MIZERA FERENC–HORVÁTH GÁBOR

Dobósportok a forgó Földön

Első rész
Hogyan befolyásolja a dobótávot a centrifugális és a Coriolis-erő?

A görögök az Élisz tartományban fekvő Olümpiában rendezték nagy nemzeti játékait i. e. 776-tól i. sz. 394-ig négy évenként. Ezek az olimpiai játékok az antik világ legnagyobb versenyeivé váltak, és művelődéstörténeti szempontból is nagy jelentőségűek. Angol kezdeményezésre 1604-től kezdődően mintegy fél évszázadon át tartották meg az angol olimpiai játékokat. A 19. század utolsó negyedében egymást követték a legkülönfélébb nemzetközi sporttalálkozók és versenyek. Az első Európa-bajnokságra 1893-ban került sor Hamburgban. Ugyanebben az esztendőben rendezték az első világbajnokságot is Amszterdamban. A modern sportélet jelentős állomása volt az olimpiai játékok felújítása 1896-ban Athénban. Azóta is töretlen az olimpiai hagyomány, s a nyári és téli olimpiák iránt az egész földkerekségen egyre nagyobb érdeklődés nyilvánul meg. Az olimpiai sportágak egy részében négyévenként, másokban a négyévenkénti időszakban több alkalommal is megrendezik a világ- és európa-bajnoki küzdelmeket.

 Az olimpiai sportágak közé tartozik többek között az atlétika, azon belül szerepel a dobás, amelynek további tagozódása a súlylökés, a gerelyhajítás, a diszkoszvetés és a kalapácsvetés. A dobósportokban adott tárgy (súlygolyó, gerely, diszkosz, kalapács) minél messzebbre juttatása a cél.

 Az olimpiai sportágakban a teljesítmény mérését folyamatosan igyekeznek korszerűsíteni, hogy objektíven lehessen összehasonlítani a sportolók eredményeit. Például a futók idejének egyre pontosabb mérését lézer-fotocellás berendezések teszik lehetővé, a startpisztolyt pedig felváltották a hangszórók, amelyek minden versenyző mellett pontosan egyidőben jeleznek. A dobók teljesítményének minél pontosabb és igazságosabb összehasonlítása érdekében bizonyos szabályok szigorú betartása szükséges. Természetesen mindig egyforma, de a nőknél és a férfiaknál olykor eltérő sporteszközökkel folynak a versenyek: a súlygolyóknak, gerelyeknek, diszkoszoknak és kalapácsoknak típusonként egyforma az alakja, tömege és anyagi minősége. A doppingellenőrzésen túl a legfontosabb környezeti szabály, hogy a szélsebességnek nem szabad meghaladnia a 2 m/s-os küszöbértéket. Az utóbbi feltétel kikötésére nyilván azért van szükség, mert az eldobott sportszerek röppályáját a nagyobb széllökések jelentősen módosítanák, s kaotikus sajátságuk miatt ellenőrizhetetlenül befolyásolnák a sportteljesítményeket, meghamisítanák a versenyzők ranglistáját.

 A sporteredményeket zavaróan befolyásoló környezeti és fizikai hatások mindegyikét még napjainkra sem sikerült kiküszöbölni, illetve a versenyek során az értékeléskor figyelembe venni. Az egyik ilyen tényező a Föld tengely körüli forgása, aminek eredményeként bizonyos tehetetlenségi erők ébrednek, amelyek befolyásolják a testek mozgását. A forgó Földön a Newton-féle gravitációs erőn túl a két legfontosabb ilyen erő a Coriolis- és a centrifugális erő. E két erő nagysága első közelítésben elhanyagolható a Newton-féle gravitációs erőhöz képest, ezért a dobósportokban elhajított sportszerek mozgását döntően a Föld középpontja felé mutató newtoni gravitációs erő határozza meg. Ez az oka annak, hogy a dobósportok eredményeinek hitelesítése során nem veszik figyelembe a Föld forgásából eredő Coriolis- és centrifugális erők hatását. Cikkünkben azonban megmutatjuk, hogy ez az eljárás manapság már nem jogos. Elemi fizikai számításokkal is bizonyítható, hogy a súlylökésben és a kalapácsvetésben jelenleg elérhető dobótávok a földrajzi szélesség és az égtáj szerinti dobásirány változásával akkora mértékben változhatnak, mint amekkorák az egymást követő világcsúcsok időben tendenciózusan csökkenő különbségei manapság.

 A szóban forgó két erő hatása jelentős mértékben függ a földrajzi szélességtől és a Coriolis-erő esetén attól is, hogy milyen égtáj irányába történik a dobás. Meghatározzuk azon földrajzi szélességeket és irányokat, amelyeknél a Coriolis- és a centrifugális erő segít a sportolónak, illetve amikor hátráltatja őt. Miután egyszerű analitikus becsléssel kimutatjuk, hogy a Coriolis-erő több cm-rel, a centrifugális erő pedig több dm-rel is megnövelheti vagy kurtíthatja a dobótávot, azon számítógépes programunkról szólunk, amivel a súlylökésben és a kalapácsvetésben elérhető sportteljesítményeket módosító minden lényeges fizikai és meteorológiai befolyásoló tényezőt figyelembe véve lehet numerikusan meghatározni a dobótávot. E programmal részletesen vizsgáltuk a szél, a légellenállás, a légnyomás, a léghőmérséklet, a tengerszint fölötti magasság, a földrajzi szélesség, a dobásirány és a pályalejtés dobótávra kifejtett hatását. Olyan hajítási korrekciós térképeket határoztunk meg, amelyek segítségével különböző földrajzi szélességeken, eltérő irányokban végzett dobások eredményeit lehetne a korábbiaknál fizikailag pontosabban összehasonlítani oly módon, hogy a dobótávokat a Föld forgásának hatását megfelelően korrigáló járulékkal módosítanánk.

