|
A
matematika szerepe a természettudományokban Kezdeném némi fogalmi tisztázással. Ugyan nem lényeges mondandóm szempontjából: a matematika nem természettudomány. Itt arra is gondolok, amit Galilei kissé leegyszerűsítve így mondott: a matematika a tudomány nyelve.1 Nyilván nem az egyetlen nyelv, de rendkívül hatékony és igen általános, univerzális. (Talán meghökkentem hallgatóimat, de nyelvként ellenpólusának s emellett igen fontosnak is tartom a költészetet.) Ismeretes, hogy az elmúlt évi közgazdasági Nobel-díjat épp Neumann János három követője kapta a matematikai játékelméletnek a gazdasági szituációkat egyre pontosabban leíró általánosításaiért. De létezik matematikai nyelvészet; a filozófiában, logikában is erőteljesek a matematikai irányzatok, és akkor a matematikai statisztika legkülönfélébb alkalmazásairól még nem is beszéltünk. Mindezt azért mondom, mert úgy vélem, azonos elvek érvényesek a matematika oktatására a természet- és a társadalomtudományban, sőt a matematikusképzésen belül is. Még egy fontos tény: a matematika nemcsak nyelv, módszer a tudományok számára, hanem Neumann János szavaival élve: A modern matematika legjobb gondolatai közül sok (szerintem a legjobbak) világosan a természettudományokból ered. (Neumann János: Válogatott előadások és tanulmányok, Bp. 1965, 12. o.).2 Itt Newton, Euler, Gauss, Poincaré, Einstein és Hilbert nevének említése már közhely, de századunk olyan matematikus óriásai, mint Kolmogorov vagy éppen Neumann János ténylegesen kozmikus matematikusok voltak. És az újabb példák közül ugyancsak sokak által tudott tény, hogy a tisztán matematikai kérdés megválaszolása: a négydimenziós differenciálható struktúrák jellemzését megoldó Donaldson-elmélet, amelyért szerzője 1986-ban Fields-Medal-t kapott, a Maxwell-egyenleteket általánosító gauge-egyenleteken alapul, és számos további fizikai gondolatot kölcsönöz. Vagy hogy ne csak fizikából vett példát említsünk – és ezt Magyarországon jól tudjuk – a számítástechnika megjelenése létrehozta a sokféle termékeny irányzatot magában foglaló computer science-t, ezen belül a matematikai számítástudományt. Mindez csak bonyolultabbá teszi a kérdést: hogyan és milyen matematikát oktassunk? Sőt: amikor ifjú tanársegédként 1966 körül részt vettem a matematikusképzés 4 szakirányt tartalmazó tantervének kidolgozásában: a) egyrészt úgy gondolkodtunk, igyekeznünk kell minél többet megtanítanunk abból, amire a végzetteknek szükségük lehet, valamint persze azokat a tárgyakat is, amelyekre mindezek épülnek; b) azzal számolhattunk, hogy a hallgatók nemcsak látogatnak heti 30 órát, hanem emellett még önálló munkát is végeznek, pl. megoldják a gyakorlatokon kitűzött házi feladatokat. Ma mind a cél, mind a feltétel irreális. Mégis: mit és hogyan? A válasz nem lehet kategorikus, csupán szempontokat lehet mondani. Az első szempontom az anyag megválasztására vonatkozik. A matematikai elméletek között jelentős különbségek vannak azok mélyen fekvő volta, másképpen matematikán belüli és kívüli mondanivalójuk, alkalmazhatóságuk tekintetében. Itt tehát nyomatékosan előnyben kell részesíteni azokat az elméleteket, amelyekből a diák nemcsak azt érti meg, amiről éppen szó van, hanem minél több mást is. Nemrégiben Révész Pál egy tudományos előadását hallottam ún. elágazó bolyongásokról, illetve elágazó Brown-mozgásokról. Ez egyszerűen