Abonyi Iván

A bolognai cseppektől a lökéshullámok kialakulásáig


 „...minden mily könnyen pattan szét, tudta ezt most, vagyis ott volt a tagjaiban ez a kényesség,
ez a bolognai-üvegcse-természete minden jó órának, mely hull – és porrá törik"
(Heimito von Doderer: A Strudlhof-lépcső)

Ki gondolná, hogy egy teáskanálban megolvasztott, majd vízbe ejtett és ott megszilárduló üvegcsepp – a bolognai csepp – különös tulajdonságai elvezethetnek bennünket a hidrodinamika lökéshullámaihoz, sőt még tovább, a bolygóközi tér magnetoszferájához is. Ugyebár furcsa, hogy a megszilárdult üvegcsepp, a levegő vagy a bolygóközi tér anyaga egyetlen cikk tárgykörét képezheti, hiszen szembeszökő, sőt elbátortalanító, hogy ezek az anyagfajták mennyire különbözőek lehetnek egymástól!

A kis kaland, amelyben az európai kontinensen bolognai cseppként ismert üvegdarab tudományos pályafutását elkezdte, úgy indult, hogy egy mozgékony bajor herceg, akit Rupertnek hívtak (1616–1682), II. Károly angol királyt (1630–1685) uralomra lépése után úgyszólván azonnal megajándékozta egy halom érdekes, csillogó üvegdarabbal. Ekkortájt az üveg még nem volt olyan közönséges használati anyag, mint ma. Főleg ezek a csepp alakú, talán 3-6 cm hosszú, esőcseppekhez hasonló tárgyak nem, amelyek fura viselkedésükkel hívták fel magukra a figyelmet. Olyannyira, hogy az angolok ma is Rupert herceg könnycseppjeinek nevezik ezeket – ha egyáltalán előkerülnek.

A bolognai cseppek – Rupert herceg könnycseppjei

Ahhoz, hogy egy kicsit belelássunk a bolognai cseppek képességeibe – vagy inkább abba a jelenségkörbe, amelyet furcsa viselkedésükkel előidéznek – nézzük meg, hogyan készülhetnek ezek a cseppek.

 Már most, előre figyelmeztetjük a kíváncsi és tettre kész olvasót, nem azt akarja a cikk, hogy önök mindenáron kísérletezzenek vele – mert hamarosan meglátják, eléggé veszélyes kis jószágok ezek az üvegcseppek, főleg az óvatlan ember kezében!

 Ha egy fanyelű vaskanálban üvegcseppeket melegítünk egészen addig, amíg meg nem olvadnak, majd vigyázva egy nagyobb befőttesüveg vagy vödör vízbe öntjük a kanál tartalmát, máris kész a bolognai csepp. Fáradozásunk eredménye az lesz, hogy a vízbe érő üvegcsepp külső burkolata azonnal megdermed, lehűl a vízben. Ez azzal jár, hogy az üvegcsepp burkolata a megszilárdulásakor összehúzódik. De mert az üveg rossz hővezető, a csepp belsejének lehűlésére még várni kell egy kicsit. S minthogy olvadék esett a vízbe, nem csoda, hogy alakja tipikus cseppforma, a haladás irányában széles, gömbölyű, hátul pedig elvékonyodó, legtöbbször hosszú „farkincája” van. Nevezetes azonban, hogy míg a csepp vastag része meglehetősen ellenálló, meglepően nagy súlyok nyomását is kibírja, a hegye borzasztóan érzékeny. Ezt az érzékenységet egy pohár vízzel mutathatjuk be. A vizespoharat egy nagyobb, szintén átlátszó tartályba helyezzük. A bolognai cseppet egyik kezünkkel – egy lapos fogó segítségével – tartjuk a vízben, a másik kezünkben lévő fogóval a csepp keskeny nyakát (a víz alatt!) eltörjük. Az észlelt robaj után megkérdezzük nézőinket, mi is történt. Normális esetben azt látjuk, hogy a pohár nagy robajjal összetörik – pedig azt senki sem bántotta. A cserepek a külső tartályban fekszenek. Ha van még bolognai csepp a birtokunkban, egy másik pohár vízzel gondosan megismételhetjük a kísérletet. Majd elgondolkozunk, mi is történik.

