilvánosságra való hozásra kidolgozzam, s lehet, hogy ez életemben nem is fog megtörténni, mert irtózom a böotiaiak kiáltozásától, ha nézetemet teljesen ki akarnám fejteni."

Két évvel később Gauss mindenesetre hozzálátott ahhoz, hogy a párhuzamosok elméletéről szőtt gondolatait írásba foglalja. Erről egy Schumachernek l83l-ben írt levelében számol be; Schumacher előzőleg küldött Gaussnak egy újabb bizonyítási kísérletet a párhuzamossági axiómának a többiből való levezetésére. Gauss válaszában megírta, hol van a hiba Schumacher érvelésében, majd közölte, hogy csaknem 40 éve folytatott elmélkedéseit nemrégiben kezdte leírni. A későbbi levélváltás során további részleteket is közölt eredményeiről, így pl. megírta a kör kerületének képletét a párhuzamossági axióma tagadásából származó geometriában (erre ismét a nemeuklideszi geometria elnevezést használja).

Gaussnak itt említett feljegyzéseit megtalálták hagyatékában. Ezekben kidolgozza a nemeuklideszi párhuzamosok elméletét, alapul véve ugyanazt a definíciót, amelyet Bolyai János és Lobacsevszkij is kiindulásul választ: az AM és BN félegyenest párhuzamosnak mondjuk, ha minden A-ból kiinduló és a BAM szögtartományban haladó félegyenes metszi a BN félegyenest, de AM és BN nem metszi egymást (2. ábra).


2. ábra

E definíció mellett nem triviális sem a párhuzamosság szimmetriájának (ha AM párhuzamos BN-nel, akkor BN is párhuzamos AM-mel), sem pedig tranzitivitásának (ha AM és BN, továbbá BN és CP párhuzamos, akkor AM és CP is párhuzamos) bizonyítása; Gauss feljegyzése éppen ennek a bizonyítását tartalmazza. Más, ugyanebből az időből származó, de nagyon vázlatos feljegyzések még néhány lépéssel továbbjutnak, de a nemeuklideszi geometria részletes kidolgozásának semmi írásos nyomára nem sikerült rábukkanni.

Márpedig éppen ezt nyújtja Bolyai János Appendixe. Benne a párhuzamosság előbb megfogalmazott definíciójából kiindulva sorra teljes szabatossággal igazolja azokat a tételeket, amelyek a párhuzamossági axióma feltételezése nélkül leírják a geometriai alakzatok összes lényeges összefüggéseit, többek között a trigonometria képleteit. Sőt Bolyai János célja, amelyet csaknem maradéktalanul megvalósít, valójában ennél is lényegesen több. Ezt mindjárt az Appendix címében világosan meg is mondja: a tér olyan abszolút igaz tudományát fejti ki, amely független attól, igaz-e vagy hamis Eukleidész párhuzamossági axiómájának állítása. Ő tehát, szemben a párhuzamosok elméletének minden korábbi kutatójával, nem egyszerűen a párhuzamossági axióma tagadásán alapuló következményeket gyűjti össze, hanem úgy építi fel a geometriát, hogy eredményei érvényesek legyenek párhuzamosokra vonatkozó minden előfeltevés nélkül (erre céloz geometriájának elterjedt abszolút geometria elnevezése).

Mennyiben valósította meg Bolyai János ezt a programot? Tekintsük ismét a párhuzamos félegyenesnek korábban megfogalmazott definícióját, és képzeljük, hogy AB merőleges AM-re és BN párhuzamos AM-mel (3. ábra).

3. ábra

Ha most BN is merőleges AB-re, akkor érvényes az euklideszi párhuzamossági axióma; ha viszont az ABN szög csak egy esetben is hegyesszögnek adódik (Bolyai János bebizonyította, hogy tompaszög nem lehet), akkor minden más esetben is hegyesszög lesz, és nagyságát a következő képletből lehet megkapni:

ctgb=shc/k,

ahol b jelöli az ABN szöget, c az AB szakasz hosszúságát, k pedig a geometriára jellemző, hosszúság jellegű állandó mennyiséget jelöl. Ebből az euklideszi geometria esetét, amelyben b derékszög, tehát kotangense 0, a k®ˇ határátmenettel lehet megkapni. Ehhez hasonlóan más képletekben is (pl. a kör kerületét megadó képletben) szerepel ez a k állandó, és az euklideszi geometriában érvényes képlet ismét k®ˇ határátmenettel adódik. Más esetekben viszont, pl. a trigonometria alapképleteiben, sikerül szellemes módon egységesen tárgyalni az euklideszi és a nemeuklideszi geometria esetét. Ha tehát megengedjük az egyes képletekben fellépő határmeneteket, valóban azt mondhatjuk, hogy Bolyai János a párhuzamossági axióma érvényességétől független geometriai elméletet épített ki.

