NAGY KÁROLY

Paul Dirac, a relativisztikus kvantummechanika megalkotója

Száz évvel ezelőtt, 1902. augusztus 8-án született Paul Adrien Maurice Dirac Nobel-díjas angol elméleti fizikus. Neve a fizikatörténetben Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger és Niels Bohr mellett úgy szerepel, mint a kvantummechanika egyik megalkotója, aki az atomfizika alapegyenletének relativisztikus általánosításával a tökéletesség magas fokára emelte a kvantummechanikát, és a róla elnevezett egyenlet megoldásával elméleti úton megjósolta az elektron antirészecskéjét, a pozitront. Ebben a rá emlékező és nagyszerű tudományos munkássága előtt tisztelgő írásban előbb életének fontosabb személyes vonatkozásairól, majd a huszadik század fizikáját jelentősen befolyásoló szerepéről szólunk.

Dirac az Egyesült Királyságban, Bristolban született. Apja svájci származású középiskolai tanár volt, Bristol egyik jó nevű középiskolájában franciát tanított. A fiatal Dirac az elemi és a középiskolai tanulmányok után a Bristoli Egyetemen tanult tovább, ahol 1921-ben kitüntetéses villamosmérnöki diplomát szerzett. A relativitás elmélete iránti érdeklődése már egyetemista korában megmutatkozott, ezért Cambridge-ben szeretett volna tovább tanulni, de ösztöndíj hiányában terve meghiúsult. Ezért a Bristoli Egyetemen tanult matematikát még két évig. Ezután került a cambridge-i St. John’s Kollégiumba Ralph Fowler professzor mellé doktorandusznak. Fowler a statisztikus mechanika világhírű tudósa volt, de az akkor alakuló kvantumelméletet is érdeklődéssel követte. Így Diracnak lehetősége volt arra, hogy a statisztikus mechanikai tanulmányai mellett a kor legizgalmasabb fizikai kérdéseivel, a kvantummechanika problematikájával foglalkozzon. Különösen Heisenbergnek a mátrixmechanikára vonatkozó dolgozatai izgatták fel fantáziáját, és a kvantummechanika matematikai megalapozásán kezdett dolgozni. Matematikai jellegű munkássága meghatározó volt a kvantummechanika további alakulásában. Ez is szerepet játszott abban, hogy a kvantumelméletre vonatkozó munkásságát 1933-ban Nobel-díjjal jutalmazták. (A díjat Erwin Schrödingerrel megosztva kapta.) Diracra jellemző, hogy az elismerés hallatán azt mondta Lord Rutherfordnak, a Cavendish Laboratórium vezetőjének: nem fogadja el a díjat, mert idegenkedik a nyilvánosságtól. Rutherford azt válaszolta, hogy még nagyobb lenne a sajtóvisszhang, ha nem fogadná el. Talán ennek hatására vette át Dirac mégis a díjat. 1932-ben kinevezték a Cambridge-i Egyetem matematikaprofesszorának arra a tanszékre, amelyen egykor Newton volt professzor, most pedig Stephen Hawking a vezetője. 1937-ben feleségül vette Wigner Jenő húgát, Wigner Margitot, akivel az Egyesült Államokban tett látogatásakor ismerkedett meg Pricetonban. E házasságból két lányuk született. A feleség első házasságából származó fiát és lányát nevére vette. Gabriel Andrew Dirac jó nevű matematikus lett Dániában, az Aarhusi Egyetemen. Dirac 1969-ben nyugdíjba vonult a Cambgidge-i Egyetemről és családjával az Egyesült Államokban telepedett le, ahol a Floridai Állami Egyetemen tanított és kutatott 1984-ben bekövetkezett haláláig.