Vermes Miklós tanár úr is be szokta volt mutatni ezt a kísérletet. Másodszor azonban a bal kezében tartotta a cseppet, a keskeny részével felfelé és – természetesen – összezárt ujjakkal. Kinyújtott karját úgy tartotta, hogy a félgömb lefelé nézzen. A hallgatóság az első látványos kísérleten felajzva várta, hogy most mi lesz. A tanár úr a jobb kezében lévő fogóval elpattintotta a cseppet, aminek hatására a csepp darabjai lefelé záporoztak. A csoda az, hogy a tanár úr kezei sértetlenek maradtak, jeléül annak, hogy a szabad térben a robbanás nem oldalra, hanem előre (lefelé) veti a darabokat. A vízben persze minden más: ott a nyomás egyenletes tovaterjedése érvényesül.

1. ábra. A bolognai csepp nem más, mint hirtelen, esés közben megszilárdult üvegcsepp




 A bolognai csepp elkészülése során először a vaskanálból az üvegolvadékot a hűtőfürdőbe cseppentettük. A vízbe eső csepp estében már olyan alakú, ahogyan azt az 1. ábrán látjuk. Az üvegolvadék és a víz nem keveredik, ezért az olvadékcsepp a vízben gyorsan megdermed. A külső burok úgyszólván azonnal lehűl, megszilárdul, és ez a szilárd burkolat felveszi a hűtőfolyadék hőmérsékletét. A megszilárduló burok összeszorul, mert a lehűlés során nem marad olyan tág, mint forró állapotban volt. Az üveg azonban rossz hővezető: a csepp belseje még hosszabb ideig forró marad, és ezt szorítja össze a szűkülő burok. Világos, hogy a kihűlt bolognai csepp ellenálló része a vastag, míg az érzékeny, már kis hatással is megsérthető része a hosszú vége. Ha mármost valaki ezt a feszültséggócos cseppet megsérti a hosszú végén, az összefüggő burok megreped, és a felhalmozott belső feszültséget nem képes tovább kordában tartani. A feszültség akkora lehet, hogy az összenyomhatatlan vízben terjedő nyomásának a pohár fala sem tud ellenállni.
 

De hol maradt a tudományos magyarázat?

A fentiek mindössze a kísérlet valamelyest pontos leírását jelentik, amit akár az ezerhatszázas évek szövegeként is elfogadhatunk, mint tényleírást. A megajándékozott II. Károly tényleg mozgósította az akkortájt alakuló királyi tudományos társaságot, s a londoni Royal Society nekilátott az üvegcseppek titkainak tanulmányozásához. Robert Hooke (1635–1703) még az akkor kezdetleges mikroszkópokkal is vizsgálta a cseppeket. Jelentése mégsem minősült átütő eredménynek. Valami olyasmit ismételgetett, hogy az üvegcsepp gyors lehűlése bent hatalmas feszültséget halmoz fel, amit a csepp burkolata a boltívekéhez hasonló elvek alapján képes együtt tartani, és hacsak egy téglát is kiveszünk az ívből, akkor az látványosan összeomlik.
 Hooke „magyarázata” jó irányban indul, de nem jut elég messzire. A csepp vastag részének „rettenetes” erejét csak az 1920 utáni években magyarázta meg valahogy J. Littleton és F. Preston. Az igazi magyarázat Munawar Chaudhri (Cambridge Egyetem, Nagy-Britannia) és Subrahmanyan Chandrasekhar (Purdue Egyetem, Indiana, Amerikai Egyesült Államok) vizsgálataiból született meg 1994-ben.

 Eszerint a bolognai csepp külseje a vízbe ejtéskor gyorsan lehűl és összehúzódik, míg a belső nehezen hűl és sokkal lassabban csökken a térfogata. Ezeket a globális – és ismert – megállapításokat most Chaudhri és Chandrasekhar az egymást 0,4 mikroszekundumonként követő és másodpercenként mintegy félmillió felvételre képes gyorsfényképező berendezés használata után tehették. De jelentősen tovább is mentek. A cseppek anyaga kísérletükben nátrium-karbonát és mész volt; ezek a „szokvány” üveg alkotóelemei. A cseppek hossza kb. 5 cm,  a félgömbök átmérője kb. 1 cm volt. A csepprobbanás elősegítése érdekében kis mennyiségben ólom-azidot – Pb(N3)2 –, instabil vegyületet adtak az üvegolvadékhoz, ezzel tudták ugyanis a csepprobbanás idejét egy mikromásodperc alá szorítani, hogy a gyorskamerát szinkronizálhassák.