 Rámutatunk arra, hogy a súlylökésben és kalapácsvetésben már most eljött annak az ideje, hogy figyelembe vegyék a világcsúcsok hitelesítésekor a Coriolis- és centrifugális erők dobóhosszra kifejtett módosító hatását. Vizsgálataink eredményei alapján javaslatot teszünk néhány olyan szabályra, amelyekre a jövőben tekintettel lehetne lenni a dobósportversenyek lebonyolítása és eredményeinek hitelesítése során.

 A dobósportokban a Coriolis- és centrifugális erők okozta bonyodalmak ahhoz hasonlatosak, ami a közelmúltban történt mindazon, időméréssel egybekötött sportágban, amelyben egy pisztolylövés jelezte a rajtot, azaz a verseny kezdetét, s amelyben egyszerre több versenyző indult. Habár ezekben a sportágakban az időmérés pontossága elérte akár a század vagy ezred másodpercet is, a rajtnál elkövetett hiba ennél nagyobb volt. Ez a "starthiba" abból adódott, hogy az akusztikus jel a versenypályának csak az egyik oldalán hangzott el, így a jeladótól távolabb elhelyezkedő versenyzőhöz csak bizonyos időkéséssel érkezett meg a startjel a jeladóhoz közelebb lévő versenyzőhöz képest. Ezt a hibát azon technikai módosítás bevezetésével küszöbölték ki, hogy a startjelnek azonos időben kell hallhatóvá válnia minden versenyző számára. Ez úgy érhető el, hogy minden startállásban egy apró hangszórón szólal meg a startjel. Nem elképzelhetetlen, hogy a Föld forgása miatt ébredő Coriolis- és centrifugális erők hatása miatt a jövőben hasonló, de más természetű módosító szabályok, illetve új dobótáv hitelesítési eljárások bevezetésére lesz szükség a dobósportokban is.

Mozgás gyorsuló koordináta-rendszerben

Inerciarendszerben, azaz olyan koordináta-rendszerben, ahol a magára hagyott test megtartja egyenes vonalú egyenletes (állandó sebességvektorú) mozgását, egy m tömegű pontszerű test mozgását meghatározó mozgásegyenlet a következő alakot ölti:

ma = F,

ahol a a test gyorsulásvektora, F pedig a testre ható erők eredője. Ha egy gyorsuló rendszer egy külső inerciarendszerhez képest W gyorsulásvektorral egyenesvonalú mozgást végez, valamint adott tengely körül w szögsebességvektorral és b szöggyorsulásvektorral forog, akkor az m tömegű pontszerű test mozgásegyenlete a következő:

ma = F – mW + mr ´ b + 2mv ´ w + mw´ (r ´ w),

ahol r a tömegpont helyvektora, ´ pedig vektoriális szorzatot jelent. Látjuk, hogy a vonatkoztatási rendszer gyorsulása és forgása miatt az inerciarendszerbeli F erőn túl a következő további négy "tehetetlenségi erő" is fellép:

 –mW: A vonatkoztatási rendszer egyenes mentén, W gyorsulással történő haladó mozgásának hatása a test mozgására egy homogén erőtér megjelenésével egyenértékű, mégpedig úgy, hogy a fellépő tehetetlenségi erő nagysága egyenlő a test tömegének és a W gyorsulásnak a szorzatával, iránya pedig a W gyorsuláséval ellentétes.

 mr ´ b : Ez az erő a forgás nemegyenletes voltával kapcsolatos, azaz akkor lép fel, ha a test w szögsebességvektorának nagysága és/vagy iránya időben változik. Az w mennyiséget szöggyorsulásvektornak nevezzük (ami a szögsebességvektor idő szerinti deriváltja). A szóban forgó tehetetlenségi erő iránya merőleges a test r helyvektorára és b szöggyorsulásvektorára.

 2mv ´ w: Ezt az erőt Coriolis-erőnek hívjuk, amely merőleges a test v sebességvektorára és a forgástengellyel párhuzamos w szögsebességvektorára, nagysága pedig 2mvsing, ahol g a sebesség- és a szögsebességvektor által bezárt szög. Gustave Gaspard Coriolis (1792–1843) francia mérnök és matematikus, aki 1835-ben publikált "Sur les équations du mouvement relatif des systémes de corps" (A testrendszerek relatív mozgásának egyenleteiről) című tanulmányában elsőként írta le a forgó testek mozgására ható, később róla elnevezett coriolis erőt, amely nagy jelentőségű például a meteorológiában, a ballisztikában és az oceanográfiában. A Földön a Coriolis-erő határozza meg például az általános szélirányokat, ez váltja ki a hurrikánok és a tornádók forgását. A Coriolis-erőt nehezen tudjuk megfigyelni. Ha viszont megpróbálnánk egy körhintán egy másik körhintázó társunknak egy tárgyat átdobni, azt tapasztalnánk, hogy a tárgy nem úgy röpül, ahogyan megszoktuk, s célt tévesztenénk, mintha egy titokzatos erő eltérítené. Ezt az oldalra való eltérülést lényegében a forgó rendszerekben mindig fellépő Coriolis-erő váltja ki.