A kvantummechanika matematikai megalapozása

Elméleti fizikai munkásságára rátérve, röviden felidézzük a fizika helyzetét abban az időben, amikor Dirac a fizika színpadára lépett. Ez az 1920-as évek közepe táján volt. Niels Bohr és munkatársai kutatásai nyomán ekkor már tudták, hogy az atomok fizikai sajátságait jellemző mennyiségek (például az atom energiája, impulzusnyomatéka, mágneses nyomatéka) a klasszikus fizikával ellentétben nem folytonos értékekkel rendelkeznek, hanem diszkrét, kvantált értékeket vesznek fel. Ezzel magyarázható meg többek között az a már korábban ismert, de nem értett jelenség, hogy az atomok által kibocsátott sugárzás színképe nem folytonos, hanem csak meghatározott frekvenciákat tartalmaz, mégpedig a tapasztalat alapján megállapított szabályos törvényszerűség szerint. (A középiskolai tanulmányokból ismert például a hidrogénatom színképének bizonyos frekvenciáira a Balmer-képlet.) A Bohr-elmélet kezdeti sikerei ellenére sok problémát hordozott. A húszas évek elején már látszott, hogy az atomok fizikája a fogalmaknak radikálisabb változtatását igényli. A Bohr-elmélet még a klasszikus fizikában meghonosodott fizikai fogalmakat használja. Az atomokat a Naprendszerhez hasonlóan úgy képzeli, hogy az atom magja körül az elektronok kör vagy ellipszis pályákon keringenek, de nem akármilyen pályákon, hanem olyanokon, amelyeken az elektron impulzusnyomatéka a Planck-állandó egész számú többszöröse. Az elektrodinamikával ellentétben az elektron ilyen pályán keringve nem sugároz. Erre csak akkor kerül sor, ha az elektron az egyik magasabb energiájú pályáról alacsonyabb energiájúra ugrik. A helyzet Werner Heisenberg színrelépésével egy csapásra megváltozott. Ő abból az – Einsteintől átvett – gondolatból indult ki, hogy az elmélet csak olyan fogalmakat használhat, amelyek mérhető fizikai mennyiségeket jelentenek. Az elektron pályája az atomban nem ilyen. Végül is olyan matematikai leíráshoz jutott, amelyben a fizikai mennyiségekhez nem folytonos függvények, hanem mátrixok tartoznak. Ezeknek a sajátértékei adják meg az illető mennyiség méréssel megállapítható lehetséges értékeit. A kvantálási feltételt úgy hozta be az elméletbe, hogy e mátrixokra a nem kommutatív algebra szabályait írta elő, s a koordináták és a megfelelő impulzuskomponensek kommutátorait axióma jelleggel kapcsolatba hozta a Planck-állandóval. Ez azt jelenti, hogy a mátrixokkal reprezentált fizikai mennyiségek összeszorzásánál a sorrend általában nem cserélhető fel. Ez a szabály az egymáshoz kanonikusan konjugált változópárokra igaz. Ilyenek a koordináták és a megfelelő impulzuskomponensek, például az elektron x koordinátája és px impulzuskomponense. Ez a korábbi fizikától idegen, merész gondolat lett a Heisenbergtől származó kvantummechanika kiindulópontja. Következményeként adódik, hogy az egymással fel nem cserélhető mennyiségek egy időben nem mérhetők meg tetszőleges pontossággal. A mérés pontosságának elvi korlátja van. Ezt fejezi ki a Heisenbergről elnevezett határozatlansági reláció, ami a kvantummechanika egyik legalapvetőbb sajátságát tükrözi. Néhány hónappal Heisenberg után Erwin Schrödinger egészen más gondolatmenettel, a de Broglie francia fizikustól származó hullámelméleti analógiát használva jutott egy differenciálegyenlethez, amelynek reguláris megoldásai megegyeznek a Heisenberg-féle mátrixmechanika alapján számított eredményekkel. A két tárgyalásmódról később Schrödinger bebizonyította, hogy egymással teljesen egyenértékűek. Schrödinger módszere terjedt el inkább, mert az a fizikában megszokottabb matematikai eszközökkel, differenciálegyenletekkel dolgozik. Ezt szokták hullámmechanikának, a Heisenberg-féle tárgyalásmódot követőt pedig mátrixmechanikának nevezni. Ma a kvantummechanika elnevezés használatos e két különböző tárgyalásmódot követő elméletre, ami mai tudásunk szerint a mikrovilág (atomok és a még elemibb részecskék) legpontosabb elmélete.

Dirac Heisenberg első kvantummechanikai dolgozatának olvasása után megérezte, hogy a fizikában valami egészen új kezdődött el. Elsőként ismerte fel Heisenberg forradalmian új gondolatának mély fizikai tartalmát, hogy az elektron helykoordinátáinak és impulzuskomponenseinek Fourier-együtthatói az atomban a nem kommutatív algebra szabályi szerint szorzódnak össze. Vagyis a szorzásnál a tényezők sorrendje nem cserélhető fel minden további nélkül. Ezt tekintette Heisenberg idevágó első dolgozatában a legfontosabb megállapításnak. Ezen töprengve szoros kapcsolatot talált a klasszikus mechanika Hamilton-féle tárgyalásmódjában szereplő Poisson-zárójeles kifejezések és a mátrixmechanika kommutátorai között. Ebből kiindulva alkotta meg a kvantummechanikának a Hilbert-térben értelmezett állapotvektorokra és operátorokra alapozott, bámulatosan szép matematikai elméletét. Erről szól a The Principles of Quantum Mechanics című könyve, amely a kvantummechanikai tanulmányok egyik alapműve. A Dirac-féle tárgyalás lényege röviden összefoglalva az, hogy a fizikai mennyiségekhez operátorokat rendelünk, és ezek sajátértékeit azonosítjuk az illető fizikai mennyiség méréssel megállapítható lehetséges értékeivel. (Operátor alatt műveleti utasítást értünk. Például a differenciáloperátor azt jelenti, hogy az utána következő függvény differenciálhányadosát kell venni.) Ez a tárgyalás magában foglalja a Heisenberg-féle mátrixmechanikát és a Schrödingertől származó hullámmechanikát. A kettő abban tér el egymástól, hogy a fizikai mennyiségek operátorainak más az előállítása (reprezentációja). Heisenbergnél mátrixok, Schrödingernél általában differenciáloperátorok szerepelnek.