bevezethető valószínűségi modell, mégis használható egészen más területeken is. Csak két példát említek: létezik a spin-üvegeknek egy paradigma-modellje, az ún. véletlen energia modell. Ennek matematikai tárgyalására – épp egyszerűsége miatt – több remény van, mint az egyelőre támadhatatlannak tűnő spin-üvegnek, és az egyik ígéretes megközelítést a véletlen energia modellre éppen elágazó Brown-mozgások segítségével adták.3 A másik ígért kapcsolat: néhány éve olvastam arról a genetikai, paleontológiai megfigyelésről, hogy – a bibliai genezis-történettel egyezően – valóban egy Éva volt, azaz a Földet benépesítő különféle fajok egyetlen ősembertörzsből származnak. Ez a hipotézis számomra teljes összhangban van egy, a Révész Pál előadásán idézett matematikai tétellel. (Csak zárójelben jegyzem meg, hogy ez az alkalmazás nem meglepő: az elágazó folyamatok legegyszerűbb formáját az angol történelmi családnevek kihalásának leírására vezette be Galton és Watson 1874-ben.4 S ha a pontos modellt is megfogalmaznám, mindenkinek azonnal beugrana a járványok terjedésének folyamata vagy a nukleáris láncreakció.) Itt az elágazó folyamatok, nevezetesen az elágazó bolyongások matematikán kívüli kapcsolataira hoztam fel néhány példát, de a matematikán belül is van: a korlátlanul osztható véletlen ponteloszlások elméletében a térbeli elágazó folyamat fogalma fundamentális jelentőségű.5 Ezt a szempontot kiegészíteném azzal, hogy a matematika számos korszerű és mélyen fekvő elmélete (pl. modern differenciálgeometria, algebrai topológia stb.) ma már nemcsak hatékony eszközként, hanem – legalábbis matematikusok és elméleti fizikusok között – egyszerűen nyelvként is funkcionálnak. És még egy gondolat: a kapcsolódások keresése nemcsak az alkalmazhatóság szempontjából lényeges. Mindannyian jól ismerjük azt a felismerést és az efölötti örömet: Ja, itt is valami olyanról van szó, amit már máshol láttam. A kapcsolódások tehát motiválják a diákot, egyszerűsítik az egyre bonyolódó tudományban való eligazodását. Rátérek második szempontomra: Az igazán érdekes és értékes tudományos elméletek mindig valamilyen konkrét jelenség megmagyarázására, valamilyen konkrét feladat megoldására jöttek létre. Előadásaink témaválasztásában és magukban az előadásokban ezt mindig hangsúlyozottan szem előtt kell tartanunk. A hallgató figyelmét még egy hosszú elméleti felépítés vagy levezetés idejére is le lehet kötni, ha tudja a miértet, mi az egész célja – globálisan is és lokálisan is. Erre egyébként nemcsak azért érdemes odafigyelni, hogy lekössük a hallgatót, hanem így megadjuk a lehetőséget a hallgató aktív gondolkodási készségének fejlesztésére is, ami egyébként, ha lehet így fogalmazni, az egész oktatás egyik legfontosabb feladata: ha tudja, mi a cél, akkor neki is lehetősége van a megoldás keresésére és jobban el tudja helyezni az ismertetett utat is. Dinamikai rendszereket tárgyaló előadásainkban tudatosan igyekeztünk konkrét feladatok megoldásaihoz is eljutni, pl. milyen gyorsan kell az artistának rezegtetni a tenyerében felfele tartott póznát, hogy az ne dőljön el. Szerencsésnek tartom pl. egy funkcionálanalízis-előadásban exponálni a hidrogénatom kiszámolásának problémáját, még akkor is, ha a végső megoldáshoz nincs idő eljutni teljes részletességgel. S ha már a Brown-mozgásról volt szó, hadd említsek még egy példát. A diffúziós