mw´ (r ´ w): Ezt az erőt centrifugális erőnek nevezzük, amely az r és w síkjában hat, merőleges a forgástengelyre (azaz w-ra), az attól kifelé irányul, nagysága pedig mrw², ahol w a test távolsága a forgástengelytől. A centrifugális erőt bárki tapasztalhatja, aki például körhintába ül. Ez az az erő, amely a forgástengelytől kifelé "taszít" minket.

A Föld mint gyorsuló koordináta-rendszer

A Föld a Naprendszer egyik bolygójaként a rendszer tömegközéppontja (gyakorlatilag a Nap középpontja) körül kering. Pályája kis excentricitású ellipszis. Ha ezt körpályának tekintjük, azt mondhatjuk, hogy a Föld a Nap középpontja felé mutató a_F = r_FNw²_FN centripetális gyorsulással rendelkezik, ahol r_FN a Föld–Nap távolság, w_FN= 2p/1 év pedig a Föld Nap körüli keringésének szögsebessége. A Föld ezen kívül még egy, a Föld–Hold rendszer tömegközéppontja körüli keringő mozgásban is részt vesz, ami további a_H centripetális gyorsulást jelent. Ez utóbbi felelős a Föld felszínén a Hold által keltett, jól ismert árapályerőkért. Maga a Naprendszer is kering a galaxisunkban, ezért bizonyos a_N centripetális gyorsulással bír. A Föld w_F= 2p/1 nap szögsebességgel forog a tengelye körül. Főleg a Hold keltette árapálysúrlódás következtében az w_F igen lassan, de csökken. Őslénytani adatok alapján kimutatható, hogy a Föld forgási ideje, azaz a nap hossza a korábbi földtörténeti korszakokban rövidebb volt a jelenleginél. A földgolyó lapultsága (geoid alakja), tengelyferdesége (forgástengelyének az Ekliptika síkjával bezárt 66,5°-os szöge), valamint a Nap, a Hold és a bolygók árapályereje ill. árapály-forgatónyomatéka miatt a Föld, mint pörgettyű forgástengelye 25800 éves periódusú precessziót (körkúp mentén való egyenletes mozgást) és néhány tízezer év periódusú nutációt végez, azaz az Ekliptika síkjától mért szöge periodikusan ingadozik.

 A Föld a fentiek értelmében gyorsuló vonatkoztatási rendszernek számít, amelyben mind a négy tehetetlenségi erő fellép: a -mW erő a Naprendszer galaxisbeli a_N, valamint a Föld Naprendszerbeli a_F és a Hold árapályereje miatti a_F centripetális gyorsulása miatt (W = a_N + a_F+ a_H) az mr ´ b_F erő a Föld w_F szögsebességvektorának a precesszió, nutáció és a Föld forgásának lassú csökkenése miatti időbeli változása következtében, a 2mv ´ w_F Coriolis-erő és az mw_F´ (r ´ w_F) centrifugális erő pedig a Föld forgása miatt. Tekintettel a W és b_Frendkívül kicsi voltára, gyakorlatilag csak a centrifugális és a Coriolis-erő a számottevő a tehetetlenségi erők között. Ezért a továbbiakban csak e kettőt vesszük figyelembe a Földön, mint gyorsuló rendszerben.

A Föld forgásából eredő centrifugális erő hatása a dobósportokban

Ha a levegőnek az eldobott sporteszközre gyakorolt közegellenállását első közelítésként elhanyagoljuk, akkor elemi fizikai számításokkal is megbecsülhető a Föld forgásából eredő centrifugális erő hatása a dobósportokban. A Föld felszínén a forgásból származó a_cf centrifugális gyorsulás mindig a forgástengelyre merőleges, a tengelytől kifelé mutat, és felbontható egy, a Föld középpontjából sugárirányban kifelé mutató, vertikális a_v és egy erre merőleges a_d komponensre.

 A Földön a g(j) nehézségigyorsulás-vektor (ahol j az Egyenlítőtől fokban mért földrajzi szélesség: j > 0 az északi féltekén, j < 0 a délin) a g_N Newton-féle gravitációsgyorsulás-vektornak és az a_cf  centrifugálisgyorsulás-vektornak az eredője. Ebből következik, hogy a g(j) nehézségi gyorsulás csak a sarkokon és az Egyenlítőn mutat pontosan a Föld középpontja felé. A sarkokon a_cf zérus, az Egyenlítőn pedig maximális és éppen ellentétes irányú a g_N-nel, úgyhogy g(j) a sarkokon (j = ą90°) a legnagyobb, és az Egyenlítőn (j = 0° ) a legkisebb.