Tudománytörténeti szempontból érdekes és érdemes rámutatni egy párhuzamra: miként Einstein ismerte fel elsőként, hogy a kvantumhipotézisnek milyen mély és fontos szerepe van a fény kvantumos természetében, ugyanúgy Dirac tartotta a kanonikusan konjugált változópárok (például a helykoordináták és a megfelelő impulzuskomponensek) nem kommutatív voltát a legjelentősebbnek Heisenberg mátrixmechanikára vonatkozó első dolgozatában. Tulajdonképpen ez volt a kiindulópontja a kvantummechanika matematikai megalapozását adó munkásságának. A kvantummechanika egyetemi oktatásánál általában ezt a tárgyalást követjük. A fizikai mennyiségekhez operátorokat rendelünk, és azok sajátértékeit tekintjük az illető mennyiség valós értékeinek. Hogy milyen operátorokat rendeljünk a fizikai mennyiségekhez, azt axióma jelleggel előírjuk. A helykoordinátákhoz és az impulzuskomponensekhez olyanokat, amelyek kielégítik a Heisenberg-féle felcserélési szabályokat. Mivel a mechanikában előforduló fizikai mennyiségek kifejezhetők a koordinátákkal és az impulzusokkal, bármely mechanikai mennyiség operátora ezekkel előállítható. Ha az impulzuskomponensekhez differenciálhányadosokat, a koordinátákhoz a szorzást rendeljük operátorként, a Schrödinger-féle kvantummechanikát kapjuk. A vizsgált atomi rendszer fizikai állapotát meghatározó differenciálegyenlet a Schrödinger-egyenlet. Az állapotot jellemző állapotfüggvény ismeretében az elvégzendő mérés kimenetelére vonatkozóan valószínűségi kijelentés tehető. Azt tudjuk ebből előre meghatározni, hogy például az energia egy lehetséges értékét milyen valószínűséggel kapjuk meg. Ha pedig az elektron helyére vagyunk kíváncsiak, akkor azt mondhatjuk meg, hogy egy adott térfogatban adott időben milyen valószínűséggel tartózkodik az elektron. A valószínűségekből azután várható értéket vagy középértéket számíthatunk, amelyet az illető fizikai mennyiség tényleges értékével azonosítunk. Ez a lényege a kvantummechanika statisztikus értelmezésének. Ez a legnagyobb fizikusok közül például sem Einsteint, sem Schrödingert nem elégítette ki. Ők a klasszikus fizikához hasonló determinisztikus elméletet szerettek volna. A kvantummechanikában használt matematikai eljárással az atomi rendszerek fizikai sajátságait úgy tudjuk meghatározni, hogy a mérésekkel rendkívül pontos egyezést kapunk, az elmélet értelmezése körül mégis vannak újabb és újabb ötletek, sőt egyes esetekben figyelemre méltó tanulmányok is születnek.