Bolyai János igen világosan leszögezi azt a meggyőződését, hogy tisztán logikai szempontból egyformán jogosult az euklideszi geometria és a tetszőleges k értékhez tartozó nemeuklideszi geometria (Bolyai az előbbit S-rendszernek, az utóbbit S-rendszernek nevezi). Azt, hogy fizikai világunkban melyik érvényes ténylegesen, matematikai módszerekkel nem lehet eldönteni, ez a fizika feladata.

Tudjuk, hogy az Appendix nyomtatásban csak 1830-ban jelent meg (különlenyomat formájában, maga Bolyai Farkas Tentamenje, amelyhez függelékként volt csatolva, csak 1832-ben), azonban Bolyai János elméletét már legkésőbb 1826-ig kidolgozta, hiszen ekkor adta át egykori tanárának, Wolter von Eckwehrnek elméletét kifejtő, sajnos, elveszett kéziratát. Első lényeges felfedezései, mint apjához írott híres leveléből tudjuk, 1823-ból valók.

Lobacsevszkij a maga elméletét Bolyaival csaknem egy időben dolgozta ki, s valamivel korábban, 1829-ben közölte nyomtatásban (igaz, hogy oroszul, úgy, hogy külföldön már csak nyelvi okokból is teljesen ismeretlen maradt ez az első közleménye). Lobacsevszkij célja egyébként határozottan a nemeuklideszi geometria felépítése volt, a kétféle elméletet összefogó abszolút geometria kidolgozására ő nem gondolt.

Hogyan lehet mindezek után Gauss felfedezéseit a párhuzamosok elméletével kapcsolatban Bolyai János és Lobacsevszkij munkássága mellé illeszteni? Kétségtelen, hogy már az 1790-es évek során kezdett a problémával foglalkozni (amire leveleiben ismételten céloz, amikor 1830 táján csaknem 40 éve folytatott elmélkedéseiről ír). A fent kifejtett adatok azonban azt mutatják, hogy mintegy 1815-ig nem jutott tovább a korábbi bizonyítási kísérletek alapos kritikájánál, és esetleg a nemeuklideszi geometria egyes, már korábban ismert tételeinek új, egyszerűbb bizonyításánál. Az ezt követő években valószínűleg talált további, a korábbi irodalomban még nem szereplő nemeuklideszi tételeket (erre mutat, hogy Schweikart feljegyzéseivel kapcsolatban rögtön meg tudta adni a háromszög területének legkisebb felső korlátját), azonban ezeket az eredményeit ekkor még nem tekintette egy összefüggő, az euklideszi geometriával egyenrangú geometriai elmélet létezésére vonatkozó bizonyítéknak (különben nem írta volna 1819-ben, egy hónappal az említett levél elküldése után, hogy a párhuzamosok elméletében ma sem jutottunk tovább Eukleidésznél). Hogy ekkor vagy később, a húszas években tett felfedezései pontosan meddig terjedtek, nem tudhatjuk; vannak, akik a Bolyai Farkasnak írt sorokat szó szerint értelmezve úgy vélik, hogy Gauss mindazt felfedezte, amit Bolyai János, mégpedig – legfeljebb kisebb részleteket nem számítva – ugyanolyan módszerekkel. Erre nincsen semmi bizonyíték, például a nemeuklideszi trigonometria képleteinek sem Gauss feljegyzéseiben, sem levelezésében nincsen nyomuk. Így joggal feltételezhető, hogy önállóan talált eredményeit nem sikerült az Appendixéhez hasonló szabatos felépítésben összefoglalni. Ismerve Gauss igen erős igényét a matematikai szabatosságra, nagyon is elképzelhető, hogy talált eredményeinek lejegyzésétől éppen az tartotta vissza, hogy azokat csak intuitíve meglátott sejtéseknek tartotta, és nem tudta összefüggő elméletbe foglalni. Ebben a vonatkozásban valószínűleg csak a húszas évek végén léphetett lényegesen előre; ez magyarázná meg, hogy miért kezdett éppen ekkor hozzá idevágó feljegyzéseihez, amelyeket aztán az első néhány kérdés kidolgozása után félbehagyott, mert megkapta az Appendixet, s abból látta, hogy Bolyai János mennyire megelőzte őt.

Röviden összefoglalva: Gauss a párhuzamosok elméletében évtizedeken át elemezte a XVIII. század végéig létrejött bizonyítási kísérleteket, talán maga is próbálkozott ilyenekkel, de egyre tisztábban látta, hogy egyik sem vezet célhoz; eközben intuitíve felfedezett további eredményeket a nemeuklideszi geometriából, ezzel Bolyai Jánost és Lobacsevszkijt néhány évvel (de nem többel) megelőzve, majd sikerült eredményeit (vagy egy részüket) szabatosan felépített elméletté érlelnie (de csak néhány évvel később, mint Bolyai János és Lobacsevszkij). Joggal említhető a párhuzamosok problémájának megoldói között, de Bolyai János és Lobacsevszkij mellett, elfogulatlan ítélkezéssel, a harmadik helyen kell szerepelnie.
 

Első megjelenés: Természet Világa, 1978. 2. szám

 

 

 


Természet Világa,
2003. I. különszám
Bolyai-emlékszám
http://www.chemonet.hu/TermVil/ 
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/