 A g(j)-t jó közelítéssel úgy kapjuk, hogy a_v-t levonjuk g_N-ből, vagyis a centrifugális gyorsulás hiányában a sarkokon mutatkozó gravitációs gyorsulásból. A Föld alakját az szabja meg, hogy felszínének mindenütt merőlegesnek kell lennie a g(j) irányára. Az e feltételnek megfelelő felület az úgynevezett geoid jó közelítéssel olyan forgási ellipszoid, amelynek fél nagy- és kistengelye a Földnek az Egyenlítőhöz, illetve a sarkokhoz tartozó R_e = 6378 km-es, illetve R_s = 6357 km-es sugara. Éppen e geoidnak köszönhetően a Földön sehol sem észlelhető a centrifugális gyorsulás a_d komponense.

 A sarkok kivételével (ahol a_v = 0) az a_v gyorsulás a g_N gravitációs gyorsulás hatását csökkenti, azaz megnöveli a röpülési időt és ezért a dobótávot is bármilyen irányba történt is a dobás. Ez a dobótávnövekmény a sarkoktól az Egyenlítő felé haladva egyre nagyobb, hiszen a_v nő a j csökkenésével.

 A fentiekből következik, hogy a centrifugális erő minden irányban azonos mértékben az Egyenlítőn módosítja a legnagyobb mértékben a dobótávot. A centrifugális erő hiányában a dobótáv az Északi- és a Déli-sarkon a legrövidebb, és fokozatosan nő az Egyenlítő felé közeledve az egyre nagyobb centrifugális erő miatt. Elemi fizikai becsléssel, a légellenállás elhanyagolásával levezethető, hogy a sarkokon és az Egyenlítőn elérhető maximális dobótávok közti különbség az L dobótávval egyenes arányban nő. Két azonos izomteljesítményű sportoló dobótávja közti eltérés elképzelhető maximuma DL^{centrifugális} _max ť L ˇR ˇ w²/g_N ť 344 ˇ 10^–3 ˇ L[m] a centrifugális gyorsulásból kifolyólag, ahol w = 7,2722 ˇ 10^–5 s^–1 a Föld forgásának szögsebessége, g_N = 9,83221 ms^–2, R = (R_e + R_s)/2 = 6,3675 ˇ10⁶ m. Ez L = 10 m-es, illetve 100 m-es dobótávnál DL^{centrifugális} _max  = 3,4 cm, illetve 34,4 cm-es különbséget jelent. Mindez a kalapácsvetés 1986-ban felállított, L = 86,74 m-es és a súlylökés 1990-ben felállított, L = 23,12 m-es férfi világcsúcsára az 1. táblázat szerinti hatással van.

Ezek a DL^{centrifugális} _max  értékek meglehetősen nagynak számítanak; gondoljuk meg ugyanis a következő szélsőséges esetet. Ha egy világbajnokságon valamelyik, Egyenlítőhöz közeli város stadionjában egy adott dobósportban valaki világcsúcstartó lett (akinek tehát segített az Egyenlítőn maximális nagyságú centrifugális gyorsulás), egy másik alkalommal viszont az Északi-sarkkörön túl (például valamelyik skandináv ország vagy Kanada valamelyik északabbi városában) lévő stadionban dobott a szóban forgó dobósport világranglistájának második helyezettje (akinek a dobását tehát alig segítette az Északi-sark közelében elenyésző centrifugális gyorsulás), akkor a világcsúcstartó egy 10 m-es, illetve 100 m-es dobás esetén közel 3 cm, illetve 34 cm-es előnyben volt a ranglista második helyezettjéhez képest. Ennyit köszönhet a világcsúcstartó a centrifugális erőnek a "második legjobb" sportteljesítményéhez képest, amennyiben mindketten ugyanakkora szögben, azonos magasságból és azonos kezdősebességgel hajították el sporteszközüket. Ha a kettejük regisztrált dobótávja közti különbség ennél kisebb, akkor valójában a második legjobb eredménye a világcsúcs, mert levonva a teljesítményükből a centrifugális erő hatását, a világcsúcsot dobó tényleges sportteljesítménye kisebb lesz, mint a mögötte állóé. A Föld déli féltekéjén ugyanez a helyzet.

 Összefoglalásként leszögezhetjük, hogy minél nagyobb (északi vagy déli) földrajzi szélességen történik egy dobás, annál kevésbé segít a sportolónak a Föld forgása miatti centrifugális erő az egyenlítői dobáshoz képest.

A Föld forgása miatt ébredő Coriolis-erő hatása a dobósportokban

A Coriolis-erő miatti gyorsulás a mozgó test sebességvektorán túl a helyi szögsebességvektortól függ. A j földrajzi szélességen a Föld mindig északra mutató w szögsebességvektorát felbonthatjuk egy, a földfelszínre merőleges, függőlegesen fölfelé mutató és egy, a felszínnel párhuzamos, vízszintesen északra mutató komponensre. Itt nem részletezhető, a légellenállást elhanyagoló analitikus becslés eredményeként a következőkre juthatunk.