Az elektron relativisztikus hullámegyenlete

A kvantummechanika matematikai megalapozása mellett az elmélet továbbfejlődése szempontjából egy ennél sokkal jelentősebb felismerés fűződik Dirac nevéhez. Ez pedig a kvantummechanikának a relativitáselmélettel való összehangolása. A relativitás elmélete óta tudjuk, hogy minden fizikai elméletnek teljesítenie kell meghatározott szimmetria-követelményeket. Az egyik ilyen fontos követelmény a relativitás elve: a természettörvényeknek változatlanoknak kell maradniuk, amikor az egyik vonatkoztatási rendszerről egy másikra térünk át. Ez matematikailag azt jelenti, hogy a törvényeknek invariánsaknak kell lenniük azzal a koordinátatranszformációval szemben, amely ezt az áttérést leírja. Ez a Lorentz-transzformáció. A Heisenberg–Schrödinger-féle kvantummechanika ezt a követelményt nem teljesíti. Szakszerűen ezt úgy fejezzük ki, hogy nem Lorentz-invariáns elmélet. Másrészt az elektron saját impulzusnyomatékát, a spint sem tartalmazza a Schrödinger-egyenlet. Ezt Wolfgang Pauli nyomán külön hozzá kell venni. Már Schrödinger megpróbálkozott azzal, hogy elméletét relativisztikussá tegye, de nem járt sikerrel. A kapott egyenlet ugyan teljesítette a relativitás elvét, de nem adott jó eredményt a hidrogénatom színképére. Ugyanezt az egyenletet levezette Klein és Gordon, valamint a magyar Kudar János is. A szakirodalom Schrödinger–Gordon-, vagy Klein–Gordon- egyenletként tartja számon. A Klein–Gordon-egyenlettel kapcsolatban nemcsak az volt a baj, hogy a hidrogénre rossz eredményt adott, hanem az is, hogy a kvantummechanika lényegéhez tartozó statisztikus értelmezést nem lehetett rá alkalmazni, mert az elektron tartózkodási valószínűségére nem adott határozottan pozitív értéket. A megfelelő kifejezés lehetett negatív is, ami az értelmezés szempontjából lehetetlen. Dirac a témakörrel foglalkozó több fizikus véleményével ellentétben fontosnak tartotta a valószínűségi értelmezést, ezért nem fogadta el a Klein–Gordon-egyenletet az elektron relativisztikus hullámegyenletének. Két alapvető követelményt támasztott a keresett egyenlettel szemben. Az elektron relativisztikus egyenlete legyen Lorentz-invariáns, másrészt az idő szerinti differenciálhányadost első rendben tartalmazza, mert ez feltétele a statisztikus értelmezésnek. Elődeihez hasonlóan ő is a relativitáselméletből ismert

           p² – E²/c² = – m²c²                            (1)

képletből indult ki. Itt p az elektron impulzusát, E az energiáját, m a nyugalmi tömegét, c a fény vákuumbeli sebességét jelenti. Megpróbálta ezt a kifejezést lineárissá tenni, hogy az idő szerinti derivált első rendben szerepeljen benne. Egy érdekes matematikai trükköt alkalmazott. A fenti egyenletnek négyzetgyökét vette, de nem a szokásos módon, hanem a bal oldalt szorzat alakjában írta:

( g₁p₁ + g₂p₂ + g₃p₃ + g₄iE/c)( g₁p₁ + g₂p₂ + g₃p₃ + g₄iE/c)= – m²c².   (2)

Ez az egyenlet akkor lesz azonos a kiindulásul szereplő (1) egyenlettel, ha a g szimbólumok kielégítik a következő összefüggéseket. Mindegyik g négyzete 1-gyel egyenlő, a különbözők szorzatára pedig érvényes a g_kg_l = – g_l g_k felcserélési szabály. Ebből következik, hogy a g-k nem közönséges számok, hanem mátrixok. Matematikailag belátható, hogy a legalacsonyabb rendű négy független mátrix, amely e feltételeket teljesíti, négysoros és négyoszlopos. Dirac meg is adta e mátrixoknak egy lehetséges előállítását. Csupán megemlítjük, hogy végtelen sok előállításuk lehet ezeknek a Dirac-mátrixoknak. A (2)-ből most már egyszerű gyökvonással adódik:

                       g₁p₁ + g₂p₂ + g₃p₃ + g₄iE/c = imc.                         (3)

A kvantumelméletre a szokásos módon úgy térünk át, hogy az impulzuskomponensekhez és az energiához a  differenciáloperátorokat rendeljük, és ezek (3) összegét alkalmazzuk a Y állapotfüggvényre. Így az elektron keresett relativisztikus hullámegyenletét kapjuk:
 
                    (4)