folyamatok, a Brown-mozgás jelentősége, alapvető volta vitathatatlan a sztochasztikus folyamatok elméletében, azok statisztikai, mérnöki stb. alkalmazásaiban. Talán mégsem mindenkinek ismert tudománytörténeti szerepük. Amikor ugyanis Albert Einstein 1905-ben fizikai levezetését adta a Brown-mozgás diffúziós egyenletének, akkor legalább annyira érdekelte a nyert konstansoknak a kísérleti eredményekkel való összehasonlítása, mint az elmélet megalapozása.6 Valóban, amikor aztán a később ugyancsak Nobel-díjat kapott Perrin 1907 és 1910 között végzett mérései egyeztek az Einstein által tett jóslatokkal, véglegesen eldőlt a vita az atomelmélet hívei és ellenzői között.7 Így vélem, ha a diák ezt is hallja a diffúziós folyamatok elméletének bevezetésekor, nemcsak figyelmét sikerül jobban lekötnünk, hanem intelligensebbnek is neveljük. Itt említek meg még egy fontos mellékszempontot. Az egyébként is lehetetlen mindent-megtanításról való szükségszerű lemondás, valamint az oktatási rendszer rugalmasabbá válása miatt a hallgatók tipikusan nem rendelkeznek minden előismerettel, amelyre szükségünk, szükségük lenne. Meg kell tanulnunk az ilyen helyzeteket áthidalni, építve az intellektusukra, sőt azt fejlesztve úgy, hogy az egyes, máshonnan felhasznált tudnivalókból elmondunk csak annyit, amire tényleg szükség van, az érdeklődőbb hallgatóknak természetesen megadva az irodalmi utalásokat, ahol a részleteket is megtalálják. Princetonban ennek kitűnő példáját láttam Mike Aizenman statisztikus fizikai témájú graduate-kurzusán, amelyet graduate és undergraduate, fizikus és matematikus hallgatókkal együtt látogattam. Mi, matematikusok igen gyakran találkozunk azzal a kérdéssel: Mit is kutatsz, te matematikus, hiszen a matematikában már mindent felfedeztek? A kérdés felvetése teljesen indokolt, mivel az iskolai oktatás megáll valahol a 18. századi matematikánál. Az iskolában is és az egyetemen is, matematikus és nem matematikus hallgatóknál egyaránt meg kell próbálnunk, meg kell tanulnunk bemutatni az élő, a ma tudománya, technikája, társadalma, gazdasága által felvetett, konkrét problémákkal szembekerülő matematika válaszait, elméleteit, módszereit, gondolkodásmódját és természetesen hasonló hozzáállást kérünk azoktól a nem matematikusoktól is, akik matematikus diákjainkat tanítják az ő tudományukra. Befejezésül: A fenti szempontok hatványozottan vonatkoznak a szakdolgozati témaválasztásra is. Nyilván olyan feladatot kell diákjainknak kitűznünk, amelyet – képességeik és előismereteik szintjét feltételezve – lelkiismeretes munkával képesek megoldani. A szakdolgozatírás azonban másfelől az önálló munka, hogy úgy mondjam, mester-iskolájának első foka. A feladatnak tehát ismét konkrétnak kell lennie, lehetőleg kapcsolódnia kell a tudomány valamely aktuális, fontos kérdéséhez, és a diáknak ezt az összefüggést, vagyis a tudományos megközelítés módszerét, lélektanát látnia, legalábbis éreznie kell. Jóleső személyes tapasztalatom, hogy azok a diákjaim, akik végül nem a tudományos kutatásnál kötöttek ki, többüknek eleve sem ez volt a céljuk, ezek is hálásak voltak azért, hogy továbbfejlődtek abban, hogyan kell önállóan dolgozni, hogyan kell problémákat megoldani, mivel ezek a készségek az élet más területein is hasznukra voltak. 1.
Pontosabban ő azt mondta, hogy a természet könyve a matematika nyelvén
van megírva.
|
||