 A Coriolis-erő kelet-nyugat irányban módosítja a legnagyobb mértékben a dobótávot, ami mindkét féltekén akkor a legrövidebb, ha nyugatra történik a dobás, fokozatosan nő a nyugattól mért szög függvényében, és keletre való hajításkor a leghosszabb. A keleti és nyugati irányú dobás hossza közti DL különbség az L dobótáv 3/2-ik hatványával egyenes arányban nő, az Egyenlítőtől mért j földrajzi szélességgel pedig megközelítőleg cosj függvény szerint változik. DL tehát az Egyenlítőn a legnagyobb. Két azonos izomteljesítményű sportoló dobótávja között a Coriolis-erő miatti eltérés elképzelhető maximuma

Ez L = 10 m-es, illetve 100 m-es dobótávnál DL^Coriolis _max = 2,1 mm, illetve 6,6 cm-es különbséget jelent. Mindez a férfi súlylökés és kalapácsvetés L világcsúcsára a 2. táblázat szerinti hatással bír.

 A Coriolis-erő láthatóan közel egy nagyságrenddel kisebb befolyással van a dobótávra, mint a centrifugális erő, de néhányszor 10 m-es dobásoknál már mérhetően érezteti a hatását. Így a centrifugális erőhöz hasonlóan a coriolis-erőt is figyelembe lehetne venni bizonyos dobósportokban, annál is inkább, mert a hatása elválaszthatatlan a centrifugális erőétől. Habár a fentiekben külön tárgyaltuk és becsültük meg a centrifugális és Coriolis-erő dobótávra való befolyását, valójában e két tehetetlenségi erő egyszerre, de eltérő módon és mértékben fejti ki hatását a repülő sportszerre.
 
 

IRODALOM
Koltjai Jenő & Szécsényi József (szerk.) (1998) Az atlétikai versenyszámok technikája: dobások. Egyetemi jegyzet, Magyar Testnevelési Egyetem, Budapest
Hay, J. G. (1985) Biomechanics of Sports Techniques. 3rd ed., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J.
Heiskanen, W. A. (1955) the Earth's gravity. Scientific american 193(3), 164–174
Horváth Gábor, Juhász András & Tasnádi Péter (1989) Mindennapok fizikája. Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar, Továbbképzési füzetek 10. Fizika, Budapest
Hubbard, M. (1989) The throwing events in track and field. in: Biomechanics of Sport. (Vaughan, C. L., ed.) CRC Press Inc., Boca Raton, Florida, pp. 213–238
Landau, L. D. & Lifsic, E. M. (1974) Elméleti fizika I. Mechanika. Tankönyvkiadó, Budapest
Maróti Péter, Berkes László & Tölgyesi Ferenc (1998) Biophysics Problems. A Textbook with Answers. Akadémiai Kiadó, Budapest
Megede, E. and Hymans, R. (eds) (1991) Progression of World Best Performances and IAAF Approved World Records. International Athletic Foundation
Mindszenty János & Mátraházi Imre (1995) Az atlétika nemzetközi és hazai versenyszabályai. Magyar Atlétikai Szövetség, Budapest
Mizera Ferenc (1999) Dobósportok a forgó Földön. Hogyan befolyásolja a dobótávot a Coriolis- és a centrifugális erő? Diplomamunka, ELTE TTK Biológiai Fizika Tanszék, Budapest (témavezető: Horváth Gábor)
Tasnádi Péter, Juhász András & Horváth Gábor (1994) Fizika körülöttünk. Múzsák Kiadó Reál Szerkesztősége, Budapest

2. rész. A centrifugális és a Coriolis-erő hatása

A centrifugális és a Coriolis-erő dobótávra kifejtett hatásának számítógépes vizsgálata

Azért, hogy a problémát elemi matematikával is kezelni tudjuk, eddig a számítások során azzal az egyszerűsítő feltevéssel éltünk, hogy eltekintettünk a levegő és az eldobott sporteszköz kölcsönhatásától. Úgy vettük, mintha a súlygolyó és a kalapács légüres térben röpülő tömegpont lenne, vagyis elhanyagoltuk a levegő közegellenállását. Ezen egyszerűsítés ellenére a fenti becslések jól érzékeltetik a Coriolis- és a centrifugális erő főbb hatásait a dobótávokra: hogy miként függenek ezek a hatások a földrajzi szélességtől, és miként változnak az eltérő égtájak irányában történő dobások során.

 Annak érdekében, hogy a centrifugális és Coriolis-erő dobótávot módosító hatását pontosan meghatározzuk, számítógépes programot írtunk, amellyel a szakirodalomban eddig végzett hasonló vizsgálatoknál is pontosabban tudtuk a problémát tanulmányozni. A dobósportok közül csak a kalapácsvetéssel és a súlylökéssel foglalkoztunk, mert ezeknél egyszerűbben végezhetők el a röppályaszámítások. A gerelyhajításnál és a diszkoszvetésnél a röpülő sporteszközre ható aerodinamikai erőknek nagy a hatása, és azt csak igen bonyolult számításokkal lehet követni.

 A hajításoknál valójában oly sok minden befolyásolja a dobóhosszat, hogy ha minden lényeges tényezőt figyelembe akarunk venni, olyan bonyolult mozgásegyenletek adódnak, amiket analitikusan nem lehet megoldani, csak számítógép segítségével, numerikusan. Az alábbiakban sorra vesszük azokat a tényezőket, amelyek befolyásolják a dobóhosszat, s számítógépes vizsgálataink alapján megadjuk, mekkora eltérést okoznak a férfi súlylökés és kalapácsvetés világcsúcsnak számító dobótávjában.