A fizikai szakirodalom ezt az egyenletet megalkotójáról Dirac-egyenletnek nevezi. Ez teljesíti mind a két fenti követelményt. A három helykoordináta és az idő szimmetrikusan szerepel benne, és az idő szerinti differenciálás is elsőrendű. Könnyen belátható, hogy invariáns a Lorentz-transzformációval szemben, tehát teljesíti a relativitás elvét. Diracnak is meglepetést okozott, hogy az egyenlet tartalmazza a spint is. A fizika alapegyenleteiből következik, hogy centrális erőterekben az impulzusnyomaték állandó marad. A Dirac-egyenlet alapján számolva ez a tétel csak akkor érvényesül, ha az elektron mozgásából származó impulzusnyomatékhoz hozzáveszünk még egy tagot. Az egyenletből egyértelműen következik ennek a kiegészítő tagnak a kifejezése. Ez az elektron saját impulzusnyomatéka, vagy idegen szóval spinje. Értéke a tapasztalattal megegyezésben ?/2. Természetesen kiadódik az elektron saját mágneses nyomatéka is. Az egyenletnek első alkalmazása a hidrogénatom energia- sajátértékeinek a meghatározása volt. Ennek alapján a hidrogén spektrumának finomszerkezete is a kísérleti eredményekkel összhangban adódott. Említettük, hogy a Klein–Gordon-egyenlet itt rossz eredményt adott. A kor fizikatörténetével foglalkozó irodalom feljegyezte, hogy a fizikusok többsége, még Niels Bohr is, ennek ellenére elfogadta a Klein–Gordon-egyenletet az elektron relativisztikus egyenletének. Dirac hajthatatlan volt, nem tudott megbékélni a helyzettel. Ragaszkodott a már említett két követelményhez. Budapesten, az 1977-ben rendezett fizikai konferencián egy szép előadásban elmesélte kvantumelméleti munkáságának rövid történetét. Erről a problémáról azt mondta, hogy egy hasonló egyenleten töprengve jött rá arra a már említett matematikai fogásra: hogyan lehet az (1) egyenletből gyököt vonni. Egy kicsit elhamarkodottan azt mondhatnánk, szinte véletlenül jött rá a helyes egyenlethez vezető megoldásra. Ez azonban nem volna igaz, mert Dirac egész elméleti fizikai munkásságára jellemző a fizika alapvető elveihez való ragaszkodás, és az a vezérlő elve, amit ő a matematika szépségének nevezett. Talán nem tévedek, ha azt állítom, hogy az egyenletek matematikai szépségét még annál is többre tartotta, hogy az elmélet egyezik-e a tapasztalattal vagy nem.

A pozitron

A Dirac-egyenletnek erőmentes, szabad mozgásra vonatkozó megoldása síkhullám, amelynek hullámhosszát és frekvenciáját a részecske impulzusa és energiája határozza meg, a kvantummechanikából ismert de Broglie-féle képletek szerint. Az ilyen elektron energiája az eddigi felfogás szerint természetesen pozitív. A relativitáselmélet szerint viszont az (1) képletből az E energiára két érték adódik. Az egyaránt lehet pozitív és negatív. Ugyanis

                (5)

