Elõzõ rész

1969 tavaszán az egyik gyõri középiskolai kollégium tanára azzal kötötte le a nyugtalan diákok figyelmét, hogy aki az alábbi feladatot elõször megoldja, az hosszabb kimenõt kap a szokásosnál: adott három ház és három kút, kössünk össze minden házat minden kúttal egy úttal úgy, hogy az így keletkezõ utak ne keresztezzék egymást (9. ábra). A diákok szorgalmasan rajzolgatni kezdtek, csak egy csillogó szemû diák, Göndöcs Ferenc, a magyar matematikai olimpiai csapat tagja, folytatta nyugodtan, amit korábban csinált. Õ ugyanis ismerte a feladatot, és tudta, hogy a kért összekötés lehetetlen.
 
 

9. ábra. Merre megy a gyalogút?	10. ábra. Lehet-e öt város mindegyikét minden más várossal síkban összekötni úgy, hogy az összekötõ utak ne keresz- tezzék egymást?

  Hasonlóan lehetetlen öt város mindegyikét minden más várossal összekötni úgy, hogy az összekötõ utak ne keresztezzék egymást (10. ábra).

  De miért érdekes, hogy a fenti keresztezõdés nélküli összekötések nem lehetségesek? Hogy erre a kérdésre válaszolhassunk, nevezzünk gráfnak egy tetszõleges olyan alakzatot, amely pontokból, és bizonyos pontok között menõ élekbõl áll. A pontokat a gráf csúcsainak nevezzük, és hogy az élek hogyan kötik össze a két végpontjukat, az nem lényeges, csak az, hogy mely csúcsok között mennek élek. Például a három ház – három kút gráfban hat csúcs van, H₁, H₂, H₃ és K₁, K₂, K₃, és a H₁, H₂, H₃ mindegyikét él köti össze K₁, K₂, K₃ mindegyikével, azaz ebben a gráfban 9 él van. A fent említett öt város és a közöttük menõ utak egy olyan gráfot alkotnak, amelynek öt csúcsa van, és bármely két csúcs között megy él. Ezt a gráfot teljes ötszögnek nevezzük.

  Érdekes kérdés, és bizonyos hálózatok ill. mikroáramkörök realizálásánál a gyakorlatban is elõkerül, hogy egy adott gráf lerajzolható-e a síkba, amely alatt azt értjük, hogy a csúcspontokat és az õket összekötõ éleket a síkon tetszésünk szerint választhatjuk, de két él nem keresztezheti egymást. Mint már említettük, sem a három ház – három kút gráf, sem pedig a teljes ötszöggráf nem rajzolható síkba. Ekkor persze egyetlen olyan gráf sem rajzolható síkba, amelyik ezek valamelyikét tartalmazza. Kazimierz Kuratowski lengyel matematikus egy nagyon szép tétele szerint ez az egyetlen akadály, ugyanis ha egy gráfban részként nincs benne sem a három ház – három kút gráf, sem pedig a teljes ötszöggráf, akkor a gráf síkba rajzolható. Tehát a fenti két, meglehetõsen érdektelen lehetetlenségi állítás egy nagyon szép karakterizációra vezetett.