 (1) A szél sebessége és iránya. Ez egyértelműen az egyik legnagyobb jelentőségű tényező; a közegellenálláson túl a legnagyobb hatása a szélnek van (1. ábra). A szél hatása akkor a legnagyobb, ha a dobás irányával párhuzamos; oldalirányú szél csak kis változást okoz a dobótávban. Ha a szél nem dobásirányú, akkor a szélsebességnek a dobásiránnyal párhuzamos komponense számít. Kalapácsvetésnél már egy viszonylag gyenge, 2 m/s-os, dobásiránnyal párhuzamos szél is 30–40 cm-nyi eltérést okoz a dobótávban, súlylökésnél pedig 4–5 cm-nyit a szélcsendhez képest. Az 1. ábrán látható, hogy a szél sebessége nemlineárisan befolyásolja a dobótávot. Ha a sportszert hátszélben dobjuk el, nem repül annyival messzebbre, mint amennyivel az ugyanolyan sebességű szembeszél rövidítené a dobótávot. Minden bizonnyal nem egy esetben  köszönhették a nyertes sportolók győzelmüket a szerencsés szélnek. Diszkoszvetésnél és gerelyhajításnál a szélnek még nagyobb a hatása; még a stadionon belüli szélirányváltozások is befolyásolják a dobótávot. A szerencsés és ügyes sportolók ezt jól ki is tudják használni.

 (2) Légellenállás. Ha nem lenne légellenállás, akkor a férfi kalapácsvetés 1986-os L = 86,74 m-es világrekordjánál a kalapács légüres térben 89,15 m-t röpült volna (2,8%-nyi eltérés). Férfi súlylökésnél az 1990-es L = 23,12 m-es világcsúcs légüres térben 23,27 m-es lenne (0,6%-nyi eltérés).

 (3) Légnyomás. A légnyomás közvetve, a levegő sűrűségén keresztül hat a dobótávra (2. a ábra). Kisebb légnyomás esetén a dobótáv jelentősen megnőhet. Adott helyen a légnyomás ingadozása az időjárási viszonyok miatt általában csak viszonylag szűk határok között mozog, mindössze kb. 2%-nyit ingadozik, így igazán jelentős eltéréseket csak a tengerszint fölötti magasság miatti légnyomásváltozás okoz.

 (4) Léghőmérséklet. A levegő hőmérséklete szintén a légsűrűségen keresztül befolyásolja a dobótávot, nincs azonban akkora jelentősége, mint a légnyomásnak (2.a ábra). Például a kalapácsvetés L = 86,74 m-es világrekordja 86,89 m-es lenne, ha 20 °C helyett 40 °C-on dobnák.

 (5) Tengerszint fölötti magasság. A tengerszint fölötti magasság több úton is közvetve befolyásolja a dobótávot (2.b ábra).

 (5a) A tengerszint fölötti magassággal csökken a nehézségi gyorsulás értéke. Ennek két következménye is van. (i) Kisebb lesz az eldobandó sporteszköz súlya, s így a sportoló nagyobb kezdeti sebességgel lesz képes azt elvetni. (ii) A kisebb gravitációs térben röpülő sportszer messzebbre száll. Ezek az effektusok a kalapácsvetés világrekordját 3500 m-es magasságon mintegy 8 cm-rel növelnék, a súlylökést pedig 2 cm-rel.

 (5b) A tengerszint fölötti magassággal csökken a légnyomás. A tengerszint fölötti magasságnak ez a legjelentősebb tényezője. Emiatt a kalapácsvetés dobótávja 3500 m-es magasságon majdnem 1 m-rel is több lehet, a súlylökésé pedig mintegy 6 cm-rel is hosszabbodhat.

 (5c) A tengerszint fölötti magassággal a léghőmérséklet csökken. A léghőmérséklet magasság miatti (közel 6 °C-os kilométerenkénti) csökkenésének hatása a dobótávra elhanyagolhatóan csekély más lényegesebb hatásokhoz képest.

 (6) Földrajzi szélesség. A földrajzi szélesség változásának a Föld forgása keltette centrifugális erő változása miatt viszonylag jelentős a befolyása a dobótávra (3. ábra): például a g nehézségi gyorsulás centrifugális erő miatti 0,5%-nyi eltérése a kalapácsvetésben mintegy 40 cm-rel, a súlylökésben pedig közel 10 cm-rel változtatja a dobótávot.

 (7) Dobásirány. Az égtáj szerinti dobásirány a dobás távolságát a Coriolis-erő miatt befolyásolja (3., 5. ábra). A férfi kalapácsvetés, illetve súlylökés 1986-os, illetve 1990-es világrekordjára számítva a Coriolis-erő miatti maximális dobótáveltérés kalapácsvetésnél 4 cm, súlylökésnél pedig 8 mm. Az 5. ábra szerint az sem mindegy, hogy ugyanazon a versenyen a kalapácsot a 40°-os nyílásszögű dobószektor jobb vagy bal széle irányában vetik-e, illetve hogy milyen égtáj felé néz a szektor középvonala. Ha a dobószektor északra vagy délre néz, akkor a bal és jobb szélei irányában történő kalapácsvetések hosszának különbsége maximális, s majdnem eléri az 1,5 cm-t.