 A gyorskamerás vizsgálat eredménye a következő volt. A csepp végét érő sérülés legalább 7000 km/óra sebességgel – a Concorde sebességének háromszorosával – halad a csepp feje felé. Ennek a gyors repedésnek a következtében a csepp sajátos szerkezetében felhalmozódott energia felszabadul, a hirtelen megszűnő külső kényszer megengedi a túlnyomott üveg rendkívül gyors tágulását, a „sérülés” – a megfigyelések szerint – a fej felé haladtában mintegy megfelezi, majd ismét megfelezi az előtte álló darabokat, és ez így megy ismételten, ameddig csak van a „sérülés” előtt anyag. Az osztódás során a szétváláskor felszabaduló energia eleinte alig észrevehetően csökken. Ha még hozzávesszük, hogy a folyamatot e sajátos „időmikroszkóp” milyen mértékben lelassított formában tárja elénk – a kb. 5 cm utat a hatás mintegy 7000 km/óra, vagyis közelítőleg 2 km/s sebességgel teszi meg –, azt mondhatjuk, hogy a robbanás „pillanatnyi”, legalábbis a méreteknek megfelelő közelítésben!

 Levonható tehát az a következtetés, hogy a robbanás előrehaladtakor a folyamat ismételten kettéágazik a feszültségtől felszabaduló üvegcseppben, a folyamat belül gyors és ismétlődő bifurkáció (kettéágazás, 2. ábra). A vizsgálat azt is mutatja, hogy a folyamat előrehaladási sebessége lassan mintegy a tizedére csökken, mire a front eléri a belső feszültség tartományának a határát, vagyis azt a felületet, amely elválasztja a cseppben a külső, összenyomó réteget a csepp belsejétől.

2. ábra. A bifurkáció, az ismételten kettéágazó folyamatok egymásutánja okozza a sérült bolognai csepp hirtelen robbanását

 Elmondhatjuk tehát, hogy a csepp robbanása rendkívül gyors folyamat, egymást követő bifurkációk sorozata, és a csepp anyagában nem lökéshullám lép fel. A cseppből felszabaduló kompressziós energia terjedése a vízben már más folyamat. A vízben hirtelen megjelenő, lényegében egyszeri nagy nyomás okozta lökés, vagy lökéshullám külön elemzést érdemel!

Különböző hatások terjedési mechanizmusa a hidrodinamikában

A hidrodinamikai közegek, mint a víz, azzal tűntek ki a kutatók előtt – már a Newton (1642–1727) utáni generáció számára is –, hogy érdekes módon ezeket folytonos eloszlásúnak tekinthették. Nem szabad megharagudni a hidrodinamika megalapozóira azért, mert nem vették komolyan, hogy a hidrodinamikai közegek atomos szerkezetűek. Ez a vélekedés akkor inkább filozófiai jellegű lehetett, mintsem az éppen komolyan kialakuló természettudománynak megfelelő, ahol a kísérletek eredményei jelentették az elme számára a legfőbb támaszt. Az atomos szerkezet komoly tudományos elemzése még egy jó évszázadig váratott magára.

 Az áramló anyagok mozgástörvényeit hamar felismerték. Kiderült, hogy a folyadékok jellemzésére szükséges a sűrűség, ami a térfogategységben lévő anyag mennyisége. S mert hébe-hóba nemcsak a víz szerepelt a problémákban, magától értetődött, hogy a sűrűség a hely és az idő függvénye is lehet. Hasonlóan a közeg nyomása is helytől és időtől függő mennyiség, amelynek a sűrűséggel való kapcsolatát az állapotegyenlet teremti meg. Bonyolultabb esetekben még a hőmérsékletre is szükség lehet, ahogyan a XVIII. és a XIX. század fordulóján az állapotegyenletek speciális alakját Joseph-Louis Gay-Lussac (1778–1850) felfedezte. Hamarosan kiderült, hogy a sűrűség és a nyomás közti kapcsolat, amelyet Boyle (1627–1691) és Mariotte (1620 k.–1684)  ismert fel, valamint a hőmérséklet Gay-Lussac által feltárt szerepe egyesített gáztörvénybe foglalható. (A további előrehaladástól most eltekintünk).