A negatív energiához az E = mc² képlet alapján negatív tömeg tartozik. A negatív tömegű részecske gyorsulása a hatóerővel ellentétes irányú. Ennélfogva egy pozitív és egy negatív tömegű elektron kölcsönhatása a következő furcsa jelenséghez vezetne. Mivel töltésük azonos, ezért közöttük taszítóerő hat. A pozitív tömegű elektron az ma=F mozgásegyenlet alapján a taszítóerő irányába mozogna, a negatív tömegű viszont az ellentétes irányba. Tehát követné a másik elektront. Ilyen jelenséget a természetben nem ismerünk. Dirac az ellentmondást a Pauli-elv figyelembevételével a következőképpen oldotta fel. Tételezzük fel, hogy a negatív energiájú kvantumállapotok a természetben mind be vannak töltve egy-egy elektronnal. Ez az állapot a fizikai vákuum. Ebben az állapotban a fizikai mennyiségek (pl. tömeg, töltés) értéke zérus, és a fizikai mennyiségek valódi értékeiben a vákuumállapottól való eltérés mutatkozik meg. Az elektromágneses kölcsönhatás a vákuumállapotot megváltoztathatja. Gondoljuk el például, hogy a kölcsönhatás következtében egy negatív energiájú elektron nyugalmi energiájának kétszeresét, vagy ennél nagyobb energiát vesz fel az erőtértől. Ezáltal pozitív energiájú valódi elektronná alakul, és a vákuumban üres marad egy elektronállapot. Szemléletesen szólva, a vákuumban „lyuk” keletkezik. Az üres negatív energiájú elektronállapot negatív energiahiányt és negatív tömeghiányt jelent, amely pozitív energiaként és pozitív tömegként jelenik meg. A vákuumbeli lyuk úgy viselkedik, mintha pozitív tömegű és „pozitív töltésű elektron” lenne. A kölcsönhatás tehát egy valódi elektront és egy „pozitív töltésű elektront” eredményezett. Mivel akkor (1932 előtt) csak két elemi részecskét ismertek, az elektront és a protont, Dirac ezt a pozitív töltésű lyukat először protonnak gondolta. A fent említett könyvének első kiadásában (1930-ban) még ez szerepel. A szimmetria miatt a lyuk tömegének ugyanakkorának kellene lennie, mint az elektron tömege. A proton nagyobb tömegét valamilyen, még ismeretlen kölcsönhatásnak tulajdonította. A már említett budapesti előadásában azt mondta erről, hogy nem volt bátorsága új részecskét feltételezni, akkor nem ilyen volt a fizikus közhangulat. Hermann Weyl egyik dolgozatában elsőként állította, hogy a lyuk tömege nem különbözhet az elektron tömegétől. Ilyen aszimmetria nem lehet a pozitív és negatív energiájú állapotok között. De más ellenvélemények is elhangzottak, különösen fizikai megfontolásokra alapozva. Például Igor Tamm azt vetette fel a proton-elképzeléssel kapcsolatban, hogy ha a lyuk proton lenne, akkor nem létezhetnének atomok, mert a proton az elektronnal szétsugárzódna, amikor visszaesik a negatív energiájú lyukba. E viták hatására Dirac elállt a proton feltételezésétől, és 1931 májusában egy új, eddig kísérletileg nem észlelt részecskét tételezett fel, amit ő antielektronnak nevezett. Egy évvel később, 1932-ben Anderson felfedezett egy pozitív töltésű, az elektron tömegével azonos tömegű részecskét, amelyet pozitronnak neveztek el. Ez a részecske azonos a Dirac-féle antielektronnal. (Érdekességként megjegyezem, hogy a pozitron elnevezést annak a folyóiratnak a kiadója javasolta Andersonnak, amelyikben a felfedezést közölték.)
Dirac a (4) relativisztikus hullámegyenletet az elektronra vonatkoztatva közölte 1928 februárjában és márciusában két dolgozatban. Az egyenlethez vezető gondolatmenetből és az egyenlet említett sajátságaiból (mint például a /2 spin és a mágneses nyomaték helyes értéke) következik, hogy a Dirac-egyenlet nemcsak az elektronra, hanem minden feles spinű részecskére egyaránt vonatkozik: így a protonra, a neutronra és a többi, kísérletileg később felfedezett feles spinű részecskékre. A napjainkban folyó kísérleti részecskefizikai kutatásokban mindennapos szereplők az antirészecskék. A genfi kutatóintézetben, a CERN-ben éveken keresztül folytattak olyan kísérleteket, amelyekben a Föld alatt futó 27 km átmérőjű gyűrű alakú alagútban egymással szembe futtattak elektronokat és pozitronokat. Ezeket a pálya néhány helyén, laboratóriumokban ütköztettek egymással nagyon nagy energián, és tanulmányozták, hogy az ütközés során mi történik, milyen részecskék keletkeznek. A pozitronok orvosi alkalmazásokban is szerepelnek: ilyen például a Debreceni Egyetemen működő PET (pozitron-elektron-tomográf). A lyukelmélethez kapcsolódó szemléletes képből is érthető, hogy a magasabb, pozitív energiájú elektron az alacsonyabb energiájú állapotba törekedve beleesik a lyukba; ekkor eltűnik a pozitív energiájú elektron is, meg a lyuk, vagyis a pozitron is, és az energiájuk gamma-sugárzás formájában jelenik meg. A fizika ezt szétsugárzásnak nevezi. A PET-ben ez történik, ennek alapján készítenek képet az emberi szervezet különböző részeiről. Dirac pozitronelmélete nemcsak a fizika fejlődésére volt igen nagy hatással, hanem az orvosi, biológiai alkalmazásokra is.