 (8) A pálya lejtése. Minden gondosság ellenére előfordulhat, hogy a sportpálya nem eléggé vízszintes. A pálya maximális megengedhető lejtését szigorú szabályok korlátozzák. Valóban szükség van a pálya korrekt ellenőrzésére, hiszen a súlygolyó és a kalapács közel 45°-os szögben ér talajt, így ha a pályának például 5 cm lejtése van a dobótáv irányában, akkor a súly vagy a kalapács 5 cm-rel tovább röpülhet vízszintesen is. A Nemzetközi Amatőr Atlétikai Szövetség (International Amateur Athletic Federation) szabályzata szerint súlylökésnél és kalapácsvetésnél a dobószektor lejtése nem lehet nagyobb a dobótáv egy ezrelékénél. Egy 20 m-es súlylökésnél, illetve 80 m-es kalapácsvetésnél tehát a pályának mindössze 2 cm-es, illetve 8 cm-es lejtése engedhető meg.

A súlylökés és a kalapácsvetés világcsúcsainak időbeli alakulása

A 4. ábra a női és a férfi súlylökés és kalapácsvetés világcsúcsainak alakulását szemlélteti az idő függvényében. Megállapítható, hogy az egymást követő világcsúcsok különbségei tendenciózus csökkenést mutatnak, és manapság DL_világcsúcs már csak néhány cm a női és férfi súlylökésben, és csupán néhány dm a férfi kalapácsvetésben. Mindez, valamint az a tény is, hogy e világcsúcsokat csaknem egy évtizede nem döntötték meg, mutatja, hogy e két dobósportágban az atléták már megközelítették az emberi teljesítőképesség határát.

Fenti elméleti megfontolásaink, fizikai becsléseink és pontos számítógépes vizsgálataink alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy a Föld forgása keltette centrifugális és a Coriolis-erők miatt a földrajzi szélesség és az égtáj szerinti dobásirány változásai következtében a súlylökés és a kalapácsvetés dobótávjainak változásai közel akkorák, sőt olykor nagyobbak is, mint az egymást követő világcsúcsok különbségei. Véleményünk szerint a Föld forgásának a dobótávra kifejtett ekkora mértékű hatását nem szabadna elhanyagolni, különösen nem a világrekordok hitelesítésénél, hiszen a világranglista élmezőnyében a küzdelem mára már igen szorossá vált (4. ábra). Az is elképzelhető, hogy a jelenség figyelembevételével módosulna a ranglista.
 
 
 

Hogyan lehetne a jövőben tekintettel lenni a Föld forgására a dobósportokban?

Láttuk, hogy ha egy súlylökő vagy kalapácsvető szélcsendes időben eltérő j földrajzi szélességeken lévő stadionokban különböző a irányokba, de azonos kezdősebességgel, azonos magasságból és a vízszinteshez képest ugyanakkora szögben dobja el sporteszközét, akkor az általa kifejtett azonos sportlétesítmény ellenére a  j-től és a-tól függően kisebb-nagyobb mértékben el fog térni a mm-es pontossággal mért és kerekítéssel cm-es pontossággal megadott dobótávja, s így a regisztrált sportteljesítménye is a Föld forgásából származó Coriolis- és centrifugális erők miatt. Mindez mutatja, hogy ha a dobósportok versenyei során nincsenek tekintettel a Coriolis- és centrifugális erő dobótávot módosító hatására, akkor a világranglisták megkérdőjelezhetők, mert nem a valós sportteljesítményeket mérik. Ekkor a különböző földrajzi szélességeken lévő stadionokban eltérő irányokban történt dobások eredményeit egyszerűen nem lehet összehasonlítani. A stadionok földrajzi fekvésének és a dobópályák irányulásának ismeretében utólag legföljebb csak azt lehetne kideríteni, hogy a világranglista sportolóinak segített-e a Coriolis- és centrifugális erő, vagy éppen hátráltatta őket.

 Számításaink eredményeképpen javasolható, hogy a jövőben érdemes lenne figyelembe venni a dobótávoknál a tehetetlenségi erők miatt fellépő módosulásokat. A Coriolis- és centrifugális erő dobótávot módosító hatásait a jövőben csak akkor lehetne elkerülni, ha a dobósportokat az északi vagy a déli féltekén mindig ugyanazon a földrajzi szélességen fekvő sportpályákon bonyolítanák le úgy, hogy a dobások iránya is mindig ugyanaz lenne. Ez az eljárás azonban sportdiplomáciai és gazdasági okok miatt a gyakorlatban kivitelezhetetlen, és nem oldja meg például a légköri viszonyok változásai miatti eltérések kiküszöbölését sem. Az alább ismertetésre kerülő hajítási korrekciós térképek használata egy lehetőség a tehetetlenségi erők és más környezeti tényezők (pl. szél, légnyomás, léghőmérséklet, tengerszint fölötti magasság) dobótávra kifejtett hatásainak figyelembevételére.