A legenda szerint egyszer az ókori Görögországban Délosz szigetén pestisjárvány dúlt, és a déloszi polgárok egy jósdához fordultak, hogy megtudják, miként szabadulhatnának meg a járványtól. A válasz az volt, hogy a templom kocka alakú oltárát kell megkettõzniök. Lévén matematikában járatosak (ne feledjük, hogy az idõ tájt a matematika az általános bölcselet része volt), tudták, hogy ez nem azt jelenti, hogy egy ugyanolyan oltárt kell a régi mellé állítani, hanem úgy értelmezték, hogy a kocka alak megtartásával kell annak térfogatát megkettõzni, mégpedig mindezt körzõ és vonalzó használatával. Tehát a feladat az, hogy ha adott egy r hosszúságú szakasz, az eredeti kocka oldala, akkor szerkesztendõ egy olyan R hosszú szakasz, amelyre az R oldalú kocka R³ térfogata kétszerese lesz az r oldalú kocka r³ térfogatának, azaz amelyre R³=2r³. Ez azzal ekvivalens, hogy R=r, azaz az r hosszú szakaszból kell r szakaszt megszerkeszteni. Mivel az egységtávolságot tetszõlegesen választhatjuk, azt r-nek választva az adódik, hogy az egységszakaszból kell egy  hosszú szakaszt szerkeszteni. A körzõvel és vonalzóval történõ szerkesztés pontosan az, amit az általános és középiskolában tanultunk. Szokásos szakaszok szerkesztése helyett számok szerkesztésérõl beszélni: vegyünk fel egy egyenest, amit számegyenesnek fogunk tekinteni, és azon vegyünk fel egy tetszõleges pontot, ez lesz a 0 pont. Ha még az 1 helyét is megadjuk, akkor a 0 és az 1 pont kijelöl egy egységnyi hosszú szakaszt, és az egyenes pontjaival azonosíthatjuk a valós számokat (például egy pozitív x számnak az az 1 irányába esõ pont felel meg, amelynek a 0-tól vett távolsága x). Tehát ha a szerkesztett szakaszt mindig felmérjük a 0-ból erre az egyenesre, akkor látható, hogy egy adott t hosszúságú szakasz szerkesztése helyett beszélhetünk a t szám szerkesztésérõl. Ezzel a fenti kockakettõzési probléma a  szám szerkesztését jelenti. Bár már a görögök is tudták, hogy sok szám szerkeszthetõ (például ha a, b szerkeszthetõk, akkor szerkeszthetõ a+b, a–b, ab, a/b,a stb. is, így többek között 2,  stb. mind szerkeszthetõk), a  szerkeszthetõségét nem tudták igazolni, és a kockakettõzés mint a(z elsõ) déloszi probléma vált a matematikai irodalomban ismertté. Csak a múlt században született meg a válasz:  nem szerkeszthetõ, így a kockakettõzés körzõvel és vonalzóval lehetetlen (pl. Wantzel, 1837).

  A második görög probléma a szögharmadolás volt. Nagyon könnyû körzõvel és vonalzóval szakaszt akárhány (egyforma) részre osztani, ill. egy adott szöget megfelezni. Azonban tetszõleges szög harmadolását a görögök nem tudták elvégezni. Szintén a múlt században derült ki, hogy tetszõleges szög harmadolása lehetetlen körzõvel és vonalzóval, például a 20 fokos szög (amely a 60 fokos szög harmadrésze) nem szerkeszthetõ meg. Jegyezzük meg, hogy bizonyos szögek harmadolhatók, ha például egy k·180/2^l nagyságú szöget kell harmadolni, az ugyanaz, mint egy k·60^o/2^l nagyságú szöget szerkeszteni, és ez, a 60 fokos szögbõl kiindulva könnyûszerrel elvégezhetõ. Mivel a k·180/2^l alakú számok sûrûn helyezkednek el, azt kapjuk, hogy egy sûrû halmaz elemeire a szögharmadolás megoldható. Azonban ezek a harmadoló szerkesztések mind egyediek kellenek, hogy legyenek, például a fenti lehetetlenségi állításból következik, hogy akármilyen nagy M számot is adunk meg, például M=10 millió, akkor van olyan szög, amely körzõvel és vonalzóval harmadolható, de ezt a szerkesztést nem lehet M=10 000 000 lépésben elvégezni.

  A harmadik görög probléma a körnégyszögesítés. Valószínûleg ez a legismertebb matematikai probléma; gyakran a “lehetetlen” paradigmájaként emlegetik; szépirodalmi mûvekben is szerepel, ennek ellenére sokan nem tudják, mit is jelent a probléma pontosan. A feladat az, hogy egy adott, mondjuk egységsugarú körhöz kell megszerkeszteni annak a négyzetnek az oldalát, amelynek a területe megegyezik az adott kör területével. Mivel az egységsugarú kör területe p, és az a oldalú négyzet területe a², olyan a szerkesztendõ, amelyre a²=p, azaz a=p (maga a p szám definíciója: az 1 sugarú teljes körív hosszának a fele). A feladat népszerûségére jellemzõ, hogy oly sokan és legtöbbször oly dilettáns módon próbálták a kör négyszögesítését megoldani, hogy a francia tudományos akadémia a 18. század végén olyan döntést hozott, hogy a körnégyszögesítésre vonatkozó megoldásokat érdemi átolvasás nélkül visszaküldik a szerzõknek. Mint kiderült, valóban ez volt a három szerkeszthetõségi feladat közül a legnehezebb. A kör négyszögesítésének lehetetlenségét (azaz p nem szerkeszthetõ voltát) végül is Ferdinand Lindemann német matematikus igazolta 1882-ben. Ennek ellenére ma is gyakran küldenek matematikai tanszékeknek ill. intézeteknek a kör négyszögesíthetõségét “megmutató” dolgozatokat, például legutóbb 1998 júniusában érdeklõdött egy amerikai diák az interneten, hogy hova küldhetné el ez irányú irományát.