 A folyadékokról már a kezdeti felfedezések során kiderült, hogy nemcsak áramolhatnak, tehát a helytől és időtől függő sebességterük lehet lényeges, hanem az állapotuk is változhat az áramlás során. Az állapot termodinamikai viselkedésre utal, de mi most megelégszünk a fejlődés kezdeti szakaszával, amikor a hőmérsékletváltozás lehetőségét figyelmen kívül hagyjuk.

 Ilyen körülmények között a felvilágosodás korára már ismertté váltak a hidrodinamika általános mozgástörvényei. A törvények megfogalmazásának érdemein Leonhard Euler (1707–1783) és Daniel Bernoulli (1700–1782) osztozik elsősorban. Ezek a törvények az anyagmegmaradást kifejező „kontinuitási egyenlet”, a tulajdonképpeni mozgásegyenlet (ami a folyadékelem impulzusának tér- és időbeli változását adja meg a külső és belső erők sűrűségének hatására) és a folyadék termodinamikai állapotának változásait leíró „állapotegyenlet”. Miként ezek az úttörők is sajnálkozással megállapították, a hidrodinamikai mennyiségek együttese, a sűrűség, a nyomás és a három sebességkomponens meghatározására ténylegesen megvan az öt parciális differenciálegyenlet (megadható még a szükséges kezdeti feltétel és a határ-, illetve peremfeltételek rendszere), mégis elszomorító, hogy az egyenletrendszer általában nem lineáris, ami csaknem áthághatatlan akadályokat jelent akár még ma is az egzakt megoldásokat keresők számára.
 A legegyszerűbb esetekben a megoldás még megadható. De ha a probléma egy kicsit is „emberközeli”, pl. a hang terjedése a közegben, ijesztő bonyolultság tárul elénk. Szerencsére, úgyszólván a törvények megfogalmazásával egy időben, megjött a segítség is. Jean le Rond d’Alembert (1717–1783) – aki többek között a nagy francia Enciklopédia szerkesztője és részben szerzője, híres filozófus, az analitikus mechanika egyik nagy hatású megalapozója, a számunkra most érdekes hullámegyenlet feltalálója – jött rá arra, hogy a hidrodinamika törvényeiből némi elhanyagolással, vagyis közelítéssel le lehet vezetni a hullámegyenletet. Őt ez elsősorban a rezgő húr problémája szempontjából érdekelte. A hálás utókor viszont a hullámegyenletet nemcsak a húr, hanem például a levegőoszlopok rezgésére is, tehát igazi „hidrodinamikai” esetekre alkalmazta. D’Alembert ugyanis rájött arra, hogy ha a hidrodinamika általános egyenleteinek egy állandókból álló megoldásaihoz kis zavarokat teszünk – szokásos kifejezéssel: szuperponálunk –, akkor elérhetjük, hogy a zavar négyzete (vagy két zavar szorzata) már elhanyagolható kicsi legyen. Ebben a közelítésben, amit kis amplitúdójú közelítésnek nevezünk, az lesz a nyereség, hogy az így kapott egyenletek lineáris parciális differenciálegyenlet-rendszert alkotnak – amit aránylag könnyű megoldani. Ez főként azért lehetséges, mert az állapotegyenletből levezethető jelterjedési sebesség meglehetősen hosszú tartományban állandó.

 Nevezetes, hogy a d’Alembert-féle hullámegyenlet többféle elvi értelmezést enged meg. Az egyik az, hogy parciális differenciálegyenlet részletes megoldásaként tárgyalható a rezgések (periodikus zavarok) terjedése: a lehetséges rezgések frekvenciaspektruma, a szuperpozíció-elv (a rezgések összetételének lehetősége a lineáris kombináció elve alapján). A másik pedig az, hogy rá lehet mutatni, nemcsak periodikus folyamat, hanem lényegében egyszeri zavar tovaterjedése is értelmezhető. És ez az, ami most bennünket érdekel! Annál is inkább, mert még ennek az egyetlen lökésből álló megoldásnak a terjedési sebessége is leolvasható a differenciálegyenlet együtthatóiból, s kiderül, hogy ez a hangsebesség!