 A Dirac-egyenlet témakörét befejezve hangsúlyozni szeretném, hogy a pozitronra vonatkozó hipotézis tisztán elméleti, pontosabban szólva, matematikai alapon született. Semmi kísérleti előzménye nem volt. Az energia (5) relativisztikus kifejezésében a negatív előjel matematikai szempontból ugyanolyan jogos, mint a pozitív, ezért matematikailag a két előjelhez tartozó megoldás egyaránt értelmes. Már említettem, hogy Dirac milyen nagy jelentőséget tulajdonított az elmélet matematikai szépségének. Azt írta egy helyen, hogy szívesen játszik az egyenletekkel, és utána megnézi, mi jön ki belőle. A relativitás elméletéről egyszer azt mondta, hogy azért igaz, mert matematikailag szép. Az elméleti fizikai kutatások nagyobb része olyan, hogy a kísérletek során talált jelenségeket próbálják elméleti úton megmagyarázni. Ezek nem mindig sikerülnek a meglévő elméletek alapján. Ilyen esetekben születnek az új elméletek, amelyek megmagyarázzák az új jelenségeket, de egyúttal olyanoknak kell lenniük, hogy ami a régi elmélet szerint jó volt, annak az új szerint is érvényesnek kell maradnia. Az ilyen elméleti kutatások a kísérletekkel szoros kapcsolatban folynak. A kutatások másik, kisebbik része az elmélet belső konzisztenciáját, esetleges ellentmondásait tanulmányozva jut új elméleti felismerésekre. Ha az így kapott matematikai eredményeknek fizikai értelmezés is tulajdonítható, akkor az előre viszi a fizika tudományát. Einstein általános relativitáselmélete, és Dirac munkásságának nagy része ilyen. Ebbe a csoportba tartoznak azok a kutatások is, amelyek két különállóként mutatkozó elmélet egyesítésén fáradoznak. Ezen a téren tipikusnak mondható Einsteinnek az a hosszú évtizedekig tartó munkálkodása, hogy a gravitációhoz hasonlóan a többi erőteret is geometriai alapon egységes keretben tárgyalja. Ugyanezt tette Heisenberg életének utolsó másfél évtizedében, amikor megrögzötten hitt abban, hogy a világra vonatkozó fizikai ismereteink leírhatók egy világegyenlettel. Egyik sem sikerült. A mai elméleti kutatások egy része ugyanerre törekszik. Ezek a nagy egyesített elméletben hisznek, amely valamennyi fizikai erőtér egységes elmélete lenne.

A kvantumelektrodinamika

Dirac munkásságához visszatérve, még két témakört említek. Az egyikhez az erőterek kvantumelméletére vonatkozó, sok fontos kérdést érintő, jelentős eredményeket felmutató kutatásai tartoznak. Azt mondhatjuk, hogy ezeket a kutatásokat ő indította el az elektromágneses tér kvantumelméletére vonatkozó első, 1926-ban megjelent dolgozatával. Ebben azt vizsgálta, hogy mi történik akkor, ha elektromágneses sugárzás hat egy atomra. Az atomokat a kvantummechanika szerint tárgyalta, az elektromágneses teret viszont a klasszikus fizika keretébe tartozó Maxwell-elmélet szerint. Ezt ma a sugárzás és az atomok kölcsönhatását leíró fél-klasszikus elméletnek nevezzük. Ebből adódik, hogy a sugárzás hatására az atom egyrészt fénykvantumot nyelhet el a sugárzási térből, másrészt fénykvantumot bocsáthat ki. A kvantumok energiája hn (n a rezgési frekvencia). A kibocsátott vagy elnyelt fénykvantumok száma arányos az atomra eső sugárzás intenzitásával. Mivel ezeket a folyamatokat a külső sugárzás indukálja, a szakirodalom indukált emissziónak, illetve abszorpciónak nevezi. Az indukált emisszión alapszik a lézer. A gerjesztett állapotban levő atomok azonban a sugárzással való kölcsönhatás nélkül is tudnak fénykvantumokat kibocsátani, miközben a magasabb energiájú állapotból alacsonyabb energiájúba mennek át. Ezt nevezzük spontán emissziónak. Az elmondott fél-klasszikus elmélet erről nem ad számot. Dirac hamar rájött az ellentmondás okára: az elektromágneses sugárzást is a kvantumelmélettel kell tárgyalni. Ezt 1927-ben (még a Dirac-egyenlet előtt) megtette. Ez volt a mára nagy sikerűvé lett kvantumelektrodinamika kiinduló alapja. Első eredményként adódott, hogy az elektromágneses sugárzás energiája h? energiakvantumok, impulzusa pedig h?/c impulzuskvantumok egész számú többszöröse. Ezek a fénykvantumok a fotonok. Einsteinnek az elektromágneses sugárzás kvantumos természetére vonatkozó hipotézise az új elméletből egyszerűen következik. A kvantumelektrodinamika természetesen számot ad a spontán emisszióról is. A relativitáselmélettel összhangba hozott, továbbfejlesztett kvantumelektrodinamika ma a tapasztalattal igen pontosan egyező elmélet. Mintaként szolgált a többi fizikai erőtér kvantumelméletének kidolgozásához. Dirac nemcsak az alapozást végezte el, hanem a későbbiekben is fontos szerepet játszott, különösen a matematikai természetű problémákban. Az elmélet egyik technikai jellegű közelítő módszerével (a renormálási eljárással) nem tudott megbékélni. Itt arról van szó, hogy a többfotonos folyamatokban az alkalmazott perturbációs közelítő eljárás fontos fizikai mennyiségekre, például az elektron töltésére és tömegére, végtelen értékeket ad. Ezeket a végtelen mennyiségeket küszöbölik ki az említett renormálással. Matematikai szempontból ez valóban nem szép, így teljesen érthető Dirac nemtetszése.