  A fenti szerkesztési lehetetlenségi állítások úgy bizonyíthatók, hogy nyomon követjük, mely számok szerkeszthetõk. Mint kiderül, minden szerkeszthetõ x szám kielégít egy speciális a_nxⁿ+...+a₁x+ +a₀=0 egész együtthatós egyenletet, és a fenti szerkesztési feladatoknál elõforduló számok (azaz a kockakettõzésnél , a 60 fokos szög harmadolásánál az

  Talán nem árt megjegyezni, hogy mindhárom görög feladat az adott eszközökkel, azaz körzõvel és vonalzóval történõ szerkesztéssel lehetetlen. Valóban, már a görögök egy sereg olyan megoldást adtak mindhárom feladatra, amely valamilyen más segédeszközt (például egy kúpot, vagy egy spirált) használ.

Beszéltünk már a kockakettõzésrõl, és a szögharmadolásról, a kör négyszögesítésérõl, most egy olyan lehetetlenségi eredményrõl szólunk, amely ötödfokú ill. magasabb fokú egyenletekre vonatkozik.

  Tekintsük a másodfokú

egyenletet, ahol az a, b együtthatók adottak, és olyan x számot keresünk, amelyet az egyenlet bal oldalába helyettesítve 0 adódik. Középiskolában tanultuk, hogy két megoldás van:
 
 

  Ezek a képletek az együtthatók ismeretében adják meg az egyenlet megoldásait gyökök (radikálok) segítségével, és e képleteket már a görögök is ismerték. Az

harmadfokú egyenlet megoldását 1540 körül többen is felfedezték, és anélkül, hogy pontos diszkusszióbba belemennének, a megoldást szolgáltató ún. Cardano-képlet az egyik gyökre az alábbi alakú

ahol
 

és hasonló formulák adhatók a másik két gyökre is. Ugyancsak ez idõ tájt sikerrel birkóztak meg az általános negyedfokú egyenlet megoldóképletével, azonban itt a haladás megállt, és az ötödfokú

egyenletekre nem sikerült hasonló, gyökvonásokból (radikálokból) felépített megoldóképletet találni, bár a legkiválóbb elmék is megpróbálkoztak vele. Ez nem volt véletlen, ilyen ugyanis nincs. Ezt Paolo Ruffini olasz matematikus hiányos bizonyítása után a 19. század egyik tragikusan fiatalon elhunyt norvég matematikusa, Niels Henrik Abel igazolta 1826-ban.

  A Ruffini–Abel-tétel tehát azt mondja ki, hogy általános ötöd- vagy magasabb fokú egyenletek megoldása radikálokkal lehetetlen. Elsõ látásra ez valóban meglepõ állítás, ugyanis nagyon sok eljárás képzelhetõ el radikálok segítségével, és a tétel azt állítja, hogy ezek egyike sem alkalmas. A késõbbiekben Evariste Galois, szintén fiatalon elhunyt francia matematikus munkássága alapján kiderült, hogy vannak olyan konkrét egyenletek, mint például az
 

x5–4x + 2 = 0,

(2)

amelynek gyökei nem kaphatók meg az együtthatókból radikálok segítségével.

  De hogyan lehet egy ilyen állítást igazolni? Mindezt az algebra fejlõdése tette lehetõvé. A zseniális ötlet az, hogy az egyenlet gyökeihez egy algebrai struktúra, ún. csoport társítható, és a radikálokkal való megoldhatóság felismerhetõ e struktúra részstruktúrái alapján: található részstruktúrák egy olyan növekvõ lánca, amelyben az egyes tagok az elõzõ részstruktúra viszonylag egyszerû bõvítései. Mármost az ötödfokú (2) egyenlethez rendelt struktúrában csak egyetlen szóba jöhetõ lánc van, és ott a bõvítés nem “egyszerû”, amibõl a radikálokkal való megoldhatatlanság azonnal következik.

Folytatás