Mi is az a lökéshullám?

Lökéshullámnak nevezzük azt a folyamatot, amikor egyetlen zavar (a lökés) terjed a közegben. Azon érdemes elgondolkozni, hogy ezt a hirtelen vagy legalábbis gyors változást matematikailag hogyan írjuk le. A legegyszerűbbnek az kínálkozik, hogy a szóban forgó függvények valamely helyen vagy időben ténylegesen ugrásszerűen változnak, pl. t0 előtti időkben ilyen, t0 utáni időkben pedig olyan értéket vesznek fel. Ez a lehető legegyszerűbb matematikai modell az ugrásra, ami elég hirtelen, pillanatnyi hatás. Persze a régi és az új függvényérték között finom, meredek, de mégis folytonos változást is modellezhetünk. Csak az a kérdés, mikor mit érdemes csinálni. Az ideális folyadékok esetében, amikor az egyszerű termodinamikai viselkedést feltételezzük, és azt hisszük, hogy a folyadék és a tartály fala között sincsen számottevő kölcsönhatás, ez az eljárás még jól alkalmazható. Valóságos folyadékok esetében, ahol a folyadék részei, valamint a fal és a folyadék részei között valamilyen kölcsönhatást kell figyelembe venni, ez a modell esetleg már nem használható. Ekkor előfordulhat, hogy az ugrás valóban gyors és rövid úton lezajló folyamat, de mégsem szorítható egyetlen felületre – egy matematikai értelemben vett felületre –, hanem a változás egy véges vastagságú tartományban zajlik. De ezt a bonyolódást – szerencsére – az ideális folyadékok esetében még figyelmen kívül hagyhatjuk.

 Felmerül tehát a kérdés, lehetségesek-e az ilyen szakadási felületként elképzelt lökések az ideális folyadékok hidrodinamikájában. (Megjegyezzük, hogy a lökéshullám szóösszetétel – mintegy másfél évszázados múlt után – mára lökésre egyszerűsödött, hiszen a folyamat során csak egyetlen (vagy kevés) esetben van változás, azt pedig felesleges luxus lenne periodikus hullámjelenségként elnevezni. Még akkor is igaz ez, ha az ideális közegben a d’Alembert-egyenlet ilyen lökésszerű megoldását végtelen számosságú hullámforma megfelelő kombinációjaként akár elő is lehetne állítani.) Maradjunk tehát a lökés, vagy esetleg az erős szakadás elnevezésnél!

 Az erős szakadás vagy lökés az ideális hidrodinamikában tehát olyan térbeli felület, amelynek egyik oldalán a hidrodinamikai mennyiségek ilyen, a másik oldalán olyan értéket vesznek fel. Ezt a felületet a lökés frontjának nevezzük. Felmerül a kérdés, mit szól a hidrodinamika egy ilyen konstrukcióhoz, összeegyeztethető-e a lökés fogalma a mozgástörvényekkel, s ha igen, megtudhatunk-e valamit a front mozgási sebességéről?
 Talán természetes, ha még tovább egyszerűsítjük a viszonyokat, feltételezve, hogy a közeg nagyon nagy kiterjedésű. Ennek az lesz az előnye, hogy nem kell okvetlenül az áramlási tér geometriai tulajdonságait eleve figyelembe venni.

 A hidrodinamikai mennyiségek – most a sűrűség, a nyomás és a sebességkomponensek – a feltételezett front két oldala között ugrást végeznek. A lökésfront két oldala között az A hidrodinamikai mennyiség ugrását értelem szerint így írjuk:

[A] = (limA)1 – (limA)2;

ez az ugrási amplitúdó a két oldali határérték különbsége. Egyelőre nincs jelentősége annak, hogy melyik térfél az egyes, melyik a kettes indexű, csak valamennyi esetben egyformán kell elvégeznünk az eljárást. Ha valamennyi mennyiségnél végrehajtjuk a helyettesítést – ami a konkrét egyenletek bal (egyes) és jobb (kettes) oldali értékeinek különbségéből megtehető, az ugrási amplitúdókra megkapjuk az öt alapegyenlet megfelelő alakját, melyekből a rendszer belső tulajdonságai kiolvashatóak.