 Számításaink lehetővé teszik, hogy e környezeti hatásokat kvantitatívan is jellemezzük. Ez azt jelenti, hogy ha közvetlenül nem is lehet összehasonlítani a különböző körülmények (légköri viszonyok és földrajzi helyzet) között történt dobásokat, készíthetünk egy olyan szabályt, ami alapján a megmért dobótávot korrigáljuk, vagyis átszámoljuk egy standard körülmények között kapott eredményre. Ezzel már fizikailag pontosabban tudnánk a dobósportteljesítményeket összehasonlítani. Igazságosabb lenne nem a mért dobótávot, hanem az így korrigált távot elfogadni mint a sportoló valódi egyéni teljesítményét. Láthattuk, hogy a tárgyalt jelenségek közül többnek is akkora befolyása van a dobótávra, hogy az összemérhető az egymást követő világcsúcsok eltéréseivel. Hogyan lehetne mégis figyelembe venni ezeknek a tényezőknek a hatásait egy igazságosabb eredmény kialakításának érdekében?

 Vegyük először a légköri viszonyokat, például a szél irányát. Meg lehetne mérni, hogy a dobás irányába eső szél sebessége mekkora, s a dobótáv megmérése után videofelvételek számítógépes kiértékelésével ki lehetne deríteni, hogy mekkora volt az eldobott sportszer kezdősebessége. Fel lehetne egy olyan matematikai formulát írni, amelybe mindössze be kellene helyettesíteni a szélsebességet, a dobótávot, a vetési szöget és a vetési magasságot, s az eredmény megmondaná, hogy hány centiméterrel kellene módosítani a dobótávot, hogy megkapjuk a szélcsendre vonatkozó értéket. Hasonlóan járhatnánk el a légnyomás és léghőmérséklet figyelembe vételénél is. Egy másik formula megmondaná, hogy hány cm-rel kellene változtatni a dobótávot, hogy megtudjuk például a tengerszintre, normál légköri nyomásra, 20 °C-ra vonatkozó dobótávot. E módszer alkalmas lenne arra is, hogy a tengerszint fölötti magasságbeli különbségeket is igazságosan kezelni lehessen, ami nagyon hasznos lenne, hiszen például a mexikói olimpia kapcsán már sok olyan megjegyzést hallhattunk, hogy a sporteredményeket mennyire jelentősen befolyásolja a tengerszint fölötti magasság.  [...]

5. ábra. A 40°-os nyílásszögű dobószektor bal és jobb szélére szállított dobótávok különbsége a szektor felező egyenesének északtól mért iránya függvényében kalapácsvetésnél

A fenti eredményekből az is látszik, hogy a súlylökés és a kalapácsvetés esetén a földrajzi szélesség és az égtáj szerinti dobásirány változásának hatását nem nyomják el a dobótáv más környezeti tényezők (pl. tengerszint fölötti magasság, légnyomás, léghőmérséklet) változása miatti módosulásai.

 Cikkünkben részletesen csak a két legkönnyebben modellezhető dobósportággal, a súlylökéssel és a kalapácsvetéssel foglalkoztunk. A Föld forgása természetesen a másik két olimpiai dobósportág, a gerelyhajítás és a diszkoszvetés dobótávjait is módosítja a dobóhosszal közel arányosan. Ezt azonban elmossa a sokkal nagyobb aerodinamikai hatás.

 A pörgés által stabilizált diszkoszon aerodinamikai felhajtóerő ébred. A helyesen elhajított diszkosz szimmetriatengelyének mint forgástengelynek az iránya a stabilitás miatt a légellenállás befolyása ellenére is közelítőleg változatlan marad. A korong ezért a röppálya leszálló ágában a légellenállás irányához képest hasonló helyzetű, mint a repülőgépek szárnyfelülete, és az így ébredő aerodinamikai felhajtóerő miatt lényegesen messzebbre röpül a hajítási parabolának megfelelő távolságnál. A gerely hossztengely körüli forgása miatt mintegy befúródik a levegőbe. A helyesen, hossztengelye körül erősen forgásba hozottan elhajított gerely tengelye a gerely helyzetével változó légellenállás miatt bonyolult precessziós mozgást végez. Ennek eredményeképpen a tengely közelítőleg mindig a röppálya irányába mutat, úgyhogy a gerelyrúd a csúcsával ér célba, de a függőleges hajítási síktól oldalirányban is kissé kitér.

 Ezek az aerodinamikai hatások tehát a gerely és a diszkosz oldal irányú eltérülését, valamint a dobótáv akár több méterrel történő hosszabbodását vagy rövidülését eredményezik. Talán a gerelyhajításnál és a diszkoszvetésnél is eljön az az idő, amikor az egymásra következő világcsúcsok közti különbségek nem lesznek nagyobbak, mint a Föld-forgás dobóhosszra kifejtett hatása, s ekkor célszerű lenne, ha a világcsúcsnak számító dobótávok hitelesítésénél figyelembe vennék a centrifugális és a Coriolis-erő befolyását is.

Köszönetnyilvánítás: Munkánkat a Magyar Felsőoktatásért és Kutatásért Alapítvány Magyary Zoltán posztdoktori ösztöndíja és a Magyar Tudományos Akadémia Bolyai János kutatói ösztöndíja tette lehetővé. Köszönjük Prof. Szécsényi Józsefnek (Magyar Testnevelési Egyetem, Budapest), Horváth Ákosnak (Department of Atmospheric Physics, University of Arizona, Tucson, USA) és Németh Péternek (Országos Meteorológiai Szolgálat, Budapest) a munkánk során nyújtott segítséget.