Gondolkozásmódjára jellemző volt, hogy az alapelvekből kiindulva, a jelenségek mögött a mélyebb, általános kapcsolatokat kereste, és megpróbálta azokat a legegyszerűbb matematikai alakban megfogalmazni. A kvantumelektrodinamikában fellépő divergenciák okát kutatva megnézte, hogy gyökereik nem nyúlnak-e vissza a klasszikus fizikába. Ezért foglalkozott az elektromágneses tér hatásának kitett, pontszerűnek gondolt töltött részecske relativisztikus mozgásegyenletével. Az ilyen részecskék saját terének energiája szintén végtelennek adódik. A renormálás gondolata tehát már a klasszikus fizikában is felvetődik. Ezt a problémát többen próbálták a kiterjedt részecskemodellel kezelni, hogy a pontszerűséggel kapcsolatban fellépő végtelen sajátenergiát elkerüljék. Ekkor meg más természetű, újabb problémák léptek fel. Érdekes, hogy Dirac ehhez a problémához később is visszatért. Talán a már említett ok miatt. Nevezetesen azért, mert a renormálást nem tekintette az utolsó szónak az elektromágnesség kvantumelméletében. A már említett budapesti előadását azzal fejezte be, életét főként azzal tölti, hogy jobb egyenleteket próbál találni a kvantumelektrodinamika számára. „Eddig nem sikerült – mint mondta –, de ezt a munkámat tovább folytatom.”

A másik probléma, amelyre kitérnék, a mágneses monopólus kérdése. Diracban felmerült a gondolat, miért van az, hogy a természetben létező minden elektromos töltés – az előjelétől eltekintve – az elektron töltésének egész számú többszöröse. Az elektromos töltés tehát kvantált. Ehhez fel kell idézni az elektromosság és a mágnesség közötti hasonlóságot, illetve különbséget. Az elektromágnesség klasszikus fizikai elmélete a Maxwell-elmélet. Eszerint a sztatikus elektromos teret töltések keltik, amelyek pozitívak és negatívak egyaránt lehetnek. A sztatikus mágneses teret ezzel szemben nem mágneses töltések, hanem mágneses nyomatékok hozzák létre. Eszerint mágneses töltések nincsenek. A mágnességtan kezdetén, egészen a tizenkilencedik század elejéig, még úgy gondolták, hogy a magnetosztatika az elektrosztatika mintájára értelmezhető. Az elektromos töltésekhez hasonlóan vannak mágneses töltések is, és a sztatikus mágneses teret az elektromoshoz hasonlóan a mágneses töltések keltik. Mindkettőre érvényes a Coulomb-törvény, amely két pontszerű elektromos vagy mágneses töltés közötti erőt adja meg. A Maxwell-elmélet ezt a nézetet megváltoztatta. A tapasztalat igen széles körben, nagy pontossággal az utóbbit igazolja. Dirac az elektromos töltés kvantummechanikai tárgyalását összekapcsolja a mágnességgel, és felújítja a mágneses töltés fogalmát. Végeredményben arra a következtetésre jut, hogy az elektromos töltés kvantáltságát csak úgy tudja megmagyarázni, ha mágneses töltések is vannak, és azok is kvantáltak. A kettő tehát összekapcsoltan jelenik meg. Elég, ha egyetlen mágneses pólus van valahol az univerzumban, az már kiváltja az elektromos töltés kvantáltságát. A kutatások eddig ezt nem erősítették meg. Dirac élete végéig reménykedett benne, hogy a jövőben sikerül kísérletileg kimutatni.

 Érdekes, hogy a huszadik század fizikájára legnagyobb hatást kifejtő fizikusok szinte mind úgy mentek el, hogy – a kvantumfizika bámulatos sikerei és az alkalmazásokkal elért szép eredményei ellenére – az elmélet haláluk idején érvényes állapotával nem voltak megelégedve. Említettük Einsteint, Heisenberget, de ugyanígy volt ezzel Schrödinger is.

 Diracra emlékező írásom nagyon hiányosnak tűnik, ha meggondolom, munkássága milyen nagy hatással volt a huszadik század fizikájára. Ilyenkor természetesen válogatni kell, és a válogatás nagymértékben függ a szerző felfogásától. Valószínű, hogy más fizikus kolléga másra helyezte volna a hangsúlyt. Az biztosan állítható, hogy Dirac a róla elnevezett egyenlettel, a pozitron elméleti megjósolásával és a kvantumelektrodinamika terén elért eredményeivel a huszadik század fizikáját alakító legnagyobbak között van. Nagy tisztelettel és elismeréssel emlékezünk rá születésének századik évfordulóján.