 Ezt a kiolvasást 1905-ben Zemplén Győző végezte el és hozta nyilvánosságra eredményeit Párizsban. Eredményét aztán hazánkban is közreadta „A lökéshullámok elméletéhez” című tanulmányában a Mathematikai és Physikai Lapokban. Következtetéseit a legjobban az ő szavaival idézhetjük: „…a gázokban csakis sűrítő lökéshullámok terjednek tova…” Vagyis a lökés csak arrafelé terjedhet, amerre kisebb a sűrűség értéke. „Hiszen … a lökéshullámnál a súrlódáshoz hasonló módon mozgási energia alakul át hővé, a ritkító lökésnél azonban az ellenkező folyamatnak kellene végbemenni, ez utóbbi azonban a termodinamika második főtétele értelmében lehetetlen … a hullámfronton átvonuló gáztömeg hőt vesz fel, tehát entrópiája növekszik, a gáz többi része adiabatikus változást szenved. A sűrítő lökéshullám átvonulása növeli az egész gáz entrópiáját. Megfordítva: a ritkító lökéshullám éppen csökkentené a gáz entrópiáját, ez azonban az említett második főtétel alapján lehetetlen.”

 Zemplén Győző tételének érvényességét a hidrodinamika valódi folyadékai vagy gázai esetében, sőt a bonyolultabb magnetohidrodinamikában is igazolták azóta a vizsgálatok. Legfeljebb most külön ki kell emelnünk Zemplén eredményei közül azt, amit eddig nem hangsúlyoztunk. Ideális gázban (folyadékban) a lökés frontja vagy áll a folyadékhoz képest, vagy a közegbeli hangsebességgel halad. A haladó lökéssel nincs probléma, de az alkalmazások között szóba kerül az álló lökésfront is.

A lökések és a bolognai cseppek különös kapcsolata

Mint említettük, a felrobbanó bolognai csepp folyamatában szó sincsen lökéshullámról. A lökés csak a csepp szétdurranása után lezajló folyadékfizikai küzdőtéren játszik szerepet, egy kicsit úgy, ahogy a d’Alembert-megoldáshoz fűzött második megjegyzésben mondtuk. Most különös fontossága van annak az ott kiolvasható megállapításnak, hogy a lökés terjedési sebessége a hangsebességgel egyezik meg! Ez a tulajdonképpen furcsa eredmény annak köszönhető, hogy az állapotegyenlet – akár a vízé, akár a levegőé – külön-külön meglehetősen széles nyomás- és sűrűségtartományban lassan és kitartóan ugyanolyan jellegű változást mutat, így a hang terjedési sebességében a különbség csak akkor jelentkezik, ha a vízről vagy a levegőről beszélünk.

 A lökések kialakulásának tanulmányozásában már Bernhardt Riemann (1826–1866) a XIX. sz. közepe táján rámutatott arra, hogy a nagy amplitúdójú zavarok tipikus torlódási jelenségek során lökést hoznak létre. Riemann a felmerülő számítási nehézségek miatt egydimenziós folyadékáramlást tanulmányozva mutatott rá erre a folyamatra. Az azóta eltelt idő rendkívüli mértékű fejlődése meglehetősen kiszínezte a tanulmányozott folyadékok és gázok térképét. Számunkra most az az irányzat fontos, amelyik azzal a közeggel foglalkozik, ahol a Nap körül a Föld bolygó kering. Ennek a térrésznek a szereplői nemcsak a Nap meg a Föld,  hanem a kifelé áramló napszél (ionizált gáz), a Nap mágneses erőtere, a Föld a légkörével és mágneses erőterével. S miként az elmúlt négy és fél évtized űrkutatási eredményei kimutatták, a napszél a Föld körül kialakít egy lökésfelületet, a Föld magnetoszferáját, aminek a határfelületén zajló küzdelem a napszél és a felgyűrt földi mágneses erőtér között alakítja pillanatról pillanatra az aktuális „határt”. De ez mind abba a fejezetbe tartozik, ahol a napszél különleges gázának a terjedését tárgyalhatjuk a forgó Nap mágneses terében, s ahol a napszél előtt ott van a Föld bolygó a légkörével és a földi mágneses erőtér.